高中数学教材中的经典问题与变式
（11）圆锥曲线
类型1：求曲线的方程
1．（人教A 版选修1－1，2－1第39页例2）如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作X 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？
变式1：设点P 是圆224x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0）．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程．
解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则082
x x +=
，02y
y =．即028x x =-，02y y =．
因为点P ()00,x y 在圆22
4x y +=上，所以22004x y +=．即()()2
2
2824x y -+=， 即()2
2
41x y -+=，这就是动点M 的轨迹方程．
变式2：设点P 是圆2
2
4x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足2PM MD =
．当点
P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．
解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由2PM MD =
，得
()()00,28,x x y y x y --=--，即0316x x =-，03y y =．
因为点P ()00,x y 在圆22
4x y +=上，所以22004x y +=．即()()2
2
31634x y -+=，
即2
216439x y ??
-+= ??
?，这就是动点M 的轨迹方程．
变式3：设点P 是曲线(),0f x y =上的任一点，定点D 的坐标为(),a b ，若点M 满足
(,1)PM MD λλλ=∈≠-R
．当点P 在曲线(),0f x y =上运动时，求点M 的轨迹方程．
解：设点M 的坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，由PM MD λ=
，得
()()00,,x x y y a x b y λ--=--，即()01x x a λλ=+-，()01y y b λλ=+-．
因为点P ()00,x y 在圆(),0f x y =上，所以()00,0f x y =． 即()()()1,10f
x a y b λλλλ+-+-=，这就是动点M 的轨迹方程．
类型2：椭圆的性质
2．（人教A 版选修1－1，2－1第40页练习第3题）已知经过椭圆
22
12516
x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴
的直线A B ，交椭圆于A ，B 两点，1F 是椭圆的左焦点．（1）求1AF B ?的周长；（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ?的周长有变化吗？为什么？
解：由已知，5a =，4b =
，所以3c ==. （1）1AF B ?的周长1212AF AF BF BF =+++.
由椭圆的定义，得122AF AF a +=，122BF BF a +=. 所以，1AF B ?的周长420a ==.
（2）如果AB 不垂直于x 轴，1AF B ?的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立，1AF B ?的周长20=，这是定值.
变式1：设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 A
．
2 B
．12
C
．2 D
1 解一：设椭圆方程为22221x y a b +=，依题意，显然有212PF F F =，则22b c a =，即22
2a c c a -=，即2210e e +-=
，解得1e =．选D ．
解二：∵△F 1PF 2为等腰直角三角形，∴c PF c F F PF 22,21212===. ∵a PF PF 221=+，∴a c c 222=+，∴
121
21-=+=a
c
．故选D ．
变式2：已知双曲线22
221,(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且
12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ．
解一：由定义知12||||2PF PF a -=，又已知12
||4||PF PF =，解得183PF a =，223
PF a =，在12PF F ?中，由余弦定理，得22
2
221898173
2382494964cos e a a c a a PF F -=??-+=∠，要求e 的最大值，即求21cos PF F ∠的
最小值，当1cos 21-=∠PF F 时，解得5
3
e =．即e 的最大值为53．
解二：设),(y x P ，由焦半径公式得a ex PF a ex PF -=+=21,，∵214PF PF =，∴)(4)(a ex a ex -=+，∴x a e 35=
，∵a x ≥，∴35≤e ，∴e 的最大值为5
3
．
变式3：已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B
两点，OA OB + 与(3,1)a =-
共线．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且 (,)OM OA OB λμλμ=+∈R
，证明22μλ+为定值．
解：（Ⅰ）设椭圆方程为)0,(),0(122
22c F b a b
y a x >>=+，
则直线AB 的方程为c x y -=，代入122
22=+b
y a x ，化简得
02)(2
2222222=-+-+b a c a cx a x b a .
设A （11,y x ），B 22,(y x ），则2222212122222
2,.a c a c a b x x x x a b a b -+==++ 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+ 与a
共线，得 ,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，
.2
3
,
0)()2(3212121c x x x x c x x =
+∴=++-+∴ 即2322
22c b
a c a =+，所以3
6.32222a b a c b a =
-=∴=，故离心率
.36==a c e
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知2
2
3b a =，所以椭圆122
22=+b y a x 可化为.33222b y x =+
设(,)OM x y =
，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=
??
?+=+=∴.
,2121y y y x x x μλμλ ),(y x M 在椭圆上，.3)(3)(2
221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212
222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①
由（Ⅰ）知.2
1,23,232
22221c b c a c x x ===+ 22222
12223,
8a c a b x x c a b -==+
121212122
121222233()()
43()339
30.22
x x y y x x x c x c x x x x c c c c c +=+--=-++=-+=
又2
22222212133,33b y x b y x =+=+，代入①得.122=+μλ故22μλ+为定值，定值为1.
类型3：椭圆的焦点三角形
3．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1A 组第6题）
已知点P 是椭圆22
154
x y +=上的一点，且以点P 及焦点1F ，2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．
解：由已知，椭圆的焦距122F F =.
因为12PF
F ?的面积等于1，所以，121
12
P F F y ??=
，解得1P y =.
代入椭圆的方程，得21154x +=，解得x = 所以，点P 的坐标是(1)±，共有4个. 变式1：已知椭圆
19
162
2=+y x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为
A ．
5
9
B ．3
C ．
7
7
9 D ．
4
9 解：依题意，可知当以F 1或F 2为三角形的直角顶点时，点P 的坐标为94??
± ??
?
，则点P 到x 轴的距离为4
9
，故选D ．（可以证明不存在以点P 为直角顶点的三角形）
变式2：已知
ABC ?的顶点B 、C 在椭圆2
213
x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ?的周长是
A ．
B ．6
C ．
D ．12
解：由于椭圆2
213
x y +=的长半轴长a =定义可知ABC ?的周长为4a =C ．
类型4：椭圆的性质
4．（人教A 版选修1－1，2－1第47页习题2.1B 组第3题） 如图，矩形ABCD 中，2AB a =，2BC b =，E ，F ，G ，H 分别是矩形四条边的中点，R ，S ，T 是线段OF 的四等分点，R '，S '，T '是线段CF 的四等分点．请证明直线ER 与GR '、ES 与GS '、ET 与GT '的交点L ，M ，N 在同一个椭圆上．
解：如图，由已知，得(0,3)E -，(4,0)F ， 因为,,R S T 是线段OF N M L
T /S /
R /T
S
R O H G
F E
D
C B
A
,,R S T '''是线段CF 的四等分点， 所以，(1,0),(2,0),(3,0)R S T ；
933
(4,),(4,),(4,)424R S T '''.
直线ER 的方程是33y x =-；
直线GR '的方程是3
316
y x =-
+. 联立这两个方程，解得 3245
,1717x y ==.
所以，点L 的坐标是3245
(,)1717.
同样，点M 的坐标是169(,)55，点N 的坐标是9621
(,)2525.
由作图可见，可以设椭圆的方程为22
221x y m n +=(0,0)m n >> ……①
把点,L M 的坐标代入方程①，并解方程组，得
22114m =，22
11
3n =. 所以经过点,L M 的椭圆方程为22
1169
x y +
=. 把点N 的坐标代入22
169
x y +，得22196121()()11625925?+?=，
所以，点N 在22
1169
x y +
=上. 因此，点,,L M N 都在椭圆22
1169
x y +
=上. 变式1：直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点A 、B .若双曲线C 的右焦点F 在以AB 为直径的圆上时，则实数k = ．
解：将直线:1l y kx =+代入双曲线C 的方程2
2
21x y -=整理，得
.022)2(22=++-kx x k ……①
依题意，直线L 与双曲线C 的右支交于不同两点，故
222
22
20,(2)8(2)0,20,
22
0.2
k k k k
k k ?-≠??=-->???->-??>?-?解得22-<<-k ． 设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①式得
???
???
?
-=?-=+.22,22222221k x x k
k x x ……② ∵双曲线C 的右焦点F (),0c 在以AB 为直径的圆上，则由F A ⊥FB 得：
.
0)1)(1())((.
0))((21212121=+++--=+--kx kx c x c x y y c x c x 即
整理，得.01))(()1(221212=+++-++c x x c k x x k ……③ 把②式及2
6=
c 代入③式化简，得.066252
=-+k k 解得))(2,2(5
6
6566舍去或--?-=+-
=k k ，故566+-=k ． 变式2：A 、B 是双曲线2
2
12
y x -=上的两点，点N （1，2）是线段AB 的中点． （Ⅰ）求直线AB 的方程；（Ⅱ）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？ 解：（Ⅰ）直线AB 的方程为1y x =+．（求解过程略）
（Ⅱ）联立方程组22
1,
1.2
y x y x =+??
?-
=??得()1,0A -、()3,4B ． 由CD 垂直平分AB ，得CD 方程为3y x =-．
代入双曲线方程2
2
12
y x -=整理，得26110x x +-=． 记()11,C x y ，()22,D x y 以及CD 的中点为()00,M x y ，则有1212
6,
11.x x x x +=-??=-?从而()3,6M -．
∵
12CD x =
-=
．∴MC MD ==
又
MA MB ==
=
即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等．故A 、B 、C 、D 四点共圆．
变式3：设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.
（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；
（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.
（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入整理，得
.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①
设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根，
0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ②
)3,1(.3
)
3(22
21N k k k x x 由且+-=
+是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k ＝－1，代入②得，λ＞12，即λ的取值范围是（12，＋∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A
.0))(())((33,
3212121212
2222
121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λ
λ 依题意，.)
(3,2
12121y y x x k x x AB ++-
=∴≠
.
04),1(3).
,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλ
（Ⅱ）解法1：
.02,13,=+--=-∴y x x y CD AB CD 即的方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得
.04442=-++λx x ③
是方程则的中点为又设43004433,),,(),,(),,(x x y x M CD y x D y x C ③的两根，
).2
3
,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=
-=+∴M x y x x x x x 即且
于是由弦长公式可得).3(2||)1(1||432
-=
-?-+=λx x k
CD ④
将直线AB 的方程代入椭圆方程得,04=-+y x .016842=-+-λx x ⑤
同理可得.)12(2||1||212
-=
-?+=λx x k AB ⑥
.||||,)12(2)3(2,12CD AB <∴->->λλλ时当
假设在在λ＞12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB
的距离为
.2232
|
423
21|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得
.|2
|2321229|2|
||||2
2222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当12>λ时，A 、B 、C 、D 四点均在以M 为圆心，2|
|CD 为半径的圆上.
（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：
A 、
B 、
C 、
D 共圆?△ACD 为直角三角形，A 为直角即|,|||||2DN CN AN ?=?
).2
|
|)(2||()2||(
2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边＝.212
-λ 由④和⑦知，⑧式右边＝)2
2
32)3(2)(2232)3(2(--+-λλ ,2
12292
3
-=-
-=
λλ ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆
解法2：由（Ⅱ）解法1及12>λ.
,13,-=-∴x y CD AB CD 方程为直线垂直平分 代入椭圆方程，整理得
.04442=-++λx x ③ 解得2
3
14,3-±-=
λx .
将直线AB 的方程,04=-+y x 代入椭圆方程，整理得
.016842=-+-λx x ⑤ 解得2
12
22,1-±=
λx .
不妨设)2
33,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A
∴)2
12
33,23123(
---+-+-+=λλλλ
)2
12
33,23123(
-------+=λλλλ
计算可得0=?，∴A 在以CD 为直径的圆上. 又点A 与B 关于CD 对称，∴A 、B 、C 、D 四点共圆.
（注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）
类型5：求圆锥曲线的方程
5．（人教A 版选修1－1，2－1第59页习题2.2B 组第1题）求与椭圆
22
14924x y +=有公共焦点，且离心率5
4
e =
的双曲线的方程． 变式1：已知椭圆
1532222=+n y m x 和双曲线13222
22=-n y m x 有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 A ．y x 215±= B ．x y 215±= C ．y x 43±= D ．x y 43
±=
解：依题意，有2
2
2
2
3523m n m n -=+，即2
2
8m n =，即双曲线方程为
22
22
1163x y n n -=，故双曲线的渐近线方程是2222
0163x y n n -=，即x y 4
3
±=，选D ． 变式2：已知椭圆的中心在原点，离心率2
1
=e ，且它的一个焦点与抛物线x y 42-=的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．1342
2=+y x B ．1682
2=+y x
C ．12
22
=+y x
D ．14
22
=+y x 解：∵抛物线x y 42
-=的焦点坐标为（－1，0），则椭圆的1c =，又2
1=
e ，则2a =，进而2
3b =，所以椭圆方程为13
42
2=+y x ，选A ．
类型6：求圆锥曲线的弦长
6．（人教A 版选修1－1，2－1第66页例4） 斜率为1的直线l 经过抛物线2
4y x =的焦点，且与抛物线
相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．
变式1：如果1P ，2P ，…，8P 是抛物线2
4y x =上的点，它们的横坐标依次为1x ，2x ，…，8x ，F 是抛
物线的焦点，若12810x x x +++= ，则128PF P F P F +++= ___．
解：根据抛物线的定义，可知12
i
i i p
PF x x =+=+（1i =，2，……，8）， ∴()128
1288118PF P F PF x x x +++=++++?= ． 变式2：设F 是椭圆16
72
2=+y x 的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点(1,2,3),i P i = 使123,,,FP FP FP ，组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为 ． 解：设11FP a =，则()11n FP a n d =+-，于是()11n FP FP n d -=-，即11n FP FP d n -=-，由于21n ≥，()()122n FP FP a c a c c -≤+--==，故110d ≤
，又0d ≠，故d ∈11,00,1010????
-? ??????
．
变式3：如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交抛物线于另一点(,)n n n B s t ．
（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n
n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点．试证：1
1222
1n
n n FC FC FC -++++=-+ ．
证明：（Ⅰ）对任意固定的1n ≥,因为焦点(0,1)F ,所以可设直线
n n A B 的方程为1n y k x -=,将它与抛物线方程24x y =联立，
得2440n x k x --=，由一元二次方程根与系数的关系得
4n n x s =-．
（Ⅱ）对任意固定的1n ≥，利用导数知识易得抛物线2
4x y =在n A 处的切线的斜率2
n n
A x k =
，故24x y =在n A 处的切线方程为()2
n
n n x y y x x -=
-， ① 类似地，可求得2
4x y =在n B 处的切线方程为)(2
n n n s x s t y -=-， ②
由②减去①得22
22
n n n n
n n x s x s y t x ---=-+， 从而22224422n n n n n n x s x s x s x ---=-+， 2224
n n n n x s x s x --=，2n n
x s x +=， ③
将③代入①并注意到4n n x s =-得交点n C 的坐标为
)1,2(-+n n s x . 由两点间距离公式,得22
2
2||()42244n n n n n x s x s FC +=+=++ =2222)22(244n
n n n x x x x +=++.从而||2||2||n n n x FC x =+
.
现在2n n x =，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得，
12||||n FC FC FC ++…+||1212111
(||||)2(2||||
n x x x x x =+++++…+||
…1)||n x + 22111(22)2(222=+++++n …+2…1)2n + =11(21)(22)221n n n n -+-+-+-=-+.
类型7：抛物线的性质
7．（人教A 版选修2－1第67页例5）
过抛物线焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，通过点A 和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D ，求证：直线DB 平行于抛物线的对称轴．
变式：设抛物线22y px =（0p >）的焦点为 F ，经过点 F 的直线交抛物线于A 、B 两点．点 C 在抛物线的准线上，且BC ∥X 轴．证明直线AC 经过原点O ．
证明1：因为抛物线2
2y px =（0p >）的焦点为,02p F ??
???
，所以经过点F 的直线AB 的方程可设为 2
p
x my =+
，代人抛物线方程得 2
2
20y pmy p --=．
若记()11,A x y ，()22,B x y ，则21,y y 是该方程的两个根，所以
212y y p =-．
因为BC ∥X 轴，且点C 在准线2p x =-
上，所以点C 的坐标为2,2p y ??- ???
， 故直线CO 的斜率为21
112.2
y y p k p y x =
==- 即k 也是直线OA 的斜率，所以直线AC 经过原点O ．
证明2：如图，记X 轴与抛物线准线L 的交点为E ， 过A 作AD ⊥L ，D 是垂足．则 AD ∥FE ∥BC ．
连结AC ，与EF 相交于点N ，则
||||||,||||||EN CN BF AD AC AB ==||||
.||||
NF AF BC AB =
根据抛物线的几何性质，|AF |=|AD |，|BF |=|BC | ，
|,||
||
|||||||||||NF AB BC AF AB BF AD EN =?=?=
∴
即点N 是EF 的中点，与抛物线的顶点O 重合，所以直线AC 经过原点O ．
类型8：直线与圆锥曲线的综合问题
8．（人教A 版选修1－1第74页，2－1第85页复习参考题A 组第8题）
斜率为2的直线l 与双曲线
22
132x y -=交于A ，B 两点，且4AB =，求直线的方程． 解：设直线l 的方程为2y x m =+.
把2y x m =+代入双曲线的方程222360x y --=，得221012360x mx m +++=.
1265m x x +=-，21236
10m x x += ……①
由已知，得 21212(14)[()4]16x x x x ++-= ……② 把①代入②，解得
3
m =±
所以，直线l
的方程为2y x =±
变式1：
已知点()
A
和)
B
，动点C 到A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直
线2y x =-交于D 、E 两点，求线段DE 的长．
解：根据双曲线的定义，可知C 的轨迹方程为2
2
12
y x -=． 联立22
2,1.2
y x y x =-???-
=??得2460x x +-=． 设()11,D x y ，()22,E x y ，则12124,6x x x x +=-=-．
所以
12DE x =
-==
DE 的长为
变式
2：直线y kx =22
13
x y +=交于不同两点A 和B ，且1O A O B ?= （其中O 为坐标原点），求k
的值．
解：将y kx =2
213
x y
+=，得22(13)30k x +++=． 由直线与椭圆交于不同的两点，得
2
222130,)12(13)12(31)0.
k k k ?+≠???=-+=->??即2
13k >． 设),(),,(B B A A y x B y x A
，则22
3
,1313A B A B
x x x x k k +=-
=++． 由1OA OB ?=
，得2A B A B x x y y +=．
而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x
2
2
222
353(1)2131331
k k k k k -=++=+++． 于是2253131k k -=+
．解得3k =±．故k
的值为3
±．
变式3：已知抛物线)0(22>=p px y ．过动点M （a ，0）且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A 、B ．若||2AB p ≤,求a 的取值范围．
解：直线l 的方程为a x y -=，将 px y a x y 22=-=代入， 得 0)(222=++-a x p a x ．
设直线l 与抛物线的两个不同交点的坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，
则 ???
??=+=+>-+.
),(2,04)(42212122a x x p a x x a p a
又a x y a x y -=-=2211,， ∴ 221221)()(||y y x x AB -+-=
]4)[(221221x x x x -+=)2(8a p p +=．
∵ 0)2(8,2||0>+≤2p a p -≤<-．
【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道
【有关高中数学教学的】高中数学经典大题150道 学习活动对学生来说本身就具有重要的意义，但是由于个体间的差异和教学时间紧迫等客观因素决定了在数学课堂上教师不可能兼顾到每一个学生的实际情况. 第一篇：民族地区的高中数学教学 1. 当前高中数学教学的问题和分析 ①不注重知识的循序渐进:从初中到高中的知识跨越是一个循序渐进的过程，一定要做到让学生吸收。 而现在的教师为了让学生掌握的更多，没节制的拓宽知识面，不断地补充一些公式或者特殊的解题方法，这些在高中生的高三复习阶段屡见不鲜，导致学生的负担过重不能更好的发挥。 ②因材施教没有落到实处:一些高中教师教学过程中分层教学把握不到位，教法单一。 只讲”范式”，不讲”变式”，只要求记结论、套题型，多数学生浅尝辄止，不求甚解。 学生学习毫无兴致，导致两级分化严重。 2. 教学新思路探索 2.1注重生源状况研究，实施因材施教依据少数民族地区生源质量较差的实际情况，
教师需要对其因材施教。 结合班级里学生能力参差不齐的实际，传统的一些僵化教法根本无法适应当前新课程改革的要求，无法推进后进生的转化。 教师需要根据生源状况，将其分为差、中、好三个档次，对后进生在知识方面进行详细的了解，设计问题的过程中可以梯度小一点，采取”小步子、慢速度”的原则。 2.2掌握新课改新课程的基本理念在新课改下，高中数学旨在构建学生发展和学习的良好基础，激励学生学习的积极主动性;促进学生的全面发展，注重学生数学思维的形成，把信息技术和课程化作一体，建立适应学生个性发展的学习体系。 这一切都要求教师提高自身的综合素质，在教学中探索更好的教学方法，实现从知识的传授到学生能力的培养的跨越。 2.3注重知识传授的循序渐进以及改进方法新课改高中数学教学的关键就是循序渐进，只有完成这个环节，才能顺利的开展教学。 有的老师眼中只有成绩，一味赶进度，形成”填鸭式”的教学模式。 但事实上这样会适得其反，数学学科肩负着学生运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力的培养。 它的特点就是很抽象，对能力的要求很高。 所以如果不遵从循序渐进的原则，那么必然会形成很多学生的掉队，不仅会影响学生的兴趣，更重要的是还会影响其成绩。 所以高中数学教学方法一定要活，因材施教，要具有针对性。 教师要真正成为学生的引导和合作者。 考虑学生的自身状况以及学习需要，辅以多媒体教学，培养学生的积极性和兴趣，做到学生不仅能够掌握现有概念和技能，还能独立思考学习，要充分鼓励学生自主探索。
(完整版)人教A版高中数学教材目录(全)
必修1 第一章集合与函数概念 1．1 集合 1．2 函数及其表示 1．3 函数的基本性质 第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数 2．2 对数函数 2．3 幂函数 第三章函数的应用 3．1 函数与方程 3．2 函数模型及其应用 必修2 第一章空间几何体 1．1 空间几何体的结构 1．2 空间几何体的三视图和直观图 1．3 空间几何体的表面积与体积 第二章点、直线、平面之间的位置关系 2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2．2 直线、平面平行的判定及其性质 2．3 直线、平面垂直的判定及其性质 第三章直线与方程 3．1 直线的倾斜角与斜率 3．2 直线的方程 3．3 直线的交点坐标与距离公式 必修3 第一章算法初步 1．1 算法与程序框图 1．2 基本算法语句 1．3 算法案例 阅读与思考割圆术 第二章统计 2．1 随机抽样 阅读与思考一个著名的案 例 阅读与思考广告中数据的 可靠性 阅读与思考如何得到敏感 性问题的诚实反应 2．2 用样本估计总体 阅读与思考生产过程中的 质量控制图 2．3 变量间的相关关系 阅读与思考相关关系的强 与弱 第三章概率 3．1 随机事件的概率 阅读与思考天气变化的认 识过程 3．2 古典概型 3．3 几何概型 必修4 第一章三角函数 1．1 任意角和弧度制 1．2 任意角的三角函数 1．3 三角函数的诱导公式 1．4 三角函数的图象与性质 1．5 函数y=Asin（ωx+ψ） 1．6 三角函数模型的简单应 用 第二章平面向量 2．1 平面向量的实际背景及 基本概念 2．2 平面向量的线性运算 2．3 平面向量的基本定理及 坐标表示 2．4 平面向量的数量积 2．5 平面向量应用举例 第三章三角恒等变换 3．1 两角和与差的正弦、余 弦和正切公式 3．2 简单的三角恒等变换 必修5 第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.2应用举例 1.3实习作业 第二章数列 2.1数列的概念与简单表示法 2.2等差数列 2.3等差数列的前n项和 2.4等比数列 2.5等比数列的前n项和 第三章不等式 3.1不等关系与不等式 3.2一元二次不等式及其解法 3.3二元一次不等式（组）与简 单的线性规划问题 3.3.1二元一次不等式（组）与平 面区域 3.3.2简单的线性规划问题 3.4基本不等式 选修1-1 第一章常用逻辑用 语 1.1命题及其关系 1.2充分条件与必要条件 1.3简单的逻辑联结词 1.4全称量词与存在量词 第二章圆锥曲线与 方程 2.1椭圆 2.2双曲线 2.3抛物线 第三章导数及其应 用 3.1变化率与导数 3.2导数的计算
高中数学新教材中的数学文化
高中数学新教材中的数学文化 摘要：随着新课程改革的推进，对高中数学教学不断提出新的要求。不仅要摒弃传统的教学形式，创新教学内容、教学方法，更要重视新教材中数学文化的渗透，关注学生知识的学习积累，注重对学生学习兴趣的培养。本文立足于新教材中数学文化的体现，致力于探究如何使学生更好的在学习过程中感受数学文化，更好的提高数学教学效果。 关键词：高中数学新教材数学文化 引言 数学文化作为一个抽象的概念，主要包含数学的思想、语言、方法、特点及形成与发展的过程等，即从文化的视角分析数学。除此之外，数学文化还涉及数学史、数学教育以及和其他学科的交叉等。本文将对数学文化内容展开分析，促进学生对数学文化的理解，更好的学习数学知识。 一、数学文化在教学中发挥的作用 数学是具有独特文化的学科，是人类文明的重要组成部分，同时也是促进人类社会不断进步的重要指引。数学作为一种精神，与我们的社会环境、日常生
活密切相关[1]。其符号语言简单，思维方式独特，理性思维严谨，概括又抽象，不仅应用于教学中、生活中，更能促进人类思维品质的形成。 数学既是一门学科，又是一种文化，数学教育就是要把这种文化传承下去。从高中新教材可以看出，数学文化在数学教学中应发挥作用，使学生在学习过程体会数学文化的精髓所在。因此，老师在对学生进行教学时，既要注重数学知识的讲授，更要对学生进行数学文化的渗透。 二、教材对数学文化的诠释 数学文化对学生影响深远，它不仅能激发学生的学习兴趣和求知欲，培养学生理性思维，使学生形成独立观察、解决问题的能力，增强学生的实践能力，更重要的是，有助于学生价值观的形成和人格品性的提高。[2] 新教材课程标准明确指出，高中数学老师应将教学模块和数学文化结合起来，并给学生提供相关模块进行参考。新课标也要求教师在教学中渗透数学文化价值及美学价值。因此，老师在教学过程中，可将数学知识与数学文化相结合，从文化的角度引导学生，使学生在接受数学知识的同时，又能站在文化的角度感悟数学。
新编【人教A版】高中数学：必修2课本例题习题改编(含答案)
A A ' B B ' C C ' 2 3 新编人教版精品教学资料 2015版人教A 版必修2课本例题习题改编 湖北省安陆市第一高级中学 伍海军 597917478@https://www.wendangku.net/doc/4c10295504.html, 1.原题（必修2第15页练习第4题）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称． 改编 如图是一个几何体的三视图（单位：cm ） （Ⅰ）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积及体积； （Ⅲ）设异面直线AA '与BC '所成的角为θ，求cos θ． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图23－2所示． （Ⅱ）这个几何体是直三棱柱． 由于底面ABC ?的高为1，所以2 2 112AB =+=． 故所求全面积22ABC BB C C ABB A S S S S ''''?=++ 1 221322328622 =???+?+??=+2(cm )． 这个几何体的体积121332 ABC V S BB ?'=?=???=3 (cm ) （Ⅲ）因为//AA BB ''，所以AA '与BC '所成的角是B BC ''∠． 俯视图 A 正视图 侧视图 A ' B B 'A B C A B C A ' B ' C ' 1 2 3 11 3 正视图 侧视图 俯视图
2 P P 正视图 侧视图 O O O ' O ' 2 2 22 2 2 2 俯视图 P O O ' 在Rt BB C ''?中，22223213BC BB B C ''''=+=+=，故33 cos 1313 13BB BC θ'= =='． 2.原题（必修2第28页例3）如图，已知几何 体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图． 改编1 如图，已知几何体的三视图（单位：cm ）． （Ⅰ）画出它的直观图（不要求写画法）； （Ⅱ）求这个几何体的表面积和体积． 解：（Ⅰ）这个几何体的直观图如图所示． （Ⅱ）这个几何体是一个简单组合体，它的下部是 一个圆柱（底面半径为1cm ，高为2cm ），它的上部 是一个圆锥（底面半径为1cm ，母线长为2cm ，高为 3cm ）． 所以所求表面积2 1212127S ππππ=?+??+??=2 (cm )， 所求体积221 3 1213233 V ππππ=??+???=+ 3(cm )． 3.原题（必修2第30页习题1.3B 组第三题）分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系。 改编 已知直角三角形ABC ，其三边分为c b a ,,,（c b a >>）.分别以三角形的a 边，b 边，c 边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，其表面积和体积分别为321,,S S S 和 321,,V V V ,则它们的关系为 ( ) A .321S S S >>, 321V V V >> B .321S S S <<, 321V V V << C .321S S S >>, 321V V V == D .321S S S <<, 321V V V == 解：a a bc V c b a bc S 211)(31),)(( ππ=+=,22223 1 ,bc V c ac S πππ=+= , c b V b ab S 23233 1 ,πππ=+=, 选B. 4.原题（必修2第32页图像）改编 如图几何体是圆柱挖去一个同底等高的圆锥所得，现用一个竖直的平面截这个几何体，所得截面可能是：
高中数学选修1-1第一章复习题
数学选修1-1复习资料 第一章 知识要点: 1、命题的概念及四种命题的关系 要求：（1）会判断命题的真假；（2）会写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题； （3）了解四种命题的关系。 2、充分条件和必要条件 3、逻辑联结词“且”、“或”、“非”。 4、含有一个量词的命题的否定。 5、用反证法证明命题。 一．选择题： 1、下列语句中不是命题．．．． 的是（ ） A 、空集是任何集合的真子集 B 、若整数a 是素数，则a 是奇数 C 、x>2 D 、12>6 2、有下列命题：①2 0ax bx c ++=是一元二次方程；②四条边相等的四边形是正方形；③若,a b R ∈，且ab>0，则a>0且b>0；其中真命题．．．的个数．．为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 3、一个命题的否命题．．．为真，则这个命题的逆命题．．．（ ） A ．一定为假 B.一定为真 C.可能为假 D. 不能确定 4、命题“方程2 1x =的解是1x =±”，使用逻辑联结词的情况是（ ） A ．使用了逻辑联结词“非” B.使用了逻辑联结词“或” C ．使用了逻辑联结词“且” D.没有使用逻辑联结词 5、“1 4 m =- ”是直线mx+(m+1)y+1=0与直线(m-2)x+3my-2=0相互垂直的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要 6、p ：三角形全等； q ：三角形面积相等； 则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 7、设p, q 是两个命题，若p q ∧为真，则（ ） A ．p 真，q 真 B 、p 真，q 假 C 、p 假，q 真 D 、p 假，q 假 8、设p, q 是两个命题，若p q ∨为真，且p ?为真，则（ ） A ．p 不一定是假命题 B 、q 一定是真命题 C 、q 不一定是真命题 D 、p 与q 同为真 9、“用反证法证明命题“如果x5 1y ”时，假设的内容应该是（ ） A 、5 1 x ＝51 y B 、51x <51 y C 、51x ＝51y 或51x <51 y D 、51x ＝51y 或51x >5 1y
2020年高中数学新教材变式题5 不等式
五、不等式（命题人：仲元中学 邹传庆） 1（人教A 版82页例1） 已知0,0<>>c b a ，求证：b c a c >. 变式1：（1）如果0,0a b <>，那么，下列不等式中正确的是（ ） A.11a b < B C.22a b < D.||||a b > 解：选A 设计意图：不等式基本性质的熟练应用 变式2：设a ，b ，c ，d ∈R ，且a >b ，c >d ，则下列结论中正确的是（ ） A .a +c >b +d B .a －c >b －d C .ac >bd D.c b d a > 解：选A 设计意图：不等式基本性质的熟练应用 2（人教A 版89页习题3.2A 组第3题） 若关于x 的一元二次方程0)1(2 =-+-m x m x 有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. 变式1：解关于x 的不等式()[]()(0113R m x x m ∈>+-+ 解：下面对参数m 进行分类讨论： ①当m=3-时，原不等式为 –(x+1)>0，∴不等式的解为1-m 时，原不等式可化为()131>+?? ? ?? +-x m x 1031->>+m Θ，∴不等式的解为1-m x ③当3-+m 原不等式的解集为3 11+<<-m x ； 当4-=m 时，131-=+m 原不等式无解
综上述，原不等式的解集情况为： ①当4-m 时，解为1-m x 设计意图：含参数的不等式的解法. 变式2：设不等式x 2－2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ?［1，4］，求实数a 的取值范围？ 解：（1）M ?［1，4］有两种情况：其一是M =?，此时Δ＜0；其二是M ≠?，此时Δ=0或Δ＞0，分三种情况计算a 的取值范围。 设f (x )=x 2 －2ax +a +2，有Δ=(－2a )2－4(a +2)=4(a 2－a －2) 当Δ＜0时，－1＜a ＜2，M =??［1，4］； 当Δ=0时，a =－1或2； 当a =－1时M ={－1}?［1，4］；当a =2时，m ={2}?［1，4］。 当Δ＞0时，a ＜－1或a ＞2。 设方程f (x )=0的两根x 1，x 2，且x 1＜x 2， 那么M =［x 1，x 2］，M ?［1，4］?1≤x 1＜x 2≤4? ??>?≤≤>>?0,410)4(,0)1(且且a f f ， 即???????>-<>>->+-2 10071803a a a a a 或，解得2＜a ＜718， ∴M ?［1，4］时，a 的取值范围是(－1， 7 18). 设计意图：一元二次不等式、一元二次方程及二次函数的综合应用. 3（人教A 版103页练习1（1）） 求y x z +=2的最大值，使y x ,满足约束条件?? ???-≥≤+≤11y y x x y . 变式1：设动点坐标（x ，y ）满足（x －y +1）（x +y －4）≥0，x ≥3，则x 2+y 2的最小值为( ) C 2 17 D 10 解：数形结合可知当x =3，y =1时，x 2+y 2的最小值为10 选D 设计意图：用线性规划的知识解决简单的非线性规划问题.
最新人教版 高中数学必修一课后习题配套答案
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版
习题1.2（第24页）
练习（第32页） 1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值， 而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高． 2．解：图象如下 [8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设 12,x x R ∈，且12x x <， 因为 121221()()2()2() 0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >， 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值． 练习（第36页）
1．解：（1）对于函数 42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数； （2）对于函数 3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数 3()2f x x x =-为奇函数； （3）对于函数 21 ()x f x x +=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有 22()11 ()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21 ()x f x x +=为奇函数； （4）对于函数 2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内 每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数 2()1f x x =+为偶函数. 2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的． 习题1.3（第39页） 1．解：（1） 函数在5(,)2-∞上递减；函数在5 [,)2 +∞上递增； （2）
人教版高中数学选修2-1优秀全套教案
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
人教版高中数学全套教材例题习题改编(高考必做,高考题来源)
人教A 版必修1课本例题习题改编 1.原题(必修1第七页练习第三题（3））判断下列两个集合之间的关系：A={} {}|410|20,x x x N B x x m m N ++∈==∈是与的公倍数，， 改编 已知集合4x x M x N N **??=∈∈????且10，集合40x N x Z ?? =∈???? ，则（ ） A ．M N = B ．N M ? C ．20x M N x Z ?? =∈???? D ．40x M N x N *?? =∈???? 解：{}20,M x x k k N *==∈， {} 40,N x x k k Z ==∈，故选D . 2.原题（必修1第十二页习题1.1B 组第一题）已知集合A={1，2}，集合B 满足A ∪B={1， 2}，则这样的集合B 有 个. 改编1 已知集合A 、B 满足A ∪B={1，2}，则满足条件的集合A 、B 有多少对？请一一写出来． 解：∵A ∪B={1，2}，∴集合A ，B 可以是：?，{1，2}；{1}，{1，2}；{1}，{2}；{2}，{1，2}；{2}，{1}；{1，2}，{1，2}；{1，2}，{1}；{1，2}，{2}；{1，2}，?．则满足条件的集合A 、B 有9对. 改编2 已知集合A 有n 个元素，则集合A 的子集个数有 个，真子集个数有 个 解：子集个数有2n 个，真子集个数有21n -个 改编3 满足条件 {}{} 1,21,2,3A =的所有集合A 的个数是 个 解：3必须在集合A 里面，A 的个数相当于2元素集合的子集个数，所以有4个. 3.原题（必修1第十三页阅读与思考“集合中元素的个数”）改编 用C(A)表示非空集合A 中的元素个数，定义 ?? ?<-≥-=*C(B) C(A)当C(A),C(B)C(B) C(A)当C(B),C(A)B A ,若 {}{} 02)ax ax)(x (x x B ,1,2A 22=+++==，且1B A =*,则由实数a 的所有可能取值构 成的集合S = . 解：由{ }2C(A)1,2A ==得，而1B A =*，故3C (B )1C (B )==或．由02)ax ax )(x (x 22=+++得02)ax (x 0ax )(x 22=++=+或． 当1C(B)=时，方程02)ax ax )(x (x 2 2 =+++只有实根0x =，这时0a =．
高考最新-高考数学复习复数变式题 精品
高考数学复习复数变式题（命题人：广大附中 王映） 1.选修1-2第62页例、选修2-2第116页例1： 1(1)m m m i ++-实数取什么值时复数z=是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？ 变式1：若复数sin 2(1cos 2)z a i a =--是纯虚数,则a = . sin 2021,1cos 20222k k k z k ααπαππααπ =??∴+∈??-≠≠??＝解：依题意得即＝ 变式2：使复数为实数的充分而不必要条件是 ( ) A ．z z -= B ．z z = C ．2z 为实数 D ．z z -+为实数 ∴解：要明确题目要求的充分不必要条件即要找出若“复数为实数”则不能推出的选项选B 变式3：若有,,R R X +-分别表示正实数集,负实数集,纯虚数集,则集合}{2m m X ∈=( ). A ．R + B ．R - C ．R R +- D ．{}0R + 222(0),)0m m bi b m bi b B =≠=-<∴解：若为纯虚数，设则＝(选 2.选修1-2第65页习题A 组第5题、选修2-2第119页A 组习题第5题： 实数m 取什么值时，复平面内表示复数22 (815)(514)z m m m m i =-++--的点 （1）位于第四象限？ （2）位于第一、二象限？ （3）位于直线上 变式1：复数ｚ＝（ａ2－2ａ）＋（ａ2－ａ－2）ｉ对应的点在虚轴上，则（C ） A.ａ≠2或ａ≠1 B.ａ≠2且ａ≠1 C.ａ＝2或ａ＝0 D.ａ＝0 200 2. a a a -=∴==2解：新课标教材上定义虚轴上的点表示纯虚数和原点,所以要求虚部为0即可. 即a 或 变式2：已知复数12z i =+，21z i =-，则在12z z z =?复平面上对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 123z z z i z ==-∴ 解：复数表示的点在第四象限.选D. 变式3：如果35a <<,复数22 (815)(514)z a a a a i =-++--在复平面上的 对应点z 在 象限.
人教课标版高中数学选修4-4：选修4-4学情分析与教材分析-新版
坐标系与参数方程 （一）学情分析： 本专题是高中数学选考内容之一，包括“坐标系”和“参数方程”两个内容．“坐标系”这个概念比较熟悉，但这里要涉及坐标变换、极坐标系、空间柱坐标系、球坐标系等，其中空间柱坐标系、球坐标系在高考中不作要求．通过本专题的教学，使学生掌握极坐标和参数方程的基本概念，了解曲线的多种表现形式；通过从实际问题中抽象出数学问题的过程，使学生体会数学在实际中的应用价值；培养学生探究数学问题的能力和应用意识．1．学生已经从初中开始学习坐标系，对坐标系有了较为深刻的认识，教学中我还是侧重让学生理解平面和空间中点的位置都可以用有序数组（坐标）来刻画，在不同坐标系中，这些数所体现的几何含义不同．同一几何图形的方程在不同坐标系中具有不同的形式．因此，选择适当的坐标系可以使表示图形的方程具有更方便的形式．在坐标系的教学中，可以引导学生自己尝试建立坐标系，说明建立坐标系的原则，激励学生的发散思维和创新思维，并通过具体实例说明这样建立坐标系有哪些方便之处． 2．学习极坐标前学生已经在必修4中学习了三角函数的定义，再通过具体例子让学生体会极坐标的多值性，但是在表示点的极坐标时，如无特别要求，通常取ρ≥0 ，0≤θ＜2π．极坐标方程与直角坐标方程的互化，主要是极坐标方程化为直角坐标方程；参数方程与普通方程的互化，主要是参数方程化为普通方程，并注意参数的取值范围．3．求曲线的极坐标方程主要包括：特殊位置的直线（如过极点的直线）、圆（过极点或圆心在极点的圆）；求曲线的参数方程主要包括：直线、圆、椭圆和抛物运动轨迹的参数方程．4．在物理中，学生已经学习了平抛运动，由此引入参数方程，使学生了解参数的作用．应注意鼓励学生运用已有的平面向量、三角函数等知识，选择适当的参数建立曲线的参数方程．（二）教材分析： 1．核心素养 坐标系是解析几何的基础，在坐标系中，可以用有序实数对确定点的位置，进而用方程刻画几何图形．为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系，从而引入了诸如极坐标系等． 参数方程是以参变量为中介来表示曲线上的点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式．有些曲线用参数方程比用普通方程处理问题更为方便，学习参数方程有助于进一步体会解决问题中数学方法中的灵活多变． 本专题是解析几何初步、平面向量、三角函数等内容的综合应用和进一步深化，极坐标系和参数方程是本专题的重点内容．
《数学文化赏析》mooc答案(最新整理)
第一章 一、多选题(共100.00 分) 1.以下关于数学的描述，正确的有（A B）。 A.数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学。 B.数学是研究模式与秩序的科学 C.数学研究事物的物质属性 D.数学只是研究数的科学 2.以下表述中正确的有（A B C）。 A.数与形是数学科学的两大柱石； B.数与形是万物共性和本质； C.数与形是一个事物的两个侧面，二者有密切联系； D.数与形是不同的事物，也没有关系。 3.下列运动或变换中，属于拓扑变换的有（A C）。 A.橡皮筋拉伸； B.电风扇旋转； C.纸张折叠； D.投影。 4.以下各选项属于数学的特点的有（A C D）。 A.概念的抽象性； B.公式的简洁性； C.推理的严密性； D.结论的确定性。 5.以下选项中，属于数学关注的内容的部分有（A B C D）。 A.一种对象的内在性质； B.不同对象的联系； C.多种对象的共性； D.一组对象的变化规律。 6.数学中概念或定义的形成主要是（A B C）的结果。 A.分类； B.抓本质； C.抓共性； D.推理。 7.按照结构数学的观点，以下对象属于代数结构的有（A C）。 A.加法运算； B.比较大小； C.乘方运算； D.数轴。 8.以下关于公理系统的描述中，正确的有（A B D）。 A.公理之间应该相容； B.公理之间应该独立； C.公理需要证明； D.公理是数学理论正确性的前提。 9.以下推理形式中，属于合情推理的有（A B D）。 A.归纳；
B.类比； C.演绎； D.联想。 10.以下关于归纳推理的叙述中，正确的是（A B D）。 A.归纳推理是从个体认识群体的推理； B.归纳推理是从特殊到一般的推理； C.归纳推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.归纳推理不能保证结论的正确性。 11.以下关于类比推理的叙述中，正确的是（A C D ）。 A.类比推理是发散性思维； B.类比推理是从一般到特殊的推理； C.类比推理是从一个个体认识另一个个体的推理； D.类比推理不能保证结论的正确性。 12.以下关于演绎推理的叙述中，正确的是（A B C D）。 A.演绎推理是收敛性思维； B.演绎推理可以从少数已知事实出发，导出一个内容丰富的知识体系； C.演绎推理能够保证数学命题的正确性，使数学立于不败之地； D.演绎推理可以使人类的认识范围从有限走向无限。 第二章 一、多选题(共100.00 分) 1.以下选项中属于数学功能的有（A B C D ） A.实用 B.教育 C.语言 D.文化 2.以下哪些现象说明数学具有语言功能？A B A.用方程描述社会现象 B.用符号表示数和运算 C.逻辑推理 D.五线谱 3.数学被广泛地应用于人类社会的各个领域，两条最根本原因包括（A C） A.数学的对象是万物之本 B.数学概念的抽象性 C.数学方法与结论的可靠性 D.数学结论的确定性 4.与自然语言相比，数学语言具有以下优点（A C D ） A.不会产生歧义 B.表达生动 C.表达简洁、清晰 D.内涵丰富 5.把数学看做一种文化，原因在于（A B C ） A.数学是人类创造并传承下来的智力成就
浅谈数学文化与高中数学教学 -
【标题】浅谈数学文化与高中数学教学 【作者】谭弦 【关键词】数学文化数学文化与教学素质教育 【指导老师】周均 【专业】数学与应用数学 【正文】 1. 引言 数学不仅是一门科学，更是一个内容十分丰富的文化体系，因为数学中蕴涵了大量的哲学、美学、文学等，因此数学更是一个由其内在力量和外部力量共同作用而处于不断发展和进化的文化系统。高中数学是数学科学的基础知识，也是一个联系紧密、结构严谨的数学文化系统。在新数学课程标准和数学教学改革的要求下，中学生除了学会数学基础知识和基本技能外，还应当受到良好的数学文化教育，使之具有一定的数学素养。因此，研究数学文化与高中数学教学具有重要的意义，有助于完善数学文化的理论研究，促进数学文化的发展，更重要的是，把对数学文化的研究和高中数学教学想结合，能够促进高中数学教学的改革，提高高中学生的数学学习兴趣。 2. 数学文化的内涵 ２.１.数学文化的概念 数学文化是指人类在社会历史过程中所创造的精神财富。数学文化可以看成是指人类在历史的数学活动过程中所创造的数学财富的总和，包括数学的知识体系、数学的思想、方法、观念等。高中数学新课程标准，把认识数学文化的作用，提高学生的文化素养和创新意识作为一个重要的培养目标，尽管上世纪90年代以来，许多中外学者将数学文化作为一种文化来研究，然而对数学文化的认识在理论和实践上的讨论还不是很完善。 数学文化是人类文化的重要组成部分。一方面数学文化的产生与发展是在一定的文化背景中实现的，那一定的文化背景制约着数学文化的发展；另一方面吗，数学文化的发展又反过来影响整个文明进程，数学文化不仅自身属于人类社会的一种文化现象，而且数学文化尚拥有广泛的超越数学文化自身意义的因素以及这些因素对人类文化（进步）的巨大影响。数学文化是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力。从远古人类的结绳计数到数码符号的出现，从数字的应用到数量符号运算符号的产生，从各种数量关系的研究到数学语言、文字语言、符号语言、图式语言的诞生，从解决问题的不同策略，到数学思想和方法的确立，从珠算的发明到计算机的产生，清晰地表明，数学文化与人们的生活息息相关，与人类的文明同步发展。 2.２数学的文化价值 数学是一种文化，数学教育是数学文化的教育。《普通高中数学课程标准(实验)》将体现数学的文化价值作为一个基本理念，提出了对数学文化的学习要求。这充分表明数学文化已经从一种理念走进了中学课堂，渗透到数学课的实际教学中。课
2019人教版 高中数学 选修2-2课本例题习题改编(含答案)
2019人教版精品教学资料·高中选修数学 选修2-2课本例题习题改编 1.原题（选修2-2第十一页习题1.1B 组第一题）改编 在高台跳水中，t s 时运动员相对水面的高度(单位：m ）是105.69.4)(2 ++-=t t t h 则t=2 s 时的速度是_______. 解：5.68.9)(+-='t t h 由导数的概念知：t=2 s 时的速度为 )/(1.135.628.9)2(s m h -=+?-=' 2.原题（选修 2-2 第十九页习题 1.2B 组第一题）改编记 21 sin 23sin ,23cos ,21cos -===c B A ，则A,B,C 的大小关系是（ ） A ．A B C >> B ．A C B >> C ． B A C >> D. C B A >> 解：时的导数值，，在分别表示，2321sin 23cos 21 cos = x x 记)2 3 sin 23(,21sin 21，），（N M 根据导数的几何意义A 表示sinx 在点M 处的切线的斜率，B 表示sinx 在点N 处的切线的斜率，C 表示直线MN 的斜率， 根据正弦的图像可知A >C >B 故选B 32.5 2 1.5 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 54321 1 2 3 4 5 f x () = sin x () M N 3.原题（选修2-2第二十九页练习第一题）改编 如图是导函数/ ()y f x =的图象，那么函数 ()y f x =在下面哪个区间是减函数
A. 13(,)x x B. 24(,)x x C.46(,)x x D.56(,)x x 解：函数的单调递减区间就是其导函数小于零的区间，故选B 4.原题（选修2-2第三十二页习题 1.3B 组第1题（4））改编 设02 x π << ，记 s i n ln sin ,sin ,x a x b x c e === 试比较a,b,c 的大小关系为（ ） A a b c << B b a c << C c b a << D b c a << 解：先证明不等式ln x x x e << x>0 设()ln ,0f x x x x =-> 因为1 ()1,f x x '= -所以，当01x <<时，1()10, f x x '=->()f x 单调递增，()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时1 ()10,f x x '=-<()f x 单调递减， ()l n (1)1f x x x f =-< =-<；当x=1时，显然ln11<，因此ln x x < 设(),0x g x x e x =-> ()1x g x e '=- 当0()0x g x '><时 ()(0,+g x ∴∞在）单调递减 ∴()(0)0g x g <= 即x x e < 综上：有ln x x x e <<，x>0成立 02 x π << ∴0sin 1x << ∴ sin ln sin sin x x x e << 故选A 5.原题（选修2-2第三十七页习题1.4A 组第1题）改编 用长为18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是_________. 解：设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高??? ?? -=-=230(m)35.441218＜＜x x x h . 故长方体的体积为).2 30)((m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而2 ()181818(1).V x x x x x '=-=- 令0(X)V ='，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1. 当0＜x ＜1时，(X)V '＞0；当1＜x ＜ 3 2 时，(X)V '＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值. 从而最大体积V ＝3（m 3 ），此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 答：当长方体的长为2 m 时，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3 . 6.原题（选修2-2第四十五页练习第二题）改编 一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设
最新2017高中数学论文题目大全
最新2017高中数学论文题目大全 高中数学论文题目(一) 对原函数存在条件的试探 分块矩阵的若干初等运算 函数图像中的对称性问题 泰勒公式及其应用 微分中值定理的证明和应用 一元六次方程的矩阵解法 ‘数学分析’对中学数学的指导作用"1"的妙用
"数形结合"在解题中的应用 "数学化"及其在数学教学中的实施 "一题多解与一题多变"在培养学生思维能力中的应用《几何画板》与数学教学 《几何画板》在圆锥曲线中的应用举例 Cauchy中值定理的证明及应用 Dijkstra最短路径算法的一点优化和改进 Hamilton图的一个充分条件 HOLDER不等式的推广与应用 变量代换在数学中的应用 不变子空间与若当标准型之间的关系不等式的几种证明方法及简单应用不等式的证明方法探索
不等式证明的若干方法 不等式证明中导数有关应用 不同型余项泰勒公式的证明与应用猜想，探求，论证 彩票中的数学 常微分方程的新的可解类型 常微分方程在一类函数项级数求和中的应用抽奖活动的概率问题 抽屉原理及其应用 抽屉原理及其应用 抽屉原理思维方式的若干应用 初等变换在数论中的应用
初等数学命题推广的几种方式 传染病模型及其应用 从趣味问题剖析概率统计的解题技巧从双曲线到双曲面的若干性质推广 从统一方程看抛物线、椭圆和双曲线的关系存贮模型的若干讨论 带peano余项的泰勒公式及其应用单调有界定理及其应 二次曲线方程的化简 二元函数的单调性及其应用 二元函数的极值存在的判别方法 二元函数极限不存在性之研究 反对称矩阵与正交矩阵、对角形矩阵的关系
反循环矩阵和分块对称反循环矩阵 范德蒙行列式的一些应用 方差思想在中学数学中的应用及探讨 方阵A的伴随矩阵 放缩法及其应用 分块矩阵的应用 分块矩阵行列式计算的若干方法 分析近年三角各种题型，提高学生三角问题解决能力分形几何进入高中数学课程的尝试 辅助函数的应用 辅助函数在数学分析中的应用 辅助元法在中学数学中的应用
【校本教材】高中数学校本课程---数学文化
【高中数学校本课程】 数学文化 目录 总体规划…………………………………………………………课程实施…………………………………………………………第一节有趣的数学谜语………………………………………第二节鸡兔同笼问题…………………………………………第三节九宫图的应用…………………………………………第四节大衍求一术……………………………………………第五节让梨游戏………………………………………………第六节幻方与魔阵……………………………………………第七节数学中的简单逻辑推理问题…………………………第八节欺骗眼睛的几何问题…………………………………第九节抽屉原理的简单应用…………………………………第十节帕斯卡三角形与道路问题…………………………第十一节数独………………………………………………
第二部分课程实施 实施对象：高二学生 实施时间：校本选修课2 实施步骤： 分四步：1）自行研读，思考 2）合作探究、推理 3）老师指导、解答 4）创新运用、提高 实施计划： 拟在高二实施，共需18课时。高二年级每周2课时。 课时安排： 第一节有趣的数学谜语………………………………………2课时 第二节鸡兔同笼问题…………………………………………1课时 第三节九宫图的应用…………………………………………1课时 第四节大衍求一术……………………………………………2课时 第五节让梨游戏………………………………………………1课时 第六节幻方与魔阵……………………………………………2课时 第七节数学中的简单逻辑推理问题…………………………1课时 第八节欺骗眼睛的几何问题…………………………………2课时 第九节抽屉原理的简单应用…………………………………2课时 第十节帕斯卡三角形与道路问题……………………………1课时 第十一节数独………………………………………………2课时 体会与反思………………………………………………………1课时 评价与考核 本课程采用考核与考试相结合的评价方式。 作业：结合课本知识及相关内容，以作业形式，考查学生的解决问题的能力，以了解学
高中数学教材变式题汇总：平面向量
高中数学教材变式题汇总：平面向量 一、平面向量的实际背景与基本概念 1．（人教版P85例2） 如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出 图中与OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 相等的向量。 变式1： 如图1，设O 是正六边形的中心，分别写出 图中与OD u u u r 、DC u u u r 共线的向量。 变式2： 如图2，设O 是正六边形的中心，分别写出 图中与DA u u u r 的模相等的向量以及方向相同的向量。 二、平面向量的线性运算 2.（人教版第96页例4） 如图，在平行四边形ABCD 中，AB =u u u r a ，AD =u u u r b ， 你能用a ，b 表示向量 AC u u u r ，DB u u u r 吗？ 变式1：如图，在五边形ABCDE 中， AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，CD =u u u r c ，EA =u u u r d ， 试用a ，b ， c ， d 表示向量CE u u u r 和DE u u u r . 解：CE BE CB BA AE CB =+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ( a + b + d ) ()DE EA AB BC CD =-+++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ( d + a + b +c ) 变式2：如图，在平行四边形ABCD 中，若，OA =u u u r a ，OB =u u u r b 则下列各表述是正确的为（ ） A ．OA O B AB +=u u u r u u u r u u u r B ．O C O D AB +=u u u r u u u r u u u r C ．CD =-u u u r a + b D ．BC =-u u u r (a + b ) 正确答案：选D 变式3：已知OA =a ，OB =b, OC =c ,OD =d , 且四边形ABCD 为平行四边形，则（ ） A. a +b +c +d =0 B. a －b +c －d =0 D C A B D E C A B D C O A B B A C O F D E 图1 B A C O F D E 图2
