线性离散系统的数学模型和方法分析

§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法

大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。

一、线性离散系统的数学描述

1. 差分方程

对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示

)()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17)

(10.17)式也可以写成如下紧缩的形式

∑∑==-=-+n i n

i i i iT kT u b iT kT y a kT y 1

)()()( (10.18)

如果引入后移算子1

-q ，即

)()(1T kT y kT y q -=- (10.19)

则(10.18)式可写成多项式的形式

)()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20)

式中

n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)(

方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。方程右端又被称为驱动项。方程的阶数和系数反映系统的结构特征。用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。

2. 差分方程的解

线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解)(kT y 由齐次方程的通解

)(1kT y 和非齐次方程的特解)(2kT y 两部分组成， 即

)()()(21kT y kT y kT y += (10.21)

其中特解)(2kT y 可用试探法求出，非齐次差分方程的特解反映了离散系统在外界作用下，系统的强迫运动。(10.17)的特征方程为

0)))((2111=---=+++-n n n n q q q q q q a q a q ( (10.22)

其中n i q i ,,2,1, =为特征方程的根。根据特征根i q 的不同情况，齐次方程的通解形式也不同。考虑下面三种情况。

(1) 无重根，即当j i ≠时，j i q q ≠，则通解为

∑==

+++=n

i k i

i k n

n k k

q

c q c q c q c kT y 1

2

21

11)( (10.23)

式中待定系数n i c i ,,2,1, =，由系统的n 个初始条件确定。

(2) 全为重根，即 n i q q i ,,2,1,1 ==，则通解为

∑=--=+++=n

i k i i k n n k k q k c q k

c kq c q c kT y 1

111

1

1

2111)( (10.24)

其中i c 为待定系数。

(3) 有r 个重根，其余的不是重根，即

1q q i =，当r i ≤时；而j i q q ≠，当r j i >,且j i ≠时

则通解为

∑∑=+=-+

=r

i n

r i k i i k i i q c q k c kT y 1

1

1

1

1)( (10.25)

其中i c 为待定系数。

从上面讨论中，可以归纳出经典的解差分方程方法如下： (1) 求齐次方程的通解)(1kT y ； (2) 求非齐次方程的一个特解)(2kT y ；

(3) 差分方程的全解为 )()()(21kT y kT y kT y +=；

(4) 利用n 个初始条件或其它条件确定通解中的n 个待定系数。

[例10-1] 求解二阶差分方程

k kT y T kT y T kT y 3)(2)(3)2(=++-+，0)()0(==T y y

解：先设特解为k c kT y 3)(2=，代入方程试探

k k k k c 3]32333[12=?+?-++

求出2

1

=

c 。再由特征方程 0)2)(1(232=--=+-q q q q

得出11=q 和22=q ，则齐次方程的通解为

k c c kT y 2)(211+=

方程的全解为

k k c c kT y 32

1

2)(21++=

代入初始条件得

23

20212121=++=+

+c c c c 求出2

1

1=

c 和12-=c 。因而，非齐次差分方程的解为 0,32

1

221)(≥+-=k kT y k k

二、z 变换

类似于连续实变函数)(t y 的拉氏变换)(s Y ，对序列{})(kT y 也有相应的z 变换)(z Y 。这里z 也是一个复变量。通过变换，在复数域内研究和运算有时比直接在时域内分析更为简便，因此z 变换是线性时不变离散系统时域分析和稳定性分析的基础，其主要局限性是它只能提取采样时刻的幅值信息，不能提供采样间的波动信息。

1. 定义

在线性连续系统中，连续时间函数)(t y 的拉氏变换为)(s Y ，同样在线性离散系统中，也可以对采样信号)(t y *

作拉氏变换。采样信号)(t y *

可描述为

∑∞

=*

-=0

)()()(k kT t kT y t y δ (10.26)

则对采样信号)(t y *作拉氏变换得

[

]

[]∑∑?

∑∞

=-∞=∞∞

=-*

=-=-==0

*

)()()()()()()(k kTs k k st

e kT y kT t L kT y dt e

kT t kT y t y L s Y δδ

令sT

e z =，则有

∑∞

=-==0

*

)()(?)(k k z kT y s Y z Y (10.27)

)(z Y 可看作是)(t y *的离散拉氏变换或采样拉氏变换。一般称)(z Y 为离散序列{})(kT y 的z 变换，

有时也称之为{})(kT y 的象，记作 [])()(kT y Z z Y =。

)(z Y 是复变量z 的函数，它被表示为一个无穷级数。如果此级数收敛，则序列的z 变换存在。

序列{})(kT y 的z 变换存在的条件是(10.27)式所定义的级数是收敛的，即k

N

k N z

kT y -=∞

→∑0

)(lim 存在。原

函数)(kT y 和象函数)(z Y 是一z 变换对，即

[])()(kT y Z z Y =

和

[])()(1z Y Z kT y -=

下面计算几种简单函数的z 变换，并列出一个常用的z 变换表（表10-1）。

(1) 单位脉冲时间序列

?

?

?≠==0 00

1)(k k kT δ

则

[]1)(=kT Z δ

延迟的单位脉冲时间序列

?

?

?>==- 00

1)(其他n k nT kT δ 则

[]n z nT kT Z -=-)(δ

(2) 单位阶跃时间序列

?

?

?<≥=0 00

1)(1k k kT

则

[]∑∞

=---=

=0

1

11

)(1k k z z kT Z

(3) 单位斜坡时间序列

kT kT y =)(

则

[]2

11

)1()(--∞

=--=

=∑z Tz kz

T kT y Z k k

(4) 衰减指数序列

kT e kT y α-=)(

则

[]1

11)(--∞

=---=

=∑z e z e kT y Z T k k kT αα

表10-1 常用拉氏变换及z 变换表

)(s Y )(t y )(z Y

1 )(t δ 1 kTs

e

- )(kT t -δ k

z

-

s 1 )(1t 1-z z 21s t 2)1(-z Tz 31s 22t 32)1(2)1(-+z z z T 1

1+n s !

n t n )(!)1(lim 0T n n n e z z

n ααα-→-??- a s +1 at

e - aT

e z z -- 2)(1a s + at

te - 2

)

(aT aT e z Tze ---

)(a s s a + at

e --1 ))(1()1(aT

aT e z z e z ----- 22ωω

+s t ωsin

1cos 2sin 2+-T z z T

z ωω

22ω+s s t

ωcos 1

cos 2)

cos (2+--T z z T z z ωω 2

2

)(ω

ω

++a s t e

at

ωsin - aT

aT aT e

T ze z T

ze 22cos 2sin ---+-ωω 2

2)(ω

+++a s a s t e at

ωcos - aT aT aT e T ze z T ze z 222cos 2cos ---+--ωω

2. z 变换的基本性质 (1) 线性性质

z 变换是一种线性变换，即

[][][])()()()()()(z G z F kT g Z kT f Z kT g kT f Z βαβαβα+=+=+ (10.28)

其中α和β为两个任意常数。线性性质的证明可以由定义直接得到。

(2) 滞后性质

序列)(T kT y -的z 变换为

[]∑∑∑∞

=--∞

=-∞

=-==--=-=-0

1

10)()0)(( )()()(j j k k k k

z jT y T y z T kT y z T kT y T kT y Z (10.29)

)

()(10

1

z Y z z

jT y z

j j

-∞

=--==∑

同样，由于单边序列)(,),(nT y T y -- 均为零，故

[])()(z Y z nT kT y Z n -=- (10.30)

从这个性质可以看出n

z

-代表序列滞后了n 个周期。

(3) 超前性质

序列)(T kT y +的z 变换为

[])

0()()

0()()

0()0()()()()()(0

1101

zy z zY zy z jT y z zy zy z jT y z z jT y z z T kT y z z T kT y T kT y Z j j j j j j

k k k k

-=-=-+==+=+=+∑∑∑∑∑∞

=-∞

=-∞

=-∞

=--∞

=- (10.31)

推广到超前n 步序列)(nT kT y +，可得

[])()()0()()(1T nT zy T y z y z z Y z nT kT y Z n n n -----=+- (10.32)

(4) 象函数尺度的变化

[]

)())(()(0

az Y az kT y kT y a Z k k k

==∑∞

=-- (10.33)

(5) 初值定理 由

+++=--21)2()()0()(z T y z T y y z Y

可得

)0()(lim y z Y z =∞

→ (10.34)

(6) 终值定理 由

----+++=-------321211)2()()0()2()()()()1(z T y z T y z y z T y z T y T y z Y z

得

)(lim )()1(lim 11

kT y z Y z k z ∞

→-→=- (10.35)

(7) 卷积

)(k f 和)(k g 的卷积被定义为

∑∞

=-?=*0

)()()()(i iT kT g iT f kT g kT f (10.36)

则

[])

()()

()()()()()()()()()(0

000000z G z F z G z iT f z iT kT g iT f z iT kT g iT f z iT kT g iT f kT g kT f Z i i i k k i k k k

k i ?==??

?

???-=??

????-=???

???-=*-∞=∞

=∞=-∞

=∞=--∞

=∞=∑∑

∑∑∑∑∑ (10.37)

以上是几个主要的z 变换性质，这些性质为z 变换的计算和离散系统的分析都带来很大方便。 3. z 变换的方法

在许多参考书中都附有z 变换表，可以利用它查出序列{})(kT y 的z 变换。但是即使所引用的z 变换表是如何的详细，在实际应用中还是常常遇到有的变换不能从变换表上直接查出来的时候。因

而熟悉z 变换的基本性质和运算方法是十分必要的。常用的z 变换方法有下列几种。

1) 级数求和法：这是最直接的方法，即由z 变换的定义出发，应用z 变换的基本运算规则和级数求和公式而求得。例如在前面定义一节中所用的例子。

2) 部分分式法：已知某函数的拉式变换)(s Y ，先把它分解为一些基本的部分分式

∑==n

i i s Y s Y 1

)()(，然后再分别求出与各基本部分分式相对应的原函数)(t y i ，对)(t y i 离散化得

)(kT y i ，对)(kT y i 取z 变换得到)(z Y i ，最后由z 变换的线性性质可得 ∑==n

i i z Y z Y 1

)()(。

[例10-2]

]1

1[)()(a

s s a K a s s K s Y +-=+=

[]

[]

))(1()1(]1[)()()1()()(1aT aT aT at e z z z e a K e z z z z a K kT y Z z Y e a

K

s Y L t y --------=

---=

=-==

3) 留数计算法：由复变函数中留数定理可知，如果函数)(s Y 除有限个极点),,2,1(n i s i =外，

在某域G 内是解析的，则

??????-=-=

-==-∑?11

1

11)

(s Re 11

)(21)(z e s Y ds z e s Y j z Y TS n

i s s c Ts i π (10.38)

其中c 为G 内一段封闭的积分回路，[] s Re ?表示函数[] ?在极点i s s =的留数。留数的计算方法因

)(s Y 是否有重极点而异，

1）当无重极点时，即当j i ≠时，j i s s ≠，则

∑=-→???

???--=n

i Ts i s s z e s Y s s z Y i

1

111)()(lim )( 2）当所有极点都相同时，即n i s s i ,,2,1,1 ==，则

??

????---=---→111

1

11)()()!1(1lim

)(z e s Y s s ds d n z Y Ts n

n n s s i 3）当有r 个重极点时，即r i s s i ≤=,1，而j i s s ≠，r j i >,且j i ≠，则

∑+=-→---→??????--+?????

?---=n

r i Ts i s s Ts r

r r s s z e s Y s s z e s Y s s ds d r z Y i i 11111

1

11)()(lim 11)()()!1(1lim

)( [例10-3] )

()(a s s K

s Y +=

))(1()1(111111

)()(lim 11)(lim )(11

1

10

aT aT aT Ts a s Ts s e z z a z e K z e z a K z e a s s K a s z e a s s K s z Y -------→-→---=

???

???---=

-?

+++-?+?

=

[例10-4]

2

12202

)1()111(lim

)(1)(-=

-??==

-→z Tz z e s s ds d z Y s s Y Ts s 4. z 反变换

由)(z Y 求出相应的脉冲序列{})(kT y 称为z 反变换。记作

[])()(1z Y Z kT y -= (10.39)

下面给出几种常用的求z 反变换的方法。

1) 幂级数展开法：把)(z Y 展开为z 的负幂级数，即把它展开为1

-z 的幂级数，k

z

-的系数相应

于在第k 个采样时刻的时间函数的值。当)(z Y 是有理函数时，z 反变换可以用长除法得到。例如

∑∞

=-----=++++=++++++=

01110110)()()()0()(k k

k n

n n n

n n z kT y z kT y z T y y a z a z a b z b z b z Y (10.40) 如果能够找到)(kT y 的一般数学表达式则最好，否则也可以写出)(kT y 若干项的数值来。 [例10-5]

1

)(1 1)(21=+++=-=

--kT y z z z z z Y 2) 部分分式法

设)(z Y 是z 的有理分式，当其实根互不相同时，利用部分分式法求z 反变换的步骤为：

① 展开 ∑=-=n

i i

i z z c z z Y 1)(，其中 ??????

-=→z z Y z z c i z z i i )()(l i m ② 把展开式乘以 z ，得 ∑=-=

n

i i

i z z z

c z Y 1)( ③ 反演展开式得 ∑==n

i i kT y kT y 1)()(，其中 ??????-=-i i i z z z c Z kT y 1)(

[例10-6]

k

k kT y z z

z z z Y z z z z Y z z z

z z Y )1(1.0)3

7

(3.1)(11

.0373.1)(11

1

.03713.1)(7

432)(2

2--=+--=+--=--+= 现在讨论如果)(z Y 中至少包含一对共轭复根{}T j T e z aT ωωsin cos 2,1±=-的情形，即

)(cos 2sin )cos ()

()cos 2()

()(12212

022z Y e

T ze z T

ze b T ze z b z p e T ze z z N z Y aT

aT aT

aT

aT aT

++-+-=

+-=

------ωωωω

其中)(1z Y 是把具有共轭复根的项分离出来后的剩余分式。由z 变换表知

[

][

]

aT

aT aT

akT aT

aT aT akT

e T ze z T

ze kT e Z e T ze z T

ze z kT e Z 22

22

2cos 2sin sin cos 2cos cos --------+-=+--=ωωωωωω

则

[])(sin cos )(1110z Y Z kT e b kT e b kT y akT akT ---++=ωω

)(1z Y 的反变换可由前面介绍的方法求得。

[例10-7]

)

8.0)(64.013.1()(2

2-+-+=z z z z

z z Y 8

.078.464.013.1576.278.422-++-+-=z z z z z z 把具有共轭复根项化为标准形式，有

5656

.0sin 707

.0sin 565.0cos 706.0cos 13.1cos 28.0 64.022=======-----T e T T e

T T e e e aT aT

aT aT aT ωωωωω

于是

k

k k k k kT y z z

z z z z z z z z Y )8.0(78.4)786.0sin()8.0(219.0)786.0cos()8.0(78.4)(8

.078.464.013.15656.0219.064.013.1)565.0(78.4)(222+--=-+

+--+---=

3) 留数计算法 由留数定理，得

[]

1

1

1

)(s Re )(21)(-==-∑?==

k n i z z c k z z Y dz z z Y j

kT y i

π (10.41)

其中),,2,1(n i z i =是)(z Y 的n 个极点。留数的计算方法随)(z Y 是否有重极点而异，

1）当无重极点时，即当j i ≠时，j i z z ≠，则

[]

∑=-→-=n

i k i z z z z Y z z kT y i

1

1)()(lim )(

2）当所有极点都相同时，即n i z z i ,,2,1,1 ==，则

[]

1

1

1

1)()()!1(1lim )(1------=k n n n z z z z Y z z dz d n kT y 3）当有r 个重极点时，即r i z z i ≤=,1，而j i z z ≠，r j i >,且j i ≠，则

[][]

∑+=-→---→-+--=n

r i k i

z z k r r r z z z s Y z z z z Y z z dz d r kT y i

i 1

1

1111)()(lim )()()!1(1lim )(

[例10-8]

25

)8.0(5.4)6.0(20)

8.0)(6.0(lim )1)(6.0(lim )1)(8.0(lim )()

1)(8.0)(6.0()(1211

28.0126.02+-=--++--++--+=---+=

-→-→-→k k k z k z k z z z z z z z z z z z z z z z z kT y z z z z

z z Y

[例10-9]

kT z z Tz z dz d kT y z Tz z Y k z =??

????--=-=

-→12212

)1()1(lim

)()1()(

5. 用z 变换法求解差分方程

类似于用拉氏变换可以求解微分方程，利用z 变换中的滞后和超前性质，以及已知函数的z 变换，也可以求线性常系数差分方程的解。它把解差分方程变为以z 为变量的代数运算问题。考虑差分方程

)

()()()()()(101kT u b T mT kT u b mT kT u b kT y a T nT kT y a nT kT y m n ++-+++=++-+++ (10.42)

利用z 变换的线性性质，对差分方程两边作z 变换，得

[][][][][][]

)()()()()()(101kT u Z b T mT kT u Z b mT kT u Z b kT y Z a T nT kT y Z a nT kT y Z m n ++-+++=

++-+++ (10.43)

由超前性质，得

[])()()()()0()()(1z P z Y z z T iT y z T y z y z Y z iT kT y Z i i i i i -=-----=+- (10.44)

式中)(z P i 代表(10.44)式第一个等式右端第二项起所具有的多项式。如果把(10.43)右端的z 变换记为

)(z B ，并把(10.44)代入(10.43)，可得

[]

∑=--=-+++n

i i i n n n n

z B z P a z Y a z

a z

1

1

1)()()(

它是一个z 的代数方程，可把它写成

)

()

()()(?

)

()

()(11111

z A z B z A z N a z a z z B a z a z z P a

z Y n n n n n n n

i i i

n +

=++++

+++=

--=-∑ (10.45)

式中)(z A 为(10.45)第一个等号右端的分母所代表的特征多项式。)(z N 是第一个分式的分子，它由

)(kT y 的n 个初始条件所决定。对(10.45)作z 反变换，可得

??

????+??????=--)()()()()(11z A z B Z z A z N Z kT y (10.46) (10.46)表示差分方程(10.42)的解由与初始条件有关的通解和与驱动项有关的特解两部分组成。

[例10-10] 求解二阶系统

)()()()2(21kT bu kT y a T kT y a T kT y =++++

的阶跃响应。设0)()0(==T y y ，)(1)(kT kT u =。

解：对方程两端取z 变换，得

1

)1)(()(1

)()(3

2211212212-+-+-=-++=-=

++z z c z z z c z z z c z a z a z bz

z Y z bz z Y a z a z

其中1z 和2z 为二阶方程的根，1c ，2c 和3c 为展成部分分式后的系数。求z 反变换得

0,)()()(32211≥++=k c z c z c kT y k k

此二阶系统的响应曲线形状将与1z 和2z 取值的大小及正负号有关。

三、脉冲传递函数

1. 定义

一个线性时不变离散系统的脉冲传递函数)(z G 定义为：在初始静止的条件下，)(z G 是系统输出脉冲序列的z 变换和输入脉冲序列的z 变换之比。即

[][])

()

()()()(z U z Y kT u Z kT y Z z G ==

(10.47)

)(z G 有时又被称为z 传递函数。对用线性常系数差分方程(10.42)所代表的离散系统，当考虑初始条

件为零时，两边取z 变换得

)()()()(11011z U b z b z b z Y a z a z m m m n n n +++=+++--

)()

(?)(1

1110z A z B a z a z b z b z b z G n

n n m m m =++++++=-- (10.48) 系统的特征方程为

0)(=z A (10.49)

由特征方程可求出系统的极点，由0)(=z B 可求出系统的零点。系统的极点数目表示系统的阶数。但要注意在决定系统阶数时，传递函数要写成z 的正幂形式。

[例10-11] 求系统)(5.1)()()2(2)3(kT u T kT u T kT y T kT y T kT y ++=+++++的脉冲传递函数。

解：

2

13

223215.125.1)(----+++=+++=z z z z z z z z z G

现在我们进一步分析脉冲传递函数)(z G 和系统的单位冲激响应)(kT h 之间的关系。所谓系统的单位冲激响应是指输入为单位脉冲序列)(kT δ时系统的输出序列。即

1

)()

()(==z U kT kT u δ

代入(10.47)，得

∑∞

=-==0)()

()(k k

z kT h z G z Y (10.50)

或

)()(kT h kT y = (10.51)

因此，系统的脉冲传递函数和单位冲激响应是一对z 变换，见图10-6。其中

[][]

)()()()(1z G Z kT h kT h Z z G -==

图10-6 系统的脉冲传递函数和单位冲激响应

或记为

)()(z G kT h ? (10.52)

如果系统的输入为任意函数)(kT u ，则输出为

∑∞

=-=*=0)

()()

()()(i iT kT u iT h kT u kT h kT y (10.53)

由z 变换的卷积定理，得

)()()(z U z G z Y =

)(kT u )

(kT y )

(z U )

(z Y )(kT h )

(z H

表10-2 简单环节的脉冲传递函数)(z G

)(s G )(z G

s 1 1-z z

21s 2

)1(-z Tz sT

e - 1

-z

a s +1 aT

e

z z

-- )(1a s s + ))(1()

1(aT

aT e z z e z ----- 2

22

ω

ω+s 1cos 2sin 2+-T z z T z ωω 22ω+s s 1

cos 2)

cos (2

+--T z z T z z ωω ))((b s a s ab ++ ）

bT aT aT bT e z e z e e z b a ab --------)(()

(

222

2ωξωω++s s T T T e

T ze z T ze ξωξωξωξωξωξω222221cos 21sin 1---+----

2. 系统的脉冲传递函数

实际系统常常是由一些子系统组成的，子系统之间又以一定的方式相互联系着。最基本的联系

形式有三种：串联、并联和反馈。下面将分析这三种基本系统和一些复杂系统的脉冲传递函数。

首先介绍一些写法，为简便起见，记

[]{}

[])(?)()(1s G Z s G L Z z G ==- 表示根据)(s G 利用冲激不变法得到的与)(s G 相对应的脉冲

传递函数)(z G 。

[])(?)()()(2121z G G s G s G Z z G == 表示传递函数)(),(21s G s G 乘积的脉冲响应函数经采样后

的z 变换。

1) 串联系统

两个子系统串联的情况如图10-7所示。图10-7(a)表示两个离散系统串联，此时整个系统的脉冲

传递函数为

)()()(21z G z G z G ?= (10.54)

图10-7(b)显示串联系统之间带有采样器，则整个系统的脉冲传递函数为

[][])()()()()(2121z G z G s G Z s G Z z G ?=?= (10.55)

图10-7(c)表示两个连续系统串联后再离散化，则整个系统的脉冲传递函数为

[])()()()(2121z G G s G s G Z z G =?= (10.56)

注意，)()()(2121z G z G z G G ?≠

图10-7 串联系统

[例10-12] 图10-7中设 s s G 1)(1=

，a

s s G +=1)(2，则对图10-7(a)中情况有 ))(1(1)

()()(2

21aT aT

e z z z e

z z

z z z G z G z G ----=

-?-=

?= 而对于图10-7(c)中直接串连的情况有

(a)

(b)

)(s U )

(z Y

(c)

)

(s U )

(z Y

[]))(1()1(111)(1)()()

(1)()(211

21aT aT aT

akT aT

e z z a z e e z z z z a a e Z z G a

e s G s G L a s s s G s G ---------=

???

???---=

?

?

?

???-=-=

?+=

?

2) 并联系统

图10-8所示并联系统的脉冲传递函数为

)()()(21z G z G z G += (10.57)

图10-8 并联系统

3) 反馈系统

设线性离散闭环系统如图10-9所示。

图10-9 线性离散闭环系统

)

(s U )

(z Y )

(s U

(U )

(z Y

由图10-9可得到

[])()()()()(11z G z E s G Z z E z Y ?=?=

[][])

()()()()()()()()()()(2121z G G z E s G s G Z z E z B z B z U z B s U Z z E ?=??=-=-=

)()()()(21z E z G G z U z E -=

)()

(11

)(21z U z G G z E +=

故

)()(1)

()(211z U z G G z G z Y +=

线性离散闭环系统的脉冲传递函数为

)

(1)

()(211z G G z G z G c +=

从上述例子的推导过程可以看出，闭环传递函数)(z G c 或输出量的z 变换)(z Y 的推导步骤大致可分为三步：

(1) 在主通道上建立输出)(z Y 与中间变量)(z E 的关系； (2) 在闭环回路中建立中间变量)(z E 与输入)(z U 的关系； (3) 消去中间变量)(z E ，建立)(z Y 和)(z U 的关系。

图10-10给出了几种典型反馈系统的原理框图及其脉冲传递函数或输出量的z 变换，由此可看出线性离散系统的闭环传递函数)(z G c 或输出量的z 变换)(z Y 具有以下特点：

（1）分子部分与主通道上的各个环节有关； （2）分母部分与闭环回路中的各个环有关；

（3）采样开关的位置对分子、分母部分都有影响，不仅闭环脉冲传递函数的形式不同，而且会有不能写出闭环系统脉冲传递函数的情况，只能写出输出的z 变换表达式。

图10-10 典型线性离散反馈系统及其脉冲传递函数或输出量的z 变换

四、z 平面和s 平面之间的映射关系

可以把z 变换看成是一种离散拉氏变换，于是有

sT e z = (10.58)

(10.58)关系式反映了z 平面和s 平面之间的映射关系：

s 平面 z 平面 极点：ωσj s ±= 极点：θ

j re z ±=，其中T e

r T

ωθσ==,

虚轴：ωj s = 单位圆上：1 =z 右半平面：0>σ 单位圆外：1 >z 左半平面：0<σ

单位圆内：1

(U )

()

(11

)121z UG z G G

z +=

(U )

()

(1)

()13212z UG z G G G z G z +=

)

(U )

()(1)()211z G z G z G z +=

)

()(1)()()

32121z G G z G z G z G z +=

(U

自动控制原理例题详解线性离散控制系统的分析与设计考习题及答案

精心整理 ----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3 4．（x()∞5．(5解：(G 6．(5试用Z 解：二、（ (i X s ) z 图1 1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数 () () o i X z X z ； 2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。

解：1.101 1 1 1 11 1()(1)(1)11(1)1(1)()1e 11e 1e G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e z -------??=-??+????=--??+?? =-----=---= -1 1 010******* 1e ()()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------== -++--=-+--=-+- 2．（5 三、(8 已知(z)1Φ=1．(3分)简述离散系统与连续系统的主要区别。 解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。 2．(3分)简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。 解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。 3．(3分)简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。 解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．(5分)设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。

自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案

----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2+--= z z z z z X 解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此， 211x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解： 22 ()6()8()() ()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1 (){2324},0 6 k k z C z C z C z R z z z z z C z z z z z z z c k k -+===-+--+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制() D z K =， 其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。

线性离散系统基础

第七章 线性离散系统基础 一．基本内容 1．了解离散控制系统基本概念、采样过程及采样定理；零阶保持器的传递函数、频率特性及应用特点。 2．掌握z 变换及z 反变换的求取方法；熟练掌握脉冲传递函的定义，开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数求解方法； 3．熟练掌握离散控制系统的稳定性分析； 4．熟练掌握离散控制系统的稳态误差计算 二．重点和难点 离散控制系统与连续控制系统的根本区别，在于连续控制系统中的信号都是时间的连续函数，而离散控制系统中有一处或多处的信号是脉冲序列或数码形式的。 把连续信号变为离散信号的过程叫做采样，实现采样的装置称为采样器（采样开关）。反之，把采样后的离散信号恢复为连续信号的过程称为信号的复现。 离散控制系统的采样定理给出了从采样的离散信号恢复到原来连续信号所必须的最低采样频率（max 2ωω≥s ）。 离散信号的恢复，是在系统中加入代替理想滤波器的实际保持器来实现的。按恒值外推规律实现的零阶保持器，由于其实现简单，且具有最小的相移，被广泛的应用于离散控制系统中，其传递函数为 s e s G Ts h --=1)( 1．脉冲传递函数 脉冲传递函数的定义：零初始条件下，线性定常离散系统输出离散信号的z 变换与输入离散信号的z 变换之比，称为脉冲传递函数。 比较常见的一种离散控制系统的结构形式如图7-1所示，其闭环脉冲传递函数为

) (1)()() (2121z H G G z G G z R z C += 式中 ， )]()()([)(2121s H s G s G Z z H G G = )]()([)(2121s G s G Z z G G = 图7-1典型离散控制系统的结构图 其中：)(21z H G G 为系统的开环脉冲传递函数。 2．离散系统分析 （1）离散系统的稳定性 离散系统稳定的充分必要条件是：系统的闭环极点均在z 平面上以原点为中心的单位圆内。即 ),2,1(1n i z i =<。 因此，可以通过求解闭环特征方程式的根来判断离散系统的稳定性。但当系统的阶次较高或有待定常数时，采用此法不太合适，可以通过双线性变换 1 1 -+= w w z 将z 平面上的单位圆内部分映射到w 平面的左半平面，即可使用劳斯稳定判据判断离散系统的稳定性。 （2）稳态误差 单位反馈的离散系统（即图7-1中1)(=s H ）的的稳态误差为： ) (1) () 1(lim )(1 z G z R z e z +-=∞→ 其中)()(21z G G z G =为开环脉冲传递函数。 通常选用三种典型输入信号，即单位阶跃信号、单位斜坡信号和单位抛物线信号，对应z 变换分别为 3 22)1(2) 1(,)1(,1 -+--z z z T z Tz z z 三．典型例题分析 )(1s G ) (s H )(s R T ) (s E ) (s C ) (2s G

线性离散系统的分析

§10-4 线性离散系统的分析 前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。 一、稳定性 稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。有两大类的稳定性分析方法。一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。本节只介绍代数判据法。 Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。如果已知一个系统的特征多项式 ()n n n a z a z a z A +++=- 1 10 (10.87) Jury 把它的系数排列成如下的算表： 1 1 110a a a a a a a a a a n n n n n n = --α ――――――――――――――――――― 1 0111 1012 11 11 1110 --- ----------=n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a α ――――――――――――――――――― ――――――――――――――――――― 10 11 1110a a a a 10 11 1a a =α ――――――――――――――――――― 0a 其中

线性离散系统的数学模型和方法分析

§10-2 线性离散系统的数学模型和分析方法 大多数计算机控制系统可以用线性时不变离散系统的数学模型来描述。对于单输入单输出线性离散系统，人们习惯用线性常系数差分方程或脉冲传递函数来表示。离散系统的线性常系数差分方程和脉冲传递函数，分别和连续系统的线性常系数微分方程和传递函数在结构、性质和运算规则上相类似。对于多变量、时变和非线性系统用状态空间方法处理比较方便。 一、线性离散系统的数学描述 1. 差分方程 对简单的单输入单输出线性离散系统，其输入)(kT u 和输出)(kT y 之间的关系可用下列线性常系数差分方程来表示 )()()()()()(101nT kT u b T kT u b kT u b nT kT y a T kT y a kT y n n -++-+=-++-+ (10.17) (10.17)式也可以写成如下紧缩的形式 ∑∑==-=-+n i n i i i iT kT u b iT kT y a kT y 1 )()()( (10.18) 如果引入后移算子1 -q ，即 )()(1T kT y kT y q -=- (10.19) 则(10.18)式可写成多项式的形式 )()()()(11kT u q B kT y q A --= (10.20) 式中 n n q a q a q A ---+++= 1111)( n n q b q b b q B ---+++= 1101)( 方程(10.17)、(10.18)和(10.20)中假设左右两端阶次相同，这并不失一般性，差分方程中最高和最低指数之差n 被称为差分方程的阶数。如果(10.17)式中右端的系数项i b ，n i ,,1,0 =，不全为零，则此方程被称为非齐次方程。方程右端又被称为驱动项。方程的阶数和系数反映系统的结构特征。用差分方程作为物理系统的数学模型时，方程中各变量代表一定的物理量，其系数有时具有明显的物理意义。如果(10.17)式右端的系数全为零，则被称作齐次方程。齐次差分方程表征了线性离散系统在没有外界作用的情况下，系统的自由运动，它反映了系统本身的物理特性。 2. 差分方程的解 线性常系数差分方程求解方法和线性代数方程的求解相类似，其全解)(kT y 由齐次方程的通解

第八章 脉冲传递函数及性能分析

第八章 脉冲传递函数及性能分析 分析线性定常线性离散系统时，脉冲传递函数也是一个很重要的概念，线性定常线性离散系统的动态特性可以由脉冲传递函数来描述。通过脉冲传递函数，可以对线性定常线性离散系统的性能进行分析。 第一节 脉冲传递函数 一、定义 图8－1 开环离散系统 设开环离散系统如图8－1 所示。 线性离散系统的脉冲传递函数定义为：零初始条件下，系统的输出采样信号的Z 变换与输入采样信号的Z 变换之比，记作： ()()G ()() ()n n n n c nT z C z z R z r nT z ∞ -=∞ -== = ∑∑ （8－1） 零初始条件是指：在t<0时，输入脉冲序列各采样值r(-T)、r(-2T)、……以及输出脉冲序列各采样值 c(-T)、c(-2T)、……均为0 。 图8－2 实际的开环离散系统 然而，对大多数实际系统来说，其输出往往是连续信号 c(t) ,而不是采样

信号*() c t，如图8－2所示。此时，可以在系统输出端虚设一个理想采样开关，如图8－2中虚线所示。它与输入采样开关同步工作，并具有相同的采样周期。如果系统的实际输出c(t)比较平滑，且采样频率较高，则可由*() c t近似描述c(t)。必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只是表明了脉冲传递函数所能描述的，只是输出连续函数在采样时刻上的离散值*() c t。 二、脉冲传递函数的求法 1、由差分方程求 （1）令初始条件为零，对差分方程两边作为z变换（查z变换表及用z变换定理）； （2）据脉冲传递函数的定义G(z)=C(z)／R(z)，求出脉冲传递函数G(z)。 2、由系统方块图求 脉冲传递函数同样可以用方块图表示。求取脉冲传递函数时，可以利用方块图变换来实现。但是，在离散系统的方块图中，除了信号线、函数方块、引出点和比较点，还增加了采样开关。连续系统的方块图分析法，不能照搬到离散系统。 第二节开环系统脉冲传递函数 一、串联环节 1、离散环节串联——串联环节之间有采样开关 等效的脉冲传递函数等于各环节脉 冲传递函数之乘积，即 G(z)=Z[G1(s)]*Z[G2(s)]=G1(z)G2(z) 图8－3 离散环节串联 2、连续环节串联——串联环节之间无采样开关 等效的脉冲传递函数等于各环节传 递函数乘积之z变换，即 G(z)=Z[G1(s)G2(s)]= G1G2(z)。 图8－4 连续环节串联

用MATLAB处理线性系统数学模型

实验一 用MATLAB 处理线性系统数学模型 [说明] 一个控制系统主要由被控对象、测量装置、控制器和执行器四大部分构成。MATLAB 软件的应用对提高控制系统的分析、设计和应用水平起着十分重要的作用。采用MATLAB 软件仿真的关键问题之一是在MATLAB 软件平台上怎样正确表示被控对象的数学模型。 [实验目的] 1．了解MATLAB 软件的基本特点和功能； 2．掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB 环境下的表示方法及转换； 3．掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法； 4． 掌握在SIMULINK 环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法； 5．了解在MATLAB 环境下求取系统的输出时域表达式的方法。 [实验指导] 一、被控对象模型的建立 在线性系统理论中，一般常用的描述系统的数学模型形式有： （1）传递函数模型——有理多项式分式表达式 （2）传递函数模型——零极点增益表达式 （3）状态空间模型（系统的内部模型） 这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 1、传递函数模型——有理多项式分式表达式 设系统的传递函数模型为 111011 1......)()()(a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m ++++++++= =---- 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a n 不等于零。 这时系统在MATLAB 中可以方便地由分子和分母各项系数构成的两个向量唯一地确定，这两个向量常用num 和den 表示。 num=[b m ,b m-1,…,b 1,b 0] den=[a n ,a n-1,…,a 1,a 0]

第九章线性离散控制系统

第九章 线性离散控制系统 A9－1 试求下列函数的Z 变换： （1）f(t)=1-e －at （2）f(t)=cos ωt （3）f(t)=αt/T （4）f(t)=te －at （5）f(t)=t 2 A9－2 求下列拉氏变换式的Z 变换（式中T 为采样周期）： （1）21)(s s F = （2）) 2)(1()3()(+++=s s s s F （3）2 )2(1)(+=s s F （4）) ()(a s s K s F += （5）)(1)(2a s s s F += （6）22)(ωω ?=s s F （7）) ()(a s e s F nTs +=? A9－3 求下列函数的Z 反变换（式中T 为采样周期）： （1）) )(1()1()(T T e z z e z z F ?????= （2）) 2()1()(2??=z z z z F （3）22)1()1()(?+= z z z z F （4）222) 1()1(2)(+?=z z z z F

（5）55 432546.035.0)(z z z z z z z F +++++= A9－4 用留数法求下列函数的Z 反变换： （1）) 2)(1(10)(??=z z z z F （2）3 )1()(2 ?=ze z z F A9－5 确定下列函数的初值与终值： （1）) 2.0)(18.0()1()(2222+++?++=z z z z z z z z F （2）) 1.0)(8.0()(2 ??=z z z z F （3）3212 14.26.52.411.03.01)(??????+?++=z z z z z z F A9－6 用Z 变换方法求解下列差分方程，结果以f(k)表示： （1）f(k+2)+2f(k+1)+f(k)=u(k) f(0)=0, f(1)=0, u(k)=k (k=0,1,2,…) （2）f(k+2)-4f(k)=coskn (k=0,1,2,…) f(0)=1, f(1)=0 （3）f(k+2)+5f(k+1)+6g(k)=cos 2 k n (k=0,1,2,…) f(0)=0, f(1)=1 A9－7 求图题A8－7所示各系统的脉冲传递函数和输出信号的Z 变换。

自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案

一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻上无稳态误差的随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2 +--= z z z z z X 解： 经过验证(1)X()z z -满足终值定理使用的条件，因此， 2 1 1 x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解： 22()6()8()() ()(1)(68)3(1)2(2)6(4)1 (){2324},0 6 k k z C z C z C z R z z z z z C z z z z z z z c k k -+===-+ --+---=-?+≥ 二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制()D z K =， 其中K >0。设采样周期T =1s ，368.0e 1=-。

1-用MATLAB处理线性系统数学模型 (3)

实验二 用MATLAB 处理线性系统数学模型 [说明] 一个控制系统主要由被控对象、测量装置、控制器和执行器四大部分构成。MATLAB 软件的应用对提高控制系统的分析、设计和应用水平起着十分重要的作用。采用MATLAB 软件仿真的关键问题之一是在MATLAB 软件平台上怎样正确表示被控对象的数学模型。 [实验目的] 1．了解MATLAB 软件的基本特点和功能； 2．掌握线性系统被控对象传递函数数学模型在MATLAB 环境下的表示方法及转换； 3．掌握多环节串联、并联、反馈连接时整体传递函数的求取方法； 4． 掌握在SIMULINK 环境下系统结构图的形成方法及整体传递函数的求取方法； 5．了解在MATLAB 环境下求取系统的输出时域表达式的方法。 [实验指导] 一、被控对象模型的建立 在线性系统理论中，一般常用的描述系统的数学模型形式有： （1）传递函数模型——有理多项式分式表达式 （2）传递函数模型——零极点增益表达式 （3）状态空间模型（系统的内部模型） 这些模型之间都有着内在的联系，可以相互进行转换。 1、传递函数模型——有理多项式分式表达式 设系统的传递函数模型为 111011 1......)()()(a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G n n n n m m m m ++++++++= =---- 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a n 不等于零。 这时系统在MATLAB 中可以方便地由分子和分母各项系数构成的两个向量唯一地确定，这两个向量常用num 和den 表示。 num=[b m ,b m-1,…,b 1,b 0] den=[a n ,a n-1,…,a 1,a 0]

第7章 线性离散控制系统的分析 参考答案

第七章 习题与答案 7-1 离散控制系统由哪些基本环节组成？ 答：离散控制系统由连续的控制对象，离散的控制器，采样器和保持器等几个环节组成。 7-2 香农采样定理的意义是什么？ 答：香农采样定理给出了采样周期的一个上限。 7-3 什么是采样或采样过程？ 答：采样或采样过程，就是抽取连续信号在离散时间瞬时值序列的过程，有时也称为离散化过程。 7-4 写出零阶保持器的传递函数，引入零阶保持器对系统开环传递函数的极点有何影响？ 答：零阶保持器的传递函数为s e s H Ts --=1)(0。零阶保持器的引入并不影响开环系统 脉冲传递函数的极点。 7-5 线性离散控制系统稳定的充要条件是什么？ 答：线性离散控制系统稳定的充要条件是： 闭环系统特征方程的所有根的模1

第3章 线性离散系统的描述及分析

第3章线性离散时间系统的描述及分析3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1 差分方程 3.1.2 差分方程的解 A递推解 B古典解 C Z变换求解 3.2 Z变换 3.2.1 Z变换的定义 3.2.2 Z变换的性质 3.2.3 Z反变换 A长除法 B留数法 C部分分式法 3.3 离散时间系统的Z域分析 3.3.1 零输入响应 3.3.2 零状态响应 3.3.3 完全响应 3.4 Z传递函数及其求法 3.4.1 Z传递函数的定义 3.4.2 离散系统的运算 3.4.3 由G(s)求G(z)——连续时间系统的离散化 A对G(s)的讨论

B对离散化方法的评价 C 留数法 D直接代换法 E系统等效法Ⅰ——冲击响应不变法；F系统等效法Ⅱ——阶跃响应不变法 G部分分式法 3.4.4 离散化方法小结 3.5 线性离散时间系统的稳定性分析 3.5.1 闭环极点与输出特性之间的关系 3.5.2 稳定判据 3.6 线性离散时间系统的频率特性分析法3.6.1 线性离散时间系统的频率特性 3.6.2 线性离散时间系统的频率特性分析法

第3章 线性离散系统的描述及分析 3.1 差分方程及其时域分析 3.1.1 差分方程 在线性离散时间动态系统中，输入激励序列u (k )与输出响应序列y (k )之间的动态关系在时域中用差分方程来描述，差分方程一般写成升序方式 1101101-1 ()(1)(1)()()(1)(1)()0(0),(1),..., (-1)n n m m n y k n a y k n a y k a y k b u k m b u k m b u k b u k k y y y y y n y m n --+++-++++= =+++-+ +++≥===≤有始性:初始条件:时间因果律: (2.1) 或写成 ∑∑==-+--+=+m i n j j i j n k y a i m k u b n k y 0 1 ) ()()( 上式表明某一离散时间点上输出值可能与当前时间点上的输入值（当 00,b m n ≠=）以及此前若干个输入和输出值有关。 推论开来，当前的输出值是“此前”全部激励和内部状态共同作用的“积累”效应。 考虑实时控制系统的时间因果律，必须有m ≤n 。 当m =n 时，表明当前时刻的输入会直接影响当前时刻的输出，可称为“直传”； 当m

第7章线性离散系统的理论基础习题答案

第7章线性离散系统的理论基础 7.1 学习要点 1 控制系统校正的概念，常用的校正方法、方式； 2 各种校正方法、方式的特点和适用性； 3各种校正方法、方式的一般步骤。 7.2 思考与习题祥解 题7.1 思考下述问题 （1）什么叫信号的采样？ （2）什么是采样控制系统？采样控制系统与连续系统的主要差别是什么？ （3）试述采样过程和采样定理。 （4）什么是保持器，保持器的功能是什么？ （5）零阶保持器的传递函数是什么？对应的脉冲传递函数是什么？ （6）用零阶保持器恢复的连续时间信号有何显著特征？ （7）常用的z变换的方法是什么？如何求系统的脉冲传递函数？ （8）求Z反变换有哪几种方法？各有什么特点？ （9）差分方程如何求解？ （10）脉冲传递函数是如何来描述采样系统的？ （11）如何求得采样系统的开/闭环脉冲传递函数？ （12）对于用闭环脉冲传递函数描述的采样控制系统，系统稳定的充分必要条件是什么？ （13）如何采用劳斯判据来判断采样系统的稳定性？ （14）闭环极点与采样控制系统瞬态特性的关系是什么？ 答： （1）采样控制系统是通过采样开关将连续的模拟量转换为离散量的，将开关闭合期间模拟量的传输称为采样。按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样，叫做信号的采样。 （2）在控制系统中，有一处或几处的信号是时间t的离散函数的控制系统称为离散控制系统。离散信号通常是按照一定的时间间隔对连续的模拟信号进行采样而得到的，故又称为采样信号。相应的离散系统亦称为采样控制系统。 连续控制系统每处的信号都是时间t的连续函数，而采样控制系统有一处或几处的信号是时间t 的离散函数。 （3）按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称之为采样过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关。

自动控制原理例题详解线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案样本

------------------------------ 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω不不大于信号最高有效频率h ω2倍时，可以从采样信号)(* t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是至少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数至少，且在采样时刻上无稳态误差随动系统。 3．(3分)简述线性定常离散系统稳定性定义及充要条件。 解：若系统在初始扰动影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称系统稳定。稳定充要条件是：所有特性值均分布在Z 平面单位圆内。 4．（3分）已知X(z)如下，试用终值定理计算x (∞)。 ) 5.0)(1()(2 +--= z z z z z X 解： 通过验证(1)X()z z -满足终值定理使用条件，因而， 2 1 1 x()lim(1)X()lim 20.5 z z z z z z z →→∞=-==-+。 5．(5分)已知采样周期T =1秒，计算G (z ) = Z [G h (s )G 0(s ) ]。 ) 2)(1(1 e 1)()()(0++-==-s s s s G s G s G Ts h 解：11 1 1211 11(1)(1e )()(1)Z[](1)()s s 11e (1e )e z z z G z z z z z z z --------=--=--=+---++ 6．(5分) 已知系统差分方程、初始状态如下： )k (1)(8)1(6)2(=++-+k c k c k c ，c(0)=c(1)=0。 试用Z 变换法计算输出序列c (k )，k ≥ 0。 解：

自动控制原理例题详解-线性离散控制系统的分析与设计考习题及答案

精心整理 ----------2007-------------------- 一、(22分)求解下列问题： 1. (3分)简述采样定理。 解：当采样频率s ω大于信号最高有效频率h ω的2倍时，能够从采样信号)(*t e 中 完满地恢复原信号)(t e 。（要点：h s ωω2>）。 2．(3分)简述什么是最少拍系统。 解：在典型输入作用下，能以有限拍结束瞬态响应过程，拍数最少，且在采样时刻 3．(3 4．（解：x()∞5．(5解：(G 6．(5 解： 二、（c (i X s ) z 图1 1．（5分）试求系统的闭环脉冲传递函数 () () o i X z X z ；

2．（5分）试判断系统稳定的K 值范围。 解：1. 101 1 1 1 1 1 1()(1)(1)11(1)1(1)(1e 11e 1G G z z Z s s z Z s s z z z z z z z e -------?? =-?? +????=--??+?? =-----=---= 1 10101111111 1e () ()e 1e ()1()1e (1e )(e )(1e )(1e )e e o i K X z KG G z z X z KG G z K z K z K K z K K ------------== -++--=-+--=-+- 2．（5 三、(8 已知一、求解下列问题： 1．(3分) 简述离散系统与连续系统的主要区别。 解：连续系统中，所有信号均为时间的连续函数；离散系统含有时间离散信号。 2．(3分) 简述线性定常离散系统的脉冲传递函数的定义。 解：在系统输入端具有采样开关，初始条件为零时，系统输出信号的Z 变换与输入信号的Z 变换之比。 3．(3分) 简述判断线性定常离散系统稳定性的充要条件。 解：稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。 4．(5分) 设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数)(z G 。