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高等数学教材

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一、函数与极限

1、集合的概念

一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N

⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。

集合的表示方法

⑵ 、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”

括起来表示集合

⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系

⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。

⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A 与集合B相等,记作A=B。

⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论:

①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A

②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。

③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。

集合的基本运算

⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。)

即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。

⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。

即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。

⑶、补集:

①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集,记作C U A。

即C U A={x|x∈U,且x?A}。

集合中元素的个数

⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。

⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A={a,b,c},则card(A)=3。

⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有

card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)

我的问题:

1、学校里开运动会,设A={x|x是参加一百米跑的同学},B ={x|x是参加二百米跑的同学},C={x|x是参加四百米跑的同学}。学校规定,每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项,请你用集合的运算说明这项规定,并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B;

⑵、A∩B。

2、在平面直角坐标系中,集合C={(x,y)|y=x}表示直线y=x,从这个角度看,集合D={(x,y)|方程组:2x-y=1,x+4y=5}表示什么?集合C、D之间有什么关系?请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。

3、已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0}。试判断B是不是A的子集?是否存在实数a使A=B成立?

4、对于有限集合A、B、C,能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢?

5、无限集合A={1,2,3,4,…,n,…},B={2,4,6,8,…,2n,…},你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗?

2、常量与变量

⑴、变量的定义:我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量;有的量在过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,我们则把其称之为变量。注:在过程中还有一种量,它虽然是变化的,但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的,我们则把它看作常量。

⑵、变量的表示:如果变量的变化是连续的,则常用区间来表示其变化范围。在数轴上来说,区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。

以上我们所述的都是有限区间,除此之外,还有无限区间: [a ,+∞):表示不小于a 的实数的全体,也可记为:a≤x<+∞; (-∞,b):表示小于b 的实数的全体,也可记为:-∞<x <b ; (-∞,+∞):表示全体实数,也可记为:-∞<x

<+∞ 注:其中-∞和+∞,分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。

⑶、邻域:设α与δ是两个实数,且δ>0.满足不等式│x -α

│<δ的实数x 的全体称为点α的

δ邻域,点α称为此邻域的中心,δ称为此邻域的半径。

2、函数

⑴、函数的定义:如果当变量x

在其变化范围内任意取定一个数值时,量y 按照一定的法则f 总有确定的数值与它对应,则称y 是x 的函数。变量

x 的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x 叫做自变量,y 叫做函数值(或因变量),变量y 的变化范围叫做这个函数的值域。注:为了表明y 是x 的函数,我们用记号y=f(x)

、y=F(x)等等来表示。这里的字母

"f"、"F"表示y 与x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。如果自变量在定义域内任取一个确定的值时,函数只有一个确定的值和它对应,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。

⑵、函数相等

由函数的定义可知,一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,我们就称两个函数相等。

⑶、域函数的表示方法

a):解析法:用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例:直角坐标系中,半径为r 、圆心在原点的圆的方程是:x 2

+y 2

=r

2

b):表格法:将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例:在实际应用中,我们经常会用到的平方表,三角函数表等都是用表格法表示的函数。

c):图示法:用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量,纵坐标表示因变量。例:直角坐标系中,半径为r 、圆心在原点的圆用图示法表示为:

3、函数的简单性态

⑴、函数的有界性:如果对属于某一区间I 的所有x 值总有│f(x)│≤M 成立,其中M 是一个与x 无关的常数,那么我们就称f(x)在区间I 有界,否则便称无界。

注:一个函数,如果在其整个定义域内有界,则称为有界函数 例题:函数cosx 在(-∞,+∞)内是有界的. ⑵、函数的单调性:如果函数

在区间(a,b)内随着x 增大

而增大,即:对于(a,b)内任意两点x 1及x 2,当x 1<x 2时,有

,则称函数

在区间(a,b)内是单调增加的。

如果函数

在区间(a,b)内随着x 增大而减小,即:对于(a,b)

内任意两点x 1及x 2,当x 1<x 2时,有

,则称函数

在区间(a,b)内是单调减小的。 例题:函数

=x 2

在区间(-∞,0)上是单调减小的,在区间

(0,+∞)上是单调增加的。

⑶、函数的奇偶性 如果函数对于定义域内的任意x 都满足=

,则

叫做偶函数;如果函数对于定义域内的任

意x 都满足=-,则

叫做奇函数。

注:偶函数的图形关于y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称。 ⑷、函数的周期性 对于函数

,若存在一个不为零的数l ,使得关系式对于定义域内任何x 值都成立,则

叫做周

期函数,l 是

的周期。

注:我们说的周期函数的周期是指最小正周期。 例题:函数

是以2π为周期的周期函数;函数tgx

是以π为周期的周期函数。

4、反函数

⑴、反函数的定义:设有函数,若变量y在函数的值域内任取一值y0时,变量x在函数的定义域内必有一值x0与之对

应,即,那末变量x是变量y的函数.

这个函数用

来表示,称为函数的反函数.

注:由此定义可知,函数也是函数的反函数。

⑵、反函数的存在定理:若在(a,b)上严格增(减),其值域为R,则它的反函数必然在R上确定,且严格增(减).

注:严格增(减)即是单调增(减)

例题:y=x2,其定义域为(-∞,+∞),值域为[0,+∞).对于y取

定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件,由y的值就不能唯一确定x的值,也就是在区间(-∞,+∞)上,函数不是严格增(减),

故其没有反函数。如果我们加上条件,要求x≥0,则对y≥0、x=

就是y=x2在要求x≥0时的反函数。即是:函数在此要求下严格增(减).

⑶、反函数的性质:在同一坐标平面内,

的图形是关于直线y=x对称的。

例题:函数与函数互为反函数,则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。如右图所示:

5、复合函数

复合函数的定义:若y是u 的函数:,而u又是x

的函数:

,且

的函数值的全部或部分在的

定义域内,那末,y通过u的联系也是x的函数,我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数,简称复合函数,记作,其中u叫做中间变量。

注:并不是任意两个函数就能复合;复合函数还可以由更多函数构成。

例题:函数与函数是不能复合成一个函数的。

因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应

的u值(都大于或等于2),使都没有定义。

6、初等函数

⑴、基本初等函数:我们最常用的有五种基本初等函数,分别是:指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下:

a为任意实数

(

正弦函数)

(反正弦函

⑵、初等函数:由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.

例题:

是初等函数。

7、双曲函数及反双曲函数

⑴、双曲函数:在应用中我们经常遇到的双曲函数是:(用表格来描述)

我们再来看一下双曲函数与三角函数的区别:

双曲函数也有和差公式:

⑵、反双曲函数:双曲函数的反函数称为反双曲函数.

a):反双曲正弦函数 其定义域

为:(-∞,+∞);

b):反双曲余弦函数 其定义域

为:[1,+∞);

c):反双曲正切函数

其定义域为:

(-1,+1); 8、数列的极限 我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。

⑴、数列:若按照一定的法则,有第一个数a 1,第二个数a 2,…,依次排列下去,使得任何一个正整数n 对应着一个确定的数a n ,那

末,我们称这列有次序的数a 1,a 2,…,a n ,…为数列.数列中的每一个数叫做数列的项。第n 项a n 叫做数列的一般项或通项. 注:我们也可以把数列a n 看作自变量为正整数n 的函数,即:

a n =

,它的定义域是全体正整数

⑵、极限:极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。

例:我们可通过作圆的内接正多边形,近似求出圆的面积。

设有一圆,首先作圆内接正六边形,把它的面积记为A1;再作圆的内接正十二边形,其面积记为A2;再作圆的内接正二十四边形,其面积记为A3;依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为

A n)可得一系列内接正多边形的面积:A1,A2,A3,…,An,…,它们就构成一列有序数列。我们可以发现,当内接正多边形的边数无限增加时,An也无限接近某一确定的数值(圆的面积),这个确定的数值在数学上被称为数列A1,A2,A3,…,An,…当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限。

注:上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。

⑶、数列的极限:一般地,对于数列来说,若存在任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在正整数N,使得

对于n>N 时的一切不等式都成立,那末就称常数a 是数列的极限,或者称数列收敛于a .

记作:或

注:此定义中的正数ε只有任意给定,不等式才

能表达出与a无限接近的意思。且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的,它是随着ε的给定而选定的。

⑷、数列的极限的几何解释:在此我们可能不易理解这个概念,下面我们再给出它的一个几何解释,以使我们能理解它。数列极

限为a的一个几何解释:将常数a 及数列在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε,a+ε),如下图所示:

因不等式与不等式等价,故当

n>N时,所有的点都落在开区间(a-ε,a+ε)内,而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。

注:至于如何求数列的极限,我们在以后会学习到,这里我们不作讨论。

⑸、数列的有界性:对于数列,若存在着正数M ,使得一切

都满足不等式││≤M,则称数列是有界的,若正数M不存在,则可说数列是无界的。

定理:若数列收敛,那末数列一定有界。

注:有界的数列不一定收敛,即:数列有界是数列收敛的必要条件,但不是充分条件。例:数列 1,-1,1,-1,…,(-1)n+1,…是有界的,但它是发散的。

9、函数的极限

前面我们学习了数列的极限,已经知道数列可看作一类特殊的函数,即自变量取1→∞内的正整数,若自变量不再限于正整数的顺序,而是连续变化的,就成了函数。下面我们来学习函数的极限.

函数的极值有两种情况:a):自变量无限增大;b):自变量无限接近某一定点x0,如果在这时,函数值无限接近于某一常数A,就叫做函数存在极值。我们已知道函数的极值的情况,那么函数的极限如何呢?

下面我们结合着数列的极限来学习一下函数极限的概念!

⑴、函数的极限(分两种情况)

a):自变量趋向无穷大时函数的极限

定义:设函数,若对于任意给定的正数ε(不论其多么小),总存在着正数X,使得对于适合不等式

的一切x,所对应的函数值都满足不等式

那末常数A 就叫做函数当x→∞时的极限

,记作:

下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下:

存在数列与常数

的所有都满足

<则称数列,

记:。

存在函数

适合的一切

满足,函

数当

从上表我们发现了什么??试思考之

b):自变量趋向有限值时函数的极限。我们先来看一个例子.

例:函数,当x→1时函数值的变化趋势如何?函数在x=1处无定义.我们知道对实数来讲,在数轴上任何一个有限的范围内,都有无穷多个点,为此我们把x→1时函数值的变化趋势用表列出,如下图

:

从中我们可以看出x→1时,→2.而且只要x与1有多接近,就与2有多接近.或说:只要与2只差一个微量ε,就一定可以找到一个δ,当<δ时满足<δ定义:设函数在某点x0的某个去心邻域内有定义,且存在数A,

如果对任意给定的ε(不论其多么小),总存在正数δ,当0

<δ时,<ε则称函数当x→x0时存在

极限,且极限为A ,记:。

注:在定义中为什么是在去心邻域内呢?这是因为我们只讨论x→x0的过程,与x=x0出的情况无关。此定义的核心问题是:对给出的ε,是否存在正数δ,使其在去心邻域内的x均满足不等式。

有些时候,我们要用此极限的定义来证明函数的极限为 A,其证明方法是怎样的呢?

a):先任取ε>0;

b):写出不等式<ε;

c):解不等式能否得出去心邻域0<<δ,若能;

d):则对于任给的ε>0,总能找出δ,当0<<δ

时,

<ε成立,因此.。

10、函数极限的运算规则

前面已经学习了数列极限的运算规则,我们知道数列可作为一类特殊的函数,故函数极限的运算规则与数列极限的运算规则相似。

⑴、函数极限的运算规则

若已知x→x0(或x→∞)时,.

则:

推论

在求函数的极限时,利用上述规则就可把一个复杂的函数化为若干个简单的函数来求极限。

例题:求

解答

例题:求

此题如果像上题那样求解,则会发现此函数的极限不存在.我们通过观察可以发现此分式的分子和分母都没有极限,像这种情况怎么办呢?下面我们把它解出来。

解答:

注:通过此例题我们可以发现:当分式的分子和分母都没有极限时就不能运用商的极限的运算规则了,应先把分式的分子分母转化为存在极限的情形,然后运用规则求之。

函数极限的存在准则

学习函数极限的存在准则之前,我们先来学习一下左、右的概念。

我们先来看一个例子:

例:符号函数为

对于这个分段函数,x从左趋于0和从右趋于0时函数极限是不相同的.为此我们定义了左、右极限的概念。

定义:如果x仅从左侧(x<x0)趋近x0时,函数与常量A

无限接近,则称A

为函数

当时的左极限.

记:如果x仅从右侧(x>x0)趋近x0时,函数与常量A无限接

近,则称A为函

当时的右极限.记

注:只有当x→x0时,函数的左、右极限存在且相等,方称在x→x0时有极限

函数极限的存在准则

准则一:对于点x0的某一邻域内的一切x,x0点本身可以除外(或

绝对值大于某一正数的一切x)

,且

那末存在,且等于A

注:此准则也就是夹逼准则.

准则二:单调有界的函数必有极限.

注:有极限的函数不一定单调有界

两个重要的极限

一:

注:其中e为无理数,它的值为:e=2.718281828459045...

二:

注:在此我们对这两个重要极限不加以证明.

注:我们要牢记这两个重要极限,在今后的解题中会经常用到

它们.

例题:求

解答:令,则x=-2t,因为x→∞,故t→∞,

注:解此类型的题时,一定要注意代换后的变量的趋向情况,

象x→∞时,若用t代换1/x,则t→0.

无穷大量和无穷小量

无穷大量

我们先来看一个例子:

已知函数,当x→0时,可知,我们

把这种情况称为趋向无穷大。为此我们可定义如下:设有函

数y=,在x=x0的去心邻域内有定义,对于任意给定的正数N(一

个任意大的数),总可找到正数δ,当

时,成立,则称函数当

时为无穷大量。

记为:(表示为无穷大量,实际它是没有极限

的)

同样我们可以给出当x→∞时,无限趋大的定义:设有函

数y=,当x充分大时有定义,对于任意给定的正数N(一个任

意大的数),总可以找到正数M ,当时,成立,

则称函数当x→∞时是无穷大量,记为:。

无穷小量

以零为极限的变量称为无穷小量。

定义:设有函数,对于任意给定的正数ε(不论它多么

小),总存在正数δ(或正数M),使得对于适合不等

(或)的一切x,所对应的函数值满足不等

式,则称函数当(或x→∞)时为无穷小

量.

记作:(或)

注意:无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量,不是常量,

只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是:

前者无界,后者有界,前者发散,后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。

关于无穷小量的两个定理

定理一:如果函数在(或x→∞)时有极限A,则

差是当(或x→∞)时的无穷小量,反之亦成立。

定理二:无穷小量的有利运算定理

a):有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量; b):有限个无穷小量的积仍是无穷小量;c):常数与无穷小量的积也是无穷小量.

无穷小量的比较

通过前面的学习我们已经知道,两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢?好!接下来我们就来解决这个问题,这就是我们要学的两个无穷小量的比较。

定义:设α,β都是时的无穷小量,且β在x0的去心领域内不为零,

a):如果,则称α是β的高阶无穷小或β是α的低阶无穷小;

b):如果,则称α和β是同阶无穷小;

c):如果,则称α和β是等价无穷小,记作:α∽β(α与β等价)

例:因为,所以当x→0时,x与3x是同阶无穷小;

因为,所以当x→0时,x2是3x的高阶无穷小;

因为,所以当x→0时,sinx与x是等价无穷小。

等价无穷小的性质

设,

且存在,

.

注:这个性质表明:求两个无穷小之比的极限时,分子及分母

都可用等价无穷小来代替,因此我们可以利用这个性质来简化求极

限问题。

例题:1.求

解答:当x→0时,sin ax∽ax,tan bx∽bx,故

例题: 2.求

解答

注:

注:从这个例题中我们可以发现,作无穷小变换时,要代换式

中的某一项,不能只代换某个因子。

函数的一重要性质——连续性

在自然界中有许多现象,如气温的变化,植物的生长等都是连

续地变化着的.这种现象在函数关系上的反映,就是函数的连续性

在定义函数的连续性之前我们先来学习一个概念——增量

设变量x从它的一个初值x1变到终值x2,终值与初值的差x2-x1

就叫做变量x的增量,记为:△x即:△x=x2-x1增量△x可正可负.

我们再来看一个例子:函数在点x0的邻域内有定义,

当自变量x在领域内从x0变到x0+△x时,函数y 相应地从变

到,其对应的增量为:

这个关系式的几何解释如下图:

现在我们可对连续性的概念这样描述:如果当△x趋向于零时,

函数y对应的增量△y 也趋向于零,即:,那末就称

函数在点x0处连续。

函数连续性的定义:

设函

数在点x0的某个邻域内有定义,如果有

称函数在点x0处连续,且称x0为函数的的连续点.

下面我们结合着函数左、右极限的概念再来学习一下函数左、

右连续

的概念:设函数在区间(a,b]

内有定义,如果左极限

存在且等于,即:=,那末我

们就称函数在点b左连续.设函数在区间[a,b)内有定

义,如果右极限

存在且等于,即:

=,那末我们就称函数在点a右连续.

一个函数在开区间(a,b)内每点连续,则为在(a,b)连续,若又在

a点右连续,b点左连续,则在闭区间[a,b]连续,如果在整个定义

域内连续,则称为连续函数。

注:一个函数若在定义域内某一点左、右都连续,则称函数在

此点连续,否则在此点不连续.

注:连续函数图形是一条连续而不间断的曲线。

通过上面的学习我们已经知道函数的连续性了,同时我们可以

想到若函数在某一点要是不连续会出现什么情形呢?接着我们就来

学习这个问题:函数的间断点

函数的间断点

定义:我们把不满足函数连续性的点称之为间断点.

它包括三种情

形:a):在x0无定义;

b):在x→x0时无极限;

c):在x→x0

时有极限但不等于

下面我们通过例题来学习一下间断点的类型:

例1:正切函数在

处没有定义,所以点

是函数的间断点,因,我们就

称为函数的无穷间断点;

例2:函数在点x=0处没有定义;故当x→0时,函

数值在-1与+1之间变动无限多次,我们就称点x=0

叫做函数

的振荡间断点;

例3:函数当x→0

时,左极限

,右极限,从这我们可以看出函

数左、右极限虽然都存在,但不相等,故函数在点x=0是不存在极

限。我们还可以发现在点x=0时,函数值产生跳跃现象,为此我们

把这种间断点称为跳跃间断点;我们把上述三种间断点用几何图形

表示出来如下

:

间断点的分类

我们通常把间断点分成两类:如果x0是函数的间断点,

且其左、右极限都存在,我们把x0称为函数的第一类间断点;

不是第一类间断点的任何间断点,称为第二类间断点.

可去间断点

若x0是函数的间断点,但极限存在,那末x0

是函数的第一类间断点。此时函数不连续原因是:不

存在或者是存在

≠。我们

,则可使函数在点x0处连续,故这种间

断点x0称为可去间断点。

连续函数的性质及初等函数的连续性

连续函数的性质

函数的和、积、商的连续性

我们通过函数在某点连续的定义和极限的四则运算法则,可得

出以下结论:

a):有限个在某点连续的函数的和是一个在该点连续的函数;

b):有限个在某点连续的函数的乘积是一个在该点连续的函数;

c):两个在某点连续的函数的商是一个在该点连续的函数(分母在该点不为零);

反函数的连续性

若函数在某区间上单调增(或单调减)且连续,那末

它的反函数也在对应的区间上单调增(单调减)且连续

例:

函数

在闭区间上单调增且连续,故

它的反函数在闭区间[-1,1]上也是单调增且连续的。

复合函数的连续性

设函

数当x→x0时的极限存在且等于a,即

.而函数在点u=a

连续,那末复合函数

当x→x0时的极限也存在且等

于.即

例题:求

解答:

注:函

数可看

复合而成,且函数在点u=e连续,因此可

得出上述结论。

设函数在点x=x0

连续,且

,而函数

在点u=u0连续,那末复合函数在点x=x0

也是连续的

初等函数的连续性

通过前面我们所学的概念和性质,我们可得出以下结论:基本

初等函数在它们的定义域内都是连续的;一切初等函数在其定义域

内也都是连续的.

闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数则是在其连续区间的左端点右连续,右端

点左连续.对于闭区间上的连续函数有几条重要的性质,下面我们来

学习一下:

最大值最小值定理:在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。

(在此不作证明)

例:函数y=sinx在闭区间[0,2π]上连续,则在点x=π/2处,

它的函数值为1,且大于闭区间[0,2π]上其它各点出的函数值;则

在点x=3π/2处,它的函数值为-1,且小于闭区间[0,2π]上其它

各点出的函数值。

介值定理在闭区间上连续的函数一定取得介于区间两端点

的函数值间的任何值。即:,μ在α、β

之间,则在[a,b]间一定有一个ξ,使

推论:在闭区间连续的函数必取得介于最大值最小值之间的

任何值。

二、导数与微分

导数的概念

在学习到数的概念之前,我们先来讨论一下物理学中变速直线

运动的瞬时速度的问题。例:设一质点沿x轴运动时,其位置x是

时间t 的函数,,求质点在t0的瞬时速度?我们知道时

间从t0有增量△t时,质点的位置有增量

,这就是质点在时间段△t的位移。因

此,在此段时间内质点的平均速度为:.若质

点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度,若质点是非匀速直线运

动,则这还不是质点在t0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无

限地接近于0时,此平均速度会无限地接近于质点t0时的瞬时速度,

即:质点在t0时的瞬时速度

=为此就产生了导数的定

义,如下:

导数的定义:设函数在点x0的某一邻域内有定义,

当自变量x在x0处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时,相应地函数

有增量,若△y与△x之比当△x→0

时极限存在,则称这个极限值为在x0处的导数

。记为:

还可记为:,

函数在点x0处存在导数简称函数在点x0处可导,

否则不可导。若函数在区间(a,b)

内每一点都可导,就称函数

在区间(a,b)

内可导。这时函数对于区间(a,b)内

的每一个确定的x值,都对应着一个确定的导数,这就构成一个新的函数,我们就称这个函数为原来函数的导函数。

注:导数也就是差商的极限

左、右导数

前面我们有了左、右极限的概念,导数是差商的极限,因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限存在,我们就称它为函数在x=x0处的左导数。若极限存在,我们就称它为函数在x=x0处的右导数。

注:

函数在x0

处的左右导数存在且相等是函数

在x0处的可导的充分必要条件

函数的和、差求导法则

函数的和差求导法则

法则:两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和

(差).用公式可写为:。其中u、v为可导函数。

例题:已知,求

解答

例题:已知,求

解答

函数的积商求导法则

常数与函数的积的求导法则

法则:在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时,常数因

子可以提到求导记号外面去。用公式可写成:

例题:已知,求

解答

函数的积的求导法则

法则:两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二

个因子,加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成:

例题:已知,求

解答

注:若是三个函数相乘,则先把其中的两个看成一项。

函数的商的求导法则

法则:两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘

积减去分母导数与分子导数的乘积,在除以分母导数的平方。用公

式可写成:

例题:已知,求

解答:

复合函数的求导法则

在学习此法则之前我们先来看一个例子!

例题:求=?

解答:

由于

,故这

个解答正确吗?

这个解答是错误的,正确的解答应该如下:

我们发生错误的原因是是对自变量x求导,而不是对

2x求导。

下面我们给出复合函数的求导法则

复合函数的求导规则

规则:两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中

间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。用公式表示为:

,其中u为中间变量

例题:已知,求

解答:

设,

则可分解

,因此

注:在以后解题中,我们可以中间步骤省去。

例题:已知,求

解答:

反函数求导法则

根据反函数的定义,函数为单调连续函数,则它的

反函数,它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求

导法则,如下(我们以定理的形式给出):

定理:若

是单调连续的,且,则它的反

函数在点x可导,且有:

注:通过此

定理我们可以发现:反函数的导数等于原函数导数的倒数。注:这

里的反函数是以y为自变量的,我们没有对它作记号变换。

即:

是对y 求导,是对x求导

例题:求的导数.

解答:此函数的反函数为,故则:

例题:求的导数.

解答:此函数的反函数为,故则:

高阶导数

我们知道,在物理学上变速直线运动的速度v(t)是位置函数s(t)

对时间t的导数,即:

,而加速度a又是速度v对时间t

的变化率,即速度v对时间t的导数:

,或

。这种导数的导数叫做s对t的二阶导数。下

面我们给出它的数学定义:

定义:函数的导数仍然是x的函数.我

们把的导数叫做函数的二阶导数,记作

或,即

或.相应地,

的导数

叫做函数的一阶导数.

类似地,二阶导数的导数,叫做三阶导数,三阶导数的导数,叫做

四阶导数,…,一般地(n-1)阶导数的导数叫做n阶导数.

分别记作:,,…,或,,…,

二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。由此可见,求高阶导数

就是多次接连地求导,所以,在求高阶导数时可运用前面所学的求

导方法。

例题:已知,求解答:因为=a ,故=0

例题:求对数函数的n阶导数。

解答:,

一般地,可得

隐函数及其求导法则

我们知道用解析法表示函数,可以有不

同的形式.若函数y可以用含自变量x的算

式表示,像y=sinx,y=1+3x等,这样的函数叫显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数.

一般地,如果方程F(x,y)=0中,令x 在某一区间内任取一值时,相应地总有满足此方程的y值存在,则我们就说方程F(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y.把一个隐函数化成显函数的形式,叫做隐函数的显化。注:有些隐函数并不是很容易化为显函数的,那么在求其导数时该如何呢?下面让我们来解决这个问题!

隐函数的求导

若已知F(x,y)=0,求时,一般按下列步骤进行求解:

a):若方程F(x,y)=0,能化为的形式,则用前面我们所学的方法进行求导;

b):若方程F(x,y)=0,不能化为的形式,则是方程

两边对x进行求导,并把y看成x 的函数,用复合函数求导法则进行。

例题:已知,求

解答:此方程不易显化,故运用隐函数求导法.两边对x进行求

导,

,,故

=

注:我们对隐函数两边对x进行求导时,一定要把变量y看成x 的函数,然后对其利用复合函数求导法则进行求导。

例题:求隐函数,在x=0处的导数

解答:两边对x求

导,

,当x=0时,y=0.故。

有些函数在求导数时,若对其直接求导

有时很不方便,像对某些幂函数进行求导

时,有没有一种比较直观的方法呢?下面我

们再来学习一种求导的方法:对数求导法

对数求导法

对数求导的法则:根据隐函数求导的方

法,对某一函数先取函数的自然对数,然后

在求导。注:此方法特别适用于幂函数的求

导问题。

例题:已知x>0,求

此题若对其直接求导比较麻烦,我们可以先对其两边取自然对数,然后再把它看成隐函数进行求导,就比较简便些。如下

解答:先两边取对数:

,把其看成隐函数,再两边求导

为,所

例题:已知,求

此题可用复合函数求导法则进行求导,但是比较麻烦,下面我们利用对数求导法进行求导

解答:先两边取对数

再两

边求

导因

,所

函数的微分

学习函数的微分之前,我们先来分析一

个具体问题:一块正方形金属薄片受温度变

化的影响时,其边长由x0变到了x0+△x,则

此薄片的面积改变了多少?

解答:设此薄片的边长为x,面积为A,则A是x 的函数:

薄片受温度变化的影响面积的改变量,可以看成是当自变量x从x0

取的增量△x时,函数A相应的增量△A,即

。从上式我们可以看

出,△A 分成两部分,第一部分是△x的线性函数,即下图

中红色部分;第二部

分即图中的黑色部分

当△x→0时,它是△x的高阶无穷

小,表示为:

由此我们可以发现,如果边长变化的很小时,面积的改变量可

以近似的用地一部分来代替。下面我们给出微分的数学定义:

函数微分的定义:设函数在某区间内有定义,x0及x0+△x在这

区间内,若函数的增量可表示为,其中A是

不依赖于△x

的常数,是△x

的高阶无穷小,则称函数

在点x0可微的。叫做函数在点x0相应

于自变量增量△x的微分,记作dy ,即:=。

通过上面的学习我们知道:微分是自变量改变量△x的线性

函数,dy与△y 的差是关于△x的高阶无穷小量,我们把dy

称作△y的线性主部。于是我们又得出:当△x→0时,△y≈dy.导

数的记号为:

,现在我们可以发现,它不仅表示导数

的记号,而且还可以表示两个微分的比值(把△x看成dx,即:定义自

变量的增量等于自变量的微分),还可表示为:

由此我们得出:若函数在某区间上可导,则它在此区间上一定

可微,反之亦成立。

微分形式不变性

什么是微分形式不边形呢?

设,则复合函数的微分为:

由于,故我们可以把复合函数的微分写成

由此可见,不论u 是自变量还是中间变量,的微分dy 总可以用与du的乘积

我们把这一性质称为微分形式不变性。

例题:已知,求dy

解答:把2x+1看成中间变量u,根据微分形式不变性,则

通过上面的学习,我们知道微分与导数有着不可分割的联系,前面我们知道基本初等函数

导数

的运算法则,那么基本初等函数的微分公式和微分运算法则是怎样的呢?

下面我们来学习———基本初等函数的微分公式与微分的运算法则

基本初等函数的微分公式与微分的运算法则

基本初等函数的微分公式

由于函数微分的表达式为:,于是我们通过基本初

微分公式

设对故其近似值为1.025(精确值为1.024695)

三、导数的应用

微分学中值定理

在给出微分学中值定理的数学定义之前,我们先从几何的角度看一个问题,如下:

设有连续函数,a与b是它定义区间内的两点(a<b),

(a,b)处处可导,也就是在(a,b)内的函数图形上处处

差商就是割线AB的斜率,若我们把割线AB作平行于自身的移动,那么至少有一次机会达到离割线最远的一

点P(x=c)处成为曲线的切线,而曲线的斜率为,由于切线与

割线是平行的,因此

成立。

在闭区间[a,b]上连续,

(a,b)内可导,那末在(a,b)内至少

c,

成立。

这个定理的特殊情形,即:的情形,称为罗尔定理。描述如下:

若在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)

内可导,且

,那末在(a,b)内至少有一点c,使成立。注:这个定理是罗尔在17世纪初,在微积分发明之前以几何的形式提出来的。

注:在此我们对这两个定理不加以证明,若有什么疑问,请参考相关书籍

下面我们在学习一条通过拉格朗日中值定理推广得来的定理——柯西中值定理

柯西中值定理

如果函数,在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,

b)内可导,且≠0,那末在(a,b)内至少有一点c

,使

成立。

例题:证明方程在0与1之间至少有一个实根

证明:不难发现方程左端

是函数

的导数:

函数在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且,由罗尔定理

可知,在0与1之间至少有一点c ,使

,即

也就是:方程在0与1之间至少有一个实根

未定式问题

问题:什么样的式子称作未定式呢?

答案:对于函数,来说,当x→a(或x→∞)时,函数,都趋于零或无穷大

则极限可能存在,也可能不存在,

我们就把式子称为未定式。分别记为型

我们容易知道,对于未定式的极限求法,

是不能应用"商的极限等于极限的商"这个

法则来求解的,那么我们该如何求这类问题

的极限呢?

下面我们来学习罗彼塔(L'Hospital)法则,它就是这个问题的答案

注:它是根据柯西中值定理推出来的。

罗彼塔(L'Hospital)法则

当x→a(或x→∞)时,函数,都趋于零或无穷大,在点a的某个去心邻域内(或当│x│>N)时,与都存

在,≠0,且存在

则:=

这种通过分子分母求导再来求极限来确定未定式的方法,就是所谓的罗彼塔(L'Hospital)法则

注:它是以前求极限的法则的补充,以前利用法则不好求的极限,可利用此法则求解。

例题:求

解答:容易看出此题利用以前所学的法则是不易求解的,因为它

是未定式中的型求解问题,因此我们就可以利用上面所学的法则了。

例题:求

解答:此题为未定式中的型求解问题,利用罗彼塔法则来求解

另外,若遇到、、

等型,通常

是转化为型后,在利用法则求解。

例题:求

解答:此题利用以前所学的法则是不好求解的,它为型,故可先将其转化为型后在求解,

注:罗彼塔法则只是说明:对未定式来说,当存在,

则存在且二者的极限相同;而并不是不存

在时,也不存在,此时只是说明了罗彼塔法则存在的条件破列。

函数单调性的判定法

函数的单调性也就是函数的增减性,怎样才能判断函数的增减性呢?

我们知道若函数在某区间上单调增(或减),则在此区间内函数图形上切线的斜率均为正(或负),也就是函数的导数在此区间上均取

正值(或负值).因此我们可通过判定函数导数的正负来判定函数的

增减性.

判定方法:

设函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.

a):如果在(a,b)内>0,那末函数在[a,b]上单调增加;

b):如果在(a,b)内<0,那末函数在[a,b]上单调减少.

例题:确定函数的增减区间.

解答:容易确定此函数的定义域为(-∞,+∞)

其导数为:,因此可以判出:

当x>0时,>0,故它的单调增区间为(0,+∞);

当x<0时,<0,故它的单调减区间为(-∞,0);注:此判定方法若反过来讲,则是不正确的。

函数的极值及其求法

在学习函数的极值之前,我们先来看一例子:

设有函数,容易知道点x=1及

x=2是此函数单调区间的分界点,又可知在点x=1左侧附近,函数值是单调增加的,在点x=1右侧附近,函数值是单调减小的.因此存在着点x=1的一个邻域,对于这个邻域内,任何点x(x=1除外),

<均成立,点x=2也有类似的情况(在此不多说),为什么这些点有这些性质呢?

事实上,这就是我们将要学习的内容——函数的极值,

函数极值的定义

设函数在区间(a,b)内有定义,x0是(a,b)内一点.

若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点x(x0点除外)

<均成立,

则说是函数的一个极大值;

若存在着x0点的一个邻域,对于这个邻域内任何点x(x0点除外)

>均成立,

则说是函数的一个极小值.

函数的极大值与极小值统称为函数的极值,使函数取得极值的点称为极值点。

我们知道了函数极值的定义了,怎样求函数的极值呢?

学习这个问题之前,我们再来学习一个概念——驻点

凡是使的x 点,称为函数的驻点。

判断极值点存在的方法有两种:如下方法一:

设函数在x0点的邻域可导,且.

情况一:若当x取x0左侧邻近值时,>0,当x取x0右侧邻近值时,<0,

则函数在x0点取极大值。

情况一:若当x取x0左侧邻近值时,<0,当x取x0右侧邻近值时,>0,

则函数在x0点取极小值。

注:此判定方法也适用于导数在x0点不存在的情况。

用方法一求极值的一般步骤是:

a):求;

b):求的全部的解——驻点;

c):判断在驻点两侧的变化规律,即可判断出函数的极值。

例题:求极值点

解答:

先求导数

再求出驻点:当时,x=-2、1、-4/5

判定函数的极值,如下图所示

方法二:

设函数在x0点具有二阶导数,且时

.

则:a):当<0,函数在x 0点取极大值; b):当>0,函数

在x 0点取极小值;

c):当

=0,其情形不一定,可由方法一来判定.

例题:我们仍以例1为例,以比较这两种方法的区别。 解答:上面我们已求出了此函数的驻点,下面我们再来求它的二阶导数。

,故此时的情形不确定,我们可由方法一来判定;

<0,故此点为极大值点;

>0,故此点为极小值点。 函数的最大值、最小值及其应用

在工农业生产、工程技术及科学实验中,常会遇到这样一类问题:

在一定条件下,怎样使"产品最多"、"用料最省"、"成本最低"等。 这类问题在数学上可归结为求某一函数的最大值、最小值的问题。

怎样求函数的最大值、最小值呢?前面我们已经知道了,函数的

极值是局部的。要求

在[a,b]上的最大值、最小值时,可求出

开区间(a,b)内全部的极值点,加上端点的值,从中取

得最大值、最小值即为所求。

例题:求函数,在区间[-3,3/2]的最大

值、最小值。

解答:

在此区间处处可导,

先来求函数的极值

,故x=±1,

再来比较端点与极值点的函数值,取出最大值与最小值即

为所求。

因为

故函数的最大值为

,函数的最小值为

例题:圆柱形罐头,高度H 与半径R 应怎样配,使同样容积下材料最省?

解答:由题意可知:为一常数,

面积

故在V 不变的条件下,改变R 使S 取最小值。

故:时,用料最省。

曲线的凹向与拐点

通过前面的学习,我们知道由一阶导数的正负,可以判定出函数的单调区间与极值,但是还不能进一步研究曲线的性态,为此我们还要了解曲线的凹性。

定义:

对区间I 的曲线作切线,如果曲线弧在所有切线的下面,则称曲线在区间I下凹,如果曲线在切线的上面,称曲线在区间I上凹。

曲线凹向的判定定理

定理一:设函数在区间(a,b)上可导,它对应曲线是向上凹(或向下凹)的充分必要条件是:

导数在区间(a,b)上是单调增(或单调减)。

定理二:设函数在区间(a,b)上可导,并且具有一阶导数和二阶导数;那末:

若在(a,b)内,>0,则在[a,b]对应的曲线是下凹的;

若在(a,b)内,<0,则在[a,b]对应的曲线是上凹的;

例题:判断函数的凹向

解答:我们根据定理二来判定。

因为,所以在函数的定义域(0,+∞)内,<0,

故函数所对应的曲线时下凹的。

拐点的定义

连续函数上,上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点。

拐定的判定方法

如果在区间(a,b)内具有二阶导数,我们可按下列步骤来判定的拐点。

(1):求;

(2):令=0,解出此方程在区间(a,b)内实根;

(3):对于(2)中解出的每一个实根x0,检查在x0左、

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时,12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课,它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习,要使学生获得:1、函数与极限;2、一元函数微积分学;3、向量代数与空间解析几何;4、多元函数微积分学; 5、无穷级数(包括傅立叶级数); 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时,要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力,还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课,分为高等数学A(一)、(二)、(三),总学时为90+72+54,学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明:教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述,要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念,掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念,掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则,了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理,柯西(Cauchy),审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,了解间断点的概念,并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理,最大最小值定理,一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念,理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法,掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理,了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质,掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质,了解函数可积的充分必要条件。

高等数学教材(较完整)

目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (4) 6、初等函数 (4) 7、双曲函数及反双曲函数 (5) 8、数列的极限 (6) 9、函数的极限 (6) 10、函数极限的运算规则 (7)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集,记作C U A。 即C U A={x|x∈U,且x?A}。 集合中元素的个数 ⑴、有限集:我们把含有有限个元素的集合叫做有限集,含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A={a,b,c},则card(A)=3。 ⑶、一般地,对任意两个集合A、B,有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题:

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一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学(1)课程导学

高等数学(1)课程导学 一、课程性质任务 《高等数学(1)》是广播电视大学理工科各专业的一门必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、符合社会主义市场经济要求的大专应用型人才服务的。 通过本课程的学习,使学生获得微积分的基本知识,培养学生的基本运算能力,增强学生用定性与定量相结合的方法处理实际问题的初步能力。 通过本课程的学习,要为学习理工科各专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。 二、课程的教学目的与要求 使学生对极限的思想和方法有初步认识,对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解,初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能,建立变量的思想,培养辩证唯物主义观点,并受到运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。 三、课程内容简介 课程内容包括: 第一章函数 主要内容有:函数概念、函数的简单性质、反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、以及常见的简单经济函数。 第二章极限与连续 本章的主要内容有:数列极限、函数极限、无穷小量及无穷大量、无究小量的运算性质、极限的四则运算法则、两个重要极限、函数的连续性与间断点。 第三章导数与微分 本章的主要内容有:导数概念及其几何意义、导数的基本公式及运算法则(导数的四则运算法则、复合函数求导法则,以及反函数、隐函数、取对数求导方法的举例)、高阶导数的概念及计算;微分的概念及计算、微分与导数的关系;导数在实际问题中的简单应用。 第四章导数的应用 本章的主要内容有:中值定理、洛必达法则、函数单调性及函数凹凸性的判别、极值的概念及判别、极值应用──求某些实际问题或几何问题中的最值。 第五章不积分学 本章的主要内容有:原函数与不定积分的概念、不定积分性质、基本积分公式、换元积分法和分部法,以及不定积分的简单经济应用。 第六章定积分及其应用 本章的主要内容有:定积分的概念及其性质、微积分基本定理、牛顿──菜布尼兹公式、定积分的换元积分法和分部积分法、广义积分的概念及计算、定积分在几何问题中的应用──求平面图形的面积、旋转体体积、定积分在日常生活中的应用。常微分方程简介(常微分方程的一般概念、可分离变量微分方程和一阶线性微分方程及其解法)。 第七章无穷级数

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高等数学教材

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

高等数学归纳笔记(全)

一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

(2020年编辑)大学高等数学教材

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A?B(或B?A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集:

有哪些好的高等数学书

有哪些好的高等数学、微积分的读物?修改 本人已大学毕业,大一的时候学过数学分析,大四的时候又重温了一遍。由于是理工科,数分学了不怎么用基本就忘了,而且要命的是,学了这么多数学课,对数学没有一个良好的感觉。 想好好研究一下最基础的微积分(以及概率论),请问有没有好的书推荐?谢谢^^ 最好是那种深入浅出,能够让我把以前学的东西融会贯通的读物,而不是普通的大学教材。有点像物理里面的《费曼物理学讲义》这样的性质修改 举报 4 条评论分享?邀请回答 按投票排序 按时间排序 12 个回答

傅渥成,《写在物理边上》https://www.wendangku.net/doc/4110456500.html,/RZlARNm… 风枫、王礼宏、piyou chen等人赞同 ?《微积分的历程:从牛顿到勒贝格》这一本的好处就在于它比一般那种最基本的科普书要稍稍难一点,从标题里提到了“勒贝格” 就能看出来,但是这本书又并不太难,例如比《重温微积分》等书要简单很多。 ?概率论的话,推荐《趣味随机问题》,但是这个有点像习题集,看的时候得自己边做边看才能有用。反而是一些统计相关的书读起来对提高概率论的思维有奇效,例如可以参考《女士品茶》《统计数字会撒谎》《赤裸裸的统计学》等书,这些里面也有许多关于概率的讨论。 ?如果觉得自己已经忘了大半了,想从实用的角度重新回顾一遍微积分,那么国内我其实推荐龚昇先生的《简明微积分》,这本书的特点就是先从实用的角度讲,最后再严格地讲,这个适合那些 结合着看一看能提高一下自己对微积分的理解,当然里面引用马克思的东西太多,老谈“主要矛盾”。 ?类似的短课程还有Gilbert Strang 的微积分讲座,时间很短可以稍稍看那个回顾一遍。如果时间长,可以看看臺大開放式課程

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学期 末考试 This manuscript was revised on November 28, 2020

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 一. 9分 ) 1、若在) ,(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题,每小题6分,总计24分 ) 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

考研高等数学教材

高等数学:同济大学编写的高等数学第6版高等教育出版社(绿色)最好别用第5版的,因为第6版的总复习题和考研题很接近,有的就是考研的真题,所以对你的前期复习有帮助。 线性代数:同济大学编写的线性代数第4版或第5版高等教育出版社(紫色) 或清华大学居于马编写的线性代数第2版清华大学出版社(黄色) 这两本都是教育部推荐的,同济的比较薄,内容紧凑;清华的比较厚,内容完整。建议你水平高的选同济的,水平一般的选清华的。另外线代的书,同济4版和5版都无所谓。 概率论与数理统计:浙江大学盛骤编写的概率论与数理统计第4版浙江大学出版社(蓝色) 还有一本是经济数学吴传生的概率论,虽说是经济数学但内容也不错,你可以实地考察一下,一般的书店都有。主要是吴传生这本书的习题,曾经有考题根据它改编过。 另外复习中还需要全书和题目,这个建议你去一些考研论坛看看别人的经验贴,我这里帮你把所有的辅导书列出来也没意思是吧,你根据自身的情况选一些适合自己的就可以了。 数学主要用李永乐的书,陈文灯的可以辅助一下。 高等数学:同济五版 线性代数:同济六版 概率论与数理统计:浙大三版 推荐资料: 1、李永乐考研数学3--数学复习全书+习题全解(经济类) 2、李永乐《经典400题》 3、《李永乐考研数学历年试题解析(数学三)真题》 考研数学规划: 课本+复习指导书+习题集+模拟题+真题= KO

复习资料来说:李永乐的不错,注重基础;陈文灯的要难一些。 经济类一般都用李永乐的(经济类数学重基础不重难度),基础好的话可以考虑下陈文灯的书。 李永乐的线性代数很不错陈文灯的高等数学很不错 文都考研 《高等数学》(上下册)第六版,同济大学数学系编,高等教育出版社出版;《高等数学过关与提高》(上下册),原子能出版社出版,适合理工类考生使用。 《微积分》吴传生主编,高等教育出版社出版;《微积分过关与提高》(上下册),原子能出版社出版,适合经济类考生使用。 《线性代数》第四版,同济大学数学系编,高等教育出版社出版;《线性代数过关与提高》,原子能出版社出版,适合所有考生使用。 《概率论与数理统计》第三版,盛骤等主编,高等教育出版社出版;《概率论与数理统计过关与提高》,原子能出版社出版;适合除数学二之外的其他考生使用。 数学复习必须打好第一步的基础,因为每年考研数学试题中有60%以上的题目都在考查考生对基础知识的理解与掌握,所以基础牢则数学赢,数学赢则考研胜! 考研, 用书, 英语: 1、《考研英语词汇词根+联想记忆法》作者 :俞敏洪出版社:群言出版社出

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高等数学教材完整 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数一 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。

清华大学高等数学期末考试

... 清华大学 2010- 2011 学年第一学期期末考试试卷( A 卷)考试科目:高等数学A(上)考试班级:2010 级工科各班 考试方式:闭卷命题教师: 大题一二三四五六总分 得分 得分评卷人 一 . 填空题(将正确答案填在横线上。本大题共 3 小题,每小题 3 分,总计 9 分) 1、若在( a, b)内,函数f ( x)的一阶导数 f (x)0 ,二阶导数 f ( x) 0 ,则函数 f (x) 在此区间内单调,曲线是的。 x t 22t 2确定函数 y d 2 y 2、设 2t 3 3t y(x) ,求2。 y dx 3、12cos 1 dx。 x x 得分评卷人 二. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号 中。本大题共 3 小题,每小题 3 分,总计 9 分)

... x 3 ax 2 x 4 1、设 lim x 1 A ,则必有 x 1 ( A)a 2, A 5 ; (B)a 4, A 10 ; (C )a 4, A 6 ; (D ) a 4,A 10 . 答 ( ) 2、设 f ( x) 1 ,则 f (x) 的一个原函数为 2 1 x ( A) arcsin x (B) arctanx 1 1 x 1 1 x (C ) ln 1 x (D) ln x 2 2 1 答 ( ) e x 3、设 f 为连续函数,又, F ( x) x 3 f (t) dt 则 F (0) ( A) e (B) f (1) (C)0 (D ) f (1) f (0) 答 ( ) 得分 评卷人 三 . 解答下列各题(本大题共 2 小题,每小题 5分,总计 10分) 1、求极限 lim e x e x 2 。 x 0 1 cos x 2、 y 1 ln 2 x , 求 y 。

高等数学教材1

目录 一、函数与极限 ·······························································································错误!未定义书签。 1、集合的概念 ·························································································错误!未定义书签。 2、常量与变量 ·························································································错误!未定义书签。 2、函数 ·····································································································错误!未定义书签。 3、函数的简单性态 ·················································································错误!未定义书签。 4、反函数 ·································································································错误!未定义书签。 5、复合函数 ·····························································································错误!未定义书签。 6、初等函数 ·····························································································错误!未定义书签。 ] 7、双曲函数及反双曲函数 ·····································································错误!未定义书签。 8、数列的极限 ·························································································错误!未定义书签。 9、函数的极限 ·························································································错误!未定义书签。 10、函数极限的运算规则 ·······································································错误!未定义书签。

清华大学 2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷

清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =,(4,1,10)b =-,c b a λ=-,且a c ⊥,则λ= 。 3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4.设yz u x =,则du = 。 5.级数11 (1)n p n n ∞ =-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是 ( ) A .2x y Ce = B .22x y Ce = C .22y y e Cx = D .2y e Cxy = 2.求极限 (,)(0,0)lim x y →= ( ) A . 14 B .12- C .1 4 - D .12 3 .直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上

C .直线L 垂直于平面π D .直线L 与平面π斜交 4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤, 则D σ= ( ) A .33()2 b a π - B .332()3b a π- C .334()3b a π- D .333()2b a π- 5.下列级数收敛的是 ( ) A .11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1121n n ∞=-∑ D .1 n ∞ = 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ,其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3.设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数,求z z x y ??+??。

高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲

高等数学(同济大学教材第五版)复习提纲 第一章函数与极限:正确理解、熟练掌握本章内容,求各类函数的极限,尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分:正确理解、熟练掌握本章内容,各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用:熟练掌握本章的实际应用,研究函数的性态,证明相关不等式 第四章不定积分:正确理解概念,会多种积分方法,尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分:正确理解概念,会多种积分方法,有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用:掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数:熟练掌握本章的实际应用 高等数学(1)期末复习要求 第一章函数、极限与连续函数概念

理解函数概念,了解分段函数,熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2.函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性,掌握判断函数奇偶性的方法。 3.初等函数 了解复合函数、初等函数的概念;掌握六类基本初等函数的主要性质和图形。 4.建立函数关系 会列简单应用问题的函数关系式。 5.极限:数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6.极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7.无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系,无穷小量的性质。 8.两个重要极限 了解两个重要极限,会用两个重要极限求函数极限。 9.函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点

的概念; 会求函数的连续区间和间断点,并判别函数间断点的类型; 知道初等函数的连续性,知道闭区间上的连续函数的几个性质 (最大值、最小值定理和介值定理)。 第二章导数与微分 1.导数概念:导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念; 了解导数的几何意义,会求曲线的切线和法线方程;知道可导与连续的关系,会求高阶导数概念。 2.导数运算 熟记导数基本公式,熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。 会求参数表示的函数的一阶导及二阶导 会用对数求导法:解决幂指函数的求

清华大学高等数学期末考试备课讲稿

清华大学高等数学期 末考试

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 3小题,每小题3分,总计9分 ) 1、若在),(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=?dx x x 1cos 12 。 中。本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有

. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A , ,, , 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F ) 0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2ln 1+=,求y '。

3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论?????=≠ =0 ,00arctan )(2 x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。

“高等数学1”课程教学大纲

“高等数学1”课程教学大纲 教研室主任:任洲鸿执笔人:马凤明连淑君 一、课程基本信息 开课单位:经济学院 课程名称:高等数学1 课程编号:201001 英文名称:Advanced Mathematics 课程类型:学科基础课 总学时: 72 理论学时:72 实验学时:0 学分:3 开设专业:经济学 先修课程:无 二、课程任务目标 (一)课程任务 本课程是理科院校管理类专业的一门专业基础课,又是全国硕士研究生入学考试统考科目。通过本课程的学习,要使学生掌握一元函数微积分学、空间解析几何与向量代数的基本概念、基本理论和基本运算技能,为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力,还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。 (二)课程目标 在学完本课程之后,学生能够: 基本了解一元函数微积分学、空间解析几何与向量代数的基础理论;充分理解一元函数微积分学、空间解析几何与向量代数的背景及数学思想。掌握微积分学及空间解析几何与向量代数的基本方法、手段、技巧,并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力和空间想象能力。能较熟练地应用微积分学及空间解析几何与向量代数的思想方法解决应用问题。 三、教学内容和要求 第一章函数与极限 1.内容概要

函数,初等函数,数列的极限,函数的极限,无穷小与无穷大,极限运算法则,极限存在准则及两个重要极限,无穷小的比较,函数的连续性与间断点,连续函数的运算与初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质。 2.重点与难点 重点:函数的概念、性质;极限的概念,无穷大、无穷小的概念;极限的运算;连续的概念。 难点:函数的记号及所涉及到的函数值的计算;极限的ε—Ν,ε—δ定义;极限中一些定理的论证方法;极限存在性的判定,连续性的判断。 3.学习目的与要求 (1)了解函数的概念、函数的单调性,反函数和复合函数的概念,熟悉基本初等函数的性质及其图形,能列出简单实际问题中的函数关系。 (2)了解极限的ε—Ν,ε—δ定义;能根据定义证明本课程内容中有关极限的简单定理(对于给出的ε,求Ν或δ不作过高要求),在学习过程中逐步加深对极限思想的理解。 (3)掌握极限的四则运算法则,了解两个极限存在准则(夹逼准则和单调有界准则),会使用两个重要极限。 (4)理解无穷大、无穷小的概念,掌握无穷小的比较。 (5)理解函数在一点连续的概念,会判断间断点的类型。 (6)了解初等函数的连续性,知道在闭区间上连续函数的性质。 第二章导数与微分 1.内容概要 导数的概念,函数的求导法则,高阶导数,隐函数及由参数方程所确定的函数的导数,相关变化率,函数的微分。 2.重点和难点 重点:导数和微分的概念;复合函数微分法。 难点:微分的概念;隐函数及参数式二阶导数。 3.学习目的与要求 (1)理解导数和微分的概念,了解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系,用导数描述一些物理量(如速度)。 (2)熟悉导数和微分的运算法则(包括微分形式不变性)和导数的基本公式,了解高阶导数概念,能熟练的求一阶、二阶导数。

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