数列通项公式求法导学案
龙文教育个性化辅导教学案学生:日期: 年月日第次时段: 教学课题数列通项公式与数列求和—导学案
教学目标考点分析1. 了解用通项公式表示数列的方法．
2．掌握等差数列、等比数列的通项公式．
3．能用等差数列、等比数列的基本思想求其他数列的通项公式.
重点难点1. 掌握等差数列、等比数列的通项公式是基础．
2．能用累差、累商的方法求通项公式．
3．能利用待定系数法求几类经典的递推关系式的通项公式
教学方法讲练结合法、启发式教学
教学过程第4讲利用几类经典的递推关系式求通项公式
一、知识要点疏理
1.求数列通项的常用方法
(1)利用观察法求数列的通项．
(2)利用公式法求数列的通项：①等差、等比数列{a n}的通项公式；②a n＝
??
?
??S1(n＝1)，
S n－S n－1(n≥2).
(3)应用迭加(迭乘、迭代)法求数列的通项：①a n＋1＝a n＋f(n)；②a n＋1＝a n f(n)．
(4)构造等差、等比数列求通项：
①a n＋1＝pa n＋q；②a n＋1＝pa n＋q n；③a n＋1＝pa n＋f(n)；④a n＋2＝p·a n＋1＋q·a n.
2、典型例题剖析
1．数列{a n}中，a1＝1，对所有的n≥2都有a1·a2·a3·…·a n＝n2，则a3等于( )
A.
9
4 B.
3
2 C.
25
9 D.
25
16
2．在数列{a n}中，若a n＋1＝
a n
2a n＋1
，a1＝1，则a6＝( )
A．13 B.1/13 C.11 D.1/11
3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}各项都是正数，且a1＝b1，a2n＋1＝b2n＋1，那么一定有( ) A．an＋1≤bn＋1 B．an＋1≥bn＋1
C．an＋1＜bn＋1 D．an＋1＞bn＋1
4．已知等差数列{an}的前三项分别为a－1,2a＋1，a＋7，则这个数列的通项公式为____________.
5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6＝S3＝12，则a n＝.
3、考点巧突破
考点1 递推关系形如“an＋1＝pan＋q”的数列求通项
例1：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求数列{an}的通项公式．
【互动探究】
1．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2
3a n －2，则数列{a n }的通项公式为____________.
考点2 递推关系形如“an ＋1＝pan ＋f (n )”的数列求通项
例2：已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝12a n ＋1
2
n (n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式．
【互动探究】
2．在数列{an }中，a 1＝2，an ＋1＝4an －3n ＋1，n ∈N *. (1)证明数列{}a n －n 是等比数列；
(2)设数列{a n }的前n 项和S n ，求S n ＋1－4S n 的最大值．
考点3递推关系形如“an＋1＝pan＋qn”的数列求通项
例3：已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3n，求数列{an}的通项公式．
【互动探究】
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－2an＝2n，则an＝__________.
考点4递推关系形如“an＋2＝pan＋1＋qan”的数列求通项
例4：已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝3an＋1－2an，求数列{an}的通项公式．
【互动探究】
4．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2,3an－an－1－2an－2＝0(n≥3)，求数列{an}的通项公式．
考点5应用迭加(迭乘、迭代)法求通项
例5：(1)已知数列{an }中，a 1＝2，an ＝an －1＋2n －1(n ≥2)，求数列{an }的通项公式； (2)已知Sn 为数列{an }的前n 项和，a 1＝1，Sn ＝n 2·an ，求数列{an }的通项公式．
【互动探究】
5．已知a 1＝1，a n ＝n (a n ＋1－a n )，则数列{a n }的通项公式( )
A ．2n －1 B.??
?
?n ＋1n n －1
C ．n 2
D ．n
1．求数列通项的常用数学思想有：(1)转化与化归思想；(2)整体(换元)思想；(3)方程思想． 2．求数列的通项公式常用的递推关系有：
(1)形如f (S n ，a n ，n )＝0的递推关系，利用退一相减法，即a n ＝?????
S 1(n ＝1)，
S n －S n －1
(n ≥2).
(2)形如T n ＝a 1a 2a 3…a n 的递推关系，利用退一相除法，即a n ＝T n
T n －1
(n ≥2)．
(3)形如a n ＋1－a n ＝f (n )的递推关系，利用累加法，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋…＋(a n －a n －1)． (4)形如a n ＋1a n ＝f (n )的递推关系，利用累乘法，即a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2…a n
a n －1
.
(5)形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )的递推关系，利用待定系数法，需要根据f (n )的形式来确定．
二、典型习题演练
1．(2010年北京)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12
2．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，若数列{}1＋a n 也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n B ．3n
C ．2n ＋
1－2 D ．3n －1
3．(2011年四川)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )
A ．0
B ．3
C ．8
D ．11
4．(2010年福建)在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n
＝________.
5．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *
)，则数列{a n }的通项a n ＝________.
6．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n
3a n ＋1
，则a n ＝__________________________________.
7．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2a n －1，则a n ＝________. 8．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋3n ，则a n ＝________.
9．已知数列{a n }满足条件na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2n 2
＋2n ，n ∈N *，a 1＝1，设b n ＝a n ＋n . (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)求和：S ＝1b 2－2＋1b 3－2＋…＋1
b n －2
.
10．已知数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1(n ≥2且n ∈N *)．
(1)证明：数列????
??
a n －12n 为等差数列；
(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 教学小结
学生对于本次课评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 教师评定：
1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化
教师签字：
教务主任签字： ___________
龙文教育教务处
§1.1数列概念导学案
数列概念 一.学习目标： 1、熟练掌握数列的概念，准确理解通项公式与函数的关系，提高归纳猜想能 力。 2、自主学习、合作探究，总结求数列通项公式的规律方法。 3、激情投入，惜时高效，培养良好的数学思维品质，体验数字变化之美。 重难点：数列的概念以及数列的通项公式 二.问题导学： 阅读课本P3-6思考并回答下列问题: 1.数列的概念： ①你能根据自己的理解写出数列的定义吗？ ②数列的一般形式12,,...,...n a a a ，简记{}n a ，那么n a 与{}n a 有什么不同？ 2.数列的通项公式： 给定一个数列：1、3、5、7……你能写出数列的第5项，第7项吗？第n 项呢？ ○1你能试着写出数列通项公式的定义吗？ ○2通项公式可看作是一个函数吗？它的定义域是什么？图像有什么特点？ 3.数列的分类： 按项数分可以分为哪几类？ 【小试牛刀】 1.下列说法不正确的是（ ） A 、所有数列都能写出通项公式 B 、数列的通项公式不唯一 C 、数列中的项不能相等 D 、数列可以用一群孤立的点表示 2.已知数列{}n a 中，n a =2n-1，则3a 等于___________ 3.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数: （1）2，3，4，5； 则n a = （2）1416 ,,3,;333 ；则n a = （3） 1111 ,,,;24816 则n a = （4）1，-3，5，-7； 则n a = 三.合作探究 例1、根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的前5项： （1） 21;21n n a n -=+ （2）cos 2 n n a π =; （3）2(1);n n a n =- 拓展：根据下面数列{}n a 的通项公式，写出它的第10项： （1） 2910n a n n =-+; （2）(1)1cos ;2 n n a π -=+ （3）请判断2是不是第（1）小题中的那个数列的项. 小结： 例2、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）1，3，5，7； （2）0，2，0，2； （3）10,100,1000,10000; 变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：
求数列通项公式的常用方法(有答案)
求数列通项公式的常用方法 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之 一。 2．解题步骤：若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑ 例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++ +?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2 n a n =。 练习. 已知数列 } {n a 满足31=a ， ) 2()1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式. 答案：裂项求和 n a n 1 2- = 评注：已知a a =1,) (1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函
数、指数函数、分式函数，求通项 n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 二、累乘法 1. 适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列，累乘法是最基本的二个方法之 二。 2．解题步骤：若 1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n a a a f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1 11 1()n n k a a f k a +==?∏ 例2 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：因为112(1)53n n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则 1 2(1)5n n n a n a +=+，故1 32 112 21 12211(1)(2)21 (1)1 2 [2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53 32 5 ! n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--= ??? ??=-+-+??+?+??=-?????=??? 所以数列{}n a 的通项公式为(1)1 2 325 !.n n n n a n --=??? 练习. 已知 1 ,111->-+=+a n na a n n ,求数列{an}的通项公式 答案： =n a ) 1()!1(1+?-a n -1.
数列通项公式的求法集锦
数列通项公式的求法集锦 非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。 一、累加法 形如1()n n a a f n --= (n=2、3、4…...) 且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累加法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例1. 在数列{n a }中，1a =1，11n n a a n --=- (n=2、3、4……) ，求{n a }的通项公式。 解：∵111n a ==时， 213243121 23.......1n n n a a a a a a a a n -≥-=??-=??-=???-=-?? 时, 这n-1个等式累加得：112...n a a -=+++（n-1）=(1)2n n - 故21(1)222n n n n n a a --+=+= 且11a =也满足该式 ∴222 n n n a -+= (n N *∈). 例2．在数列{n a }中，1a =1，12n n n a a +-= (n N *∈),求n a 。 解：n=1时, 1a =1212323431122 22.......2n n n n a a a a a a a a --≥-=??-=??-=????-=?时, 以上n-1个等式累加得 21122...2n n a a --=+++=12(12)12 n ---=22n -，故12221n n n a a =-+=- 且11a =也满足该式 ∴21n n a =- (n N *∈)。 二、累乘法 形如1 ()n n a f n a -= (n=2、3、4……)，且(1)(2)...(1)f f f n +++-可求，则用累乘法求n a 。有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解。 例3．在数列{n a }中，1a =1，1n n a na +=，求n a 。
数列通项公式的求法(较全)
常见数列通项公式的求法 公式： 1、 定义法 若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a 与d 或1a 与q ,再代入公式()d n a a n 11-+=或 11-=n n q a a 中即可. 例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列{}n b 的345,,b b b ,求数列{}n b 的的通项公式. 练习：数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,数列{}n c 中对于任何* n N ∈都有 1234127 ,0,,,,6954 n n n c a b c c c c =-====分别求出此三个数列的通项公式.
2、 累加法 形如()n f a a n n =-+1()1a 已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式. （1） 当()f n d =为常数时，{}n a 为等差数列，则()11n a a n d =+-； （2） 当()f n 为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由()n f a a n n =-+1得 当2n ≥时，() 11n n a a f n --=-， () 122n n a a f n ---=-， ()322a a f -=， () 211a a f -=， 以上()1n -个等式累加得 ()()()()11+221n a a f n f n f f -=--+ ++ 1n a a ∴=+()()()()1+221f n f n f f --+ ++ （3）已知1a ，()n f a a n n =-+1，其中()f n 可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项. ①若()f n 可以是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ②若()f n 可以是关于n 的二次函数，累加后可分组求和； ③若()f n 可以是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ④若()f n 可以是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和求和. 例2、数列{}n a 中已知111,23n n a a a n +=-=-, 求{}n a 的通项公式.
2019-2020学年高中数学 《数列通项公式求法》导学案 新人教A版必修5.doc
2019-2020学年高中数学 《数列通项公式求法》导学案 新人教A 版 必修5 【学习目标】 1.会在各种条件下，选用适当的方法求数列的通项公式。 2.掌握定义法、公式法、累加法、累乘法、构造数列法在求通项公式中的应用。 【重点难点】 重点：由递推公式求数列的通项公式 难点：累加法、累乘法、构造数列法 【学习过程】 知识点一：定义法（教材链接：等差数列和等比数列的定义） 直接用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，适应于已知数列类型的题目． 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数 列{}n a 的通项公式. 例2.已知数列{} n a 的各项均为正数，前n 项和为n S ，且有332-=n n a S ， （1）求数列{}n a 的通项公式。 （2）设数列{}n b 的通项公式是1 33log log 1+?= n n n a a b ，前n 项和为n T ，求证：对于任意的正整数n ，总有n T <1. 知识点三：由递推式求数列通项 对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等
比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。 类型1 递推公式为)(1n f a a n n +=+（教材链接：第37页等差数列通项公式的探究） 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例3. 已知数列{}n a 满足211= a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 类型2 （1）递推公式为n n a n f a )(1=+（教材链接：第50页等比数列通项公式的探究） 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例4. 已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 类型3 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法：通过对系数q 的分解，把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1。 例5. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 类型4 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。（教材链接：第69页第6题）
(完整版)常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题
常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -=---n n a a n n …… 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- =
（2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得：1-=k a A ，2 )1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-11)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n ΛΛ ∴ 1211231+= +? =n n a a n [例4] 11 --+?? =n n n a m a m k a 型。
几种常见的数列的通项公式的求法
几种常见的数列的通项公式的求法 一． 观察法 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,1716 4,1093,542,211 （3） ,5 2 ,21,32 ,1（4） ,5 4 ,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，…… ∴通项公式为：110-=n n a （2）;1 2 2 ++=n n n a n （3）;12 += n a n （4）1 )1(1+? -=+n n a n n .点评：关键是找出各项与项数n 的关系。 二、公式法 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式； 解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ， ∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2， ∴2 213)2(q q b b -==q 2 ，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例 3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是 （ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n 解析：设等差数列的公差位d ，由已知???==+??+12348)()(3 333a d a a d a ， 解得 ?? ?±==2 4 3d a ，又 {} n a 是递减数列， ∴ 2 -=d ， 8 1=a ，∴ =--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。 例 4. 已知等比数列 {}n a 的首项11=a ，公比10< 1 等比数列的概念及通项公式 基本概念 新知： 1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第 项起， 一项与它的 一项的 等于 常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示（q ≠0），即：1 n n a a -= （q ≠0） 2. 等比数列的通项公式： 21a a = ； 3211()a a q a q q a === ；24311()a a q a q q a === ； … … ∴ 11n n a a q a -==? 等式成立的条件 3. 等比数列中任意两项n a 与m a 的关系是： 3、等比数列的性质：对于等比数列}{n a ，若.,n m q p a a a a n m q p =+=+则 4、等比数列的}{n a 的单调性————————与首项和公比都有关 11-=n n q a a 例题 例一：判断数列是否为等比数列，若是请指出公比 （1）1，-1，1，-1，1，…（2）0,1,2,4,8，…（3）13 181-4121-1，，， 例二、指出下列等比数列中的未知项 （1）2，a ，8 （2）-4，b ，c ，2 1 问题1：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则2G b G ab G a G =?=?= 新知1：等比中项定义 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 称为a 与b 的等比中项. 即G = （a ， b 同号）. 试试：数4和6的等比中项是 . 例三、（1）在等比数列}{n a 中，是否有)2(112 ≥=+-n a a a n n n ？ （2）如果数列}{n a 中，对于任意的正整数),2(,2112 ≥=≥+-n a a a n n n n n 都有） （那么}{n a 一定是等比数列 吗？ 几种常见的数列的通项公式的求法 一、观察法 1、根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1） ,5 4,43,32,21-- （2） ,5 2,21,32,1 （3）9，99，999，9999，… 二、叠加法：对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式 2、已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。 3、若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 三、叠乘法：对于型如1+n a =f (n)·n a 类的通项公式 4、在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 5、已知数列{}n a 中，3 11= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a 。 四、S n 法利用1--=n n n S S a (n ≥2) 6、已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式。 （1）13-+=n n S n 。 （2）12-=n s n 五、辅助数列法 7、已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a 。 六、倒数法 8、已知数列｛n a ｝中11=a 且11+=+n n n a a a （N n ∈），，求数列的通项公式。 1． 已知数列{}n a 的首项11a =，且13(2)n n a a n -=+≥，则n a = 3n-2 ． 2．已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a 1433n -?-． 3．已知数列{}n a 的11a =，22a =且121()(3)2n n n a a a n --=+≥，则1lim n x n a a →∞+= 求数列通项公式常用八种方法 一、 公式法： 已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+= 或11-=n n q a a 进行求解. 二、前n 项和法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a .（分3步） 三、n s 与n a 的关系式法： 已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a .（分3步） 四、累加法： 当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时， 就可以用这种方法. 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面 形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的 方法:------＋常数P ㈡、取倒数法：这种方法适用于1 1c --=+n n n Aa a Ba ()2,n n N * ≥∈（,,k m p 均为常数 0m ≠） ，两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于 1n n a ka b -=+的式子. ㈢、取对数法：一般情况下适用于1k l n n a a -=（,k l 为非零常数） 例8：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a 分析：由()2113,2n n a a a n -==≥知0n a > ∴在21n n a a -=的两边同取常用对数得 211lg lg 2lg n n n a a a --== 即1 lg 2lg n n a a -= ∴数列{}lg n a 是以lg 3为首项，以2为公比的等比数列 故1 12lg 2lg3lg3n n n a --== ∴123n n a -= 七、“1p ()n n a a f n +=+（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）”型的数列求通项n a . 可以先在等式两边 同除以f(n)后再用累加法。 八、形如21a n n n pa qa ++=+型，可化为211a ()()n n n n q xa p x a a p x ++++=+++ ，令x=q p x + ,求x 的值来解决。 除了以上八种方法外，还有嵌套法（迭代法）、归纳猜想法等，但这8种方法是经常用的，将其总结到一块，以便于学生记忆和掌握。 常见数列通项公式的求 法(超好) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 常见数列通项公式的求法 1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列， 2 55a S =．求数列{}n a 的通项公式.n a n 53= 2.公式法：已知n S （即12()n a a a f n ++ +=）求n a ，用作差法：{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -== -≥。 例2：已知数列}{n a 的前n 项和s n ，12-=n s n 求}{n a 的通项公式。 解：（1）当n=1时，011 ==s a ，当2≥n 时 12]1)1[()1(221-=----=-=-n n n s s a n n n 由于1a 不适合于此等式 。 ∴? ??≥-==)2(12)1(0 n n n a n 练习：数列{a n }满足a n =5S n －3，求a n 。 答案：a n =34 （－14 ）n-1 3.累加法： 若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+ +-1a +(2)n ≥。 例3：（1）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+3n －2（n ≥2），求a n 。 （2）数列{a n }满足a 1=1且a n =a n －1+1 2n （n ≥2），求a n 。 解：（1）由a n =a n －1+3n －2知a n －a n －1=3n －2，记f （n ）=3n －2= a n －a n －1 则a n = （a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =（3n －2）+[3（n －1）－2]+ [3（n －2）－2]+ …+（3×2－2）+1 =3[n+（n －1）+（n －2）+…+2]－2（n －1）+1 =3×（n+2）（n －1）2 －2n+3=3n 2－n 2 （2）由a n =a n －1+12n 知a n －a n －1=12n ，记f （n ）=1 2n = a n －a n －1 则a n =（a n －a n －1）+（a n －1－a n －2）+（a n －2－a n －3）+…（a 2－a 1）+a 1 =f （n ）+ f （n －1）+ f （n －2）+…f （2）+ a 1 =12n +12n －1 +12 n －2 +…+122 +1=12 －12n 练习：已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211 ，求n a 。答案：n a n 1-23= 4.累乘法：已知1()n n a f n a +=求n a ，用累乘法：121121 n n n n n a a a a a a a a ---=????(2)n ≥。 例4：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 解：由(n+1)·1+n a =n ·n a 得 1 1+=+n n a a n n ， 数列通项公式的求法及数列求和方法详解 专题一：数列通项公式的求法 关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17 16 4,1093,542,211（3） ,5 2 ,21,32 , 1（4） ,5 4 ,43,3 2 ,21-- 答案：（1）110-=n n a （2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1 )1(1+?-=+n n a n n . 公式法1：特殊数列 例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和 { b n }的通项公式； 答案：a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)； b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1 例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ） (A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n (D) 例4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级17级姓名陈兆侠组别二年级一、学习目标： （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．2.过程与方法：理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观：提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理:(1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 思考 2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 同？ (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)5,10,15,20,… (2)1 2 ， 4 1 ， 6 1 ， 8 1 ,… (3)-1,1,-1,1,… 跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) 1 1×2 ， 1 2×3 ， 1 3×4 ， 1 4×5 ,… (2) 22－1 2 ， 32－1 3 ， 42－1 4 ， 52－1 5 ,… (3) 2 1 , 4 3 , 6 5 , 8 7 ,… 类型二:数列的通项公式的应用 例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝ N 2 1 ， n∈N*. (1)写出它的第5项； (2)判断 64 1 是不是该数列中的项，是，是第几项？ 例3 判断16和45是否为数列} {1 3+ n中的项，如果是，请指出是第几项？ 跟踪训练2 已知数列{a n}的通项公式为a n＝ 1 n(n＋2) (n∈N*)，那么1 120 是这个数列的第______项． 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理:(1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． 常见数列通项公式的求法-中学数学论文 常见数列通项公式的求法 邹后林 （会昌中学，江西赣州342600） 摘要：数列的通项求法灵活多样，需要充分利用化归与转化思想。非等比、等差数列的通项公式的求法，题型繁杂，方法琐碎，笔者结合近几年的高考情况，对数列求通项公式的方法给以归纳总结。现举数例。 关键词：数列；通项公式；求法 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-12-0031-01 例1：已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)，等差数列{bn}中，bn0 (n∈N*)，且b1＋b2＋b3＝15，又a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列。 (1)求数列{an}、{bn}的通项公式； (2)求数列{an·bn}的前n项和Tn。 解：(1)∵a1＝1，an＋1＝2Sn＋1 (n∈N*)， ∴an＝2Sn－1＋1 (n∈N*，n1)， ∴an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)， 即an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an (n∈N*，n1)。 而a2＝2a1＋1＝3，∴a2＝3a1。 ∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，∴an＝3n－1 (n∈N*)。∴a1＝1，a2＝3，a3＝9， 在等差数列{bn}中，∵b1＋b2＋b3＝15， ∴b2＝5。 又∵a1＋b1、a2＋b2、a3＋b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，则有(a1＋b1)(a3＋b3)＝(a2＋b2)2。 ∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，∵bn0 (n∈N*)，∴舍去d ＝－10，取d＝2，∴b1＝3，∴bn＝2n＋1 (n∈N*)。 (2)由(1)知Tn＝3×1＋5×3＋7×32＋…＋(2n－1)3n－2＋(2n＋1)3n－1，①∴3Tn＝3×3＋5×32＋7×33＋…＋(2n－1)·3n－1＋(2n＋1)3n，② ∴①－②得－2Tn＝3×1＋2×3＋2×32＋2×33＋…＋2×3n-1－(2n＋1)3n＝3＋2(3＋32＋33＋…＋3n-1)－(2n＋1)3n 1 【典型例题】 [例 1] a n 1 (1)k (2) k 比较系数: {a n a n [例 2] a n 1 (1)k 例: 已知 解: a n a n a 3 a n 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 ka n b 型。 1 时，a n 1 1时，设a n km m ka n 1 时, a n ｝ 是等比数列, (a i f (n) 型。 a n 1 a n {a n }满足a i a n a n a n a 2 对这（n b ｛a n ｝ 是等差数列, a n b n 佝 b) k(a n m) a n 1 ka n km 公比为 1) k ”1 f(n) k ，首项为 a n 1 a n a i a n (a 1 k n1 f （n ）可求 和, 则可用累加消项的方 法。 n （n 1）求｛a n ｝的通项公 式。 1 n(n 1 ) a 2 a n 1 a n a 1 1 个式子求和得: a n a 1 a n 2 - n (2) k1时, 当f(n) an b则可设a n A(n 1) B k(a n An B) a n 1 ka n (k 1)A n (k 1)B A (k (k 1)A 1)B 解得: a 2 (k 1) ,? {a n An B｝是 以 a1 B为首项, k为公比的等比数列 a n An (a1 B) k n1 a n (a1 B) k n1An B将A、B代入即可 (3) f(n) 0, 1) 等式两边同时除以 a n 1 1 c n 1 得q a n n q C n 令C n 1 {C n}可归为a n 1 ka n b型 [例3] a n f(n) a n型。 (1)f(n)是常数时, 可归为等比数 列。 f(n)可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知: a1 2n 1 a n 1 2n 1 2)求数列｛a n｝的通项。 解: a n a n a n 1 a n 1 a n 2 a n a 1 a n 2 a n 3 k m a n 1 m a n 1 型。a3 a2 a2 a1 2n 1 2n 2n 1 2n 3 2n 5 5 3 3 2n 1 2n 3 7 5 2n 1 [例4] 中职数学——数列概念和通项公式导学案 数学学科导学案 教师寄语：做对国家有用的人 课题：数列的概念和通项公式 班级 17级姓名陈兆侠组别二年级 一、学习目标： （3）对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式． 2.过程与方法：理解数列的定义，表示法，分类，初步学会求数列通项公式的方法。 3.情感态度价值观：提高观察，分析能力，理解从特殊到一般，从一般到特殊思想。 二、学习重、难点： 重点：了解数列的概念及其表示方法，会写出简单数列的通项公式难点：数列与函数关系的理解，用归纳法写数列的通项 三、学习过程【导、探、议、练】 导 知识点一：数列及其有关概念 思考1：数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？ 思考2：数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？ 梳理:(1)按照________排列的________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的_____.数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的__________(通常也叫做______)，排在第二位的数称为这个数列的……排在第n位的数称为这个数列的__________. (2) 数列的一般形式可以写成，简记为_________. 知识点二：通项公式 思考1:数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？ 1.知识与能力： （1）理解数列及其有关概念； （2）理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 思考 2 数列的通项公式a n＝f(n)与函数解析式y＝f(x)有什么异同？ (2)按项的大小变化分类，从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做___________；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；各项相等的数列叫做；从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做 _____________. 探、议 （一）自主探究 类型一:由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)5,10,15,20,… (2)1 2 ， 4 1 ， 6 1 ， 8 1 ,… (3)-1,1,-1,1,…跟踪训练1 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1) 1 1×2 ， 1 2×3 ， 1 3×4 ， 1 4×5 ,… (2) 22－1 2 ， 32－1 3 ， 42－1 4 ， 52－1 5 ,… (3) 2 1 , 4 3 , 6 5 , 8 7 ,… 类型二:数列的通项公式的应用 例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝ N 2 1 ， n∈N*. (1)写出它的第5项； (2)判断 64 1 是不是该数列中的项，是，是第几项？ 例3 判断16和45是否为数列} {1 3+ n中的项，如果是，请指出是第几项？ 知识点三:数列的分类 思考:对数列进行分类，可以用什么样的分类标准？ 梳理:(1)按项数分类，项数有限的数列叫做__________数列，项数无限的数列叫做__________数列． 求数列通项公式常用的七种方法 一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式 ()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解. 例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式. 分析：设数列{}n a 的公差为d ，则???-=+=+5411 1d a d a 解得???-==23 1d a ∴ ()5211+-=-+=n d n a a n 二、前n 项和法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 的解析式，求n a . 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a . 分析：当2≥n 时，1--=n n n s s a =( )( ) 32 321 ----n n =12-n 而111-==s a 不适合上式，() () ???≥=-=∴-22111n n a n n 三、n s 与n a 的关系式法：已知数列{}n a 的前n 项和n s 与通项n a 的关系式，求n a . 例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 3 1 1= +，其中11=a ，求n a . 分析： 13+=n n a s ① ∴ n n a s 31=- ()2≥n ② ①-② 得 n n n a a a 331-=+ ∴ 134+=n n a a 即 3 4 1=+n n a a ()2≥n 又1123131a s a ==不适合上式 ∴ 数列{}n a 从第2项起是以 3 4 为公比的等比数列 ∴ 2 2 2343134--?? ? ??=? ? ? ??=n n n a a ()2≥n ∴()()??? ??≥? ? ? ??==-23431112n n a n n 注：解决这类问题的方法，用具俗话说就是“比着葫芦画瓢”，由n s 与n a 的关系式，类比出1-n a 与1 -n s 的关系式，然后两式作差，最后别忘了检验1a 是否适合用上面的方法求出的通项. 四、累加法：当数列{}n a 中有()n f a a n n =--1，即第n 项与第1-n 项的差是个有“规律”的数时，就 可以用这种方法. 例4： ()12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a 分析： 121-=-+n a a n n ∴ 112=-a a 323=-a a 534=-a a ┅ 321-=--n a a n n ()2≥n 以上各式相加得()()2 11327531-=-+++++=-n n a a n ()2≥n 又01=a ，所以()2 1-=n a n ()2≥n ，而01=a 也适合上式， ∴ ()2 1-=n a n ( )* ∈N n 五、累乘法：它与累加法类似 ，当数列{}n a 中有 ()1 n n a f n a -=，即第n 项与第1-n 项的商是个有“规律”的数时，就可以用这种方法. 例5：111,1 n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a 分析： 11n n n a a n -= - ∴11 n n a n a n -=- ()2,n n N * ≥∈ 故3241123123411231 n n n a a a a n a a n a a a a n -===- ()2,n n N *≥∈ 而11a =也适合上式，所以() n a n n N * =∈ 六、构造法： ㈠、一次函数法：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是 关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法: 一般化方法：设()1n n a m k a m -+=+ 则()11n n a ka k m -=+- 而1n n a ka b -=+等比数列的概念及通项公式导学案
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