第四章向量组及其线性相关性2009824 (2)
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第四章向量组及其线性相关性
邱启荣华北电力大学数理系QQIR@https://www.wendangku.net/doc/4110521266.html,
第四章向量组及其线性相关性
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第四章向量组及其线性相关性
第一节n 维向量组及其线性组合n 一、维向量的概念二、向量组的线性组合
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第四章向量组及其线性相关性
定义1
. ,,, 21个分量称为第个数第个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为所组成的数个有次序的数i a i n n n a a a n i n 分量全为复数的向量称为复向量.
分量全为实数的向量称为实向量，n 一、维向量的概念
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第四章向量组及其线性相关性
例如
)
,,3,2,1(n )
)1(,,32,21(i n n i i ++++ n 维实向量n 维复向量
第1个分量
第n 个分量
第2个分量上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
),,,(21n T a a a a =???
???
????????=n a a a a 21 维向量写成一行，称为行向量，也就是行
矩阵，通常用等表示，如：
βαT
T T T b a ,,,n 维向量写成一列，称为列向量，也就是列矩阵，通常用等表示，如：
βα,,,b a n n 维向量的表示方法
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第四章向量组及其线性相关性
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列向量.
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第四章向量组及其线性相关性
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组．
例如维列向量
个有矩阵m n a ij A n m )(×=????
?
?????
????=a a a a a a a a a a a a A mn mj m m n j n j 2
1222221111211. ,, ,
的列向量组称为矩阵向量组A a 1a 2a n a 1a 2a j a n
向量组与矩阵
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第四章向量组及其线性相关性
维行向量个又有矩阵类似地n m ij a A n m )(,×=??
?
??
?
??
?
?
?
????
???
??=a a a a a a a a a a a a A mn m m in i i n n 2
12122221112
11αααT 1
αT 2T i T m
向量组, , …，称为矩阵A 的行向量组．
αT
1αT
2αT
m 上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构
成一个矩阵.
矩阵
构成一个组维列向量所组成的向量个n m n m m ×,,,, 21ααα 矩阵
构成一个的向量组维行向量所组成个n m n m T
m T
T
×,,, 21βββ ???
???
?
???????=T m T T B βββ 21 )
,,,( 21m A ααα =上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
b
=+++x a x a x a n n 2211线性方程组的向量表示
?????
?
?=+++=+++=+++.,,22112222212111212111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a m n mn m m n n n n 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
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第四章向量组及其线性相关性
，
，，组实数，对于任何一给定向量组m m k k k A ,,,,: 2121 ααα定义１.
, 21个线性组合的系数称为这，，m k k k ，称为向量组的一个向量 2211m
m k k k ααα+++ 线性组合二、向量组的线性组合
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第四章向量组及其线性相关性
m
m b αλαλαλ ++=2211，使
，，一组数如果存在
和向量给定向量组m m b A λλλααα,,,,,: 2121 .
2211有解即线性方程组
b x x x m m =+++ααα 的线性组合，这时称是向量组则向量A b 向量能
由向量组线性表示．
b A
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第四章向量组及其线性相关性
.
),,(),( 2121的秩，，的秩等于矩阵，，条件是矩阵线性表示的充分必要
能由向量组向量b B A A b m m αααααα ==定理1例4.1.3 设向量
1212(1,1,2,2),(1,2,3,4),(1,1,1,1),(1,2,1,4)T T T T
ααββ====???问：
与中哪个可以由线性表示，哪个不能？
1β2β21,αα上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
()12121
1111
212,,,23112
4
14ααββ??????
?=????????1
1
1
10
103~0
0100
000????
??
???
???
??
101
40103~00100000????
???
??
??
??前两列构成的矩阵的秩为2，前三列构成的矩阵的秩为3，因此不能用线性表示。
1
β21,αα2β一、二、四列构成的矩阵的秩为2，因此可以用线性表示.
21,αα上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
例4.1.4 向量组12123:,,:,,A B ααβββ，且
1
3212211,2,αβααβααβ=?=+=证明：向量组A 与向量组B 等价。
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第四章向量组及其线性相关性
定义２ . .
,,,:,,,: 2121这两个能相互线性表示，则称量组与向若向量组称线性表示，则
向量组组中的每个向量都能由若及设有两个向量组
B A A B B A s m βββααα 向量组能由向量组线性表示向量组等价．
B A 例4.1.4 向量组12123:,,:,,A B ααβββ，且
13212211,2,αβααβααβ=?=+=证明：向量组A 与向量组B 等价。
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第四章向量组及其线性相关性
.
. 的行向量组等价的行向量组与于是的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是的每个行，则经初等行变换变成设矩阵B A B A A B A B B A .
的列向量组等价列向量组与的，则经初等列变换变成类似，若矩阵B A B A 向量组等价与矩阵等价有何区别与联系？
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第四章向量组及其线性相关性
例4.1.5 向量组A:
T
T T a a a )0,4,1,1(,)3,1,2,1(,)2,2,1,1(321?===证明向量可由线性表示，并求出表示式.
(1,0,3,1)T b =
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第四章向量组及其线性相关性
例4.1.6 向量组
()()()
123:1,0,2,1,1,3,1,1,2T
T
T
A a ααα===?+()()()
123:1,1,3,2,1,6,2,1,4T
T
T
B a a a αββ=?+=+=+问(1)当为何值时，向量组A 与B 等价？a (2)当为何值时，向量组A 与B 不等价？a B 中哪个向量不能用向量组A 线性表示？并将可以用向量组A 表示的向量表示出来。
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第四章向量组及其线性相关性
使
在数存量线性表示，即对每个向能由（和（若记,,,),,2,1().,,,),,,212121mj j j j s m k k k s j b A B b b b B A ===ααα m
mj j j j k k k b ααα+++= 2211,),,,2121????
??
?
???????=
mj j j m k k k ααα（上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
=),,,21s b b b （从而
??
??
?
?
?
???
????ms m m s s m k k k k k k k k k 2
1
22221
1121121),,,ααα（.
)(数矩阵称为这一线性表示的系矩阵ij s m k K =×上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
矩阵：
为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵的列向量组能由，则矩阵若B A C B A C n s s m n m ×××= ????
?
?
?
???
????=sn s s n n s n k k b b b b b b b c c c 21
22221
11211
2121),,,),,,ααα（（上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
???
?
??
?
?????
????????????????=??????????????T s T T ms m m s s T m T T a a a a a a a a a βββγγγ 212
1
2222111211
21：
为这一表示的系数矩阵的行向量组线性表示的行向量组能由同时，A B C ,上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
.
价的方程组一定同解这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称与方程组的解；若方程组的解一定是方程组线性表示，这时方程组能由方程组称方程组的线性组合，就的每个方程都是方程组程组的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组所得到的的各个方程做线性运算对方程组B A B A A B A B A A
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第四章向量组及其线性相关性
作业：A 组：
P116 四、计算题1 、2、3（1）P117 五、证明题1、2、3B 组：P118 1、2
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第四章向量组及其线性相关性
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第二节向量组的线性相关性
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第四章向量组及其线性相关性
第二节向量组的线性相关性一、向量组的线性相关与线性无关二、线性相关性的判定
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第四章向量组及其线性相关性
,,,,,,,: 22112121=+++m m m m k k k k k k A αααααα 使
全为零的数如果存在不给定向量组注意
.
0 ,0,,,,1. 2211121成立才有
时则只有当线性无关若=+++===n n n n αλαλαλλλααα .
, 2. 线性相关性无关就是不是线对于任一向量组定义1
则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关．A 一、向量组的线性相关与线性无关
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第四章向量组及其线性相关性
.
,0, 0, 3. 线性无关则说若线性相关则说若时向量组只包含一个向量ααααα≠=.4. 组是线性相关的包含零向量的任何向量.
,.5 量共面向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分它线性相关的量组对于含有两个向量的向上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
例4.2.2 设向量组线性无关，且
321,,a a a 112223331
,,b a a b a a b a a =+=+=+证明线性无关．
123,,b b b
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第四章向量组及其线性相关性
,,332211321=++b x b x b x x x x 使
设有,0)()( 133322211=+++++ααααααx x x ）（即,0)()() 332221131=+++++αααx x x x x x （亦即线性无关，故有
，，因321 ααα???
??=+=+=+.0 ,0 ,
0 3
22131x x x x x x 证上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
21
100111
01 ≠=列式
由于此方程组的系数行.
,,0 321321线性无关向量组，所以故方程组只有零解b b b x x x ===上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
.
)(; ),,,( ,,, 2121m A R m A m m ==必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数的秩小矩阵条件是它所构成的线性相关的充分必要向量组αααααα 定理二、线性相关性的判定
).
,,( .0 A ,0 212211m m m A x x x x A αααααα ===+++其中有非零解即方程组线性相关就是齐次线性向量组上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
例4.2.2 设向量组线性无关，且
321,,a a a 112223331
,,b a a b a a b a a =+=+=+证明线性无关．123,,b b b 证法2
123123101(,,)(,,)110011b b b a a a ??
??
=??
????
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第四章向量组及其线性相关性
10111020
011
=≠由于
因此101110011??
??
??????
可逆，123123(,,)(,,)3
R b b b R a a a ==从而故线性无关．
123,,b b b 上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
，
，，????
??????=??????????=??????????=742520111321ααα.
21321的线性相关性，及，，试讨论向量组ααααα解.
2, 21321321即可得出结论）的秩，利用定理，及（），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵），施行初等行变换变，，对矩阵（αααααααα已知
例分析
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第四章向量组及其线性相关性
??
?
?
??????=751421201),,(321ααα~2325
r r ?，?
???????
?
?000220201.
,,2),(,,2),,(2121321321线性无关向量组线性相关；
，向量组可见αααααααααα==R R ??????????751220201r r ?1
312~
r r ???
??
????
?
?55
022020
1上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
例4.2.3 当满足什么条件时，向量组
b a ,,
)1,,3,2(,)0,3,2,1(21T T a ==αα34(3,1,,2),(0,1,2,3)T T b αα==线性相关？
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第四章向量组及其线性相关性
定理向量组（当时）线性相关的充分必要条件是中至少有一个向
量可由其余个向量线性表示．m
ααα,,,21 2≥m m ααα,,,21 1?m 证明充分性
设中有一个向量（比如）能由其余向量线性表示.m a a a ,,,21 m a 即有
1
12211??+++=m m m a αλαλαλ 故
()0
1112211=?++++??m m m a αλαλαλ 因这个数不全为0，()1,,,,121??m λλλ m 故线性相关.
m ααα,,,21 上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
必要性设线性相关，m ααα,,,21 则有不全为0的数使
,,,,21m k k k .
02211=+++m m k k k ααα 因中至少有一个不为0，
m k k k ,,,21 不妨设则有
,01≠k .13132121m m k k k k k k αααα??
?
????++???????+???????
= 即能由其余向量线性表示.
1α上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
.
性独立）线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多是其余方程的线性组若方程组中有某个方程线性相关性在线性方程组中的应用
定理：方程组线性相关的充分必要条件是方程组的增广矩阵线性相关（无关）（无关）
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第四章向量组及其线性相关性
???
??=+++=+++=+;
32235,122,54321
432121x x x x x x x x x x 例判别如下方程组的线性相关性
??
??
?
?????????????????=2100013011080101~322351211250011B 解：
由于，因此方程组的线性无关的。
()3R B =
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第四章向量组及其线性相关性
.
,,. ,,,: ,,,, (1) 1121也线性无关向量组则线性无关量组若向反言之也线性相关向量组则线性相关：向量组若A B B A m m m +αααααα 定理）设
（2 ),
,,2,1(,,,12121m j a a a a b a a a j r rj j j j rj j j j
=?
??????
?
????????=????
???
???????=+α上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
.
,.,,,,,,,.2121性相关也线则向量组线性相关反言之，若向量组关也线性无：
则向量组线性无关：
若向量组添上一个分量后得向量即A B b b b B A b m m j j αααα.
3 时一定线性相关于向量个数小当维数维向量组成的向量组，个）（m n n m .
,,,,,:,,,,:(4) 121且表示式是唯一的线性表示必能由向量组向量则线性相关组而向量线性无关设向量组A b b B A m m ααααα 上页下页返回结束Made By QQIR
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第四章向量组及其线性相关性
.
2,,11)()()(2,.1)()(),,,(),,,( 1 111线性相关知向量组根据定理因此，从而，有则根据定理
线性相关若向量组，有记）（B m A R B R m A R A A R B R a a a B a a A m m m +<+≤<+≤==+ 证明.
..:1
关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向一个向量组若有线性）可推广为结论（说明上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
列），
只有因但从而有，则线性无关若向量组有，）记（m B m B R m B R m A R A B R A R b b B A m m r m m r ()(.)()(,).()(),,,(),(2 1)1(1≤≥=≤=αα=×+× .
B )(线性无关，因此向量组故m B R =.
,12 结论也成立个分量维）而言的，若增加多即维数增加）是对增加一个分量（结论（说明
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第四章向量组及其线性相关性
.
,,,,)(,.)(),,,(,,,3 212121线性相关个向量故则若，有构成矩阵维向量个）（m m m n m m m A R m n n A R A n m ααα<<≤ααα=ααα× .
)(1)(.1)(;)().()(),,,,,(),,,,()4( 2121m B R m B R m m B R B m A R A B R A R b B A m m =+<≤+<=≤==，即有所以组线性相关，有因组线性无关，有因有记αααααα .
),,,( ,)()( 21一线性表示，且表示式唯组能由向量有唯一解，即向量知方程组
由A b b x m B R A R m ===ααα 上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
1. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；（重点）
2. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理．（难点）
四、小结
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第四章向量组及其线性相关性
.
, )3(0 )2( 0 )1(:
两式不一定同时成立或者线性相关的充要条件是，两个向量；线性无关的充要条件是一个向量；线性相关的充要条件是一个向量试证明αββαβαααααk k ==≠=思考题
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第四章向量组及其线性相关性
证明（１）、（２）略．
（３）充分性
.
,,0,0,,,, 即可令则不妨设得使
存在不全为零的数线性相关x
y
k x y x y x y x ?
=?=≠=+∴βαβαβα∵必要性
.
,,0)(1, 线性相关知由定义则有不妨设βαβαβα=?+?=k k 思考题解答
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第四章向量组及其线性相关性
作业
B 组：P118
3、4
A 组：P116 -117四、计算题2、5上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
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第三节向量组的秩
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第四章向量组及其线性相关性
一、最大线性无关向量组二、矩阵与向量组秩的关系
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第四章向量组及其线性相关性
，满足
个向量
中能选出，如果在设有向量组r r A A ααα,,, 21 定义１线性无关；
）向量组（r A ααα,,,:1210 关，
个向量的话）都线性相中有个向量（如果中任意）向量组（112
++r A r A . 的秩称为向量组
数最大无关组所含向量个r ;
0）（简称的一个向量组是那末称向量组A A 最大线性无关向量组最大无关组0.
它的秩为有最大无关组，规定只含零向量的向量组没一、最大线性无关向量组
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第四章向量组及其线性相关性
.
它的行向量组的秩量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向证.0,)(),,,(
21≠==r m D r r A R a a a A 阶子式并设，设 定理１关；
列线性无知所在的由定理根据r D r 022.4 ≠.11 个列向量都线性相关中任意阶子式均为零，知中所有又由++r A r A 关组，的列向量的一个最大无
列是所在的因此A
r D r . r 等于所以列向量组的秩).
(A R A 的行向量组的秩也等于类似可证二、矩阵秩与向量组秩的关系
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第四章向量组及其线性相关性
的秩也记作向量组m a a a ,,,21 .
最大无关组行即是行向量组的一个所在的最大无关组，列即是列向量组的一个所在的，则的一个最高阶非零子式是矩阵若r D r D A D r r r ;
1）最大无关组不唯一（)
,,,(21m a a a R 结论
说明
.
2关组是等价的）向量组与它的最大无（上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
是线性无关的，向量组
维单位坐标向量构成的因为n
e e e E n ,,,: 21 解.
的秩一个最大无关组及的，求作维向量构成的向量组记全体n n n R R R n 例1个向量都线性相关，中的任意知的结论定理又根据1 )3( 32.4 +n R n .
n R R E n n 的秩等于的一个最大无关组，且是因此向量组上页下页返回结束
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58
第四章向量组及其线性相关性
??????
?
???
??
?
???????=979634226441
21121112 A 设矩阵
例2.
用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵A 上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
行阶梯形矩阵
施行初等行变换变为对 A 解，
知3)(=A R A
，
??
?
?
?
????????
????00000310000111041
211
初等行变换
~
.
3 个向量组含故列向量组的最大无关三列，、、元在而三个非零行的非零首421.
,,,421无关组为列向量组的一个最大故a a a 上页下页返回结束
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60
第四章向量组及其线性相关性
线性无关
，故知421421,,3),,(a a a a a a R =.
,,, 42153成行最简形矩阵再变
线性表示，必须将用要把A a a a a a =),,421a a a （事实上
???
????
?????
?
????76326411
1112???
???
?
??????
?000100110111
初等行变换
~
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第四章向量组及其线性相关性
??
?
??
?
????
???
????0000031000
30110
40
101 ~初等行变换A ??
??+=??=4
215213334,
a a a a a a a 即得上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
.
的秩的秩不大于向量组量组线性表示，则向能由向量组设向量组A B A B .
,,, : ,,: 1010s r a a A A b b B B s r ≤要证的一个最大无关组为向量组，的一个最大无关组为设向量组 证定理２.
00组线性表示组能由表示，组线性
组能由组线性表示，组能由因A A A B B B .
00组线性表示组能由故A B 使得
即存在系数矩阵),(ij sr k K =三、向量组秩的重要结论
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第四章向量组及其线性相关性
???
???????=sr s r s r k k k k a a b b
111111),,(),,(），有非零解（因简记为，则方程组如果r s K R Kx x x K s r r sr <≤==???
?
??????>)( )
0( 0 1 有非零解，从而方程组0
),,( 1=Kx a a s 有非零解，即0),,(=x b b r .
0s r s r B ≤>不能成立，所以线性无关矛盾，因此组这与上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
. r s B A 和的秩依次为与向量组设向量组证.
等价的向量组的秩相等推论1,同时成立与故s r r s ≤≤示，
表
两个向量组能相互线性因两个向量组等价，即.r s =所以).
()(),()( B R C R A R C R B A C n s s m n m ≤≤=×××，则设推论2
用其列向量表示为
和设矩阵A C 证).,,(),,,(11s n a a A c c C ==，
而)(ij b B =上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
????
?
???
??=sn s n s n b b
b b a a
c c
111111),,(),,( 由).
()(A R C R ≤因此),()(, T
T
T
T
T
B R
C R A B C ≤=由上段证明知因的列向量组线性表示，的列向量组能由知矩阵A C ).
()(B R C R ≤即思考
？
有什么异同与推论定理 22上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
,
r r B 个向量，则它的秩为含设向量组 证.
3的一个最大无关组是向量组则向量组线性表示，能由向量组线性无关，且向量组组的部分组，若向量是向量组设向量组推论A B B A B A B .
1条件所规定的最大无关组的满足定义所以向量组B ，组的秩组线性表示，故组能由因r A B A ≤个向量线性相关，
组中任意从而1+r A
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第四章向量组及其线性相关性
.
, 等价与向量组秩相等，证明向量组且它们的线性表示能由向量组设向量组B A A B 例3.线性表示能由向量组只要证明向量组B A ,,:,,:1010r r b b B a a A B A r 和的最大无关组依次为组组和，并设设两个向量组的秩都为 使
阶方阵表示，即有组线性组能由组线性表示，故组能由因r K r A B A B 00证一r
r r K a a b b ),,(),,(11 =上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
r b b R K R r r =≥),,()( 221 ，有
推论根据定理.),,(10r b b R B r = 组线性无关，故因.
)()(r K R r K R r r =≤，因此但,),,(),,(1
11?=r r r r K b b a a K 可逆，并有
于是矩阵.00组线性表示组能由即B A .
组线性表示组能由从而B A 上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
,,0个向量含组的最大无关组故组的秩为又因r B B r B .),(,),(组线性表示组总能由故组的部分组组是而B A A B A A 证二
.
r B A 的秩都为和设向量组.
),(,组线性表示能由成的向量组组合并而组和故组线性表示组能由因A B A B A A B .
),(,),(r B A A B A 组的秩也为因此组等价组与所以 .
),(,),(00组等价组与而从组的最大无关组组也是因此B B A B A B
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第四章向量组及其线性相关性
000000 ,.
;(,).
A B A B B A A B A B 本例把证明两向量组与等价转换为证明它们的最大无关组与等价证法一证明用线性表示的系数矩阵可逆证法二实质上是证明与都是向量组的最大无关组.
,),(),( 0组等价与组推知等价与组等价，组与由B A B B A B A A 注意
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第四章向量组及其线性相关性
,59354645),(,13112032),( 2121???
?
?
??
???????????=?????????????????=b b a a 已知
例4.
),(),(2121等价与证明向量组b b a a 上页下页返回结束
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第四章向量组及其线性相关性
.
),(),(,),(),( ,,2 21212121Y b b a a X a a b b Y X ==使
阶方阵要证存在证明.X 先求????
??
????
??
?????????=5913351146204532
),,,(2121b b a a 最简形矩阵：
施行初等行变换变为行阵对增广矩的方法类似于线性方程组求解),,,(, 2121b b a a
向量组的线性有关性归纳
第四章 向量组的线性相关性 §1 n 维向量概念 一、向量的概念 定义1 n 个有次序的数12,, ,n a a a 所组成的数组称为n 维向量,这n 个数称为该向量的n 个分量,第i 个数 i a 称为第i 个分量. 注1分量全为实数的向量称为实向量.分量不全为实数的向量称为复向量. 注2 n 维向量可以写成一行的形式() 12,, ,n a a a a =,出可以写成一列的形式 12n a a a a ?? ? ? = ? ??? ,前者称为行向量,而后者称为列向量.行向量可看作是一个1n ?矩阵,故又称行矩阵;而列向量可看作一个1n ?矩阵,故又称作列矩阵.因此它们之间的运算就是矩阵之间的运算,从而符合矩阵运算的一切性质.向量之间的运算只涉及到线性运算和转置运算.为叙述方便,特别约定:在不特别声明时说到的向量均为列向量,行向量视为列向量的转置. 注3 用小写黑体字母,,,a b αβ 等表示列向量,用,,,T T T T a b αβ表示行向量. 例1 设123(1,1,0),(0,1,1),(3,4,0)T T T v v v ===，求12v v -及12332v v v +-. 解 12v v -(1,1, 0)(0,1,1)T T =-(10,11,01)T =---(1,0,1)T =- 12332v v v +-3(1,1,0)2(0,1,1)(3,4,0)T T T =+- (31203,31214,30210)T =?+?-?+?-?+?- (0,1,2)T = 定义 设v 为n 维向量的集合，如果集合v 非空，且集合v 对于加法与数乘两种运算封闭（即若α∈v,β∈v ，有α+β∈v ；若α∈v, k ∈R ，有k α∈v ），称v 为向量空间。 §2 向量组的线性相关性 一、向量组的线性组合 定义3 给定向量组A :12,, ,m a a a ,对于任何一组实数12,,,m k k k ,称向量 1122m m a a a k k k +++ 为向量组A 的一个线性组合,12,, ,m k k k 称为这个线性组合的系数. 定义4 给定向量组A :12,, ,m a a a 和向量b ,若存在一组实数12,, ,m λλλ,使得 1122m m a a a b λλλ=++ +
向量组的线性相互与线性无关
向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设12,,,n t a a a R ???∈，12,,,t k k k R ???∈，称1122t t k a k a k a ++???+为12,,,t a a a ???的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，12112212(,,,)t t t t k k k a k a k a a a a k ?? ? ?++???+=??? ? ???M 。这 样的表示是有好处的。 2.线性表示 设12,,,n t a a a R ???∈，n b R ∈，如果存在12,,,t k k k R ???∈，使得 1122t t b k a k a k a =++???+ 则称b 可由12,,,t a a a ???线性表示。 1122t t b k a k a k a =++???+，写成矩阵形式，即1212(,,,)t t k k b a a a k ?? ? ?=??? ? ???M 。因此，b 可由12,,,t a a a ???线性表示即线性方程组1212(,,,)t t k k a a a b k ?? ? ????= ? ???M 有解，而该方程组有解 当且仅当1212(,,,)(,,,,)t t r a a a r a a a b ???=???。 3.向量组等价 设1212,,,,,,,n t s a a a b b b R ??????∈，如果12,,,t a a a ???中每一个向量都可以由 12,,,s b b b ???线性表示，则称向量组12,,,t a a a ???可以由向量组12,,,s b b b ???线性表示。 如果向量组12,,,t a a a ???和向量组12,,,s b b b ???可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。
线性代数 向量组的线性相关性
第三节 向量组的线性相关性 分布图示 ★ 线性相关与线性无关 ★ 例1 ★ 例2 ★ 证明线性无关的一种方法 线性相关性的判定 ★ 定理1 ★ 定理2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理3 ★ 定理4 ★ 定理5 ★ 例7 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3 内容要点 一、线性相关性概念 定义1 给定向量组,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数,,,,21s k k k 使 ,02211=+++s s k k k ααα (1) 则称向量组A 线性相关, 否则称为线性无关. 注: ① 当且仅当021====s k k k 时，(1)式成立, 向量组s ααα,,,21 线性无关; ② 包含零向量的任何向量组是线性相关的; ③ 向量组只含有一个向量α时，则 （1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的； ④ 仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个向量的对应分量成比例；反之，仅含两个向量的向量组线性无关的充分必要条件是这两个向量的对应分量不成比例. ⑤ 两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 二、线性相关性的判定 定理1 向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示. 定理 2 设有列向量组),,,2,1(,21s j a a a nj j j j =???? ?? ? ??=α 则向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是: 是矩阵),,,(21s A ααα =的秩小于向量的个数s .
向量组的线性相关性 线性代数习题集
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号 第一节 向量组及其线性组合 第二节 向量组的线性相关性 一．选择题 1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关 （C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s . 2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 二．填空题： 1． 设T T T ),,(,),,(,),,(0431********===ααα 则=-21αα (1,0,1)T - =-+32123ααα (0,1,2)T 2． 设)()()(αααααα+=++-321523，其中T ),,,(31521=α，T )10,5,1,10(2=α T ),,,(11143-=α，则=α (1,2,3,4)T 3． 已知T T T k ),,,(,),,,(,),,,(84120011211321---===ααα线性相关，则=k 2 4． 设向量组),,(,),,(,),,(b a c b c a 000321===ααα线性无关，则c b a ,,满足关系式 0abc ≠ 三．计算题： 1． 设向量()11,1,1T αλ=+，2(1,1,1)T αλ=+，3(1,1,1)T αλ=+，2(1,,)T βλλ=，试问当λ为何值时 （1）β可由321ααα,,线性表示，且表示式是唯一？ （2）β可由321ααα,,线性表示，且表示式不唯一？ （3）β不能由321ααα,,线性表示？ 线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性 系 专业 班 姓名 学号
第四章向量组的线性相关性目标测试题(参考答案)
第四章 向量组的线性相关性目标测试题 （参考答案） 一、填空题. 1. 设向量组) , ,0( ),0 , ,( ), ,0 ,(321b a c b c a ===ααα线性无关，则c b a ,,必满足关系式0abc ≠. 2. 已知向量组)1 ,1 ,3 ,4( ),2 ,6 ,2 ,4( ),0 ,2 ,1 ,3( ),1 ,3 ,1 ,2(4321-=-=-=-=αααα，则该向量组的秩为___2__. 3. 设三阶矩阵122212304A -?? ?= ? ???，三维向量11a α?? ?= ? ??? ，若向量A α与α线性相关，则a = -1 ． 4. 已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)T T T t ααα=-==--的秩为2，则t ＝ 3 ． 5. 设321,,ααα线性无关，问=k __1_时，312312,,αααααα---k 线性相关. 6．设12,,s ηηηL 为非齐次线性方程组Ax b =的解，若1122s s k k k ηηη+++L 也是方程组Ax b =的解， 则12s k k k L ，，，应满足条件12s + 1k k k ++=L . 二、选择题. 1．设有向量组 ),0 ,2 ,2 ,1( ),14 ,7 ,0 ,3( ),2 ,1 ,3 ,0( ),4 ,2 ,1 ,1(4321-===-=αααα),10 ,5 ,1 ,2(5=α 则该向量组的最大线性无关组( B ). (A ) 321 , ,ααα, (B ) 421 , ,ααα, (C ) 521 , ,ααα, (D ) 5421 , , ,αααα． 2. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是(C ). (A ) 21αα+,,32αα+13αα+, (B ) ,1α21αα+,321a ++αα, (C ) 21αα-,,32αα-13αα-, (D ) 21αα+,,231αα+133αα+.
向量组以及线性相关性
资料考点大提纲 请按照编号顺序阅读，方便建立知识点结构。 注：本资料只有技巧总结,不涉及概念性的基础类总结.若要复习基础性概念请查阅教材. 主要掌握： 1.向量的基本概念：(注意：不加说明的向量α是指列向量) 2.向量组的基本概念. 3.向量的基本运算：( 加减、数乘 ) 4.向量的线性相关性的概念： i. 线性组合的概念 ii. 线性表出的概念 iii. 线性相关和线性无关的概念. 5.矩阵秩的概念、向量组秩的概念. 4.向量的线性相关无关的基本判定方式： i. 向量β可以由向量组α1，α2，……，αn 线性表出 ? 非齐次线性方程组 []βαα=????? ?????????n n x x x a 2121,,,有解 ?.],,,,[],,,[2121βααααααn n r r ??=?? ii 向量组α1，α2，…，αn 线性相关?齐次线性方程组 0],,,[2121=???? ? ????????n n x x x ααα有解?n r n =n )必定相关. r(A) 向量组线性相关性判定 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法作者院数学与统计学院专业数学与应用数学年级2011级学号指导教师郭亚梅论文成绩日期2015年月日学生诚信承诺书本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期：导师签名： 日期：院长签名：日期：论文使用授权说明本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期：向量组线性相关性的判定方法摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组线性相关线性无关判定方法 1 引言线性相关性的内容是线性代数课程中的 重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. n维向量的定义定义：n个有次序的数a1,a2,?,an所组成的数组(a1,a2,?an)或(a1,a2,?an)T分别称为n维行向量或列向量.这n个数称为向量的n 个分量? 第i个数ai称为第i个分量?显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母?,?等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算? 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性 安阳师范学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日 学生诚信承诺书 本人郑重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法 （安阳师范学院 数学与统计学院 河南 安阳 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组内向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的内容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a ,,a n a 所组成的数组12(a ,a ,)n a 或12(a ,a ,)T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组 ２－２ 向量组的线性相关性 一、线性组合、线性表出及其与线性方程组的关系 例2.5［Ｐ８７ 不管］ 定义2.4［Ｐ８７ －６行至Ｐ８８ １行］ ｎ维向量α１，α２，…，αｍ的一个线性组合，线性组合的系数； 向量β可由向量组α１，α２，…，αｍ线性表出（线性表示），线性表出的系数。 例（补）设β＝（ｂ１，ｂ２，ｂ３），αｉ＝（ａｉ１，ａｉ２，ａｉ３），ｉ＝１，２，３，那么 β可由α１，α２，α３线性表出 ?向量方程ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝β有解 α１ α２ α３ ??????=++=++=++33332231 1323322221121331221111b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 有解。此时， 线性方程组有唯一解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法唯一； 线性方程组有无穷多解?β可由α１，α２，α３线性表出，且表示法不唯一。 例[结论]：向量组β1，β2，…，βｍ中每一个向量βi 均可由该向量组线性表出。 证明：βI ＝０β１＋…＋０βｉ－１＋１βｉ＋０βｉ＋１＋…＋０βｍ， ｉ＝１，２，…，ｍ。 作业：Ｐ１１２：１９（１）用定理做，（２）除用定理做外，还可用观察法做。 二、线性相关、线性无关及其与齐次线性方程组解的关系： 对每一个向量组α１，α２，…，αｍ，总有 ０α１＋０α２＋…＋０αｍ＝０。 所有向量组的共性。 定义２．５：设α１，α２，…，αｍ是一组ｎ维向量，如果存在一组不全为零的常数ｋ１， ｋ２，，ｋｍ，使得 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ （２．６） 则称向量组α１，α２，…，αｍ是线性相关的；否则，称为线性无关的。即如果有 ｋ１α１＋ｋ２α２＋…＋ｋｍαｍ＝０ 成立，则必有ｋ１＝ｋ２＝…＝ｋｍ＝０，则称α１，α２，…，αｍ是线性无关的。 例［Ｐ８８：１１行－２３行］ 对于向量组 ξ１＝（１，１，０），ξ２＝（１，２，０），ξ３＝（１，３，１） 令 ｘ１ξ１＋ｘ２ξ２＋ｘ３ξ３＝０， 即 ?? ???==++=++003203321321x x x x x x x ，解得：ｘ１＝ｘ２＝ｘ３＝０， 所以ξ １，ξ２，ξ３线性无关。 y O x 12345612 3 4 56图11)由两个2 维向量构成的向量组A : a 1, a 2M 1(1,2) M 2(2,4)M 3(3,6)在直线y =2x 取三点M 1, M 2, M 3, 作三个向量: )21(11,OM a ==)4,2(22==OM a )6,3(33==OM a 显然, 这三个向量中的 任意两个向量构成的向 量组都是线性相关的.线性相关的几何意义是: a 1, a 2共线. 向量组线性相关的几何意义 2)由3 个3 维向量构成的向量组线性相关的几2)(1,1,11-==RM a )2,0,2(22-==RM a 2),2,0(33-==RM a 向量组a 1, a 2, a 3 线性相关,因为2a 1 -a 2-a 3 = 0.M 1 M 2 M 3O x 3y 3z 3 R 图2 向量: 在π上取三点:M 1(1,1,1), M 2(2,0,1), M 3(0,2,1),作三个何意义是这3 个向量共面.如给定平面π: x+y+z =3. 3)四维向量组线性相关的几何意义 设有四维向量组 ,6914,13283,5421,41324321??????? ??--=??????? ??-=??????? ??--=??????? ??=αααα有α3= 2α1-α2, α4= α1+ 2α2, 所以向量组α1,四个平面交于同一条直线. 如图3 对应的非齐次线性方程组中的四个方程所表示的α2, α3, α4线性相关, 其几何意义为:该向量组所 2x+3y+z=4 3x+8y-2z=13 x-2y+4z=-5 4x-y+9z=-6图3 第四章 向量 一 内容概要 1 向量的概念：（1）定义；（2）与矩阵之间的关系；（3）向量的相等； 2 向量的运算：（1）向量的和、差；（2）向量的数乘；（3）向量的线性运算； 3 向量组的线性关系 （1）线性组合：对于给定的向量组βααα,21s ，，， ；如果存在一组数 s k k ,,1 使得：s s k k k αααβ+++= 2211 则称向量s 21αααβ，，，是向量组 的一个线性组合，或称β可以由向量组： ,21s ααα，，， 线性表示； （2）线性相关、线性无关的定义 设,21s ααα，，， 是一组n 维向量（当然是同型），如果存在一组不全为0的数s k k ,,1 使得：02211=+++s s k k k ααα 则称向量组,21s ααα，，， 线性相关 指出，这里一定要注意关键词：（1）它是不全为0的数s k k ,,1 ；（2）存在；至于这一组数具体是什么样的一组数无关紧要。 反之 则称向量组,21s ααα，， ， 线性无关，即若要 02211=+++s s k k k ααα 成立，必有021====s k k k ，则称向量组,21s ααα，，， 线性无关。 （3）向量组的线性相关性与方程组之间的关系 向量组,21s ααα，，， 线性关系式02211=+++s s k k k ααα 具体表示出来实际上就是一个方程组： ?? ???? ?=+++=+++=+++0 00 221122221211212111s ms m m s s s s x a x a x a x a x a x a x a x a x a 其中：() m j a a a T mj j j j ,,2,1,,,21 ==，α因此，通俗的话来说，向量组 s 21,ααα ，，线性相关的充要条件是：上述方程组有非0解。 这是判断一个向量组s ααα，，， 21是否线性相关最常用的方法。 （2）向量有解的关系线性表示与方程组，，，可被向量组βαααβ=AX n 21 设()()j T m n b b b A αβααα,,,,,,,,2121 ==的意义同上，则方程组β=AX 可表 示成：βααα=+++n n x x x 2211，或 ?? ???? ?=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* 因此向量线性表示，，，可被向量组n 21αααβ 的充要条件是方程组β=AX 有解。 如果有唯一的解，则线性表示，，，可被向量组n αααβ 21，且表示法是唯一的。 如果方程组有无穷多组解，则线性表示，，，可被向量组n αααβ 21，且表示法有无穷多种，此时向量组n ααα，，， 21线性相关。 如果方程组无解，则线性表示，，，不能被向量组αααβ 21。 4 关于向量组的等价 （1）设向量组Ⅰ：;s 21ααα，，， Ⅱ;t 21βββ，，， 如果向量组Ⅱ中每一个向量j β可以被向量组Ⅰ线性表示，则称向量组Ⅱ可被向量组Ⅰ线性表示。用式子表示就是： ?? ???? ?+++=+++=+++=s ts t t t s s s s k k k k k k k k k αααβαααβαααβ 22112222121212121111 （2）如果Ⅰ与Ⅱ能相互线性表示，则称向量组Ⅰ与Ⅱ等价。 线性相关性 一、填空题 例设向量组1234(1,2,1),(2,3,1),(,3,1),(2,,3),T T T T x y αααα====的秩为2，则x = 2 ， y = 5 ． 例已知向量组()11,2,1T α=-，()22,0,T t α=，()30,4,5T α=-线性相关，则t = 3 ． 例若向量组123(1,2,3),(2,3,4),(3,4,)T T T t ααα===线性相关，则t =5． 二、 选择题 例设矩阵A 、B 、C 均为n 阶方阵，若AB C =，且B 可逆，以下正确的是【Ｂ】． (A) 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价； （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价； （C 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价； （D ）矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价． 例1234123400110,1,1,1C C C C αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ????????? ，其中1234,,,C C C C 为任意常数，则下列向量组线性相 关的为（ C ） （A ） 123,,ααα；（B ）124,,ααα; (C) 134,,ααα; (D) 234,,ααα. 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，下列选项不正确的是【B 】． （A ）对于任意一组不全为0的数12,,,s k k k 都有s s k a k a k a 1122,0+++≠ ，则12,,,s a a a 线性无关； （B ）若12,,,s a a a 线性相关，则对于任意一组不全为0数12,,,s k k k 都有 s s k a k a k a 1122,0+++= ； （C ）12,,,s a a a 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s ； (D ）若12,,,s a a a 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关． 例设12,,,s a a a 均为n 维列向量，A 是m n ?矩阵，下列选项正确的是【A 】． （A ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性相关； （B ）若12,,,s a a a 线性相关，则12,,,s Aa Aa Aa 线性无关； ２－２ 向量组的线性相关性习题评讲 １９、把向量β表示成α１，α２，α３，α４的线性组合： （１）α１＝（1，1，1，1），α２＝（1，1，-1，-1），α３＝（1，-1，1，-1）， α４＝（1，-1，-1，1） ，β＝（1，2，1，1）。 解：令βαααα=+++44332211x x x x ，解对应的线性方程组， A ＝????????? ???------11111111112111111111→????????????------00220020201220011111→????? ???????--12 2000011001010 11111 →????????????---12 200 011000101010101→?? ???? ??????--14 000 01100010101100 1 →?????? ??????? ?--411 00011000101011 001→ ? ? ??????? ?????????? ?--411000410100410 010450 001，得ｘ１＝45，ｘ２＝41，ｘ３＝－41，ｘ４＝－41， 所以β＝ 45α１＋41α２－41α３－4 1 α４ 。 （２）α１＝（1，1，0，1），α２＝（2，1，3，1），α３＝（1，1，0，0）， α４＝（0，1，-1，-1），β＝（0，0，0，10）。 解１：观察出β＝α１－α３。 解：令βαααα=+++44332211x x x x ，解对应的线性方程组， A ＝????????? ???--11011010300111100121→????????? ???-----11110010300101000 121→????? ???????---12 100 020********* 101 →????????? ???-01 00 101000001000101→?? ??? ???????-010 00 10100000101000 1 ， 得ｘ１＝１，ｘ２＝０，ｘ３＝－１，ｘ４＝０，所以β＝α１－α３。 ５、证明向量组β１＝α１＋α２，β２＝α２＋α３，β３＝α３＋α４，β４＝α４＋α１线性相关，其中α１，α２，α３，α４是任意ｎ维向量。 证明１：因为（α１＋α２）－（α２＋α３）＋（α３＋α４）－（α４＋α１）＝０， 即１β１＋（－１）β２＋１β３＋（－１）β４＝０， 所以β１，β２，β３，β４线性相关。 证明２：令ｘ１β１＋ｘ２β２＋ｘ３β３＋ｘ４β４＝０，即 ｘ１（α１＋α２）＋ｘ２（α２＋α３）＋ｘ３（α３＋α４）＋ｘ４（α４＋α１）＝０， 即（ｘ１＋ｘ４）α１＋（ｘ１＋ｘ２）α２＋（ｘ２＋ｘ３）α３＋（ｘ３＋ｘ４）α４＝０， 用观察法找一个充分条件：当ｘ１＝ｘ３＝１，ｘ２＝ｘ４＝－１时，上式成立。 即有不全为零的数１，－１，１，－１，使 １β１＋（－１）β２＋１β３＋（－１）β４＝０， 所以β１，β２，β３，β４线性相关。 ７、证明向量组α１＝（０，３，１，－１），α２＝（６，０，５，１）， α３＝（４，－７，１，３）线性相关，并求它们满足的线性关系。 证明：令ｘ１α１＋ｘ２α２＋ｘ３α３＝０，解对应的齐次线性方程组，由 Ａ＝????????? ???--311 151703 460→????????????---460151703311→? ????? ??????--460460230311→?????? ????????--0000003210311 向量组线性相关与线性无关的判别方法 摘要 向量组的线性相关性与线性无关性是线性代数中最为抽象的概念之一，如何判别向量组的 线性相关与线性无关是正确理解向量的关键，本文介绍了它与行列式、矩阵、线性方程组的解之间的关系.总结了向量组线性相关和线性无关的判定方法. 关键词 向量组 线性相关 线性无关 矩阵 秩 1 引言 在高等代数中，向量组的线性相关和线性无关的判定这个课题有许多的研究成果，它与行列式，矩阵，线性方程组的解，二次型，线性变换以及欧式空间都有着重要的联系，然而向量的线性相关与线性无关的判别是比较抽象和难以理解的，实际上，向量组的线性相关与线性无关是相对的，我们只要掌握了线性相关的判别，那么线性无关的判别也就迎刃而解了，至今已给出了以下几种常见的方法：利用定义法判断，利用齐次线性方程组的解判断，利用矩阵的秩判断，利用行列式的值判断等.其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵的秩，利用行列式的值这三种方法的出发点不同但实质是一样的. 2 向量组线性相关和线性无关的定义 定义 设向量组m ααα,,,21 都为n 维向量，如果数域P 中存在一组不全为零的数 12,m k k k ,使0332211=++++m m k k k k αααα 则称向量组是线性相关, 反之，若数域 P 中没有不全为零的数12 ,m k k k ，使 0332211=++++m m k k k k αααα ， 称它是线性无关. 3 向量组线性相关和线性无关的判定方法 3.1 一个向量与两个向量线性相关的判定方法 由定义可以看出，零向量的任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以得出这个向量是线性相关的. 命题1 一个向量线性相关的充分条件是它是一个零向量. 关于两个向量的线性相关性判断可以转化为向量的成比例判断. 命题2 两个n 维向量()n a a a ,,,21 =α， ()n b b b 21,=β线性相关的充要条件是i a 与()n i b i 2,1=对应成比例. 向量组的线性相关性的判定 摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件. 关键词：向量组；线性相关；行列式 引言 向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据. 向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子. 本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的. 1.向量组线性相关性的相关定义及性质 定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,, ,n x x x ,如果存在n 个不全为0的数12,,,n λλλ，使得 11220n n x x x λλλ+++=. 那么称12,,,n x x x 是线性相关的.否则称12,, ,n x x x 是线性无关的. 性质1.1 若12,, ,n x x x 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余1n -个 向量线性表示. 第四章 向量组的线性相关性 4.4.1 基础练习 1. 设有n 维向量组12m ???ααα，， ,与???12m ββ,β，，若存在两组不全为零的数 12m λλλ???，，,和12k k k m ???，，,使 11111m m m k k k k 0m m m λλλλ??????1ααββ（＋）＋＋（＋）＋（－）＋＋（－）＝ 则（ ） （A ）12m ???ααα，， ,和???12m ββ,β，，都线性相关 (B) 12m ???ααα，， ,和???12m ββ,β，，都线性无关 (C) 1m m 1m m ??????11αβαβαβαβ＋， ，＋，－，，－线性无关 (D) 1m m 1m m ??????11αβαβαβαβ＋， ，＋，－，，－线性相关 2. 设12s ???ααα，， ,与t ???12ββ,β，，为两个n 维向量组，且 12s t ()()r R R ???=???=12αααββ,β，，,，，，则（ ） （A ）当s t =时，两向量组等价； （B ）两向量组等价； （C ）12s t ()r R ??????12αααββ,β，， ,，，，＝； （D ）当向量组12s ???ααα，， ,被向量组t ???12ββ,β，，线性表示时，两个向量组等价. 3. 设A 是4阶方阵，且0A ＝，则A 中（ ） (A) 必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素成比例； (C)必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合. 4. 设A 是矩阵，B 是矩阵，则( ) （A ）当m n >时，必有0≠AB ； （B ）当m n >时，必有0AB ＝ （C ）当m n <时，必有0≠AB ； （D ）当m n <时，必有0AB ＝ 5. 设向量组231ααα，，线性无关，向量1β可由231ααα，，线性表示，而向量2β不能由 231ααα，，线性表示，则对于任意常数k ，必有（ ） 4第四章向量组的线性相关性习题解答 习 题 四 A 组 1．填空题 (1) 设T =(2,3,7)x ，T =(4,0,2)y ，T =(1,0,2)z ，且2()3()-++=x a y a z ，则 a = ． 解 由2()3()-++=x a y a z 得 1523618-?? ? =--+=- ? ?-?? a x y z ． (2) 单个向量α线性无关的充分必要条件是 ． 解 ≠α0． (3) 已知向量组(1,0,1)=1α,(2,2,3)=2α，(1,3,t)=3α线性相关，则 ． 解 因为123101100 22322125013131 t t t ===-=-ααα，所以5 2 t =． (4) 设有向量组,12ββ，又112=-αββ，2212=+αββ，2312=5-αββ，则向量组 ,,123ααα线性 ． 解 123,,ααα可由12,ββ线性表示，所以123,,ααα的秩小于等于2，从而可知 123,,ααα线性相关． (5) 若向量组,,123ααα线性相关，则向量组12+αα，23+αα，31+αα线性 ． 解 因为121232313110011101+?????? ? ???+= ? ??? ? ???+??????ααααααααα，又11001120101=≠，所以矩阵110011101?? ? ? ??? 可逆，从 而 1 11222333 1110011101-+?????? ? ? ?=+ ? ? ? ? ? ? +??????ααααααααα， 即123,,ααα与122331,,+++αααααα等价．故12+αα，2331,++αααα线性相关． (6) 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ， 则 ． 解 1 2 a =． (7) 设向量组()()()123,0,,,,0,0,,a c b c a b ===ααα线性无关，则,,a b c 必满足关系式 ． 解 0abc ≠． (8)设三阶矩阵122212304-?? ? ? ??? A =，三维列向量()T ,1,1a =α．已知A α与α线性相关，则 a = ． 解 1a =-． 2．选择题 (1) n 维向量组12s ,, ,a a a (3≤s ≤n )线性无关的充分必要条件是 ． (A)存在一组全为零的数12,,,s k k k ，使1122s s k k k +++=ααα0； (B)存在一组不全为零的数12,,,s k k k ，使1122s s k k k ++ +≠ααα0； (C)12s ,,,a a a 中任意两个向量都线性无关； (D)12s ,, ,a a a 中任意一个向量都不能由其余向量线性表示． 答 （D ）．12,, ,s ααα线性相关的充分必要条件是：12,, ,s ααα中至少有一个向量 可由其余1s -个向量线性表示．所以12,,,s ααα线性无关的充分必要条件是： 12,,,s ααα中任意一个向量都不能由其余1s -个向量线性表示． (2) 设有两个n 维向量组,, ,s 12ααα、,,,s 12βββ，若存在两组不全为零的数 12,, ,s k k k ；12,, ,s λλλ，使111111()()()()s s s s s s k k k k λλλλ+++++-+ +-=0ααββ； 则 ． 师学院本科学生毕业论文向量组线性相关性的判定方法 作者 院（系）数学与统计学院 专业数学与应用数学 年级2011级 学号 指导教师郭亚梅 论文成绩 日期2015年月日 学生诚信承诺书 本人重承诺：所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得师学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料.所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了意. 作者签名：日期： 导师签名：日期： 院长签名：日期： 论文使用授权说明 本人完全了解师学院有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文. 作者签名：导师签名：日期： 向量组线性相关性的判定方法 （师学院 数学与统计学院 455002） 摘要：向量组线性相关性在高等代数中是一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其他 许多理论。所以熟练地掌握向量组线性相关性的判定方法，可以让我们更好的理解其他理论知识.本文将向量组向量之间的线性关系、齐次线性方程组的解、矩阵的秩、行列式的值及已知结论等知识运用于向量组线性相关性的判定，进而归纳出判定向量组线性相关性的若干方法. 关键词：向量组 线性相关 线性无关 判定方法 1 引言 线性相关性的容是线性代数课程中的重点和难点，线性相关性的有关结论，对我们来说是很难理解的.本文总结出了判定向量组线性相关和线性无关的几种方法. 2.1 n 维向量的定义 （一维、二维、三维向量，推广到n 维向量） 定义： n 个有次序的数12,a , ,a n a 所组成的数组12(a ,a , )n a 或12(a ,a , )T n a 分别称为n 维行向量或列向量.这n 个数称为向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.显然，行向量即为行距阵，列向量即为列矩阵.向量通常用黑体小写希腊字母,αβ等表示.分量全为实数的向量称为实向量，分量全为复数的向量称为复向量. 2.2 向量的线性运算行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算. 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的线性运算.向量的线性运算满足8条运算律. 全体的n 维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n 维向量空间（或线性空间）. 例如，全体3维向量的集合；闭区域上的连续函数的集合；一元n 次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间. 3.向量组线性相关性的定义 3.1向量组 有限个或无限个同维数列向量(或同维数的行向量)所组成的集合称为一个向量组. 例如一个m n ?矩阵对应一个m 维列向量组, 也对应一个n 维行向量组向量组线性相关性判定
向量组线性相关性判定
2-2 向量组的线性相关性
向量组线性相关的几何意义
4 向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
2-2 向量组的线性相关性习题评讲
向量组线性相关与线性无关解析
向量组的线性相关性的判定
第四章向量组的线性相关性线性代数含答案
最新4第四章向量组的线性相关性习题解答汇总
向量组线性相关性判定