4.三角形的等积变形

小学五年级奥数精讲等积变形求面积(含答案)

小学奥数精讲：等积变形求面积 “三角形的面积等于底与高的积的一半”这个结论是大家熟知的，据此我们立刻就可以知道： 等底等高的两个三角形面积相等． 这就是说两个三角形的形状可以不同，但只要底与高分别相等，它们的面积就相等，当然这个问题不能反过来说成是“面积相等的两个三角形底与高一定分别相等”． 另一类是两个三角形有一条公共的底边，而这条底边上的高相等，即这条底边的所对的顶点在一条与底边平 行的直线上，如右图中的三角形A 1BC 与A 2BC 、A 3BC 的面积都相等。 图形割补是求图形面积的重要方法，利用割补可以把—些形状不规则 的图形转换成与之面积相等但形状规则的图形，或把不易求面积的图形转 换成易求面积的图形． 利用添平行线或添垂线的办法，常常是进行面积割补的有效方法，利 用等底等高的三角形面积相等这个性质则是面积割补的重要依据，抓住具体的图形的特点进行分析以确定正确的割补方法则是面积割补的关键． 进行图形切拼时，应该有意识地进行计算，算好了再动手寻找切拼的方案．不要盲目 地乱动手．本讲中．的几个例子都是经过仔细计算才切拼成功的。 例1、已知三角形ABC 的面积为1，BE ＝ 2AB ，BC ＝CD ，求三角形BDE 的面积? 例2、如下图，A 为△CDE 的DE 边上中点，BC=3 1 CD ，若△ABC(阴影部分)面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积． 例3、 2002年在北京召开了国际数学家大会，大会会标如下图所示，它是由四个相同的直角 基本概念 例题分析

三角形拼成(直角边长为2和3)，问：大正方形面积是多少? 例4、下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的直角边长等于9厘米的等腰直角三角形，求阴影部分的面积． 1、如图，已知平行四边形ABCD的面积是60平方分米，E、F分别是AB、AD边上的中点，图中阴影部分的面积是多少平方分米? 2、右图中的长方形ABCD的长是20厘米，宽是12厘米，AF=BE，图中阴影部分的面积是多少 平方厘米？ 练习提高

小学奥数——三角形的等积变形

小学奥数三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等．同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等． 例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D 是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2：如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC 等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积． 例2 用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4．方法 1：如下左图，将BC边八等分，取1∶3∶4的分点D、E，连结AD、AE，从而得到△ABD、△ADE、△AEC的面积比为1∶3∶4． DE，从而得到三个三角形：△ADE、△BDE、△ACD．其面积比为1∶3∶4．

小学四年级奥数 第44讲：等积变形(二)

等积变形（二） (★★) 【动手算一算】 ⑴如图，BD长12 厘米，DC长4 厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12 厘米，DE＝3 厘米。求 (★★★) 三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD

的中点。求：三角形DEF的面积。 1

如图，在三角形ABC中，BC＝8 厘米，高是6 厘米，E、F分别为AB如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？角形AFE(图中阴影部分)的面积为10 平方厘米。平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？ (★★★★) (★★★) 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？BDE的面积是多少？ 2

如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D，使BD＝AB；延长如图，D 是三角形ABC 一边上的中点，两个长方形分别以B、D 为顶BC 至E，使CE＝BC；延长CA 至F，使AF＝2AC，求三角形DEF 点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100 和的面积。120，则三角形BDE 的面积是多少？ 【大海点睛】⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的一、重要结论 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 二、技巧方法 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD 和△BCD 夹在一组平行线之间，且有公共底 边CD，那么S△ACD＝S△BCD 1．平行线的来源 ⑴平行四边形 (包括长方形 和正方形)和 梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线

春季五年制小学奥数四年级三角形等积变形(下)

正方形ABCD和正方形CEFG，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？两个正方形如图排列，面积相差60，求阴影部分梯形面积。 如图所示，已知正方形ABCD的边长为10厘米，EC＝2×BE，那么，图中阴影部分的面积是________平方厘米。 例3 例2 例1 三角形等积变形(下)

如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝2BC；延长CA 至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面积。 如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，如果△ADE的面积为4平方厘米。求三角形CDF的面积。如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于E，且AF＝CE，BG＝DE，如果四边形ABCD面积是1，求△EFG的面积？ 例6 例5 例4

测试题 1．如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =。那么，阴影部分的面积是多少？ N M D A 2．如图，梯形ABCD 被它的一条对角线BD 分成了两部分。三角形BDC 的面积比三角形ABD 的面积大 10平方分米。已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米。求梯形ABCD 的面积。 A B C D 3．图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（ ）平方厘米。 4．正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？ H G F E C B A 5．如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长 CA 至F ，使2AF AC =，求三角形DEF 的面积。

四年级第五讲等积变形(下)

【动手算一算】 ⑴ ⑵ ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC 面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF的面积。 等积变形（下） (★★) (★★★)

如图，在三角形ABC 中，BC ＝8厘米，高是6厘米，E 、F 分别为AB 和AC 的中点，那么三角形 EBF 的面积是多少平方厘米？ 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，AF ＝2CF ，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形 ABCD 的面积是多少平方厘米？ 如图，三角形ABC 被分成了甲、乙两部分，BD ＝DC ＝4，BE ＝3，AE ＝6 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE ＝3AB ，BD ＝2BC ，三角形 BDE 的面积是多少？ 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD ＝AB ；延长BC 至E ，使CE ＝BC ；延长CA 至F ，使AF ＝2AC ，求三角形DEF 的面积。 (★★★) (★★★★) (★★★) (★★★★) (★★★)

(★★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已 的面积是多少？ 知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD＝S △BCD Array 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面 积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面 积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7 课后练习题 题1：如右图，已知三角形ABC的面积为9平方厘米，且BE=EF=FC，ED=2DA，求阴影部分面积。

三角形等积变形

三角形 (1 )三角形有()条边、() 个角和()个顶点 1 .垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 2.画三角形高的方法口诀：三角尺，直角边，这边找到底，那边过顶点。 线段，标直角符号，四步画完。 3.你能在右图中找出几条高？标在图中。 4.标出下面各三角形的底和高。 6.画出每个三角形底边上的高。 cn两个面规柑舞的二的膨一定可以拼成一个平轩四边饮c > (2)二角石面枳等丁严厅四边应面积的一也〔) (3)一伞二角形的底S 10 ffi米，高是2厘米，面积是2Q平方匣米”(作垂直 5.我会判断对与错。下面每个三角形的高画得对吗?

1.填空题. （】）用两个（）的??角形可以拼成一个平行四边形?这个平行四边形的底等于三用形的（），￥行四边形的岛等于◎角形的（）。毎个三角形的面积是平行四边形的< ），所以三角形的面积=（' ），用字母表示为（）. （2）—个*行四边形与一个三角形竽底停高，如果平行四边形的面积是12平方厘米，那么三 角形的面枳是（）y?方健米；如果三角形的面积是12平方厘米?那么￥行【囚边形的 而枳是（）平方厘米. （3）—个三角形的底是5剤米?高是4用米?这个三角形的面积是（）平方厘米。2?计算下面图形的面枳. ⑴一个[角形的面枳羽4平方分米滴是4分米,那么底 ）分米。 （2）右图阴影部分面积是15平方庵米?则平行四边形而积是 （）平方煙米. （3）一个三角形的底乘3.高 乘6?面积（）. （1）一个平行四边形的面积是m平方用米?与它等底等高的三角形 的面积是（）平方厘米。 （5）一个平行四边形的面枳是17.1平方厘米?底是4. 5厘米.高是 （ 等底的三角形的高建（”里*。 选择臥 （1）求右图三角形面积 的算式中不正确的是（）o A. cX. C. 0X3X3) A.①②③II D.①③ ）厘米?与它等面枳

四年级几何三角形的等积变形学生版

知识要点 三角形 的等积变形 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积。 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化。但是，当三角形的底和 高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化。比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则 三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：面积相同三角形有无数多个不同的形状。 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等。 ② 若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ?和BCD ?夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么ACD BCD S S ??=；反之，如果ACD BCD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD 。 A C D B

等底等高 【例 1】 如图，在ABC ?中，D 是BC 中点，E 是AD 中点，连结BE 、CE ，那么与ABE ?等积的三角形 一共有哪几个三角形？ E A B D C 【例 2】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点， H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积。 H B D F 【例 3】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC ?等积的 三角形一共有哪几个三角形？ A B C E D F 【例 4】 如图，ABCD 为平行四边形，EF 平行AC ，如果ADE ?的面积为4平方厘米。求三角形CDF 的 面积。 F A B C D E

小学数学《三角形的等积变形》练习题

小学数学《三角形的等积变形》练习题 基础班 1．如图（1），在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：3个。△AEC、△BED、△DEC 。 2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：△AEC、△AFC、△ABF。 3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 解答：△ABD与△ACD ，△ABC与△DBC，△ABO与△DCO 。 4．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。解答：4×4÷2=8 5．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF． 解答： 提高班

习题二 1．如图（1），在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE，那么与△ABE等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：3个。△AEC、△BED、△DEC 。 2．如图（2），在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与△BEC等积的三角形一共有哪几个三角形？ 解答：△AEC、△AFC、△ABF。 3．如图（3），在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？ 解答：△ABD与△ACD ，△ABC与△DBC，△ABO与△DCO 。 4.如图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O， 求证：△AOB与△COD面积相等． 证明：∵△ABC与△DBC等底等高， ∴S△ABC=S△DBC 又∵S△AOB=S△ABC—S△BOC S△DOC=S△DBC—S△BOC ∴S△AOB=S△COD． 5．右图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是（）平方厘米。解答：4×4÷2=8 6．如右图，D、E、F分别是BC、AD、BE的三等分点，已知S△ABC=27平方厘米，求S△DEF．

小学五年级奥数 等积变形

奥数拓展：等积变形 （一）故事导入： 有一个富翁留了一块三角形的土地给两个儿子，两个儿子要求平分这块地，这可伤透了他们的脑筋，因为他们不知道怎样去测量、平分。同学们，你们能想出多少种方法将这块土地平分成2个面积相等的三角形吗？ 根据这个问题，你能得出什么结论？ 结论一：。 （二）即学即练： 1.你有什么方法将任意一个三角形分成3个面积相等的三角形？ 2.如图，把△ABC的底边BC四等分，那么甲、乙两个三角形的面积谁大，为什么？ 如图．三角形ABC中．D是AB的中点．点E、F．G、H把BC平均分成五份．阴影部分的面积占三角形ABC面积的几分之几？ （三）思维探索： （平行线间的等积变形）如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边，那么△ACD和△BCD的面积关系是怎样的？为什么？ 结论2：夹在间的一组同底三角形面积相等（四）即学即练： 1.如图，在梯形ABCD中共有8个三角形，其中面积相等的三角形有哪几对？

（五）结论总结： 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化。同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状。为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： （1）等底等高的两个三角形面积相等； （2）底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等； （3）若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 （六）例题梳理 【例1】等积变形的等分点应用 1.如图，在直角三角形ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，如果△AED的面积是30平方厘米．求△ABC 的面积？ 2.如图，A为三角形DE边上的中点，BF为CD边上的三等分点，如果三角形ABC的面积为5，求三角形ABD和三角形ACE的面积。 3.在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若三角形ADE的面积是1，求三角形BEF的面积。 【例2】平行线中的等积变形

三角形等积变形

三角形 （1）三角形有( )条边、( )个角和( )个顶点 1．垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 2．画三角形高的方法口诀：三角尺，直角边，这边找到底，那边过顶点。作垂直线段，标直角符号，四步画完。 3．你能在右图中找出几条高?标在图中。 4．标出下面各三角形的底和高。 5.我会判断对与错。下面每个三角形的高画得对吗？ 6．画出每个三角形底边上的高。

1、如图1-a，将BC四等分，连AD、AE、AF，则△ABD、△ADE、△AEF和△AFC的面积有什么关系？. A 1-a 2、如图，三角形ABC和BCD的面积是否相等？ 3、如图，在梯形ABCD中，共有几个三角形？其中面积相等的三角形共有哪几对？ 4.

5、如图，AD 垂直于BC ，AD=12cm ，DE=3cm ，求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的多少倍？ 6、如图，ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，平行四边形ABCD 的面积比三角形ABE 的面积多多少倍？ 7、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？ 8、把图中三角形ABC 的底边平均分成4份，D 是BC 的中点。已知三角形EFD 的面积是1平方分米。求三角形ABC 的面积。

9、如下各图，长方形ABCD的长均为20，宽均为12，分别求阴影部分的面积。 10、如图，平行四边形ABCD的面积是50，EF∥AD，求阴影部分的面积。 三角形的等积变形 前言 我们都已经知道三角形的面积计算公式：三角形的面积=底×高÷2 从这个公式我们可以发现三角形的面积大小取决于三年级的底和高的乘积．所以一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数个不同的形状． 成功秘诀 1．如果三角形的底（高）不变，高（底）越大则面积越大，高（底）越小则面积越小； 2．等底等高的三角形面积一定相等，形状不一定相等； 3．如果两个三角形的底（高）相等，高（底）成倍数关系，面积也成相同的倍数关系． 王牌例题

一、三角形的等积变形

一、三角形的等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等。 ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个 三角形面积相等。 ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三 角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 【例1】 如右图，已知在△ABC中，BE＝3AE，CD＝2AD。若△ADE的面积为1平方厘米。求三角形ABC的面积。 二、鸟头模型 在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点如图⑴(或D在BA的延长线上，E在AC上)， 则S△ABC∶S△ADE＝(AB×AC)∶(AD×AE) 【例2】 如图，三角形ABC的面积是308，D，E，F分别为三角形三边上的点。其中AD∶CD＝5∶3，BF∶CF＝4∶7，AE∶BE＝1∶6。问：阴影部分的小三角形的面积是多少 必备几何模型

【例3】 如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问：阴影部分与空白部分的面积比为多少 三、相似三角形性质(沙漏模型)： ①AD AE DE AF AB AC BC AG === ②S△ADE∶S△ABC＝AF2∶AG2 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 【例4】 如图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S△ADE＝1，求△BEF的面积。

四、蝴蝶模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) ①S1×S3＝S2×S4 ②AO∶OC＝(S1＋S2)∶(S4＋S3) ①S1∶S3＝a2∶b2 ②S1∶S2∶S3∶S4＝a2∶ab∶b2∶ab ③梯形面积S的对于份数是(a＋b)2 【例5】 如图面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是BC边上的三等分点，求阴影部分的面积。 【例6】 在直角梯形ABCD中，AB＝15厘米，AD＝12厘米，阴影部分的面积为15平方厘米。梯形ABCD的面

人教版小学四年级数学第4讲：等积变形(教师版)

第4讲 等积变形 1、三角形的面积= 2 1 底边长 高;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。 2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。 3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。 4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半； 5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半； 6、高之和等于平行四边形的高，且分别以这条高的两边为底的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半。 1、灵活运用三角形和四边形的面积公式 2、掌握三角形的等积变形技巧 例1:如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？

A B E C 答案：三角形BDE 的面积是4 D 解析：连结CE.此时出现两个“同高”模型 因为AE=3AB ，所以AB:BE=1：2，所以三角形ABC 面积：三角形BCE 面积=1：2，三角形ABC 面积为1，所以三角形BCE 的面积为2，又因为BD=2BC ，所以BC:CD=1：1，所以三角形BCE 的面积：CDE 的面积=1：1，所以三角形CDE 的面积是2，所以三角形BDE 的面积是4. 例2：正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？ F E C 答案：50平方厘米 解析:连接CF.则C F ∥BD 。则三角形BCD 与三角形BDF 就是这两条平行线之间的等积模型。因为他们有一条公共的底边BD ，而他们的高的长度正好是这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等（这个是平行线之间距离的性质），所以这两个三角形的高相等。 所以面积相等，而三角形BDC 的面积为10×10÷2=50（平方厘米）。 例3：图中三角形AOB 的面积为15平方厘米,线段OB 的长度为OD 的3倍，求梯形ABCD 的面积。 答案：80平方厘米 解析：三角形AOB 的面积为15平方厘米，OB:OD=3：1，所以三角形AOD 的面积为5平方厘米，而梯形中A D ∥BC,所以三角形ADC 与三角形ADB 是平行线间的等积模型，所以他们面积相等，而他们的重叠部分是三角形AOD ，所以都减去这部分之后就剩下三角形AOB 与三角形DOC,所以面积也相等，所以三角形DOC 的面积为15平方厘米。同样因为OD:OB=1:3,所以

四年级奥数讲义-等积变形二 通用版

等积变形（二） 【动手算一算】 ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ (★★) ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求 三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD 的中点。求：三角形DEF的面积。 (★★★) 1

如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB 和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ (★★★) 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三 角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？ (★★★) 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3， AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ (★★★★) 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形 BDE的面积是多少？ (★★★) 2

如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长 BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF 的面积。 (★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶 点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和 120，则三角形BDE的面积是多少？ (★★★★★) 【大海点睛】 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底 边CD，那么S△ACD＝S△BCD 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的 几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7 3

小升初几何重点考查内容————(五大模型——三角形等积变形、共角模型)

(★★★) 已知三角形DEF 的面积为 18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，则三角形ABC 的面积为

如图，已知三角形 ABC 面积为 1，延长 AB 至 D ，使 BD ＝AB ；延长 BC 至 E ，使 CE ＝2BC ； 延长 CA 至 F ，使 AF ＝3AC ，求三角形 DEF 的面积。 (★★★★) 如图将四边形 ABCD 四条边 AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点 E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为 5cm 2 ，则四边形 EFGH 的面积是多少 (★★★) 图中三角形 ABC 的面积是 180 平方厘米，D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍。那么三角形 AEF 的面积是多少平方厘米 (★★★★) 如图，大长方形由面积是 12 平方厘米、24 平方厘米、36 平方厘米、48 平方厘米的四个小长方形组合而成。求阴影部分的面积。 (★★★)

(2009 年“学而思杯”六年级) 如图 BC ＝45，AC ＝21，△ABC 被分成 9 个面积相等的小三角形，那么 DI ＋FK ＝ 。 在线测试题 温馨提示：请在线作答，以便及时反馈孩子的薄弱环节。 1. ★★★★设 AD 1 AB , BE 1 BC , FC 1 AC , 如果三角形 DEF 的面积为 19 平方厘米， 3 4 5 那么三角形 ABC 的面积是多少平方厘米 A ． B ． C ． D ． (★★★★★)

F E S G 2. ★★★如下图，将三角形 ABC 的 BA 边延长 1 倍到 D ，CB 的边延长 2 倍到 E ，AC 边延长 1 倍到 F 。如果三角形 ABC 的面积等于 1，那么三角形 DEF 的面积是多少 A ．10 B ．8 C ．9 D ．11 3. ★★★★★如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 3 倍，得到一个新四边形 EFGH ，如果 ABCD 的面积是 6，则 EFGH 的面积是( ) A ．130 B ．145 C ．160 D ．150 4. ★★★★如图， D 是 BC 的中点，AD 的长是 AE 长的 3 倍，EF 的长是 BF 长的 3 倍． 三角形 AEF 的面积是 18 平方厘米，三角形 ABC 的面积是( )平方厘米 A ．144 B ．168 C ．72 D ．100 5. ★★图中的 E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12 ， 那么阴影部分的面积是( ) A ．50 B ．48 C ．56 D ．45 6. ★★★如图， S 1 ， BC 5BD ， AC 4EC ， DG GS SE ， AF FG 。三角形 FGS 的面积是( )。 A. 4 13 B. 2 5 C. 2 3 D. 1 10 A B C

小学数学《三角形的等积变形》练习题(含答案)

小学数学《三角形的等积变形》练习题（含答案） 内容概述 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ① 等底等高的两个三角形面积相等． ②若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ?和BCD ?夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ??=；反之，如果 BCD ACD S S ??=，则可知直线AB 平行于CD 。 例题精讲 【例1】 如右图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线长。 ① 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ② 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【例2】 如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ， AD=12厘米，DE=3厘米。 ① 求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？ A C D B

2020年四年级奥数春季班-第5讲等积变形(下)

2020年四年级奥数春季班 【动手算一算】 ⑴ ⑵ ⑴如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ①求三角形ABC的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ②求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ ⑵如图，E在AD上，AD垂直BC，AD＝12厘米，DE＝3厘米。求三角形ABC的面积是三角形EBC面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积是40，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点。求：三角形DEF 的面积。 等积变形（下） (★★) (★★★)

如图，在三角形ABC中，BC＝8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米？ 如图所示，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF＝2CF，三角形AFE(图中阴影部分)的面积为10平方厘米。平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？ 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，BD＝DC＝4，BE＝3，AE＝6，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 如图，三角形ABC的面积为1，其中AE＝3AB，BD＝2BC，三角形BDE的面积是多少？ (★★★) (★★★★) (★★★) (★★★★) (★★★)

如图，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD＝AB；延长BC至E，使CE＝BC；延长CA至F，使AF＝2AC，求三角形DEF的面积。 (★★★★★) 如图，D是三角形ABC一边上的中点，两个长方形分别以B、D为顶点，并且有一个公共顶点E，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE的面积是多少？ 【大海点睛】 一、重要结论 1．结论㈠：等底等高的两个三角形面积相等 结论㈠拓展：夹在平行线间的一组同底三角形面积相等 如下图，△ACD和△BCD夹在一组平行线之间，且有公共底边CD，那么S△ACD＝S △BCD 2．结论㈡ ⑴若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 ⑵若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个 三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 二、技巧方法 1．平行线的来源 ⑴平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形 ⑵已知平行 ⑶并排摆放的正方形的同方向对角线 2．已知做底边，等高优先找 三、经典例题 等积变形(上)：例3，例5，例6，例7 等积变形(下)：例2，例4，例5，例7

一、三角形的等积变形

一、三角形的等积变形 ①等底等高的两个三角形面积相等。 ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等。 ③若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍。 【例1】 如右图，已知在△ABC 中，BE ＝3AE ，CD ＝2AD 。若△ADE 的面积为1平方厘米。求三角形ABC 的面积。 二、鸟头模型 在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点如图⑴ (或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则S △ABC ∶S △ADE ＝(AB ×AC )∶(AD ×AE ) 【例2】 如图，三角形ABC 的面积是308，D ，E ，F 分别为三角形三边上的点。其中AD ∶CD ＝5∶3，BF ∶CF ＝4∶7，AE ∶BE ＝1∶6。问：阴影部分的小三角形的面积是多少？ 必备几何模型

【例3】 如图，三角形两边上的点都是各边上的五等分点。问：阴影部分与空白部分的面积比为多少？ 三、相似三角形性质(沙漏模型)： ① AD AE DE AF AB AC BC AG === ②S △ADE ∶S △ABC ＝AF 2∶AG 2 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 【例4】 如图，在平行四边形ABCD 中，直线CF 交AB 于E ，交DA 延长线于F ，若S △ADE ＝1，求△BEF 的面积。 四、蝴蝶模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”) ①S 1×S 3＝S 2×S 4 ②AO ∶OC ＝(S 1＋S 2)∶(S 4＋S 3)

三角形面积等积变形

三角形面积等积变形 小学四年级阶段训练——三角形的等积变形 一、填空： 1．如图所示，已知矩形ABCD中，BE=1EC，则△ABE和△ABC的面积，则△2 ABC的面积是△ABE的面积的（）倍。 C （第1题）（第2题） 2．如图所示，梯形ABCD中共有8个三角形，其中，面积相等的三角形有（）对。 3．如图所示，已知平行四边形ABCD中，BC=3厘米，BC边的高AE是2厘米，则 △ACD的面积是（）平方厘米。 O （第3题）（第4题） 4．如图所示，平行四边形MNOP中，Q是OP上任意一点，则 S△MRQ( )S△NRO, S△MRN( )S△NRO,(填“>”“<”或“=”) 5．如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别为AD，CD的中点，那么与△BFC面积相等的三角形有（）个。 （第5题）（第6题） 26．如图所示，△ABC中，D为BC中点，且DE=AD，则△ABC的面积等于5 △CDE面积的（）倍。 7．如图所示，在长方形ABCD中，阴影部分面积（>,<,=）空白部分面积表示（）

8．如图所示，△ABC与△BCD中，AE=ED，且AD⊥BC，把BC八等分，点F为第一个八等分点，E恰为第二个八等分点，则与△ABF面积相等的三角形有（）个。 9．如图所示，已知BC长是5 ，其他数据如图所示，则画阴影线的两个三角形的 面积之和是（） （第7题）（第8题）（第9题） 二．如图，已知在△ABC中，BE=3AE，AD=2CD，若△ADE的面积为2厘米。求三角形ABC的面积。 三、如图，平行四边形ABCD中，直线DE交AB于F，若三角形ABE的面积是2平方厘米，求三角形CEF的面积。 四、如图所示，AD平行于BE，三角形ABC的面积是8平方厘米。求四边形ACDE的面积。

四年级奥数讲义：三角形的等积变形

四年级奥数讲义:三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式: 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们:三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来 角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们:一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论: ①等底等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． ，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相 等． 同时也可以知道△ABC的面积是△ABD或△AEC面积的3倍． 例如在右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），它所对的两个顶点A、D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相

等． 例如右图中，△ABC与△DBC的底相同（它们的底都是BC），△ABC的高是△DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD，有AH=2DE），则△ABC的面积是△DBC面积的2 倍． 上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据． 例1 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形． 方法2:如右图，先将BC二等分，分点D、连结AD，得到两个等积三角形，即△ABD与△ADC等积．然后取AC、AB中点E、F，并连结DE、DF．以而得到四个等积三角形，即△ADF、△BDF、△DCE、△ADE等积．

三角形的等积变形

１ 三角形的等积变形 我们已经掌握了三角形面积的计算公式： 三角形面积=底×高÷2 这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）．同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）．这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。这就是说一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系． 为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论： ①等底、等高的两个三角形面积相等． ②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等． ③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 例1. △ABC 的面积是△ABD 或△ADE 或△AEC 面积的3倍 例2. △ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是 BC ），它所对的两个顶点A 、D 在与底BC 平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等．

２ 例3. △ABC 与△DBC 的底相同（它们的底都是BC ），△ABC 的高是△DBC 高的2倍（D 是AB 中点，AB=2BD ，有AH=2DE ），则△ABC 的面积是△DBC 面积的2倍． 例4. 用四种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形 方法1：方法2： 方法3：方法4： 例5、用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及1∶3∶4． 方法1： 方法2： 方法3： 当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决．