2[1].垂直联结的数学模型及其实践doc
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四 固定成本、组织均衡与金融排斥
正式市场与农村市场的制度安排是迥异的。这种差异集中体现在正式与乡村中介：前者是法人单位，后者一旦交易完成往往自行解散；前者是科层组织，后者是扁平的乃至是虚拟的；前者依赖制度信任、利用间接机制治理一次性的匿名交易，后者依靠关系信任、直接机制治理重复博弈下的熟人交易；前者存在于高密度市场，假设需求服从均匀分布，设立机构坐等客户上门，常设机构要求规模经济和承担巨大运营费用；后者对应着状态依存的市场，供给随需求而产生，无需沉没成本和运营费用。这些差异使正式机构因以下原因而难以进入农村市场。
（一）管理成本与组织均衡
企业与顾客之间的交易及管理成本影响到组织边界与管理幅度。在米歇尔·C ·詹森·麦克林（1999）看来，总组织成本最低时，企业的组织规模达到最优状态。总组织成本包括代理与信息成本。信息成本是企业为了解顾客特征和市场需求所花费的。当信息是专门知识时，为节省信息成本，企业需要分割决策权并下放给拥有专门知识的代理人；决策权分割和转让产生代理成本。组织边界取决于代理成本与信息成本的权衡。代理成本固然重要，但在农村地区不是最重要的，也不是唯一的。也就是说，当金融机构部门为应对信息不对称问题而进行组织扩展和分权决策时，它便不得不支付管理协调、分支机构的固定资产投资和运营费用等形式多样、数量不菲的各种成本。为避免概念混乱和简化分析，本文把科层组织分支机构的代理成本、营运费用、协调成本等统称为“管理成本”。
（二）固定成本与农村金融市场的门槛效应
农户信用状况等信息是乡村中介的专门知识。为利用这些分散、局部的知识，银行等正式金融机构需在农村设立分支机构并分割和转让决策权。为此，银行首先需购置固定资产，投资于关系型专用性资产。在决定是否进入农村时，银行首先考虑的是农村信贷市场的潜在利润能否覆盖增设网点所费的固定成本，而非网点开办后开展业务所费的交易成本。农村的低密度市场需大量固定成本，门槛效应限制了银行向农村的组织扩展。市场化条件下，管理成本的内部化迫使银行缩减组织边界。在市场化改革过程中，中国、智利、墨西哥、巴西等国家的国有银行退出农村，股份制商业银行也并非如市场学派所预期的那样因为更激烈的竞争而在农村增设网点，其部分原理就在于此。
（三）门槛效应与金融排斥
在空间广阔、低密度的农村，业务量只有达到一定规模才会赢利。如不满足此条件，即使存在供给与需求，即便存在潜在利润，银行不会按经济学家所假想的边际等式原则来做出信贷决策：如不满足最低收益条件，它们根本就不会进入农村市场。最低收益要求对银行组织边界的影响，可通过如下模型得到证明。假设银行的最优化问题是：
[]?????≥--π)(.)(max Q C Q tR s Q C Q R Q ）
（）（ (1) R 、C 、Q 分别是收益、成本与贷款数量，π是银行要求的最低利润。当收益函数为凹、成本函数为凸时，求解拉格朗日方程的库恩-塔克条件是：
[]???????=??≥≥--=??=??≥≤'-'+'-'=??0,0,0)(000)()()()(λλλπλλL Q C Q R L Q L Q Q Q C Q R Q C Q R Q L ）（，，
(2)
设最大化利润的贷款数量是*Q 。如*Q Q ≥，且满足)(Q C ''大于0、)(Q R ''小于零则
（1）有解，最大利润为*π。如π小于*
π，方程无解。此时，即便边际收益能覆盖边际成本，银行因总收益无法弥补固定成本而不会进入农村市场，正式金融机构难以向下适应。正式金融市场在协调不同农户间的预期、匹配多样性的农户信贷需求方面、协调正式市场资金供给与农户信贷需求方面陷入僵局并导致“市场失灵”；它也无法修正农户的错误预期、无助于动态最优化目标的实现。金融排斥现象出现了。
五 水平联结的数学模型
如银行满足（2）式的最低收益条件而决定进入农村信贷市场，它也需要在水平竞争与垂直联结之间做出选择。为便于比较，本文首先建立水平竞争的数学模型。为简化分析，作出如下基本假设。① 农户信贷需求存在重叠，农户受到乡村中介的信贷配给。②两个部门：银行与乡村中介。③一个市场碎片只有一个乡村中介 ④市场结构为产量主导型的双寡头；乡村中介是主导者，银行是追随者。前三个假设可以被认为是农村信贷市场的特征化事实，其理由不言自明。本文提出第四个假设的理由如下。在农村，民间融资的重要性远远高于正式金融（何广文，1999），乡村中介的垄断是显然的。银行凭借资金规模优势而成为寡头，但它对农村市场的控制力低于乡村中介。之所以选择产量而不是价格领导模型，其原因是：仅能维持基本生活的贫困农户大都是风险厌恶者，影响其效用的经济指标不是相对变量而是绝对数量（A .恰亚诺夫，1996）。农户收入水平较低，信贷资金需求弹性小，资金可获得性远比资金价格重要得多。
设乡村中介（下标1表示）先做出决策，选择贷款数量1Q 。给定1Q ，正式部门（下标2表示）选择贷款数量2Q 。价格与银行的利润在第2期实现。假设农户的信贷需求函数是线性的，反需求函数是)()(21Q Q b a Q i +-=。乡村中介的成本函数是1111)(Q C Q C =，银行的成本函数是22222)(Q Q Q Q C γβ?θ+++=,θ是固定成本，?是关系专用性投资
的边际成本1，β是管理与拓荒成本，γ是资金成本。假设1C γ。银行的最大化问题是：
[]222221212),(max ),(max 2
2Q Q Q Q Q Q i Q Q Q Q γβ?θπ----= （3） 根据（3）式最大化的一阶条件，可得银行对乡村中介的反应函数：
2
2112Q b a Q Q ----=*λβ?）（ （4） 乡村中介根据银行反应函数选择产量，将（4）代人到目标函数可得乡村中介的最大化问题：
[][]{}1112111211),(max ,max 1
1Q c Q Q Q i Q Q Q Q Q Q -?=）（）（π （5） 将反需求函数代人，从（5）式最大化的一阶条件可得：
1关系专用性投资是金融中介经年累月所积累的存量；它随着时间的推移而增加；是时间的凹函数。本文做了两个简化处理：以“交易量”替代“时间”，以线性关系替代凹函数。
b
C a Q 2211λβ?+++-=* （6） 根据（6）、（4）可分别得到银行的贷款数量与市场均衡价格： b C a Q 43212）（λβ?++-+=
* （7） 4
21λβ?++++=*C a i （8） （四）垂直联结的数学模型
在水平竞争的信贷模式中，虽然银行有资金成本的优势，但它必须跨越门槛效应（即固定资产投资）和解决信息不对称性而附加的一些额外成本；成本效率的缺乏限制了信贷资金的传递。如银行以代理模式在农村开展相关业务，那么将大幅度减少成本。通过直接联结
模式2，银行将资金批发给乡村中介，甚至连佣金也无需支付。假设银行在正式贷款市场是价格接受者，在均衡点，价格等于边际成本及边际收益。银行视乡村中介为正式市场的代表
性客户，银行按价格等于边际成本（λ）的原则将*2Q 批发给乡村中介。农村信贷市场从
双寡头变为垄断。乡村中介的贷款资金包括*2Q 和1Q ，设农户需求函数不变，乡村中介最
大化问题是：
[]211212111
1max ),(max Q Q c Q Q i Q Q Q Q λπ--+?=）（ （9） 将（7）和反需求函数分别代入（9）式，由最大化一阶条件可得： b
C a Q 43411）（λβ++-=** （10）将均衡的贷款数量代入需求函数得到垂直联结下的贷款利率： 2
1C a i +=** （11） 垂直联结下的贷款数量（**1Q +*2Q ）减去水平联结下的贷款数量（*1Q +*2Q ）；**i
减去*i ，得到： b a
Q 4-++=?λβ? （12）
2在Fuentes （1996）的基础上，武翔宇（2008）提供了间接联结的数学模型。间接联结适应性传统农业社会，它不是垂直联结的主流，也不是发展方向。参见 武翔宇：《我国农村金融联结制度的设计》，《金融研究》2008年第8期。
4
)(λβ?++-=?a i （13） （五）垂直联结的模型分析
印度著名经济学家Sarbajit Chaudhuri （2002）曾拓展一个垂直联结模型，中国学者汪时珍（2006）亦对此模型有过小幅修正。这些模型有较多缺陷。首先，它们未能真实刻画农村信贷市场的基本特征。从农户利润最大化行为出发推导垂直联结对贷款数量与贷款利率的影响，这种处理不是对农户行为偏好的真实反映：生活贫困的农户并非是收入最大化者（詹
姆斯,C,斯科特，中译本，2001）3。农户贷款含生产性与消费性两部分，后者比例还非常高。
即便是理性经济人，因核算能力有限和收入水平低下等因素，农户对经济信号的敏感性不能与一般工商企业相提并论。最重要的是，在金融市场上，农户是价格的接受者而非决定者；是故，农村信贷市场均衡时的贷款数量与利率，不能从农户的最大化行为方程推导而来；相反，它应该在求解金融中介的最大化方程得到。其次，现有模型的严谨性、逻辑性和信息丰富性等方面的缺陷不容忽视。只有满足一定条件，垂直联结才会增加贷款数量和降低利率；这一点现有模型没有体现。垂直联结对贷款利率的影响应与新增贷款有关，现有研究却认为它们是独立决定的变量。关系型专用资产、管理与拓荒成本等会显著影响垂直联结的效果，它们也未考虑。
本模型从资金供给者的角度，结合市场结构考虑农村信贷的贷款数量与价格决定，较好刻画真实世界。本文模型表明，垂直联结的对贷款和利率的影响并不是无条件的；它与农村金融市场特的核心特征密切相关。贷款数量与贷款利率之间的关系是内生的。根据（12）和（13）可得如下命题：
命题1：如银行开展农贷业务的管理、拓荒成本、关系专用型资产与资金成本之和大于沉没成本，垂直联结能增加农户的信贷总量、降低利率。
农村市场的管理成本、拓荒成本、关系型专用资产、正式市场的资金成本均大于零，农村市场的沉没成本微不足道。（12）式的分子大于零，这个条件基本成立。事前概念上，
正式与乡村中介也许是替代关系4，但垂直联结将两者的关系变为互补性。进而，可得到如
下三个推论：
推论1：农村信贷市场的管理与拓荒成本越高，垂直联结的效果越显著。
为进入农村市场，向需求额度小、费用高和风险大的贫困农户提供贷款时，银行需付有形和无形的“拓荒成本”(pioneer costs)。有形成本主要用于如下方面：农村网点的运行与管理、农户信用调查、与农户需求相符合的产品设计、差异性信贷定价、与农户行为特征相适应的营销策略、为特定市场和产品单独核算所需的账簿等相关费用。无形成本是银行在反对社会排斥，心理上接受贫困农户并视其交易对象（bankable ），以足够耐心和精力培育农户这个特殊的客户群体等活动而付出的相关费用。拓荒与管理成本限制了银行向农村的拓展。边际意义上，乡村中介无需支付此类成本。不难证明，银行拓荒与管理成本越高，乡村中介优势越明显，垂直联结的信贷传递功能越突出。
推论2：关系型专用资产的重要性越突出，垂直联结的效果越显著。
作为制度安排，金融契约的形成、维护和执行往往依赖于意识形态、价值观等非正式制度。明晰契约的执行需要隐形契约的补充，后者更为常见、也更重要。在农村地区，文化
3俄罗斯经济学索科洛夫斯基指出：“支配小农经济的规律完全不同于大经济，……农民所追求的目标不同于大土地所有者。对于后者来说，生产利润是首要的，而对于农民来说，它仅具有次要的意义。”转引自 司徒卢威，《俄国经济发展问题的评述》，商务印书馆，1992年，第139页。
4一般认为，两个部门的互补关系是实施垂直联结的条件之一。参见Jain, Sanjay ：Jain, S,“Symbiosis vs. crowding out: the interaction of formal and informal credit markets in developing countries”, Journal of Development Economics 59,1999,pp.419-444.
和社会的融合使按照借贷双方都能以共同理解的符号体系去行动。农村金融市场的运行机制建立在隐形契约和人际关系之上。乡村中介在这些领域进行的长期投资形成特殊的资产即关系型专用资产，远比主流范式所倚重的“信息优势”有更为重要：金融交易制度的形成是相互参与而具有内生的“合法性”；在信贷交易中，它使双方以共同理解和接受的方式开展交易，抵押品成为多余，避免了繁文缛节，监督没有必要或成本很低，契约具有自我实施性质。银行要进入农村就得拥有此类资产。显然，农村市场对关系型专用性资产依赖性越大，越有必要实施垂直联结，垂直联结效果也越突出。
推论3：银行的资金优势越突出，垂直联结的效果越显著。
银行具有良好的市场信用，获取外部资源的能力较强，可贷资金数量多，资金成本较低。资金优势是银行参与金融联结的基础，也影响垂直联结的效果。
推论4：农村信贷市场的沉没成本越低，垂直联结的效果越显著。
本土乡村中介，无论是ROSCA、职业放贷者或互联性放贷者，均依赖村庄公共资源（如露天广场）或非专用性资产（如自家住宅）开展相关业务。有时，交易双方甚至在田间地头和集市贸易中达成交易。乡村中介主要优势之一是对固定资产的低要求。但是，银行要进入农村就需要购置高标准的办公大楼和现代化的办公设备。农村信贷市场难以承受这些高昂的沉没成本。农村市场内生的沉没成本越低，垂直联结在提高农户贷款覆盖面等方面的功能越突出，这是显然的。
推论5：农村信贷市场的垄断性越强，垂直联结的效果越突出。
由（12）式可知，垂直联结对贷款数量的影响与系数b成反比。一个村庄的职业放贷者只有村长或部落首领等少数人。如是互联性交易，农户（佃农）借款主要面向地主或商人。农村金融市场的竞争程度是比较弱的，而大部分相关研究也支持假设（Fuentes,1996）。乡村中介垄断原因是多重的，既与单一的供给主体相关，也与它拥有某些特殊资源（如关系型专用性资产和村庄首领的权威及组织资源）相关。较强的垄断程度也许是农村市场所内生的，也可能是效率原则自发作用的结果；但它构成了银行进入农村的经济障碍。农村市场的竞争性越弱，银行进入难度便越大，推行垂直联结的意义越突出，联结向农户传递贷款的贡献越突出。
刚才讨论了信贷数量，垂直联结的另一功能是影响贷款条件。据（13）可得：
命题2：在垂直联结下，农户贷款利率与新增贷款负相关，与市场结构无关
如垂直联结能根据双方比较优势而将机构贷款传递至农户，农村信贷市场的信贷供给增加。给定需求，农户的贷款条件将会改善。在垂直联结模式下，贷款利率与市场结构无关。
七、发展中国家垂直联结的实践及其绩效
（一）垂直联结的自发实践
在水平竞争模式处于主导地位背景下，垂直联结的观念似乎很新颖。其实，这并非什么新观点。它只是Westermann（1935）真知灼见的重新发现。早在1903年4月，这位德国人类学家曾向多哥当局建议：为解决咖啡种植者的贷款难问题，要充分发挥信贷与储蓄小组等本土中介作用。“二战”后，即便在结构主义思路盛行和乡村中介被抑制的时代，仍有人认为要加强正式部门与乡村中介的合作（S.B. Mahabel，1954)。然而，由于多种原因，类似观点一直没有引起重视。在70年代之后，情况逐渐发生变化。那时，信贷补贴理和市场学派等理论相继破产，它国在复制格兰珉银行的联保贷款模式时遇到困难。此时，菲律宾、泰国和马来西亚等亚洲国家出现了垂直联结的自发实践（Wells,1978）。加纳，马拉维、塞内加尔等非洲国家也纷纷出现垂直联结（Adel Varghese，2008）。素有“农村金融市场的实验室”之美誉的印尼，更是在80年代初期开始垂直联结的试验。
（二）垂直联结的自觉实践
1983年以来，农村金融发生了范式转换。1985年，联合国粮农组织在罗马举办的神圣三世专家会议讨论了银行联结的可能性。联合国第三届发展中国家私人储蓄动员第三世界讨论会强调了金融联结的重要性。1986年12月，亚洲太平洋地区信贷协会（APRACA）在加德满都召开第六届会员大会；德国技术合作局(GTZ)专家Seibel提交垂直联结的建议被正式采纳。在GTZ支持下，APRACA制订期限为10年的银行与自助团体联结计划。从1988年开始，GTZ开始支持印尼、菲律宾、泰国的双边联结项目。1989年，印度制定了两年半的试验计划。试验计划于1992年结束时，效果良好。是年，印度开始推广联结项目。1996年，研究中发现，联结效果非常突出，参与者均表现出相当的积极性；NABARD制定规模宏大的银行联结发展规划
( SHG–Bank Linkage Programme,SBLP)。2001年7月，RBI在全国范围内实施SBLP。2002年第一个10年计划结束，印度当局决定继续实施SBLP。
80年代中后期以来，印尼、泰国、马来西亚、菲律宾等国纷纷实施联结计划。国际社区资助基金会在拉丁美洲实施小额信贷项目中创造的村银行模式（village banking）尝试垂直联结的运作模式。金融联结在智利、玻利维亚、哥斯达黎加等国家也快速发展。90年代中期，非洲农业信贷协会实施该战略。在21世纪初期，金融联结的实践在广大的亚非拉地区已非常普及了(Miller-Wise, 2005)。
（三）垂直联结与农村银行化：经验证据
正如世界银行(1989)所料，垂直联结一旦被付诸实践之后便呈现出良好发展势头。印
尼第一个将金融联结的思想付诸实践，绩效也较理想。不过，金融联结最成功的是印度。1992
年之后，金融联结开始爆炸式增长。截止2008年3月31日5，SBLP为34,77,965个SHG提供了高
达22,268千万卢比的贷款。在印度，垂直联结在促进农村银行化等方面绩效是极其显著的（Anushree Sinha，2008)6。
1.农户层面。将最广泛的遭遇金融排斥的农户纳入金融体系，增加单个农户贷款规模和
总体贷款规模、提高贷款入户率是农村金融化的主要目标。金融联结在这三个方面的贡献均
较突出。扩大农村金融覆盖面，它使原本遭遇金融排斥的农户获得贷款：联结之后，获得贷
款的家庭比例从46.5%提高到93%，覆盖面增长一倍。尤其是，那些曾严重遭遇金融排斥的底
层农户被纳入现代金融体系：SC/ST 和落后阶级等为主的以非种姓阶层7的贷款覆盖面超过83%（V. Puhazhendi and C. Badatya，2002）。最近研究表明（P. Kumar and R. Golait，2009），自1991-1992年来，银行对SHG的贷款几乎每年翻番，贷款数量累计22,268 千万卢比。SBLP
覆盖的总人口从32,995（1998-1999）飙升至34,77,965 （2007-2008），单个SHG平均贷款数
量增长四倍：从16,816卢比（1999-2000）到63,926卢比（2007-2008）。机构贷款的广度与
深度均大幅度提高。联结之后，平均每个家庭的贷款数量从5384卢比增加到14,640卢比，年
均增长率达20.5%。随着信贷配给的缓解，农户贷款需求满足程度相应提高，81.7%的成员的
贷款需求通过SHG而全部得到满足。
垂直联结还改善了农户贷款条件。SHG成员支付的利息从81%下降到31%（V.Puhazhendi C. Badatya，2002）。长期困扰着政府的农村高利贷问题也因为垂直联结而以市场化方式解决了。联结之前，农户贷款主要依靠亲戚和放贷者；联结之后转向SHG和银行（贷款比重分别
高达51.2%和 44.2%），乡村放贷者变得微不足道(联结之前是60.4%，联结之后是1.2%)。
2.机构层面。金融联结通过如下机制解决农户贷款和金融机构可持续性的两难困境。首
5印度的财政年度是当年3月到次年2月。
6该项研究受GTZ-NABAR委托，由Anushree Sinha(2008)住持，大部分数据样本区间是1992年3月-2006
年3月。如不特殊说明，本文此部分数据均来源于此。参见Anushree Sinha, Impact and Sustainability of SHG Bank Linkage Programme,NCEAR,2008(Martch)。
7在印度，非种姓者都被划分为低阶层，该阶层包括三类人群，即Scheduled Castes（主要为“贱民”、Scheduled Tribes（主要是土著民）和低等阶级（Backward Classes）。在印度，富人和中产阶级主要是种姓阶层，SC、STs等大都是结构化的穷人。
先，大幅度减少借贷双方的交易成本。Puhazhendhi (1995)发现，银行每笔贷款(100美元)的交易成本由联结前的$3.68下降到每笔贷款2.19美元。贷款者减少的交易成本更可观：从$9.40减少到$5.70 (McGuire and Conroy 1997)。其次，减少信用风险，参与银行的还贷率高达96.4%，远高于银行系统的平均水平。联结扩大银行的资金来源。联结模式相信农户的储蓄能力，SHGs的运行坚持“储蓄导向”原则。家庭平均储蓄规模年均增长14.2%，大部分SHG（99.6%）在银行设立储蓄账户。SHG家庭储蓄占银行全部储蓄的比重高达28.5%。
3．经济与社会功能。正式机构与乡村中介在垂直联结中相互影响、模仿与学习，现代金融秩序也因此而实现向农村地区哈耶克式的秩序扩展。垂直联结显示出巨大的正外部性。它在增加农户收入，提高农户平滑收入和消费水平的能力，优化消费结构，促进资本形成，提升农村经济结构等方面，发挥巨大作用。它锻炼了农户的理财能力，提高了应对紧急事务的能力；随着妇女社会自主能力的提升 ( Morduch and Hashemi, 2003)，农户获取外部资源的能力相应提高。
八、垂直联结与中国的农村金融化
(一) 水平竞争的现实背景与垂直联结思想的萌芽
垂直联结在印度硕果累累，但这一思想最早是在中国提出来的。1986年5月，由联合国亚太经社理事会和亚太农贷协会组织、中国农业银行承办的“对低收入经济群体加强银行信贷服务问题的东南亚发展中国家技术合作讨论会”的会议在中国南京召开。该会议被认为是垂直联结发展史上有决定性意义的事件。就是在这次会议上，德国技术合作局专家Seibel 第一次系统提出银行联结的基本原理。不过，当时的中国尚处于金融约束时期，改革重点是城市和国有企业，农村金融化不是最关键问题，该建议自然不会引起会议承办方的关注。
随着以国企改革为中心的城市改革基本完成，农村问题重要性突兀。90年代中后期以来，印尼、智利等国曾有过的农村储蓄外流、农户贷款难等问题也在中国出现。农村信用合作社改革偏离合作制方向后，农村金融问题愈发严重。2006年以来，我国开始发展村镇银行、贷款公司和农村资金互助组织等新型中介。这些机构仍是按水平竞争模式而设计，它们普遍面临着能力薄弱等问题。以水平竞争为模式，以机构为中心的改革使中国建立多元化的农村金融组织体系，但农户贷款难问题并未得到实质性解决。以水平竞争模式为导向的农村金融改革（张红宇，2004）使金融机构在“金融支农”和财务可持续性之间的两难选择中偏向后者。基于对发展中国家金融联结的广泛实践及其显著成效，面对金融机构“使命飘移”现实，我国开始有人主张按金融“功能观”推进改革（罗来武等，2004）；充分发挥乡村中介的优势，加强它与正式机构的垂直合作（王元，2006；周立，2007）。
（二）垂直联结的自发实践
尽管有人认为中国农村不存在商业信用关系（张杰，2003），但是印度等国家的经验表明，问题的关键是缺乏有效的微观金融结构设计。迄今为止，垂直联结是农村信贷最有效的微观金融结构。客观上，我国具发展垂直联结的巨大潜力8：逐步建立了多元化的农村金融组织，正式部门和非正式部门都比较发达；大部分地区农业商业化、市场化程度不断提高，农户信贷需求旺盛、需求叠加现象非常普及。正如Conning and Kevane (2002)的理论所预见的那样9，中国的金融部门自发探索垂直联结的大量实践10。以农村信用社为例，为充分
8与印度比较，中国实施垂直联结的劣势在于乡村金融中介不发达，但中国也有在许多优势。虽然印度非常重视金融联结，但其金融发展、经济发展水平和农业产业化都弱于中国，信贷需求强度和需求叠加现象远不及中国。印度各类农业协会和专业合作社、农业龙头企业等金融类乡村中介的数量和质量也不及中国。
9 Conning and Kevane （2002）曾将金融中介比喻为岛屿；随着经济发展，信贷需求叠加现象相应增加，岛屿之间联系也的更为密集。参见Conning, J and M. Kevane , “Why isn?t there more financial intermediation in developing countries,”WIDER Discussion Paper, United Nations，2002.
10民国时期的农村信用社也通过垂直联结向农户提供贷款。参见卢汉川：《当代中国的信用合作事业》，北
利用乡村中介的信息优势，探索了“与农村专业合作社的合作贷款机制”，“充分发挥农村合作金融机构网点优势，探索建立农村合作金融机构代理业务制度安排”（刘明康，2008）。中国农业银行福建德化县支行等与行会协会等中介开展密切合作（陈剑波，2009）。一些研究发现，金融部门通过与民间中介的联结来向农户发放贷款。与正式机构形成战略互惠关系的乡村中介包括农业龙头企业，村干部、从事农产品贸易与原料供应的乡村店老板，行业协会、专业市场（韩俊，2007）、农民专业合作社等，也包括扶贫社、社区发展基金、乐施会（滕昊、何广文，2009）等NGO。垂直联结的载体包括信贷、信息、储蓄和联结等。
（三）垂直联结的政策空间
实践-理论-政策的互动是中国经济体制改革得以成功的重要经验。在互动中，群众首创精神经过理论讨论自下而上演变为正式制度。农村金融领域也存在类似情况。民间自发实践和学者的呼吁使务实的政府意识到商业性农村金融和三农间的共生关系，认识到利用乡村中介在传递机构贷款的积极作用。尽管尚未制定《放贷人条例》之类的正式法律，但一些正式制度已默认垂直联结的合法性。比如，“银监发〔2007〕5号”11、“银监办发〔2007〕51号”
12、银监发〔2008〕23号”13等分别鼓励村镇银行、农村资金互助社和贷款公司等新型农村小型金融机构从正式金融机构融入资金。《农民专业合作社法》14支持正式金融机构对农民专业合作社等NGO提供资金服务。“银发〔2008〕295号”15明确提出要积极探索以互联性交易为基础的垂直联结等信贷模式。
（四）中国实施垂直联结战略的意义及其创新
农村金融改革使中国建立多元化农村金融组织体系，但也存在如下困境：政府希望政策性、商业性和合作性金融以水平合作方式承担支农重任，但因缺乏正向激励机制，正式机构因利益驱动而“使命飘移”，政策性金融功能萎缩。村镇银行等新型中介面临着资金缺乏和能力不足等问题。民间融资功能重要，但政府缺乏将之纳入农贷体系的有效措施。故而，我国农村金融服务渗透的任务仍较艰巨：许多农户没有被正式部门覆盖；已被覆盖的农户，贷款数量有限。
未来时期的农村金融改革需依托现有成果但需更新模式。我国可以尝试垂直联结这种新模式并期待如下实践意义。首先，作为系统性工程，它为当局提供支农新思路、为政策性银行赋予新功能、为正式机构提供新信贷模式；提高新型农村微型金融机构自生能力、促进农民专业合作社等中介组织发展、规范引导与培育民间金融中介。其次，以市场化方式解决机构可持续与农村金融服务的两难困境，它在建立信贷分层体系、填补农村金融空白、提高贷款入户率和贷款规模；增加农户收入、推进农村经济结构升级、创新“制度主义”小额贷款模式、完善普惠金融、建立长效的农村金融扶持政策体系等方面，意义重大。
中国实施垂直联结的条件基本具备，主要困难既非“渠”(机构多元化)，亦非“水”(资金)，而是引“水”入“渠”并输送至农户的“力”。决策层对乡村中介的态度逐渐务实，学
京：当代中国出版社，1998。
11《村镇银行管理暂行规定》第8条第2款：村镇银行的“发起人或出资人应符合规定的条件，且发起人或出资人中应至少有1家银行业金融机构”。
12《农村资金互助社示范章程》第39条：“本社以吸收社员存款、接受社会捐赠资金和符合审慎要求向其他银行业金融机构融入资金作为资金来源”。
13《关于小额贷款公司试点的指导意见》第3条：“在法律、法规规定的范围内，小额贷款公司从银行业金融机构获得融入资金的余额，不得超过资本净额的50%”。
14农民专业合作社法》第51条：“国家政策性金融机构应当采取多种形式，为农民专业合作社提供多渠道的资金支持。具体支持政策由国务院规定。”“国家鼓励商业性金融机构采取多种形式，为农民专业合作社提供金融服务”。
15关于加快农村金融产品和服务方式创新的意见》第3条第3款：“支持政策性银行、国有商业银行、股份制商业银行、城市商业银行等银行业金融机构通过批发或转贷方式间接参与小额信用贷款业务。”“积极推动和发展“公司+农户”、“公司+中介组织+农户”、“公司+专业市场+农户”等促进农业产业化经营的信贷模式”。
者对其重要作用形成共识，各类乡村中介亦迅速发展；改革后，正式部门治理机制健全，网络庞大；大部分地区农业商业化程度较高，农户贷款需求旺盛并存在叠加需求。民间自发的实践大量涌现表明我国实施垂直联结的远大前程。一揽子、系统性解决农村金融化可谓万事俱备，但缺乏“引爆点”。垂直联结以市场化方式兼顾金融部门的财务可持续和“支农”使命间的双重目标，具有“引爆点”功能。
中国需要采取激励驱动的政策措施，以制度创新来契合正式金融与非正式金融。虽然“模仿是最好的奉承”，但正如印度在充分考虑国情的情况下选择SBLP一样16,我国如实施垂直联结亦需考虑情境情差异。如，乡村中介不是地主、职业放贷者与部落首领等而是新型农村小型金融机构、经济实体（如与农户存在合作关系的农业龙头企业）及中介组织（如农民专业合作社）等。印度等所坚持的基本原则即“储蓄优先”，对存在大量农村储蓄外流的中国来说，也未必合适。垂直联结的目标应考虑经济发展水平的差异。在农业发达地区，农户货币需求较旺盛。落后地区的农户关心的主要是贷款。中等发达地区的农户对贷款与货币均有考量。对于上述问题，作者将另文论述。
九、讨论与结论
（一）主要结论
1.农村金融问题是系统性的，既表现为金融服务的宽度、广度与深度，也包括金融结构变化等内容。本文提出“农村金融化”理论框架，对“信贷补贴”、“市场学派”和“信息成本”和“垂直分工”等观点进行初步整合。
2.“农村金融化”模式选择应立足于对农村市场的微观结构：信贷市场的状态依存、市场互联性、时间相关性等。农村信贷市场本质是非市场制度，它注重成本效率，乡村中介依靠用益权贷款、关系专用型资产等直接机制治理金融交易。
3.乡村中介因为无法应对系统性风险和对人际信任的过分依赖而难以向上发展，正式机构因缺乏成本效率而难以向下延伸。两种金融交易制度的冲突导致市场分割和金融排斥。
4.给定特定区域的管理成本，科层组织可以代理模式开拓农村业务。中国政府依靠这种模式治理乡村社会，该模式亦可用于农村金融化。通过缔结长期契约，银行与乡村中介建立互惠式伙伴关系，它回避连带责任下的近邻压力，使机构贷款通过乡村中介的比较优势而得以跨越门槛效应并传递至农户。
5.垂直联结增加信贷规模、降低贷款利率的条件是：农村市场拓荒成本、关系型专用资产、银行资金成本三者之和大于沉没成本。银行的资金优势越显著，农村信贷市场的管理与拓荒成本越高、关系型专用性资产越重要、农村市场的沉没成本越低、乡村市场的垄断程度越高，垂直联结传递机构贷款的功能越突出。垂直联结对贷款利率的影响与取决于新增贷款数量，与市场结构无关。印度和其它亚非拉地区的实践证明，垂直联结在促进农村金融化方面是行之有效的。
6. 微型金融是当前金融经济领域最激动人心的领域之一，垂直联结是最有效的微型金融模式；它兼顾金融机构的财务可持续和农村金融化的双重目标，以市场化方式将信贷资金传递至农户手中。中国实施垂直联结的条件基本具备，但须虑及情境差异。
（二）研究局限性与讨论
本文提出农村金融化的构念并对有关理论进行初步整合。对垂直联结本身，从经济组织、商业模式、产品内分工等方面理解其本质，提供数学模型、理论推导它对贷款数量和利率的影响，讨论中国实施联结的基本条件与情境差异。这种尝试有一定意义。对垂直联结的
16当印度政府开始制订政策解决农户贷款难问题时，全世界流行着孟加拉格莱珉银行的“小组借贷模式”。但RBI和NABARD在深入调研后认为，GB模式认为该模式不符合印度。孟加拉农村缺乏金融机构，格莱珉只好自建SHG。联保贷款使农户面临近邻压力，使人际关系紧张，这不符合佛教所主张的和谐精神。
契约设计、运行机制、驱动因素、激励驱动的政策设计等相关问题，因篇幅原因而未能阐述。就垂直联结影响贷款数量与利率的因素分析，本文所提出来的可检验性命题，尚有待证实。
数学建模讲义第一章
第一章引言 众所周知，21世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。创新人才主要是指具有较强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用。正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。”数学作为一门技术，现已经成为一门能够普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。随着知识经济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创新意识与创新能力、应用意识与应用能力。也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。 1.1 数学建模的作用和地位 我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法以及相关的知识去解决，从而为社会服务。基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。因此，开展数学建模活动将会在人才培养的过程中有着重要的地位和起着重要的作用。 1.1.1 数学建模的创新作用 数学科学在实际中的重要地位和作用已普遍地被人们所认识，它的生命力正在不断地增强，这主要是来源于它的应用地位。各行各业和各科学领域都在运用数学，或是建立在数学基础之上的，正像人们所说的“数学无处不在”已成为不可争辩的事实。特别是在生产实践中运用数学的过程就是一个创造性的过程，成功运用的核心就是创新。我们这里所说的创新是指科技创新，所谓的科技创新主要是指在科学拘束领域的新发明、新创造。即发明新事物、新思想、新知识和新规律；创造新理论、新方法和新成果；开拓新的应用领域、解决新的问题。大学是人才培养的基地，而创新人才的培养核心是创新思想、创新意识和创新能力的培养。传统的教学内容和教学方法显然不足以胜任这一重担，数学建模本身就是一个创造性的思维过程，从数学建模的教学内容、教学方法，以及数学建模竞赛活动的培训等都是围绕着一个培养创新人才的核心这个主题内容进行的，其内容取材于实际、方法结合于实际、结果应用于实际。总之，知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现，这也正是数学建模的创新作用所在。 1.1.2 数学建模的综合作用 对于我们每一个教数学基础科的教师来说，在上第一堂课的时候，按惯例都会讲一下课
数学建模 运筹学模型(五)
运筹学模型（五） 3. 试求如表4所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用： 表4 单位：百元/吨 解：易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题.我们有 （1） 利用最小元素法可得初始方案如表5， 表5 （2）使用闭回路法可得负检验数为12λ= -1，故令12x 进基 （3）使用闭回路法进行调整知11x 出基，便得新的运输方案如表6 表6 （4）再进行检验知，所有检验数0≥ij λ，故得最优运销图如图2：
图2 最小费用为385（百元）. 4.从城市s到城市t可经城市1-6到达，其间有直达客车的城际乘车费用依次为 1s l= 4， 2s l=1， 3s l=3， 14 l=2， 25 l=6， 36 l=1， 12 l=3， 23 l=5， 45 l=5， t l 4 =6， 56 l=3， t l 5 = 4， t l 6 =7 单位是拾元.试建立图模型以确定乘直达车从城市s到各城市间的最小乘车费用及相应的乘车路线. 解：本题属于图模型中较为简单的最短路问题.为使用图理论求解，首先要建立其图模型，然后才能使用相应的解法求解之.根据题设，除去始点和终点，中间点应为6个.分别以t s,为始点、终点，根据各点之间通车情况（注意下标），从左到右画出其图模型如图3： 再根据 到城市1：s 到城市2：s 到城市3：s 到城市4 到城市5：s 到城市6：s 到城市t s?②?⑤? s③?⑥? s③?⑥?⑤?t 其最小乘车费用均为110元. 注意：要求写出所有路线，每少写一条都要扣除相应的分数. 图4 11 2 A1 B3 B2 5 15A2 B2 B1 10 5A3 B4 B2 10 15
整数规划的两种数学模型解法
规划模型求解 指导老师： 组员： 组员分工 实际的内容： 1·简要介绍线性规划的历史 线性规划是运筹学中最基本、应用最广泛的分支。规划模型是一类有着广泛应用的确定性的系统优化模型，1939年，苏联数学家康托洛维奇出版《生产组织和计划中的数学方法》一书. 1947年，美国数学家丹兹格提出了线性规划问题的单纯形求解方法. 1951年，美国经济学家库普曼斯（J.C.Koopmans,1910—1985）出版《生产与配置的活动分析》一书. 1950～1956年，线性规划的对偶理论出现. 1960年，丹兹格与沃尔夫（P.Wolfe）建立大规模线性规划问题的分解算法. 1975年，康托洛维奇与库普曼斯因“最优资源配置理论的贡献”荣获诺贝尔经济学奖. 1978年，苏联数学家哈奇扬（L.G.Khachian）提出求解线性规划问题的多项式时间算法（内点算法），具有重要理论意义. 1984年，在美国贝尔实验室工作的印度裔数学家卡玛卡（N.Karmarkar）提出可以有效求解实际线性规划问题的多项式时间算法——Karmarkar算法.
线性规划的基本点就是在满足一定约束条件下，使预定的目标达到最优. 现在线性规划已不仅仅是一种数学理论和方法，而且成了现代化管理的重要手段，是帮助管理者与经营者做出科学决策的一个有效的数学技术. 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看 函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它不仅有助于我们提高对函数概念来龙去脉认识的清晰度，而且更能帮助我们领悟数学概念 对数学发展，数学学习的巨大作用。 2·线性规划的原理：线性规划是合理利用、调配资源 的一种应用数学方法。它的基本思路就是在满足一定的约束条件下，使预定的目标达到最优。它的研究内容可归纳为两个方面：一是系统的任务已定，如何合理筹划，精细安排，用最少的资源(人力、物力和财力)去实现这个任务；二是资源的数量已定，如何合理利用、调配，使任务完成的最多。前者是求极小，后者是求极大。线性规划是在满足企业内、外部的条件下，实现管理目标和极值(极小值和极大值)问题，就是要以尽少的资源输入来实现更多的社会需要的产品的产出。因此，线性规划是辅助企业“转轨”、“变型”的十分有利的工具，它在辅助企业经营决策、计划优化等方面具有重要的作用。其一般形式为： n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a x c x c x c x f =+++=+++→+++= 2 2222121112121112211min )(
数学建模--杨桂元--第一章习题答案
第一章 1-1习题 1.设用原料A 生产甲、乙、丙的数量分别为131211,,x x x ，用原料B 生产甲、乙、丙的数量分别为232221,,x x x ，原料C 生产甲、乙、丙的数量分别为333231,,x x x ，则可以建立线性规划问题的数学模型： ?? ??? ??? ?? ?????=≥≤+--≤+--≥--≤+--≥--≤++≤++≤++++++++-+=) 3,2,1,(,00 5.05.05.004.0 6.06.00 15.015.085.008.02.02.006.06.04.012002500 2000..8.38.56.78.18.36.52.08.16.3max 33231332221232 22123121113121113332312322 21131211333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x S ij LINDO 求解程序见程序XT1-1-1。 求解结果： 1200 ,22.1482,33.473,0,78.1017,66.1526322212312111======x x x x x x 0,0,0332313===x x x ，24640max =S （元） 。 2.设用设备,,,,,32121B B B A A 加工产品Ⅰ的数量分别为54321,,,,x x x x x ,设备121,,B A A 加工产品Ⅱ的数量分别为876,,x x x ,设备22,B A 加工产品Ⅲ的数量分别为109,x x ,则目标函数为: 976321)5.08.2())(35.02())(25.025.1(max x x x x x x S -++-+++-= 4000 7200700011478340008625010000129731260001053005 1048397261x x x x x x x x x x ?-+?-+?-++?-+? -整理后得到: ??? ??? ?=≥=-=-+=--++≤≤+≤+≤++≤+-+-++---+=)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1(,00;0;0;40007;7000114;400086; 100001297;6000105..2304.19256.15.03692.115.135.04474.0375.07816.075.0max 10987654321510483972611098765 4321j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x S j 整数 LINDO 求解的程序见程序XT1-1-2。 求解结果: 324,500,0,571,859,0,230,120010987654321==========x x x x x x x x x x 446.1155max =S 3.设自己生产甲、乙、丙的数量分别为312111,,x x x ,外协加工甲、乙、丙第数量分别为322212,,x x x （外协加工的铸造、机加工和装配的工时均不超过5000小时）,则
第1章 数学建模与误差分析
第1章数学建模与误差分析 1.1 数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学产生紧密联系，数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测。近几十年来由于计算机及科学技术的快速发展，求解各种数学问题的数值方法即计算数学也越来越多地应用于科学技术各领域，相关交叉学科分支纷纷兴起，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物、计算经济学等。 科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。科学计算涉及数学的各分支，研究它们适合于计算机编程的数值计算方法是计算数学的任务，它是各种计算性学科的联系纽带和共性基础，兼有基础性和应用性的数学学科。它面向的是数学问题本身而不是具体的物理模型，但它又是各计算学科共同的基础。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用,已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法。在实际应用中所建立的数学模型其完备形式往往不能方便地求出精确解，于是只能转化为简化模型，如将复杂的非线性模型忽略一些因素而简化为线性模型，但这样做往往不能满足精度要求。因此，目前使用数值方法来直接求解较少简化的模型，可以得到满足精度要求的结果，使科学计算发挥更大作用。了解和掌握科学计算的基本方法、数学建模方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是工程技术人才必备的数学素质。 1.2 数学建模及其重要意义 数学，作为一门研究现实世界数量关系和空间形式的科学，在它产生和发展的历史长河中，一直是和人们生活的实际需要密切相关。用数学方法解决工程实际和科学技术中的具体问题时，首先必须将具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际问题的数学模型，然后将建立起的数学模型，利用数学理论和计算技术进行推演、论证和计算，得到欲求解问题的解析解或数值解，最后用求得的解析解和数值解来解决实际问题。本章主要介绍数学建模基本过程和求解数学问题数值方法的误差传播分析。 1.2.1 数学建模的过程 数学建模过程就是从现实对象到数学模型，再从数学模型回到现实对象的循环，一般通过表述、求解、解释、验证几个阶段完成。数学建模过程如图1.2.1所示，数学模型求解方法可分为解析法和数值方法，如图1.2.2所示。 表述是将现实问题“翻译”成抽象的数学问题，属于归纳。数学模型的求解方法则属于演绎。归纳是依据个别现象推出一般规律；演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论。演绎利用严格的逻辑推理，对解释现象做出科学预见，具有重要意义，但是它要以归纳的结论作为公理化形式的前提，只有在这个前提下
数学建模期末考试A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
(完整word版)整数规划的数学模型及解的特点
整数规划的数学模型及解的特点 整数规划IP (integer programming)：在许多规划问题中，如果要求一部分或全部决策变量必须取整数。例如，所求的解是机器的台数、人数、车辆船只数等，这样的规划问题称为整数规划，简记IP 。 松弛问题(slack problem)：不考虑整数条件，由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题。 若松弛问题是一个线性规化问题，则该整数规划为整数线性规划(integer linear programming)。 一、整数线性规划数学模型的一般形式 ∑==n j j j x c Z 1 min)max(或 中部分或全部取整数n j n j i j ij x x x m j n i x b x a t s ,...,,...2,1,...,2,10 ),(.211 ==≥=≥≤∑= 整数线性规划问题可以分为以下几种类型 1、纯整数线性规划(pure integer linear programming)：指全部决策变量都必须取整数值的整数线性规划。有时，也称为全整数规划。
2、混合整数线性规划(mixed integer liner programming)：指决策变量中有一部分必须取整数值，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。 3、0—1型整数线性规划(zero —one integer liner programming)：指决策变量只能取值0或1的整数线性规划。 1 解整数规划问题 0—1型整数规划 0—1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量仅可取值0或1，这时的 ???? ? ????≥≤+≥+≤-+=且为整数0,5210453233max 2121212121x x x x x x x x x x z
数学建模 选修课策略模型
科技大学 题目：选课策略数学模型 班级： 姓名： 学号：
摘要 本问题要求我们为了解决学生最优选课问题，本文利用0-1规划模型先找出目标函数，再列出约束条件，分三步得出对最终问题逐层分析化多目标规划为单目标规划，从而建立模型，模型建立之后，运用LINGO软件求解，得到最优解，满足同学选修课程的数量少，又能获得的学分多。 特点：根据以上分析，特将模型分成以下几种情况，（1）考虑获得最多的学分，而不考虑所选修的课程的多少；（2）考虑课程最少的情况下，使得到的学分最多；（3）同时考虑学分最多和选修科目最少，并且所占比例三七分。在不同的情况下建立不同的模型，最终计算出结果。 关键词0-1规划选修课要求多目标规划 模型一：同时要求课程最少而且获得的学分最多，并按3:7的重要性建立模型。 模型二：要求选修课的课程最少，学分忽略；约束条件只有，每人至少学习2门数学，3门运筹学，2 门计算机，和先修课的要求建立模型一。 模型三：要求科目最少的情况下，获得的学分尽可能最多，只是目标函数变了，约束条件没变。 一．问题的重述 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学过两门数学课，三门运筹学课,两门计
算机。这些课程的编号，名称，学分，所属类别和选修课的要求如表所示。那么，毕业时最少可以学习这些课程中的哪些课程。 如果某个学生即希望选修课程的数量最少，又希望所获得的学分最多，他可以选修哪些课程？ 二．模型的假设及符号说明 1．模型假设 1)学生只要选修就能通过； 2）每个学生都必须遵守规定；
2. 符号说明 1)xi:表示选修的课程（xi=0表示不选，xi=1表示选i=1,2,3,4,5,6,7,8,9）； 三．问题分析 对于问题一，在忽略所获得学分的高低，只考虑课程最少，分析题目，有先修课要求，和最少科目限制，建立模型一，计算求出结果； 对于问题二，在模型一的条件下，考虑分数最高，把模型一的结果当做约束条件，建立模型二，计算求出结果； 对于问题三，同时考虑两者，所占权重比一样,建立模型三； 四．模型的建立及求解 模型一 目标函数： min=0.7*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9)-0.3*(5*x1+4*x2+4*x3+3*x4+4*x5+3*x6+2*x7+2* x8+3*x9) 约束条件： x1+x2+x3+x4+x5>=2; x3+x5+x6+x8+x9>=3;
01型整数规划模型
甲乙公司不合作即竞争下所争取到的不同名专业推广者所建立的不同动态规划模 型的组合方案如下：其中X 为可能竞争到的专业推广者人数，即动态规划模型中第一天的
专业推广者推 广能力的份数，Y 为第二天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广 工作的专业推广者的人数；Z 为第三天需要的专业推广者推广能力的份数，即第三天安排从事推广工作的专业推广者的人数；a 为x 名专业推广者累计从事培训工作出来的兼职推广者的批数（每批20 人），其中，有多种组合方案；甲公司雇佣这些兼职推广者均工作一天，从事推广工作，第二天辞退a ?b 批兼职推广员，其余的b 批继续从事推广工作一天后辞退，即兼职宣传员总共最多雇佣2 天；cost 为花费的成本，即资金的使用数量；F 为不同方案下所达到的总推广效益。上表可以提供给甲公司做决策依据，根据效益的大小甲公司可以决策的目标方向顺序是从①--⑧，即不合作的情况下甲公司可以尽量争取到9 人，如若 不行，考虑争取4 人。 §5.4 0—1型整数规划模型 1、 0—1型整数规划模型概述 整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。 0—1型整数规划的的数学模型为： 目标函数 n n x c x c x c z M i n M a x +++= 2211)( 约束条件为： ???? ?? ?==≥≤++=≥≤++=≥≤++1 | 0 ) ,() ,() ,(2211222221211 1212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21 这里，0 | 1表示0或1。 2、0—1型整数规划模型的解法
实验一 控制系统的数学模型
实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G
数学建模(教案)第一章--线性规划
数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，
精品文 （2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t. (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x =，称为线性规
数学建模(整数规划)
整数规划模型
实际问题中 x x x x f z Max Min T n "),(),()(1==或的优化模型 m i x g t s i ",2,1,0)(..=≤x ~决策变量f (x )~目标函数g i (x )≤0~约束条件 多元函数决策变量个数n 和数 线性规划条件极值约束条件个数m 较大最优解在可行域学 规 非线性规划解 的边界上取得划 整数规划
Programming +Integer 所有变量都取整数，称为纯整数规划；有一部分取整数，称为混合整数规划；限制取0，1称为0‐1型整数规划。 型整数规划
+整数线性规划 max(min) n z c x =1j j j n =∑1 s.t. (,) 1,2,,ij j i j a x b i m =≤=≥=∑"12 ,,,0 () n x x x ≥"且为整数 或部分为整数
+例：假设有m 种不同的物品要装入航天飞机，它们的重量和体积分别为价值为w j 和v j ，价值为c j ，航天飞机的载重量和体积限制分别为W 和V ，如何装载使价值最大化？ m 1?1 max j j j c y =∑ 1 0j j y =?被装载 s.t. m j j v y V ≤∑0 j ?没被装载1 j m =1 j j j w y W =≤∑ 0 or 1 1,2,,j y j m =="
(Chicago)大学的Linus Schrage教授于1980年美国芝加哥(Chi)Li S h 前后开发, 后来成立LINDO系统公司（LINDO Systems Inc.），网址：https://www.wendangku.net/doc/4710694023.html, I）网址htt//li d LINDO: Interactive and Discrete Optimizer (V6.1) Linear(V61) LINGO: Linear Interactive General Optimizer (V8.0) LINDO——解决线性规划LP—Linear Programming，整数规划IP—Integer Programming问题。 LINGO——解决线性规划LP—Linear Programming，非线性规划NLP—Nonlinear Programming，整数规划IP—Integer Programming g g整划g g g 问题。
数学建模 运筹学模型(一)
运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 n n x C x C x C Z 211m in ) ,,2,1(0, ,, 22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n 或更简洁地表为 n j j j x C Z 1 min ),,2,1,,2,1(01 n j m i x b x a t s j n j i j ij 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 n n x C x C x C Z 2211m ax
数学建模-运筹学2013
最优化建模和计算 1、Lindo和Lingo基本程序 生产100套钢架，长2.9、2.1、1.5米各1根/套，原料长7.4米，如何下料？
下料的所有方案 1 2 3 4 5 6 7 8 2.9 2 1 1 1 0 0 0 0 2.1 0 2 1 0 3 2 1 0 1.5 1 0 1 3 0 2 3 4 料头0.1 0.3 0.9 0 1.1 0.2 0.8 1.4
给出下料问题的计算程序： Lindo程序： !min 0.1x1+0.3x2+0.9x3+0x4+1.1x5+0.2x6+0.8x7+1.4x8 min 1x1+1x2+1x3+1x4+1x5+1x6+1x7+1x8 subject to 2x1+1x2+1x3+1x4+0x5+0x6+0x7+0x8>100 0x1+2x2+1x3+0x4+3x5+2x6+1x7+0x8>100 1x1+0x2+1x3+3x4+0x5+2x6+3x7+4x8>100 end gin x1 gin x2 gin x3 gin x4 gin x5 gin x6 gin x7 gin x8
Lingo程序： model: sets: E/1..8/:c,x; F/1..3/:b; link(F,E):a; endsets min=@sum(E(j):c(j)*x(j)); @for(F(i):@sum(E(j):a(i,j)*x(j))>100); @for(E(j):x(j)>0); @for(E(j):@gin(x)); data: !c=0.1,0.3,0.9,0,1.1,0.2,0.8,1.4; c=1,1,1,1,1,1,1,1; a=2,1,1,1,0,0,0,0, 0,2,1,0,3,2,1,0, 1,0,1,3,0,2,3,4; enddata end
运筹学模型与数学建模竞赛
运筹学模型与数学建模竞赛 1、引言 一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划(线性规划和非线性规划)，网络优化(含网络计划技术)，排队模型，动态规划等，请看下表 注：从年起，全国大学生数学建模竞赛开始设置专供大专院校学生做的题。 下而重点介绍运筹学模型的数学规划。 二、数学规划的一般形式 nin f(x) (ornnx f(x)) /l, (x) = 0, i = 1,2,…丿 s.t.<0, ) = 12…，加 lb 解：题意即要确立从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设X”表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费?则运输模型为： min f = 2x H +X|2 +3^13 + 2x 2| + 2x 22 + 4x 23 ■ x H +x [2 +X13 S 50 x 21 + x 22 + x 23 < 30 X 11+X 2I =40' s 』：X [2+X 22 =15需求量约束 + AS j =25 列no 仃= 1,2；丿? = 123丿运输量非负约束 一般地，对于有m 个发点和门个收点的运输模型为 n 工? 5q(7 = h2,3,??m) m /=i Xq nO(j = 12??〃;J = 12??n) 其中q 为i 号发点的运出量，bj 为j 号收点的需求咼，5为从i 号发点到j 号收点的单位运 价。 m n n 特别当工％ =工耳时，存货必须全部运走.故上述约朿条件中的工耳可改为等式: r-1 j-1 n 工七=￡（，= 1,2,...w ） 3选址问题 某地区有m 座煤矿，尸矿每年产量为q 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 。吨, 每年运行的固左费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为ho 元。现规划新建一个发电厂, m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有门个备选的厂址。若在尸备 选厂址建电厂，每年运行的固左费用为％元，每吨原煤从严矿运送到严备选厂址的运费为 5元（口j=1,2 -n ）o 每吨原煤从厂矿运送到原有电厂的运费为细（i=1,2,...m ）。 试问： [1] 应把新电厂厂址选在何处？ [2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？ 才能使每年的总费用（电厂运行的固左费用与原煤运费之和）为最小？ 运岀量受存量约束 min m n f = H C u X U 数学建模-运筹学模型(一) 运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 n n x C x C x C Z 211m in ) ,,2,1(0, ,,22112222212111212111n j x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a t s j m n mn m m n n n n 或更简洁地表为 n j j j x C Z 1 min ),,2,1,,2,1(01 n j m i x b x a t s j n j i j ij 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 n n x C x C x C Z 2211m ax 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数）2134max x x z += (1) s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式 是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入下的闭环传递函数、误差传 递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构 。 图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式的余子式 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式 2.0引言：数学建模-运筹学模
10424-数学建模-第一章 线性规划
自动控制系统数学模型