平均数

平均数、中位数和众数的使用

【学习目标】

1．根据平均数、中位数、众数的意义，正确使用其中一个来代表一组数据．

2．能根据已学知识，解决一些实际问题．

【主体知识归纳】

1．平均数、中位数和众数都是用来代表一组数据的，而且它们互相之间可以相等也可以不相等，没有固定的大小关系．

2．正确运用平均数计算方法，警惕平均数的误用．

【基础知识精讲】

1．一般来说，平均数、中位数和众数都是一组数据的代表，分别代表这组数据的“一般水平”“中等水平”和“多数水平”．平均数涉及所有的数据，中位数和众数只涉及部分数据．

2．根据实际问题的具体内容和调查目标正确运用平均数、中位数和众数来代表一组数据的基本面貌．

3．本节的重点是正确运用平均数、中位数和众数反映一组数据的基本情况．用统计知识对现实生活中的事例、现象作出合理的解释，从而认识社会，了解社会，这正体现了数学的意义．

【例题精讲】

例1．初一年级某班教室里，三位同学正在为谁的数学成绩最好而争论，他们三人的五次数学成绩如表Ⅰ所示，这五次数学成绩的平均数、中位数、众数如表Ⅱ所示．

现在这三位同学都说自己的数学成绩是最好的．（1）请你猜想他们各自的理由；

（2）三人似乎都有道理，你对此有何看法？请运用统计知识作出正确的分析．

解：（1）小泉的平均数成绩最高，所以他认为自己的数学成绩最好；小吉的中位数成绩最高，所以他认为自己的数学成绩最好；小祥的众数成绩最高，所以他认为自己的数学成

绩最好．（2）平均数、中位数、众数都是用来代表一组数据的，而且它们之间可以相等，也可以不相等，三者没有固定的三角关系，现在这三者不相等，小泉、小吉、小祥都抓住这其中对自己最有用的数来证明自己的数学成绩最好．

例2．学校要召开运动会，决定从高一年级八个班中抽调40人，组成一个彩旗方阵队．如果从高一（1）班的体检表中抽出了10份男生表格，得到10个男同学的身高（单位：m）如下：

1.63 1.60 1.68 1.66 1.66 1.70 1.75 1.66 1.58 1.65

根据这10个身高值提供的信息，试确定参加方阵队学生的最佳身高值．

分析：理想的方阵队型组成者的身高应尽可能接近，这样队形就整齐划一．当然我们希望挑选身材高一点的同学组成方阵队，如果我们的挑选标准是1.75 m，可能全年级也没有40人，身高差距可能较大．方阵队形就会出现参差不齐现象．所以这个标准也不行，较为可行的标准应是身高值出现次数最多的数值．

解：上面的10个数据中的众数为1.66 m，说明全年级身高为1． 66 m的同学最多．因此挑选标准定为1． 66 m更便于选出身高比较整齐的方阵队来．

例3．某公司有15名员工，他们所在的部门及相应每人所创的年利润如下表所示：

根据表中提供的信息填空：

（1）该公司每人所创年利润的平均数_______万元；

（2）该公司每人所创年利润的中位数_______万元；

（3）你认为应该使用平均数和中位数中哪一个来描述该公司每人所创年利润的一般水平?

分析：充分利用平均数、中位数的意义，并注意它们的联系与区别，特别是注意个别数据是否较大的影响全体数据．

解：平均数为3.2，中位数为2.1，用中位数来描述该公司每人所创年利润的一般水平．例4．三个无线电厂家在广告中都声称，它们的半导体收音机产品在正常情况下，产品的平均寿命是8年．商品检验部门为了检查他们宣传的真实性，对三个厂家出售的半导体收音机寿命进行了抽样统计，结果如下：

甲厂：3、4、5、5、5、7、9、10、12、13、15；

乙厂：3、3、4、5、5、6、8、8、8、10、11；

丙厂：3、3、4、4、4、8、9、10、11、12、13．

试问：（1）这三个厂家的广告．分别利用了哪一种趋势的特征数？

（2）如果你是顾客，想选购哪个厂家的产品，为什么?

分析：本题是一道实际问题，厂家广告都选用对自己有利的集中趋势特征数，但顾客在选购时，应考察收音机寿命的平均数．

解：（1）因为甲厂的平均数是8，众数是5，中位数是7；乙厂的平均数约是6.45，众数是8，中位数是6；丙厂的平均数约是7.36，众数是4，中位数是8．所以甲厂选用平均数，乙厂选用众数，丙厂选用的是中位数．

（2）因为甲厂收音机的平均寿命比乙厂、丙厂的都高．因此，顾客应选购甲厂的产品．例5．两名新战士甲、乙在相同的条件下各射靶十次，每次命中的环数如下：

甲：8 6 7 8 6 5 9 10 4 7

乙：6 7 7 8 6 7 8 7 8 6

（1）求出甲、乙两组数据的平均数、中位数和众数？

（2）你觉得甲、乙两人的射击水平谁高些？

解：（1）甲组数据的平均数是7，中位数是7，众数是6、7、8；乙组数据的平均数是7，中位数是7，众数是7．

（2）尽管甲、乙两人命中的平均环数相等，两组数据的中位数也相等，但甲的成绩波动较大，乙的成绩相对比较稳定，所以乙的射击水平比甲要高一些．

评注：两组数据的平均数或中位数相等，只能说明这两组数据有共性，并不能说明这两组数据所代表的实际意义一定处于同等水平，必须根据实际问题的具体要求和数据的稳定程度作出判断．

例6．据报道，某公司的33名职工的月工资（以元为单位）如下：

（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；

（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么?（精确到元）

（3）你认为哪个统计更能反映这个公司员工的工资水平?结合此问题谈一谈你的看法．分析：这一题主要考查平均数、中位数、众数的使用，要正确、全面的理解这些定义，并结合实际，予以分析才是解决这个问题的关键．

＝1500＋591＝2091（元）．

中位数是1500元，众数是1500元；

＝1500＋1788＝3288（元）．

中位数是1500元，众数是1500元；

（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

例7．某养殖专业户在池塘养鱼．年初放养鱼苗20000尾，其成活率约90%．年底准备打捞出售．第一网捞得20条，称得平均每条2.5千克；第二网捞得25条，平均每条2.2千克；第三网捞得35条，称得平均每条2.8千克．（1）请估计这时鱼塘中的鱼的总质量．（2）如果把这塘鱼全部买掉，价格为每千克4元，那么这塘鱼的总收入是多少元？除去投资成本38000元，这一年的纯收入有多少元？

解：（1）样本的平均数为（2.5×20＋2.2×25＋2.8×35）÷80≈2.54（千克）

假设这塘鱼的总体平均数等于这个样本的平均数进行估计，那么这塘鱼的总重量可以估计为20000×90%×2.54＝45720（千克）

（2）4×45720＝182880（元）

182880－38000＝144880（元）

答：根据样本估计这塘鱼的总重量有45720千克，卖掉这塘鱼的总收入有144880元．

评注：从部分看全体是一种常用的调查方法，也是一种常用的数学统计方法．

【同步达纲练习】

1．选择题

（1）一个样本中，有f1个x1，f2个x2，f3个x3，那么这个样本的平均数是（）A． B．

C． D．

（2）一次数学测验，小红和小明的平均成绩是92分，小红和小芳的平均成绩是93分，三人的平均成绩是93分，则小明和小芳的平均成绩是（）

A．92分 B．93分 C．94分 D．95分

（3）①一组数据的平均数一定不是这组数据中的数；

②一组数据的中位数一定是这组数据中的数；

③一种标准件的标准长度是10 cm，甲加工的100个这种标准件的平均长度为10.01 cm，那么甲加工的标准件的质量高；

④在上学期期末考试中，小王的成绩总分比所在班的平均总分高5分，该班共有50名同学，那么总分比小王低的同学至少有25名．

上述说法中正确的有（）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3 个

（4）中考录取高一新生时，主要是依据考生的总分，这与哪一个关系较大（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．以上都不对

2．判断下列说法是否正确，如果不正确，请举出反例．

（1）一次数学测验中，初一（1）班分成四个小组计算平均分．第一、二、三、四小组的平均分依次为92、93、92.5、94.5，那么初一（1）班的平均分是93分．（2）某地区规定：人均年收入等于或少于3000元的农户为贫困户，应根据实际情况进行补助．该地区某示范村的人均收入达到15000元，那么该村不再有贫困户．（3）加工一种钢管的一个要求是内径等于10＋0.01（单位：毫米）．检验员抽查工人甲的产品．测量了50个，内径的平均值为10毫米，那么至少可以肯定这50个产品个个都合格．

（4）某县级市九大工业集团2002年1至9月份的利税构成一组数据，它的中位数是1.2115亿元，那么至少有四个工业集团的利税不满或等于1.2115亿元．如果是十大工业集团（其余条件不变）呢?

（5）10位评委给一位参赛歌手的评分的中位数是9.5，那么这10个分数的平均分等于或超过9.5分．

3．为了了解某电影院上半年每天晚场的观众人数，抽查了其中12天每天晚场的观众人数，结果如下：

641 717 753 684 850 638

724 591 675 713 841 668

这家电影院上半年平均每天晚场的观众人数约是多少？

4．为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株苗，测得苗高如下（单位：厘米）：

甲15 13 14 15 10 16 13 11 15 11

乙11 16 14 14 13 19 5 11 14 16

（1）分别求出这两组数据的平均数、中位数、众数；

（2）请你比较一下，哪种小麦的长势要好一点？

5．求自然数中从501到600这100个数的中位数与平均数（结果保留到小数点第1位）．6．现对甲、乙两种安眠药进行对比试验，测得10只某种动物在相同条件下，分别服用甲药和乙药后，延长的睡眠时间如下（单位：分）：

甲 100 80 60 100 50 40 40 30 50 50

乙 90 80 80 90 70 80 70 70 80 90

哪种安眠药对十只动物延长的睡眠时间较长？

7．某公司销售部有营销人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：

（1）求这15位营销人员该月销售的平均数、众数和中位数；

（2）假设销售部负责人把每位销售人员的月销售额定为320件，你认为是否合理？为什么？如不合理，请你制定一个合理的销售定额，并说明理由．

8．某校举行元旦文娱演出，由参加演出的10个班各推选一名担任评委，每个节目演出后的得分取各评委所给分的平均数．下面是对某班的一个节目各评委给出的评分表

（1）你对5号和9号评委给出的得分有何想法?

（2）该节目的得分是多少?此得分能否反映该节目的水平？

（3）如果去掉一个最高分和去掉一个最低分后再计算平均数值是多少?后一平均值能反映出该节目实际水平吗?

（4）一般情形，如果评委较多，为了使评分更能反映实际水平，还可作怎样的改进?

9．黄河流域某县积极响应“保护母亲河”的倡议，建造一条长80 km，宽400 m的防护林．为了统计这一道防护林的树的棵数，从中选出10块边长为400 m的正方形林地，清点每块树木的棵数，得到如下10个数据（单位：棵）：

16700 16720 16250 16660 16300 16320 16340 16650 16350 16710

请你根据上面的数据估计，这一道防护林大约共有多少棵树?

10．个体户王某经营一家小餐馆，餐馆所有的工作人员的月工资如下：王某4500元，厨师甲1200元，厨师乙800元，杂工丙400元，服务员丁500元，服务员戊450元，会计己550元．

（1）计算这家餐馆7个工作人员的平均工资；

（2）上题中的平均工资能否反映这家餐馆所有工作人员的月收入的一般水平?

【思路拓展题】

读一读

法国巴黎的“发现宫”科学博物馆中祖冲之的大名与他所发现的圆周率值并列．他曾经算出月球绕地球一周为时27.21223日，与现代公认的27.21222日相近，在那个时代能有那么伟大的成就，实在让人佩服，难怪西方科学家把月球上许多“火山口”中的一个命名为“祖冲之”．在莫斯科国立大学礼堂廊壁上，用彩色大理石镶嵌的世界各国著名的科学家肖像中，也有中国的祖冲之和李时珍，祖氏有那么杰出的表现，我们不能不对他尊敬．想一想

算得一次体育测验初三年级4个班的平均成绩分别是，，，，于是一位同学断言：这一次测验全年级的平均成绩是（＋＋＋）．你同意这种说法吗？

参考答案

【同步达纲练习】

1．（1）B （2）C （3）A （4）A

2．反例略，第（1）、（2）、（3）、（5）题都不正确，第（4）题数据个数为9时正确．

3．708

4．（1）甲 13.3 13.5 15 乙 13.3 14 14

（2）甲

5．550.5 550.5

6．乙

7．（1）320 210 210

（2）不合理，理由略 210

8．（1）打分不合理（2）7.35 不能够（3）7.16 能（4）去掉一个最高分，去掉一个最低分

9．330万棵

10．（1）1200元（2