2016二次函数与相似三角形

二次函数与相似三角形

一．解答题（共8小题）

1．（2013?青海）如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

2．（2009?临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

3．（2015?西安模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2015?洛阳一模）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点

①如图1，过点P作PD⊥BC，垂足为D，求垂线段PD的最大值并求出此时点P的坐标；

②如图2，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，过点P作y轴的平行线PQ，与直线BC 交于点Q，问是否存在点P，使得以M、P、Q为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2013秋?松江区月考）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

6．（2012?常德）如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B

（4，4）．

（1）求二次函数的解析式：

（2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

7．（2013?鄂尔多斯）如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为

顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标；

（3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

8．（2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴

交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为

点B．

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数与相似三角形

参考答案与试题解析

一．解答题（共8小题）

1．（2013?青海）如图，已知抛物线经过点A（2，0），B（3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A，O，D，E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上第二象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）根据抛物线过A（2，0）及原点可设y=a（x﹣2）x，然后根据抛物线y=a（x ﹣2）x过B（3，3），求出a的值即可；

（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=﹣1右侧，进而可求出D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

【解答】解：（1）根据抛物线过A（2，0）及原点，可设y=a（x﹣2）（x﹣0），

又∵抛物线y=a（x﹣2）x过B（3，3），

∴3（3﹣2）a=3，

∴a=1，

∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）x=x2﹣2x；

（2）①若OA为对角线，则D点与C点重合，点D的坐标应为D（1，﹣1）；

②若OA为平行四边形的一边，则DE=OA，∵点E在抛物线的对称轴上，

∴点E横坐标为1，

∴点D 的横坐标为3或﹣1，代入y=x2﹣2x得D（3，3）和D（﹣1，3），

综上点D坐标为（1，﹣1），（3，3），（﹣1，3）．

（3）∵点B（3，3）C（1，﹣1），

∴△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，

①如图1，若△PMA∽△COB，设PM=t，则AM=3t，

∴点P（2﹣3t，t），

代入y=x2﹣2x得（2﹣3t）2﹣2（2﹣3t）=t，

解得t1=0（舍），，

∴；

②如图2，若△PMA∽△BOC，

设PM=3t，则AM=t，点P（2﹣t，3t），代入y=x2﹣2x得（2﹣t）2﹣2（2﹣t）=3t，

解得t1=0（舍），t2=5，

∴P（﹣3，15）

综上所述，点P的坐标为或（﹣3，15）．

【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

2．（2009?临沂）如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，﹣2）三点．

（1）求出抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）已知抛物线经过C（0，﹣2），则可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2，再把A（4，0），B（1，0）代入即可；

（2）△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；

（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．

【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），

设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．

将A（4，0），B（1，0）代入，

得，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2．

（2）存在．

如图，设P点的横坐标为m，

则点P的纵坐标为，

当1＜m＜4时，

AM=4﹣m，PM=，

又∵∠COA=∠PMA=90°，

∴①当==2时，△APM∽△ACO，

∴=2，即|4﹣m|=2（），

∴4﹣m=m2+5m﹣4，

∴m2﹣6m+8=0，

∴（m﹣2）（m﹣4）=0，

解得：m1=2，m2=4（舍去）

∴P（2，1）

②当，△APM∽△CAO，

那么有：2|4﹣m|=，

∴2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，

∴m2﹣9m+20=0，

∴（m﹣4）（m﹣5）=0，

解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），

∴当1＜m＜4时，P（2，1），

类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2），

当m＜1时，P（﹣3，﹣14），

当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，﹣2）．

综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）或（0，﹣2）；（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．

过D作y轴的平行线交AC于E．

由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．

∴E点的坐标为（t，t﹣2）．

∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．

∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．

∴当t=2时，△DAC面积最大．

∴D（2，1）．

【点评】本题综合考查了抛物线解析式的求法，抛物线与相似三角形的问题，坐标系里表示三角形的面积及其最大值问题，要求会用字母代替长度，坐标，会对代数式进行合理变形．

3．（2015?西安模拟）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E使以A、B、E为顶点的三角形与△COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）本题需先根据已知条件，过C点，设出该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2，再根据过A，B两点，即可得出结果；

（2）由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．由相似关系求出点E的坐标．

【解答】解：（1）∵该抛物线过点C（0，2），

∴可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+2．

将A（﹣1，0），B（4，0）代入，

得，解得，

∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x+2．

（2）存在．

由图象可知，以A、B为直角顶点的△ABE不存在，所以△ABE只可能是以点E为直角顶点的三角形．

在Rt△BOC中，OC=2，OB=4，

∴BC==2．

在Rt△BOC中，设BC边上的高为h，则×2h=×2×4，

∴h=．

∵△BEA∽△COB，设E点坐标为（x，y），

∴=，

∴y=±2

将y=2代入抛物线y=﹣x2+x+2，

得x1=0，x2=3．

当y=﹣2时，不合题意舍去．

∴E点坐标为（0，2），（3，2）．

【点评】本题考查了二次函数的综合题，涉及相似三角形的性质的运用，勾股定理的运用，解题的关键是正确求出函数的解析式．

4．（2015?洛阳一模）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（2，﹣1），并且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于两点A，B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P是位于直线BC下方的抛物线上一动点

①如图1，过点P作PD⊥BC，垂足为D，求垂线段PD的最大值并求出此时点P的坐标；

②如图2，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，过点P作y轴的平行线PQ，与直线BC 交于点Q，问是否存在点P，使得以M、P、Q为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）设抛物线的表达式为y=a（x﹣2）2﹣1（a≠0），将点C的坐标代入即可得出答案；

（2）①过点P作PE∥y轴与直线AB交于点E，由PE与y轴平行，得到∠BEP=∠BCO，求出OB与OC的长，得出sin∠BCO的值，即为sin∠BEP的值，设P的横坐标为m，分别代入直线与抛物线解析式得到两个纵坐标之差为PE的长，由PD=PEsin∠BEP表示出PD，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可；

②由直线BC的解析式知∠OBC=∠OCB=45°．又由题意知∠QPM=∠COB=90°，所以只有△QPM∽△COB．

【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为（2，﹣1），

∴可设该函数解析式为：y=a（x﹣2）2﹣1（a≠0），

又∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），

∴3=a（0﹣2）2﹣1，

解得a=1，

∴该抛物线的解析式是y=（x﹣2）2﹣1（或y=x2﹣4x+3）；

（2）①过点P作PE∥y轴与直线BC交于点E，如图1，

∵PE与y轴平行

∴∠BEP=∠BCO，

对于抛物线y=x2﹣4x+3，令y=0，得到x2﹣4x+3=0

解得：x1=1，x2=3

∴抛物线与x轴的两交点为A（1，0），B（3，0）

设B、C所在直线解析式为y=kx+b

则有解得

∴直线为y=﹣x+3，BO=3，CO=3，

根据勾股定理得到BC=3

∴sin∠BEP=sin=∠BCO==

设P点的横坐标为m，

将x=m代入直线解析式得：y=﹣m+3；代入抛物线解析式得：y=m2﹣4m+3，∴EP=﹣m+3﹣（m2﹣4m+3）=﹣m2+3m

∴DP=EP?sin∠BEP=（﹣m2+3m）×=﹣

∵﹣＜0，

∴当m=时，MP的最大值为．

②假设存在点E，使得以M、Q、P为顶点的三角形与△BCO相似．

由（1）知，该抛物线的解析式是y=x2﹣4x+3，即y=（x﹣1）（x﹣3），

∴该抛物线与x轴的交点坐标分别是A（1，0），B（3，0）．

∵C（0，3），

∴易求直线BC的解析式为：y=﹣x+3．

∴∠OBC=∠OCB=45°．

又∵点M是对称轴上的一点，对称轴为：直线x=2，

∴M（2，1）

如图2，连接MP．

∵QP∥y轴，

∴只有∠QPM=∠COB=90°．

∵以M、Q、P为顶点的三角形与△BCO相似，

∴∠MQP=∠PMQ=45°，

∴只有△QPM∽△COB．

设Q（x，﹣x+3），则P（x，1），

∴1=x2﹣4x+3，

解得x=2±，

∠QMP=90°；易知，直线AM：y=x﹣1，联立抛物线的解析式有：

x2﹣4x+3=x﹣1，解得x1=1、x2=4；

当x=1时，y=﹣x+3=2；

当x=4时，y=﹣x+3=﹣1；

∴Q3（1，2）、Q4（4，﹣1）．

∴Q（2﹣，1+）或Q′（2+，1﹣）或（1，2）或（4，﹣1）．

【点评】此题考查了二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，坐标与图形性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数定义，同角三角函数间的基本关系，以及相似三角形的判定；注意解（2）②时，只有△QPM∽△COB一种情况．

5．（2013秋?松江区月考）如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的函数解析式．

（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．

（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O （0，0），代入求出a，b，c的值即可；

（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=﹣1右侧，进而可求出D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．

【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：

，

解得：，

所以函数解析式为：y=x2+2x；

（2）∵AO为平行四边形的一边，

∴DE∥AO，DE=AO，

∵A（﹣2，0），

∴DE=AO=2，

∵四边形AODE是平行四边形，

∴D在对称轴直线x=﹣1右侧，

∴D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式得y=3，

∴D的坐标为（1，3）；

当D点在对称轴直线x=﹣1的左侧时，

根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为（﹣3，3），

综上点D的坐标为（1，3）或（﹣3，3）；

（3）假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，

由题意，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，

①若△PMA∽△COB，则=，

即x+2=3（x2+2x），得

x1=，x2=﹣2（舍去）

②若△PMA∽△BOC，=，

即：x2+2x=3（x+2），

得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．

故符合条件的点P有两个，分别（，）或（3，15）．

【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，综合性强，同时也考查了学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．

6．（2012?常德）如图，已知二次函数的图象过点A（﹣4，3），B

（4，4）．

（1）求二次函数的解析式：

（2）求证：△ACB是直角三角形；

（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题；压轴题．

【分析】（1）将点A及点B的坐标代入函数解析式，得出a、b的值，继而可得出函数解析式；

（2）根据二次函数解析式，求出点C的坐标，然后分别求出AC、AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理证明即可；

（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标．

【解答】解：（1）由题意得，函数图象经过点A（﹣4，3），B（4，4），

故可得：，

解得：，

故二次函数关系式为：y=（x+2）（13x﹣20）．

（2）由（1）所求函数关系式可得点C坐标为（﹣2，0），点D坐标为（，0），

又∵点A（﹣4，3），B（4，4），

∴AB==，AC==，

BC==2，

∵满足AB2=AC2+BC2，

∴△ACB是直角三角形．

（3）存在点P的坐标，点P的坐标为（﹣，）或（﹣，）．

设点P坐标为（x，（x+2）（13x﹣20）），则PH=（x+2）（13x﹣20），HD=﹣x+，

①若△DHP∽△BCA，则=，即=，

解得：x=﹣或x=（因为点P在第二象限，故舍去）；

代入可得PH=，即P1坐标为（﹣，）；

②若△PHD∽△BCA，则=，即=，

解得：x=﹣或x=（因为点P在第二象限，故舍去）．

代入可得PH=，即P2坐标为：（﹣，）．

综上所述，满足条件的点P有两个，即P1（﹣，）、P2（﹣，）．

【点评】此题属于二次函数综合题目，涉及了相似三角形的判定与性质、待定系数法求二次函数解析式，同时还让学生探究存在性问题，本题的第三问计算量比较大，同学们要注意细心求解．

7．（2013?鄂尔多斯）如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为

顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标；

（3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线的顶点式解析式，将原点坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；

（2）分三种情况考虑，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四边形的性质及坐标与图形性质求出D坐标即可；

（3）根据题意画出图形，根据B横坐标为﹣3，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B 坐标，进而求出BC，BO，OC的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC为直角三角

形，若P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m2+2m，根据相似得比例，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而求出n的值，即可确定出P的坐标．

【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），

∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2﹣1，

∵抛物线经过（0，0），

∴将x=0，y=0代入抛物线解析式得：0=a﹣1，

解得：a=1，

∴y=（x+1）2﹣1=x2+2x，

令y=0时，x2+2x=0，

解得x1=0，x2=﹣2，

∴A（﹣2，0）；

（2）如图所示，分三种情况考虑：

当D1在第一象限时，若四边形AOD1E1为平行四边形，

∴AO=E1D1=2，

∵抛物线对称轴为直线x=﹣1，

∴D1横坐标为1，

将x=1代入抛物线y=x2+2x=1+2=3，即D1（1，3）；

当D2在第二象限时，同理D2（﹣3，3）；

当D3在第三象限时，若四边形AE2OD3为平行四边形，此时D3与C重合，即D3（﹣1，﹣1）；

（3）存在，

∵点B在抛物线上，

∴当x=﹣3时，y=9﹣6=3，

∴B（﹣3，3），

根据勾股定理得：BO2=9+9=18；CO2=1+1=2；BC2=16+4=20，

∴BO2+CO2=18+2=20，

∴BO2+CO2=BC2，∴△BOC为直角三角形，

假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，

设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m2+2m，

①若△AMP∽△BOC，则=，即=，

整理得：m+2=3（m2+2m）=0，即3m2+5m﹣2=0，

解得：m1=，m2=﹣2（舍去），

m1=时，n=+=，

∴P（，）；

②若△AMP∽△COB，则=，即=，

整理得：m2﹣m﹣6=0，

解得m1=3，m2=﹣2（舍去），

当m=3时，n=9+6=15，

∴P（3，15），

综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1（，），P2（3，15）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全面．

8．（2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为

点B．

（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．

（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题．

【专题】压轴题．

【分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得

点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；

（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC

的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；

（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M 点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．

【解答】解：（1）①y=当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，

∴C（0，2），A（﹣4，0），

由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，

∴点B的坐标为1，0）．

②∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），

∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），

又∵抛物线过点C（0，2），

∴2=﹣4a

∴a=

∴y=x2x+2．

（2）设P（m，m2m+2）．

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，

∴Q（m，m+2），

∴PQ=m2m+2﹣（m+2）

=m2﹣2m，

∵S△PAC=×PQ×4，

=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣（m+2）2+4，

∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4，

此时P（﹣2，3）．

（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=，

∴∠CAO=∠BCO，

∵∠BCO+∠OBC=90°，

∴∠CAO+∠OBC=90°，

∴∠ACB=90°，

∴△ABC∽△ACO∽△CBO，

如下图：

①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；

②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；

③当点M在第四象限时，设M（n，n2n+2），则N（n，0）

∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4

当时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4）

整理得：n2+2n﹣8=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=2

∴M（2，﹣3）；

当时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），

整理得：n2﹣n﹣20=0

解得：n1=﹣4（舍），n2=5，

∴M（5，﹣18）．

综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．

【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．