1.3 不等式的解集(含答案)
1.3 不等式的解集
A卷：基础题
一、选择题
1．下面说法正确的是（）
A．x=3是不等式2x>3的一个解B．x=3是不等式2x>3的解集
C．x=3是不等式2x>3的唯一解D．x=3不是不等式2x>3的解
2．在数轴上表示x<－3的解集，下图中表示正确的是（）
3．如图，数轴上表示的数的范围是（）
A．－2 4．如图，在数轴上表示不等式2x－6≥0的解集，正确的是（） A B C D 二、填空题 5．a≥1的最小值是m，b≤8的最大值是n，则m+n=_____． 6．班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，?已知笔记本每本2元，钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔_____支． 7．一个三角形的两边长分别为3和7，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最小值是______． 8．不等式2x+3>9的解集是_____． 三、解答题 9．在数轴上表示下列不等式的解集： （1）x>1 2 ；（2）x≤－1 10．三个连续奇数之和不大于70，那么这三个奇数中最大奇数可能取的最大值是多少？ 11．如果方程组 523, 52 m n a m n a +=+ ? ? +=- ? 的解满足m+n≤6，求a的取值范围． 12．已知不等式3（x+5）－6>5与不等式5x+6a>4的解集相同，求a的值． B 卷：提高题 一、七彩题 1．（一题多解）当x 取哪些整数时，不等式x+2< 12（x+5）与不等式3（x －2）+9>2x 同时成立？ 2．（一题多变题）已知│2x －24│+（3x －y －k ）2=0，若y<0，求k 的取值范围． （1）一变：y>0，求k 的取值范围；（2）二变：k>0，求y 的取值范围； （3）三变：k<0，求y 的取值范围． 二、知识交叉题 3．（科内交叉题）已知x=3是方程x= 2x a －1的解，求不等式（10－a ）x<53 的解集． 三、实际应用题 4．朱妞家计划用40000元装修新房，新房的使用面积为100平方米，卫生间和厨房共10平方米，厨房和卫生间装修的工料费为每平方米200元，?卫生间和厨房配套的卫生洁具和厨房厨具还要用去2000元，这种情况下，居室和客厅装修工料费x（元/?平方米）应满足什么样的条件，才不会超过预算． 四、经典中考题 5．（2007，青海，2分）不等式8－3x≥0的最大整数解是______． 6．（2008，上海，4分）不等式x－3<0的解集是____． C卷：课标新型题 1．（结论开放题）写出四个满足不等式3x－2≤5x+8的负整数解． 2．（说理题）在一次“人与自然”知识竞赛中，竞赛试题共有25道，?每道题都给出4个选项，其中只有一个选项是对的，要求学生把正确选项写出来，每题选对得4分，不选或错选扣2分，如果一个学生在本次竞赛中，得分不低于60分，?那么他至少选对多少道题？ 3.请同学们讨论下列各题的说法对不对？如果不对，请说明理由． （1）x=3是不等式3x<11的一个解； （2）x=3是不等式3x<11的一个解集； （3）不等式3x<11的解集是x<3； （4）不等式3x<11的解集是x<11 3 ． 参考答案 A卷 一、1．A 2．B 3．B 4．B 点拨：不等式两边都加上6，得2x≥6，不等式两边都除以2，得x≥3．二、5．9 点拨：因为a≥1的最小值是m，所以m=1， 因为b≤8的最大值是n，所以n=8，所以m+n=1+8=9． 6．13 点拨：设能买钢笔x支，则买笔记本（30－x）本， 依题意5x+2（30－x）≤100，解得x≤40 3 ，故最多可买钢笔13支． 7．15 点拨：第三边的取值范围是4 8．x>3 点拨：不等式2x+3>9的两边都减去3，得2x>6，不等式两边都除以2，得x>3．三、9．解：（1）如图1所示，（2）如图2所示． 图1 图2 点拨：在数轴上表示不等式的解集时应牢记：边界点含于解集用实心圆点，?不含于解集用空心圆圈；方向遵循“大于向右走，小于向左走”的原则． 10．解：设这三个连续奇数分别为n－2，n，n+2， 依题意，得n－2+n+n+2≤70，3n≤70，n≤231 3 ，n的最大值为23， 当n=23时，n+2=23+2=25． 这三个奇数中最大奇数可能取的最大值是25． 点拨：根据题意列出关于n的不等式，求出n的解集，当n取最大值时，求最大奇数的值． 11．解： 523(1) 52(2) m n a m n a +=+ ? ? +=- ? （1）+（2）得6（m+n）=4+2a， 所以m+n=426a +=23a +，因为m+n≤6，所以23a +≤6，a≤16． 12．解：由3（x+5）－6>5得x>－43，由5x+6a>4得x>465a -， 由题意知－43=465a -，a=169 ． 点拨：本题是不等式与方程的综合综合，先解两个不等式，?根据两个不等式的解集相同得到方程，解这个方程求出a 的值． B 卷 一、1．解法一：解不等式x+2<12 （x+5）得2x+4 所以x>－3．用数轴表示以上两个不等式的解集如图所示． 所以x 取－2，－1，0时，两个不等式同时成立． 解法二：解不等式x+2<1 2（x+5）得x+2<12x+52，x －12x<52－2，12x<12 ，x<1．解不等式3（x －2）+9>2x 得x>－3．用数轴表示以上两个不等式的解集如图所示，所以x 取－2，－1，0时，两个不等式同时成立． 2．解：由非负数的性质，得2240,30,x x y k -=??--=?，所以12,36.x y k =??=-? ， 因为y<0，所以36－k<0，所以k>36． （1）当y>0时，36－k>0，所以k<36． （2）由y=36－k 得k=36－y ，若k>0，则36－y>0，所以y<36． （3）若k<0，则36－y<0，所以y>36． 点拨：本题考查非负数的性质及解简单的不等式． 二、3．解：由x= 2x a -－1得2x=x －a －2，因为x=3，所以a=－x －2=－3－2=－5， 所以不等式（10－?a）x<5 3 为（10+5）x< 5 3 ，15x< 5 3 ，x< 1 9 ． 点拨：本题是方程与不等式的综合运用，通过解方程求出a的值，把a?的值代入到不等式，然后求不等式的解集． 三、4．解：由题意得（100－10x）+10×200+2000≤40000， 所以x≤400，即每平方米最多用400元才不会超过预算． 四、5．2 点拨：解这个不等式，得x≤22 3 ，所以不等式8－3x≥0的最大整数解是2． 6．x<3 C卷 1．解：－1，－2，－3，－4． 点拨：解不等式3x－2≤5x+8，得x≥－5，? 所有满足题意的负整数解有－1，－2，－3，－4，－5． 此题答案不唯一，任意写出四个即可． 2．解：设该学生选对了x道题，则不选或错选（25－x）道题， 由题意，得4x－2（25－x） ≥60，解得x≥181 3 ， 所以，该生至少选对19道题． 点拨：此类题目必须算清得分与失分两层意思，并用含未知数的式子表示出来方能利 用不等式的邻界点和题目实际求得结果．x不能取18，理由是18不在x≥181 3 的范围内． 3.解：（1）这句话是正确的；（2）不正确，?因为不等式的解集是所有符合条件的解的集合，3只是其中之一；（3）不等式的解集是所有符合条件的解的集合，而x<3却丢掉了其中的一部分，所以说法（3）不正确，而（4）正确． 《9.1.1不等式及其解集》教学设计 课程名称《 9.1.1不等式及其解集》 授课人教学对象七年级科目数学课时安排1课时 一、教材分析 1教材的地位和作用 本章是新人教版七年级下册第九章的教学内容，此部分内容是在学生继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，又一次数学建模思想的教学，是进一步探究现实生活中的数量关系、培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式知识的基础。通过实际问题中一元一次不等式的应用，进一步增强学生学数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义；相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部份，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用 1.2本节课的教材内容 本节课的内容主要介绍不等式及不等式的解的概念及解集的表示方法，是研究不等式的导入课，通过实例引入，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望；经历、感受概念形成的过程，使学生正确抓住不等式的本质特征，为进一步学习不等式的性质、解法及简单应用起到铺垫作用. 1.3 学情分析 (1) 学生对实际生活中的不等量关系、数量大小的比较等知识，在小学阶段已有所了解。 (2) 学生已初步具备了“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题解释和检验”的数学建模能。 (3) 学生已初步具备探究和比较的能力 二、教学目标及难重点（知识与技能，方法和过程，情感态度与价值观） 教学目标： 2.1知识与技能：了解不等式概念，并理解不等式的解、解集，能够正确表示不等式的解集；经历把实际问题抽象为不等式的过程，能够列出不等关系式。使学生进一步理解归纳和类比的数学方法，以及从具体到抽象获取知识的思维方式；初步体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型。 2.2数学思考：感受生活中的数学问题，发展学生的观察、归纳、猜测、验证能力，领悟数学与现实世界的必然联系。 2.3解决问题：通过经历不等式的得出过程，积累数学活动经验。通过分组活动探索不等式的解与解集，体会在解决问题过程中与他人合作的重要性。 2.4情感态度与价值观：认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论,体验数学活动充满着探索性和创造性。在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果,并重新审视自己的想法,能从交流中获益。 教学重点：不等式相关概念的理解和不等式的解集的表示。 教学难点：正确理解不等式解集的意义。 三．教学策略选择与设计 教法：根据本节课教学内容和七年级学生的年龄、心理特点及目标教学的要求，本节课采用引导探究法；让学生以观察实例为基础，用归纳的方法形成概念，把教学过程转化为学生观察、发现、探究的过程，再现知识的“发生”和“发现”及“形成”的过程，揭示事物发展从“特殊”到“一般”再到“特殊”的辩证规律；既提高了学生的学习兴趣，增强了信心， 不等式性质的两个重要应用 一．利用不等式性质证明不等式 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式。解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用. 例1：若0>>b a ，0< 20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日 期： 第7章 第1节 一、选择题 1．(文)(20XX·深圳市深圳中学)不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( ) A ．{x|x>1} B ．{x|x≥1} C ．{x|x≥1且x ＝－2} D ．{x|x≥1或x ＝－2} [答案] D [解析] 不等式化为????? x －1≥0x ＋2≥0或x ＋2＝0， ∴x≥1或x ＝－2，故选D. (理)(20XX·天津文，7)设集合A ＝{x|x －a|＜1，x ∈R}，B ＝{x|1＜x ＜5，x ∈R}，若A∩B ＝?，则实数a 的取值范围是( ) A ．{a|0≤a≤6} B ．{a|≤2，或a≥4} C ．{a|a≤0，或a≥6} D ．{a|2≤a≤4} [答案] C [解析] |x －a|<1?a －1 函数，函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．若实数a 满足f(2a ＋1)<1，则a 的取值范围是( ) x －2 0 4 f(x) 1 －1 1 A.????0，32 B.??? ?－12，32 C.????12，72D.??? ?－32，32 [答案] D [解析] 由f ′(x)的图象知，f(x)在[－2,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又由表知若f(2a ＋ 1)<1，则－2<2a ＋1<4，∴－32 第九章不等式与不等式组 9.1不等式 9.1.1不等式及其解集 【知识与技能】 1.掌握不等式的概念； 2.理解不等式的解、解集；会在数轴上表示不等式的解集； 3.掌握一元一次不等式的概念； 4.会列出简单实际问题中的不等式. 【过程与方法】 从实例出发，引出不等式的概念，类比于方程的解理解不等式的解.进而理解不等式的解集，并学会在数轴上表示不等式的解集，类比于一元一次方程的概念理解一元一次不等式的概念. 【情感态度】 不等式是现实世界中普遍存在的关系，体验数学来源于实际生活又反过来服务于实际生活，提高同学们学习兴趣. 【教学重点】 不等式的概念，不等式的解、解集的概念，在数轴上表示不等式的解集. 【教学难点】 理解不等式的解集及在数轴上表示不等式的解集. 一、情境导入，初步认识 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？ 解：设车速是x千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系： （1）汽车行驶50千米的时间＜_______. （2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子： ①_______________，②_______________. 不等式的定义是：___________________. 问题2 在2 50 3 x＞中，当x＝76，x=75，x＝72，x＝70时，不等式是否成 立？76，75，72，70哪些是不等式的解，哪些不是?不等式2 50 3 x＞的解有多少？ 它的所有解组成解的集合，怎样表示它的解集？ 【教学说明】 同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点. 二、思考探究，获取新知 思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？ 思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？ 9.1.1 不等式及其解集教案1 【教学目标】： 1、了解不等式概念；理解不等式的解集。 2、能用数轴表示不等式的解集。 【教学重点】： 正确理解不等式及不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 【教学难点】： 正确理解不等式解集的意义. 【教学过程】： 一、情境导入，初步认识 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？ 解：设车速是x千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系： （1）汽车行驶50千米的时间＜_______. （2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子： ①_______________，②_______________. 不等式的定义是：___________________. 问题2 在2 50 3 x＞中，当x＝76，x=75，x＝72，x＝70时，不等式是否成立？76，75，72，70哪些是 不等式的解，哪些不是?不等式2 50 3 x＞的解有多少？它的所有解组成解的集合，怎样表示它的解集？ 【教学说明】 同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点. 二、思考探究，获取新知 思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？ 思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？ 【归纳结论】 1.定义：用“＜”或“＞”或“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式. 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 不等式及其性质(教师 版) https://www.wendangku.net/doc/4410872408.html,work Information Technology Company.2020YEAR 一、不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． 例2.（1）4＜5； 例3.（2）x2+1＞0； 例4.（3）x＜2x-5； 例5.（4）x=2x+3； 例6.（5）3a2+a； 例7. （6）a 2+2a≥4a -2． 变式练习： 1.（2017春?城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t ℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（ ） A ．18＜t ＜27 B ．18≤t ＜27 C ．18＜t≤27 D ．18≤t≤27 2.（2017春?未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a ；②-2＞-5；③x≥-1；④ 31y-4＜1；⑤2m≥n ；⑥2x-3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3.（2017春?南山区校级月考）下面给出了6个式子：?3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x-1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.（2017春?太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ） A ．两种客车总的载客量不少于500人 B ．两种客车总的载客量不超过500人 C ．两种客车总的载客量不足500人 D ．两种客车总的载客量恰好等于500人 5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空． （1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m?n 0； （6）m+1 0． 例2．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6; (3)m 除以4的商加上3至多为5． 举一反三： 【变式】a a 的值一定是（ ）． 《不等式及其解集》教学设计 授课教师：广州市晓园中学数学科胡海宁 一、教学目标 1.知识与技能： 了解不等式及一元一次不等式概念。理解不等式的解、解集,能正确表示不等式的解集。 2.过程与方法： （1）通过类比等式的对应知识,探索不等式的概念和解,体会不等式与等式的异同,初步掌握类比的思想方法。 （2）经历把实际问题抽象为不等式的过程,能够列出不等关系式。初步体会不等式(组)是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型,培养学生的建模意识。 3.情感态度与价值观： 通过对不等式概念及其解集等有关概念的探索,培养学生的知识迁移能力和建模意识,加强同学之间的使用与交流。 二、教学重点、难点 1.重点：不等式、不等式的解、解集的概念、不等式解集的表示。 2.难点：不等式解集的理解与表示。 三、教学过程 教学环节教师活动学生活动设计意 图 导思:问题导入引导探究 引言：自然界和社会存在中，两量之间, 存在着等量关系，但更多的是——不等量关系。 举例：请同学们说出下列两量之间的关系： 1、a表示正数，b表示负数 2、汽车的速度m（千米/时），低于80（千米/ 时） 3、李明的体重48（千克）不等于王平的体重 51（千克） 4、a2是一个非负数. 5、m+1不大于0. 6、高速路上汽车速度x（千米/时），不得超过120 （千米/时） 【小组讨论】 回答：1.a>b 2.m<80 3.48≠51 4. a2≥0 5. m+1≤0 6.x≤12 通过实例 创设情 境，培养 学生的观 察能力， 激发他们 的学习兴 趣。 导学1分析归纳探究新知 （一）不等式的概念 通过上面的实际例子师生共同归纳得出不等式 的完整概念。 用不等号“>”,“<”，“≥”,“≤”,“≠”表示大小 关系的式子，我们把它们叫做不等式. 运用新知： 思考：下列式子中哪些是不等式？ ①－1﹤3 ②－x+2=4 ③3x ≠4y ④ 6 ﹥2 ⑤2x －3 ⑥2m ﹤n 例：【讲解】用不等式表示:（导P85 3） （1）a比6小; （2）x与1的和大于2 ； （3）a的2倍小于b ; （4）x的2倍与y的差不小于0; （5）a是正数; 巩固练习：用不等式表示: （导P85 8） 1. x的4倍与7的差大于3; 2. a、b两数的平方和大于4; 3. x与y差不等于0; 4.a、b两数的和不小于6; 5.y的倒数与1的和大于x的一半. 小结：常用不等关系 不等于：大于：不大于: 小于：不小于: 超过：不超过：至少：至多：正数： 负数: 非正数: 非负数: 学生仔细观察并归 纳出不等式的概 念。 【学生讲解】 讲解为什么②⑤不 是不等式。 【回答】 （1）a＜6； （2）x+1＞2； （3）2a＜b； （4）2x-y≥0； （5）a＞0 【小组轮流回答】 1. 4x-7＞3； 2.a2+b2＞4,； 3.x-y≠0 4. a+b≥6； 5. 【小组讨论得到常 用的不等关系】 引导学 生仔细观 察并归纳 出不等式 的意义。 在甄别 不等式的 过程中， 加深对不 等式意义 的理解。 运用新 知，通过 列不等 式，进一 步加深对 不等式的 理解。 学生 小结常用 的不等关 系，巩固 常用不等 关系 导学2类比探究不等式的解、不等式的解集 我们曾经学过“使方程两边相等的未知数的值就 是方程的解”，同样,能使不等式成立的未知数的 值叫做不等式的解. 判断下列数中哪些是不等式2x+1>6的解: -4 , -1 , 0 , 2.5, 2.6, 10 ,100 （导P85 4） 思考：①你还能找出这个不等式的其他解 吗?请举出例子。 ②这个不等式有多少个解呢? 含有未知数的不等式的所有解组成这个不 等式的解集。 学生回顾方程的解 同学积极思考，回 答老师提出的问题 预设回答： ①有其他的解，例 如：3、4、5…… ②有无数个解。 注意：不等式的解 让学 生通过计 算、动手 验证、动 脑思考， 初步体会 不等式解 的意义以 及不等式 解与方程 解的不同 之处。 x y2 1 1 1 > + 一. 教学内容： 3.1 不等关系与不等式 3.2 均值不等式 二. 教学目的 1. 理解不等号的意义和不等式概念，会用不等式和不等式组表示各种不等关系。理解实数大小与实数运算的关系，会用比差法比较两个实数的大小关系。 2. 能根据实数的基本性质得出不等式的基本性质，并会证明。会运用不等式的基本性质进行推理和变形。 3. 探究成立的条件和证明方法，等号成立的条件和几何解释，会用这个基本不等式解决简单问题。 4. 通过实例学会运用基本不等式求最值的方法。理解用不等式 求最值的条件，并能求实际问题的最大值或最小值。 三. 教学重点、难点 重点：（1）用比差法比较两个实数的大小关系； （2）不等式的性质及其应用； （3）理解不等式和的意义，应用这些不等式解决简单问题； （4）运用基本不等式求最值。 难点：不等式的性质及其应用；运用基本不等式求最值。 四. 知识分析 （一）不等关系与不等式 1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。 2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。 3. 对于任意两个实数a和b，在三种关系中有且只有一种关系成立。 4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。 5. 若a、b∈R＋，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过 判断它们的商与“1”的大小关系来确定。 （二）不等式的性质 不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。 1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a（或代数式），结果有三种： （1）当a＞0时，得同向不等式。 （2）当a＝0时，得等式。 （3）当a＜0时，得异向不等式。 2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。若 或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。” 3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。若 ，这个结论也常用。不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。” 4. 不等式性质有.不能忽略a、b均为正数这个条件，即由是不一定成立的。 5. 由成立。但不一定成立。反过来也不一定成立。事实上。 专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法 一、选择题 1．（2019·北京高考真题（文））已知集合A ={x |–1 科 目数学授课 日期 课 时 4 教学 内容 1.1不等式的性质与解集班级 授 课 方 式 讲授法、练习法课型新授课 教学目的1、理解实数的大小与比较,会用数轴上的点表示实数 并比较大小 2、理解不等式的性质,并学会应用性质比较大小 3、理解集合的概念,掌握集合的表示方法,并学会表 示不等式的解集 教 具 多媒体 重点1、用数轴上的点表示实数并比较大 小 2、应用不等式性质比较大小 3、不等式解集的表示 难 点 应用不等式性质比较大小 课后 分析 说 明 审阅签名：年月日 教学环节教师活动学生活动设计意图及资源准备 组织教学10分钟1、师生互相问候 2、检查学生出勤 1、师生互相问 候 2、向教师报告 出勤情况 设计意图： 营造课堂气氛 资料准备： 多媒体课件 新课导入10分钟日常生活中,我们在考察事物的时候经常要进行大 小、轻重、长短的比较。在数学中常应用不等式 知识来研究这类问题。不等式是进一步学习数学 和其他科学的基础，在本章中,我们将学习不等式 的性质及其解法。 对问题进行思考 以及回答 设计意图： 导入本节课内容。 资料准备： 多媒体课件 讲授新课60分钟一、实数的大小 我们知道,实数与数轴上的点之间可以建立一一对 应关系 例如,点A与数2对应,点B与-3对应等,可以 看到,当数轴上一点P从左向右移动时,它对应的 实数就从小到大变化 数轴上的任意两点中,右边的点对应的实数比左边 的点对应 的实数大 例如,点A位于点B的右边,则点A对应的实数2 比点B 对应的实数-3大,即2>-3 在数轴上,如果点A在点B的右边,点A对应的实 数为a 点B对应的实数为b,则有a>b或b0?a>b a-b=0?a=b a-b<0?ab,那么a+m>b+m 如果a 精品基础教育教学资料，请参考使用，祝你取得好成绩！ 9．1不等式 9．1.1不等式及其解集 1．了解不等式的概念； 2．会用不等式表示简单问题的数量关系；(重点) 3．理解不等式的解、解集及解不等式．(难点) 一、情境导入 有一群猴子，一天结伴去摘桃子．分桃子时，如果每只猴子分3个，那么还剩下59个；如果每只猴子分5个，那么最后一只猴子分得的桃子不够5个．你知道有几只猴子，几个桃子吗？ 二、合作探究 探究点一：不等式的概念 下列各式中：①－3＜0；②4x＋3y＞0；③x＝3；④x2＋xy＋y2；⑤x≠5；⑥x＋2＞y＋3.不等式的个数有() A．5个B．4个C．3个D．1个 解析：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选B. 方法总结：本题考查不等式的判定，一般用不等号表示不相等关系的式子是不等式．解答此类题的关键是要识别常见不等号：＞，＜，≤，≥，≠.如果式子中没有这些不等号，就不是不等式． 探究点二：列简单不等式 根据下列数量关系，列出不等式： (1)x与2的和是负数； (2)m与1的相反数的和是非负数； (3)a与－2的差不大于它的3倍； (4)a，b两数的平方和不小于它们的积的两倍． 解析：(1)负数即小于0；(2)非负数即大于或等于0；(3)不大于就是小于或等于；(4)不小于就是大于或等于． 解：(1)x ＋2<0； (2)m －1≥0； (3)a ＋2≤3a ； (4)a 2＋b 2≥2ab . 探究点三：不等式的解与解集 【类型一】 对不等式解的理解 下列不是不等式5x －3<6的一个解的是( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2 解析：分别把四个选项中的值代入不等式，能使不等式成立的数分别为5×1－3＝2<6，5×(－1)－3＝－8<6，5×(－2)－3＝－13<6，而5×2－3＝7>6不能使不等式成立，故选B. 方法总结：判断某个数值是否为不等式的解的方法：可直接将数值代入不等式的左右两边看不等式是否成立．如果成立，则是不等式的解；反之，则不是． 【类型二】 对不等式解集的理解 下列说法中，正确的是( ) A ．x ＝2是不等式x ＋3<4的解 B ．x ＝3是不等式3x <7的解 C ．不等式3x <7的解集是x ＝2 D ．x ＝3是不等式3x >8的解 解析：A 不正确，因为当x ＝2时，x ＋3<4不成立；B 不正确，因为不等式3x <7的解集是x <73 ，当x ＝3时，不等式3x <7不成立；C 不正确，因为不等式3x <7有无数多个解，而x ＝2只是其中一个解，因此只能说x ＝2是3x <7的解，而不能说不等式3x <7的解集是x ＝2；D 正确，因为当x ＝3时，不等式3x >8成立．故选D. 方法总结：不等式的解可以有无数个，一般是某个范围内的所有数．未知数取解集中任何一个值时，不等式都成立；未知数取解集外任何一个值时，不等式都不成立． 三、板书设计 1．不等式的概念 2．用不等式表示数量关系 3．不等式的解、解集 本节课通过实际问题引入不等式，并用不等式表示数量关系．要注意常用的关键词的含义：负数、非负数、正数、大于、不大于、小于、不小于、不足、不超过等，这些关键词中如果含有“不”“非”等文字，一般应包括“＝”，这也是学生容易出错的地方 不等式的意义、性质及其应用 教学重点：不等式的性质 教学难点：不等式的实际应用 一、问题引入 某班同学去植树，原计划每位同学植树4棵，但由于某组的10名同学另有任务，未能参加植树，其余同学每位植树6棵，结果仍未能完成计划任务，若以该班同学的人数为x,此时的x应满足怎样的关系式？ 依题意得4x>6(x-10) 二、概念回顾 1.不等式：用“>”或“<”号表示大小关系的式子,叫不等式. 解析:(1)用≠表示不等关系的式子也叫不等式 (2)不等式中含有未知数,也可以不含有未知数; (3)注意不大于和不小于的说法 例1 用不等式表示 (1)a与1的和是正数; (2)y的2倍与1的和大于3; (3)x的一半与x的2倍的和是非正数; (4)c与4的和的30%不大于-2; (5)x除以2的商加上2,至多为5; (6)a与b两数的和的平方不可能大于3. 三.不等式的解 不等式的解:能使不等式成立的未知数的值,叫不等式的解. 解析:不等式的解可能不止一个. 例2 下列各数中,哪些是不等是x+1<3的解?哪些不是? -3,-1,0,1,1.5,2.5,3,3.5 练习: 1.判断数:-3,-2,-1,0,1,2,3,是不是不等式2x+3<5 的解?再找出另外的小于0的解两个. 2.下列各数:-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5中,同时适合x+5<7和2x+2>0的有哪几个数? 四.不等式的解集 1.不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集. 例3 下列说法中正确的是( ) A.x=3是不是不等式2x>1的解 B.x=3是不是不等式2x>1的唯一解; C.x=3不是不等式2x>1的解; D.x=3是不等式2x>1的解集 2.不等式解集的表示方法 例4 在数轴上表示下列不等式的解集 (1)x>-1;(2)x ≥-1;(3)x<-1;(4)x ≤-1 分析:按画数轴,定界点,走方向的步骤答 五、不等式的性质 不等式性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 不等式性质2：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． 不等式性质3：不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 例1 利用不等式的性质，填”>”,:<” (1)若a>b,则2a+1 2b+1; (2)若-1.25y<10,则y -8; (3)若a 初二下册第二章一元一次不等式及不等式组 一元一次不等式的解法（基础）知识讲解 【学习目标】 1．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 2.能够熟练解一元一次不等式； 3.掌握不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 【要点梳理】 要点一、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如， 2 x50 是一个一元一次不等式． 3 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式( 单项式或多项式 ) ； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为 1. (2)一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜” 、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等 号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向．要点二、一元一次不 等式的解法 1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式． 2.一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：x a （或 x a ）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项； (4) 化为ax b（或ax b）的形式（其中a 0）； (5) 两边同除以未知数的系数，得到不等式的 解集 . 要点诠释： （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘以( 或除以 ) 同一个负数时，不等号的方向要改变． 要点三、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 要点诠释： 不等式的解是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集是一个集合，是一个范围．其含义： 《§9.1.1不等式及其解集》教案 一、教学内容 《义务教育课程标准实验教科书·数学》(人教版)七年级下册9.1.1不等式及其解集第121-123页本课为一课时 二、教学目标 【知识与技能】 1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式. 2.正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”等数学术语. 3.理解不等式的解、解集和一元一次不等式的意义，能举出一个不等式的几个解并且会 检验一个数是否是某个不等式的解. 4.能用数轴表示不等式的解集. 【过程与方法】 经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性. 【情感、态度与价值观】 使学生能独立克服困难,运用知识解决问题，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获. 三、教学重点 理解不等式、不等式的解和解集,一元一次不等式的意义,能正确列出不等式. 四、教学难点 准确应用不等号,理解不等式的解和解集的意义. 五、教学准备 圆规、三角尺。 六、教学方法 教法： 为了突出教学重点，突破教学难点，遵循新课标要求，在教学过程中，我选用了以下的教学方法： （1）、采用小组合作方式，让学生经历动手实验——观察——思考——归纳——发现的学习 过程，培养学生的合作意识。 （2）、为了提高本节课的教学效率和教学效果，我采用分层教学分类指导法，使学生能够在 课堂上有实实在在的收获，让每个学生都能在就近发展区得到最大收获。 学法： “教法为学法导航，学法是教法的缩影”在本节课的学习过程中，我主要指导学生掌握以下的学习方法： 9.1.1不等式及其解集 授课老师：ZXN 一、教学目标 1、知识与技能 了解不等式的概念；理解不等式的解集；能正确表示不等式的解集。 2、过程与方法 经历由具体实例建立不等模型的过程；经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想。 3、情感态度与价值观 进一步培养学生的数学思维和参与数学活动的自信心、合作交流的意识。 二、教学重难点 教学重点：正确理解不等式、不等式的解与解集的意义，把不等式的解集正确的表示到数轴上。 教学难点：正确理解不等式解集的意义。 三、教学方法和课型 教学方法：启发诱导法、实例探究法、讲练结合法 课型：新授课 四、教具准备 彩色粉笔、小黑板 五、教学过程 （一）、创设情境，导入新课 设计说明：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发他们的学习兴趣。 问题1：两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏。现在换了一个小胖子上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了。这是什么原因呢？ 讨论结果：两边的重量不同，跷跷板就会发生倾斜。 教师说明：原来的平衡状态被破坏了，产生了一种不等关系。 问题2：一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A 地50千米，要在12：00以前驶过A 地，车速应该满足什么条件？若设车速为每小时x 千米，能用一个式子表示吗？ 分析：从问题中有关信息可知，汽车行驶50千米（驶过A 地）所用时间，必须在11：20~12:00这40分钟之内，即所用时间要小于 32小时。换言之，3 2小时要行驶超过50千米的路程。我们知道相等关系可以用等式来表示，那么，不等关系又怎样表示呢？ 讨论结果：设车速是x 千米／时。 从时间上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶50千米所 用时间不到32小时，即x 50 ＜ 32 ① 从路程上看，汽车要在12:00之前驶过A 地，则以这个速度行驶3 2 小时的路 程要超过50千米，即x 3 2 > 50 ② 像①、②这样的式子，叫做不等式。这节课我们来研究不等式的相关知识，由此导入新课。 （二）、师生互动，探索新知 1、不等式的定义 问题1：请同学们举出一些不等式的例子，试着给出不等式的定义。 讨论结果：如：5＞3，﹣1﹤0, a ＋2≠a －2(若学生没提出像“a ＋2≠a －2”的不等式，老师加以补充)等都是不等式。 用“＜”或“＞”表示大小关系的式子叫做不等式；用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。 问题2：下列式子中哪些是不等式？ （1）a ＋b=b+a （2）－3＞－5 （3）x ≠l （4）x 十3>6 （5） 2m< n （6）2x-3 讨论结果：⑵、⑶、⑷、⑸是不等式。 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππβπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若 不等式性质的应用 学习目标：1、了解不等式的基本性质，并可以利用不等式的性质解决问题； 2、通过不等式性质的应用，进一步加深对不等式性质的理解； 3、在应用不等式的基本性质证明简单问题的过程中,培养思维的逻辑性和严谨性,进而 培养学生的逻辑能力. 学习重点：不等式性质的应用. 学习任务： 题型一 利用不等式性质求变量的取值范围. 1、已知），（），，（ππ βπα2 2 0∈∈，求 (1) βα+；(2) βα-2 的取值范围. 2、已知31≤≤<-b a ，求b 2-a 的取值范围. 3、已知3286<<<<-b a ， ，求b a 的取值范围. 题型二 利用不等式性质判断命题的真假. 1、给出下列命题：(1)；，则若c b c a b a >> (2)；，则若b a bc ac << (3) ；，则若22bc ac b a >>(4) ；，则若b a bc ac >>2 2 其中正确的命题是_______________. 2、给出下列命题：(1)；，则若33 b a b a >> (2)；，则若2 2b a b a >> (3) ；，则若2 20b a b a ><<(4) ；，则若22||b a b a >> (5) ；，则若22||b a b a >> 其中正确的命题是_______________. 3、下列说法正确的是_______________. (1) ；，则若b a b a 1 1<> (2)；，则若b a b a 110<<< (3) ；，则若b a b a 110<>> (4) ；，则若b a b a 1 10<>> (5)；，则若b a a b 110<>> (6)；，则且若0,1 1<>>>b b a b a b a 附加题：1、已知.,0,,,ad bc b d a c a b R d c b a >-<->∈证明， 且 2、证明：.0b c b a c a b a c ->->>>，则 若学习资料不等式及其解集教学设计.doc
不等式性质的两个重要应用
{高中试卷}高三数学一轮复习：不等式性质及解法练习题3[仅供参考]
9.1.1 不等式及其解集(教案)
9.1.1 不等式及其解集教案
不等式及其性质(教师版)
《不等式及其解集》教学设计
不等式的性质及应用
专题2.1 不等式的性质及常见不等式解法(精练)(原卷版)
1.1不等式的性质与解集
人教版七年级数学下册9.1.1不等式及其解集教案
不等式的意义、性质及其应用
一元一次不等式的解法(教师版).doc
不等式及其解集教学设计
9.1.1不等式及其解集教案
不等式性质的应用
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