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离散数学课后习题答案左孝凌版

离散数学课后习题答案(左孝凌版)

１-1，１-2解：

a)是命题，真值为T。

b)不是命题。

c)是命题,真值要根据具体情况确定。

d)不是命题。

e)是命题,真值为T。

f)是命题，真值为T。

g)是命题,真值为F。

h)不是命题。

i)不是命题。

（2）解:

原子命题:我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操,我就出外旅游拉。

（3）解:

a)(┓P ∧R）→Q

b)Ｑ→R

c)┓P

d)Ｐ→┓Q

（4）解：

a)设Q:我将去参加舞会。R：我有时间。Ｐ:天下雨。

Q (R∧┓P）:我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。

b)设R：我在看电视。Q:我在吃苹果。

R∧Q:我在看电视边吃苹果。

c) 设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

（Q→Ｒ）∧(R→Ｑ)：一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除,则它是奇数。

(5) 解:

a)设Ｐ：王强身体很好。Q：王强成绩很好。P∧Ｑ

b)设P:小李看书。Q:小李听音乐。Ｐ∧Q

c)设P:气候很好。Q：气候很热。P∨Ｑ

d)设Ｐ：ａ和ｂ是偶数。Q:a+b是偶数。P→Q

e)设Ｐ:四边形ＡBCD是平行四边形。Q ：四边形AＢCＤ的对边平行。P Q

f)设Ｐ：语法错误。Q:程序错误。R：停机。(P∨ Q）→ R

(6) 解:

a)Ｐ:天气炎热。Ｑ：正在下雨。 P∧Ｑ

b)P:天气炎热。R:湿度较低。P∧R

c)R:天正在下雨。Ｓ:湿度很高。 R∨S

d)A:刘英上山。B:李进上山。 A∧B

e)M:老王是革新者。N：小李是革新者。 M∨N

f)L：你看电影。M:我看电影。┓Ｌ→┓Ｍ

g)P:我不看电视。Q：我不外出。Ｒ:我在睡觉。Ｐ∧Q∧R

h)P:控制台打字机作输入设备。Ｑ:控制台打字机作输出设备。P∧Q

1-3

(1)解：

a)不是合式公式,没有规定运算符次序（若规定运算符次序后亦可作为合式公式）

b)是合式公式

c)不是合式公式（括弧不配对)

d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词）

e)是合式公式。

（2)解:

a）A是合式公式，(A∨B）是合式公式,(Ａ→(Ａ∨Ｂ)) 是合式公式。这个过程可以简记为：

A；（A∨B);(A→(A∨Ｂ))

同理可记

b）A;┓A ;(┓A∧B) ;((┓A∧B）∧A)

c）A;┓A；B；(┓Ａ→B）；（B→Ａ) ;（(┓A→B）→(Ｂ→A)）

d）Ａ；Ｂ；(A→Ｂ） ;（B→Ａ）；((Ａ→B)∨（B→A)）

（３）解:

a）((（(A→C)→(（B∧C)→Ａ))→(（B∧C)→A)）→(Ａ→C））

b）((B→A)∨(A→B））。

（4)解:

ａ) 是由ｃ) 式进行代换得到，在c) 中用Ｑ代换Ｐ, （P→P）代换Ｑ.

ｄ) 是由a）式进行代换得到,在a) 中用P→(Q→Ｐ)代换Q.

ｅ）是由b) 式进行代换得到，用R代换P, S代换Q，Q代换R, P代换S.

(5)解:

a）P: 你没有给我写信。 R：信在途中丢失了。 P Q

∨

ｂ) P: 张三不去。Q：李四不去。Ｒ: 他就去。（P∧Ｑ)→R

ｃ）Ｐ：我们能划船。 Q: 我们能跑步。┓（P∧Q）

d) P: 你来了。Q：他唱歌。R: 你伴奏。P→(Q R）

(6)解:

P:它占据空间。 Q:它有质量。R:它不断变化。 S：它是物质。

这个人起初主张：(P∧Q∧R) S

后来主张:(P∧QＳ)∧(S→R）

这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有P∧Q必同时有R，开头时没有这样的主张。

（７)解：

ａ) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(┓P→Q)∧（Ｐ→（Ｒ∨S))

b） P: 我今天进城。Ｑ:天下雨。┓Ｑ→P

ｃ) P: 你走了。 Q：我留下。Ｑ→P

1-4

（4）解:a)

Ｆ F T F ＦF F

Ｆ

所以,P∧(Q∧Ｒ) (P∧Q)∧Ｒ

ＰQ RＱ∨R P∨(Ｑ∨Ｒ)P∨Ｑ(P∨Ｑ)∨R

T T ＴＴ T F

T F ＴＴ F ＦＦＴＴF T F

Ｆ F ＴF F F T

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

所以，P∨(Q∨R)(P∨Ｑ）∨Ｒc)

ＰQ

R Q∨R

Ｐ∧（Ｑ

∨R)

P∧Q

P∧

Ｒ

(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ

∧R)

T Ｔ T Ｔ T Ｆ

T Ｆ

Ｆ T ＴF T F F ＦＴＦＦ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

所以,P∧(Q∨R）（P∧Q)∨(Ｐ∧Ｒ）

ｄ)

P Q┓P┓Q┓Ｐ∨┓Q┓(P∧Ｑ)┓P∧┓Ｑ┓(Ｐ∨Q)

Ｔ T T F ＦT F ＦＦ

Ｆ

Ｔ

Ｆ

Ｔ

所以，┓(Ｐ∧Q)┓P∨┓Q, ┓(P∨Q)┓P∧┓Q （5)解:如表，对问好所填的地方,可得公式F1~F６,可表达为

F1:（Q→P)→R

F２:(P∧┓Ｑ∧┓Ｒ)∨(┓P∧┓Ｑ∧┓R)

F3:（P←→Q)∧(Q∨R)

F4:（┓P∨┓Q∨Ｒ)∧(P∨┓Ｑ∨Ｒ)

Ｆ5：(┓P∨┓Q∨Ｒ）∧(┓Ｐ∨┓Q∨┓Ｒ）

F6:┓(P∨Ｑ∨R）

（６)

解：由上表可得有关公式为

1．Ｆ 2.┓（P∨Q) 3.┓(Ｑ→P) 4.┓P

5．┓(Ｐ→Q) 6.┓Q ７.┓(P Q) ８．┓(P∧Ｑ)

9.Ｐ∧Q10.PＱ 11.Q 12.P→Q

13．P 14．Q→P1５.P∨Ｑ 16.Ｔ

(7）证明：

a)Ａ→(Ｂ→Ａ)┐A∨(┐B∨A）

A∨(┐A∨┐B)

A∨（Ａ→┐B)

┐Ａ→(A→┐B)

b)┐（AＢ）┐((A∧B)∨(┐Ａ∧┐B))

┐((A∧B）∨┐(Ａ∨B)）

(A∨B)∧┐（A∧B)

或┐(A B) ┐(（Ａ→B)∧(B→A)）

┐（(┐A∨Ｂ)∧(┐B∨A))

┐((┐A∧┐Ｂ）∨(┐A∧A)∨(Ｂ∧┐B）∨（B∧A))

┐((┐A∧┐B）∨(B∧A))

┐(┐(Ａ∨B))∨(Ａ∧B)

(A∨B)∧┐(A∧Ｂ)

c)┐(Ａ→Ｂ) ┐（┐A∨B) Ａ∧┐B

d)┐（A B）┐((A→B)∧(B→A))

┐((┐A∨Ｂ)∧(┐B∨Ａ)）

(A∧┐B)∨(┐Ａ∧B)

e)（(（Ａ∧Ｂ∧C）→D)∧(C→(Ａ∨B∨Ｄ)））

(┐（Ａ∧B∧C)∨Ｄ）∧（┐C∨(Ａ∨B∨D))

（┐(A∧B∧C)∨D)∧(┐（┐A∧┐B∧Ｃ）∨D)

(┐（A∧Ｂ∧C)∧┐(┐A∧┐B∧C）)∨D

(（A∧B∧C)∨(┐A∧┐B∧C)）→D

（((A∧Ｂ)∨（┐Ａ∧┐Ｂ))∧Ｃ)→D

((C∧(ＡＢ）)→D）

f)Ａ→(Ｂ∨C) ┐A∨(B∨C)

(┐Ａ∨B)∨C

┐(A∧┐Ｂ)∨C

(A∧┐B)→C

g)(A→D)∧(B→Ｄ)(┐A∨D)∧(┐B∨Ｄ)

(┐Ａ∧┐B)∨D

┐(A∨Ｂ)∨D

(A∨B)→D

h)（(A∧B）→C）∧(B→（D∨C)）

(┐(A∧Ｂ）∨C）∧(┐B∨(D∨C))

（┐(A∧B)∧(┐B∨Ｄ））∨C

(┐（A∧B) ∧┐（┐D∧B))∨C

┐((A∧B）∨(┐D∧B）)∨C

（(A∨┐D）∧Ｂ)→C

(Ｂ∧(Ｄ→A)）→C

(8)解:

a)((A→Ｂ）(┐B→┐A))∧C

((┐A∨B） (B∨┐A)）∧C

（(┐Ａ∨B) （┐Ａ∨Ｂ)）∧Ｃ

T∧C C

b)A∨(┐A∨(B∧┐B)) (Ａ∨┐A)∨（B∧┐B) T∨F T

c)（Ａ∧B∧Ｃ）∨(┐A∧B∧C）

（A∨┐Ａ）∧(B∧C）

T∧(Ｂ∧C)

B∧Ｃ

（9)解:1)设C为T,A为T,B为F，则满足A∨C B∨C,但A B不成立。

2)设C为F,A为Ｔ,Ｂ为F，则满足A∧CＢ∧C，但A B不成立。

3）由题意知┐A和┐B的真值相同，所以A和B的真值也相同。

习题 1-5

（1）证明：

a)(P∧(P→Q））→Q

(P∧(┐P∨Q))→Q

（P∧┐P）∨(P∧Q）→Q

（P∧Ｑ)→Q

┐(P∧Q）∨Q

┐P∨┐Q∨Q

┐P∨T

b)┐P→(P→Q)

P∨(┐P∨Ｑ)

（P∨┐P)∨Q

Ｔ∨Q

c)(（Ｐ→Q)∧（Q→R)）→（P→R)

因为（P→Q)∧(Ｑ→R)(P→Ｒ）

所以(P→Q)∧(Q→R)为重言式。

d)((a∧ｂ)∨(b∧ｃ) ∨(c∧a))(a∨b)∧(b∨ｃ)∧(c∨ａ)

因为（(a∧b)∨(ｂ∧c）∨(c∧ａ）)

((a∨ｃ）∧ｂ）∨（c∧a）

(（a∨c)∨(ｃ∧a)）∧(ｂ∨(c∧ａ))

(a∨c）∧(ｂ∨c)∧（b∨ａ)

所以((ａ∧b)∨(b∧c) ∨（c∧a)）(a∨b)∧(ｂ∨c)∧(c∨a)为重言式。（2）证明：

a）（P→Q)P→(P∧Q)

解法1:

设P→Q为Ｔ

（1）若Ｐ为Ｔ,则Q为T，所以P∧Q为T,故P→（Ｐ∧Q）为Ｔ

（２)若P为F,则Ｑ为F,所以P∧Q为Ｆ，Ｐ→（P∧Q)为T

命题得证

解法2:

设Ｐ→(P∧Q)为Ｆ，则Ｐ为T，(Ｐ∧Q）为F，故必有P为T，Ｑ为F,所以P→Q 为F。