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总复习教案：函数的单调性与最值(教师版)

第三节

函数的单调性与最值

[知识能否忆起]

一、函数的单调性 1．单调函数的定义

增函数

减函数

定义

设函数f (x )的定义域为I .如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，

x 2

当x 1

数f (x )在区间D 上是增函数

当x 1f (x 2) ，那么就说函

数f (x )在区间D 上是减函数

图象描述

自左向右看图象逐渐上升

自左向右看图象逐渐下降

2．单调区间的定义

若函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．

二、函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足

条件 ①对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

①对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； ②存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M

结论 M 为最大值

M 为最小值

[小题能否全取]

1．(2012·陕西高考)下列函数中，既是奇函数又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 3 C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

解析：选D 由函数的奇偶性排除A ，由函数的单调性排除B 、C ，由y ＝x |x |的图象可知此函数为增函数，又该函数为奇函数，故选D.

2．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，则( ) A ．k >12

B ．k <12

C ．k >－1

D ．k <－1

解析：选D 函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 是减函数，

则2k ＋1<0，即k <－1

3．(教材习题改编)函数f (x )＝1

1－x (1－x )

的最大值是( )

A.45

B.54

C.34

D.43

解析：选D ∵1－x (1－x )＝x 2－x ＋1＝????x －122＋34≥34，∴0<11－x (1－x )≤43

. 4．(教材习题改编)f (x )＝x 2－2x (x ∈[－2,4])的单调增区间为________；f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8

5．已知函数f (x )为R 上的减函数，若m

?????1x

解析：由题意知f (m )>f (n )；

???

?1x >1，即|x |<1，且x ≠0.

故－1 (－1,0)∪(0,1)

1.函数的单调性是局部性质

从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．

2．函数的单调区间的求法

函数的单调区间是函数定义域的子区间，所以求解函数的单调区间，必须先求出函数的定义域．对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解，如二次函数、对数函数、指数函数等；如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．

[注意] 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

函数单调性的判断

典题导入

[例1] 证明函数f (x )＝2x －1

在(－∞，0)上是增函数．

[自主解答] 设x 1，x 2是区间(－∞，0)上的任意两个自变量的值，且x 1

x 2，

f (x 1)－f (x 2)＝?

???2x 1－1x 1

－????2x 2－1x 2

＝2(x 1－x 2)＋????

1x 2

－1x 1

＝(x 1－x 2)????

2＋1x 1x 2

由于x 1

x 1x 2>0，

因此f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)

故f (x )在(－∞，0)上是增函数．

由题悟法

对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法： (1)结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)证明；

(2)可导函数则可以利用导数证明．对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行．

以题试法

1．判断函数g (x )＝－2x x －1在 (1，＋∞)上的单调性．

解：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1

x 2－1

＝

2(x 1－x 2)

(x 1－1)(x 2－1)

，

由于1

所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)

求函数的单调区间

典题导入

[例2] (2012·长沙模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定

义函数f k (x )＝?

????

f (x )，f (x )≤k ，k ，f (x )＞k ，取函数f (x )＝2－

|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为

( )

A ．(－∞，0)

B ．(0，＋∞)

C ．(－∞，－1)

D ．(1，＋∞)

[自主解答] 由f (x )>12，得－1

，得x ≤－1或x ≥1.

所以f 1

(x )＝?????

2－

x ，x ≥1，

12，－1＜x ＜1，

，x ≤－1.

故f 1

2(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．

[答案] C

若本例中f (x )＝2

－|x |

变为f (x )＝log 2|x |，其他条件不变，则f k (x )的单调增区间为________．

解析：函数f (x )＝log 2|x |，k ＝1

2时，函数f k (x )的图象如图所示，由

图示可得函数f k (x )的单调递增区间为(0， 2 ]．

答案：(0， 2 ]

由题悟法

求函数的单调区间的常用方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．

以题试法

2．函数f (x )＝|x －2|x 的单调减区间是( ) A ．[1,2] B ．[－1,0] C ．[0,2]

D ．[2，＋∞)

解析：选A 由于f (x )＝|x －2|x ＝?

????

x 2－2x ，x ≥2，

－x 2＋2x ，x <2.

结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．

单调性的应用

典题导入

[例3] (1)若f (x )为R 上的增函数，则满足f (2－m )

(2)(2012·安徽高考)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________. [自主解答] (1)∵f (x )在R 上为增函数，∴2－m 0.∴m >1或m <－2.

(2)由f (x )＝???

－2x －a ，x <－a

2，

2x ＋a ，x ≥－a

，可得函数f (x )的单调递增区间为????－a 2，＋∞，故3＝－a

，解得a ＝－6.

[答案] (1)(－∞，－2)∪(1，＋∞) (2)－6

由题悟法

单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意：一是函数定义域的限制；二是函数单调性的判定；三是等价转化思想与数形结合思想的运用．

以题试法

3．(1)(2013·孝感调研)函数f (x )＝

x －1

在[2,3]上的最小值为________，最大值为________． (2)已知函数f (x )＝1a －1

x (a >0，x >0)，若f (x )在????12，2上的值域为????12，2，则a ＝__________. 解析：(1)∵f ′(x )＝－1(x －1)2<0，∴f (x )在[2,3]上为减函数，∴f (x )min

＝f (3)＝13－1＝1

，f (x )max ＝1

2－1

＝1.

(2)由反比例函数的性质知函数f (x )＝1a －1

x (a >0，x >0)在????12，2上单调递增，所以???

f ????12＝12，f (2)＝2，

即???

1a －2＝12

，1a －1

2＝2，

解得a ＝2

答案：(1)12 1 (2)2

1．(2012·广东高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝ln(x ＋2) B ．y ＝－x ＋1 C ．y ＝????12x

D ．y ＝x ＋1

解析：选A 选项A 的函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．

2．若函数f (x )＝4x 2－mx ＋5在[－2，＋∞)上递增，在(－∞，－2]上递减，则f (1)＝( ) A ．－7 B ．1 C ．17

D ．25

解析：选D 依题意，知函数图象的对称轴为x ＝－－m 8＝m 8＝－2，即 m ＝－16，从而

f (x )＝4x 2＋16x ＋5，f (1)＝4＋16＋5＝25.

3．(2013·佛山月考)若函数y ＝ax 与y ＝－b

x 在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx

在(0，＋∞)上是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．先增后减

D ．先减后增

解析：选B ∵y ＝ax 与y ＝－b

x 在(0，＋∞)上都是减函数，∴a <0，b <0，∴y ＝ax 2＋bx

的对称轴方程x ＝－b

<0，∴y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上为减函数．

4．“函数f (x )在[a ，b ]上为单调函数”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A 若函数f (x )在[a ，b ]上为单调递增(减)函数，则在[a ，b ]上一定存在最小(大)值f (a )，最大(小)值f (b )．所以充分性满足；反之，不一定成立，如二次函数f (x )＝x 2－2x ＋3在[0,2]存在最大值和最小值，但该函数在[0,2]不具有单调性，所以必要性不满足，即“函数f (x )在[a ，b ]上单调”是“函数f (x )在[a ，b ]上有最大值和最小值”的充分不必要条件．

5．(2012·青岛模拟)已知奇函数f (x )对任意的正实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0，则一定正确的是( )

A ．f (4)>f (－6)

B ．f (－4)

C ．f (－4)>f (－6)

D ．f (4)

解析：选C 由(x 1－x 2)(f (x 1)－f (x 2))>0知f (x )在(0，＋∞)上递增，所以f (4)f (－6)．

6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，当x <0时，f (x )>0，则函数f (x )在[a ，b ]上有( )

A ．最小值f (a )

B ．最大值f (b )

C ．最小值f (b )

D ．最大值f ??

??a ＋b 2