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函数极限与连续习题加答案(供参考)

第一章函数、极限与连续

第一讲：函数

一、是非题

1．2x y =

与x y =相同；

（） 2.)1ln()22(2x x y x x +++=-是奇函数；（） 3.凡是分段表示的函数都不是初等函数；（） 4. )0(2

>=x x y 是偶函数；（） 5.两个单调增函数之和仍为单调增函数；（）

6.实数域上的周期函数的周期有无穷多个；（）

7.复合函数)]([x g f 的定义域即)(x g 的定义域；（）

8.)(x f y =在),(b a 内处处有定义，则)(x f 在),(b a 内一定有界。（）二、填空题

1.函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于对称；

2.若)(x f 的定义域是]1,0[，则)1(2

+x f 的定义域是；

3.1

22+=x x

y 的反函数是；

4.1)(+=x x f ，2

)(x

x +=

?，则]1)([+x f ?＝， ]1)([+x f ?＝；

5.)2(sin log 2+=x y 是由简单函数和复合而成；

6.1)(2

+=x x f ，x x 2sin )(=?，则)0(f ＝，___________)1(=a

f ，

___________)]([=x f ?。

三、选择题

1.下列函数中既是奇函数又是单调增加的函数是（）

A 、x 3sin

B 、13+x

C 、x x +3

D 、x x -3

2.设54)(2

++=bx x x f ，若38)()1(+=-+x x f x f ，则b 应为（）

A 、1

B 、－1

C 、2

D 、－2 3.)sin()(2x x x f -=是（）

A 、有界函数

B 、周期函数

C 、奇函数

D 、偶函数四、计算下列各题

1.求定义域5

23arcsin

x y -+-=

2.求下列函数的定义域 (1)342+-=x x y (2)1

142++

-=x x y

(3)1)2lg(++=x y (4)x y sin lg =

3.设2

)(x x f =，x

e x g =)(，求)]([)],([)],([)],([x g g x

f f x f

g x g f ；

4.判断下列函数的奇偶性

(1)3

)(-=x x f (2)x

x f )5

4()(=

(3) x

x f -+=11lg

)( (4)x x x f sin )(=

5.写出下列函数的复合过程

(1))58(sin 3

+=x y (2))5tan(32+=x y (3)2

12x y -= (4))3lg(x y -=

6.设???≥<=.

1,0,1,)(x x x x ?求)51(?，)21

(-?，)2(-?，并作出函数)(x y ?=的图形。

第二讲：极限概念

一、是非题

1.在数列{}n a 中任意去掉或增加有限项，不影响{}n a 的极限；（）

2.若数列{}n n b a 的极限存在，则{}n a 的极限必存在；（）

3.若数列{}n x 和{}n y 都发散，则数列{}n n y x +也发散；（）

4.若0)(lim =?∞

→n n n v u ，则必有0lim =∞

→n n u 或0lim =∞

→n n v 。（）

5.若A x f x x =→)(lim 0

，则A x f =)(0；（）

6.已知)(0x f 不存在，但)(lim 0

x f x x →有可能存在；（）

7.若0()f x +与0()f x -

都存在，则)(lim 0

x f x x →必存在；（）

8.2

arctan lim π

∞

→x x ；（）

9. 0lim =-∞

→x

x e ；（）

10.非常小的数是无穷小；（）

11.零是无穷小；（） 12.无限变小的变量称为无穷小；（） 13.无限个无穷小的和还是无穷小。（）二、填空题

1. ______________)1(lim =-+∞

→n n n ；2. ______________2sin

lim

=∞

→n

n n π

； 3. ______________])1(4[lim 2=-+∞→n n n ； 4. ______________3

lim =∞→n n ； 5.______________)12(lim 1

=-→x x ； 6. ______________11

lim

=+∞→x x ；

7. ___________cos lim 0

=→x x ，___________cos lim =∞

→x x ；

8.设???+=,,)(b ax e x f x 0

0>≤x x ，则(0)_________,(0)_________f f +-==，

当_____=b 时，1)(lim 0

=→x f x 。

9.设1

x y ，当____→x 时，y 是无穷小量，当____→x 时，y 是无穷大量； 10.设)(x α是无穷小量，)(x E 是有界变量，则)()(x E x α为； 11. A x f x x =→)(lim 0

的充分必要条件是当0x x →时，A x f -)(为；

12._____________1sin

lim 0

=→x x x ；1

lim sin _____________x x x

→∞=。

三、选择题

1.已知下列四数列：

①、2=n x ；②、132+=

n x n ；③、132)1(1+-=+n x n n ；④、1

313)1(1+--=-n n x n n 则其中收敛的数列为（）

A 、①

B 、①②

C 、①④

D 、①②③ 2.已知下列四数列： ①、 ,)

1(,,1,1,1,11

+---n ②、 ,2

,0,,21,0,21,0,21,032n

③、 ,1

2,11,,34,31,23,21+++n n n ④、 ,,,2,1n

则其中发散的数列为（）

A 、①

B 、①④

C 、①③④

D 、②④

3.?????=-,

10,

17n x n 为偶数为奇数n n ，则必有（）

A 、0lim =∞

→n n x B 、7

10lim -∞

→=n n x

C 、?

??=∞→为偶数，为奇数

－n n x n n 710,0lim D 、n n x ∞→lim 不存在

4.从1)(lim 0

=→x f x x 不能推出（）

A 、1)(lim 0

=→x f x x － B 、0()1f x +

＝

C 、1)(0＝x f

D 、01)(lim 0

=→】－【x f x x

5.设 ??

?+=,

2,1)(x x f 00

=≠x x ，则)(lim 0x f x →的值为（）

A 、0

B 、1

C 、2

D 、不存在

6. 当1→x 时，下列变量中是无穷小的是（） A 、13

-x B 、x sin C 、x

e D 、)1ln(+x 7.下列变量在自变量给定的变化过程中不是无穷大的是（） A 、

)(1

2+∞→+x x x B 、)(ln +∞→x x

C 、ln (0)x x +

→ D 、

)(2

cos 1∞→x nx

x 8.若∞=→)(lim 0

x f x x ，∞=→)(lim 0

x g x x ，则下列极限成立的是（）

A 、∞=+→)]()([lim 0

x g x f x x B 、0)]()([lim 0

=+→x g x f x x

C 、∞=+→)

()(1

lim

x g x f x x D 、∞=→)()(lim 0x g x f x x

9.以下命题正确的是（）

A 、无界变量一定是无穷大

B 、无穷大一定是无界变量

C 、趋于正无穷大的变量一定在充分大时单调增

D 、不趋于无穷大的变量必有界 10. x

x e 10

lim →（）

A 、等于0

B 、等于∞+

C 、等于1

D 、不存在 11.下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（）；

A 、x

x x x sin 1

sin

lim

20→ B 、x x x sin 11lim 1--→ C 、x x x x x sin sin lim -∞→ D 、)arctan 2

(lim x x x -+∞→π

四、设x

x x f 2

)(=

，回答下列问题：1.函数)(x f 在0=x 处的左、右极限是否存在？2.函

数)(x f 在0=x 处是否有极限？为什么？3.函数)(x f 在1=x 处是否有极限？为什么？

五、下列各题中，指出哪些是无穷小？哪些是无穷大？

1.)(12

∞→+x x x ； 2. )0(1

3→-x x x ；

3.)0(ln →x x ；

4.)0(1

→x e x

六、当+∞→x 时，下列哪个无穷小与无穷小

x 1是同阶无穷小？哪个无穷小与无穷小x

是等价无穷小？哪个无穷小是比无穷小

高阶的无穷小？ 1.

x 21， 2. 21x ， 3. x

第三讲：极限的求法

一、是非题

1.在某过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f +无极限；（）

2.在某过程中，若)(x f ，)(x g 均无极限，则)()(x g x f +无极限；（）

3.在某过程中，若)(x f 有极限，)(x g 无极限，则)()(x g x f 无极限；（）

4.在某过程中，若)(x f ，)(x g 均无极限，则)()(x g x f 无极限；（）

5.若A x f x x =→)(lim 0

，0)(lim 0

=→x g x x ，则)

()

(lim

x g x f x x →必不存在；（） 6. 0lim 2lim 1lim 321lim

2222=+++=++++∞→∞→∞→∞→n

n n n n n n n n ；（） 7. 01

sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x

x x x x x x ；（）

8.0lim 3lim )3(lim 2

=∞-∞=-=-∞

→∞

→x x x x x x x ；（）

9.1sin lim =∞→x

x ；

（） 10.e x

x =-∞→)11(lim . （）二、计算下列极限

1.1

13lim 21++-→x x x ； 2. 121lim 221---→x x x x ；

3.1

2lim 22+++∞→x x x x ； 4. 212lim x x x +∞→ ；

5.22

32)2(2lim -+→x x x x ； 6.)1311(lim 3

1x x x ---→ ；

7.)11(lim 22

+--

++∞

→x x x x x ； 8.2

)

1(321lim

n n n -++++∞→ ；

9. 500200

300)12()23()12(lim +--∞→x x x x ； 10. x x

x x x 1arctan 1sin 2lim 2++∞→ ；

11. x

x x

x x 2tan 3sin lim 0++→ ； 12. x x x 2

0)31(lim -→ ；

13.)0(2

sin

2lim ≠∞

→x x n n

n ； 14.)sin 1

1sin (lim 0x x x x x +→ ；

15.30sin tan lim

x x x -→ ； 16.x

x x x )21(lim ++∞→ ；

三、求函数的极限

（1）5

2432)76()23()34(lim +--∞→x x x x ；（2）x x x x x sin cos 2lim -+∞→；

（3） x x x x 2sin 3tan lim 20→；（4） x x x 3cot 5sin lim π→；

（5）x

x x x 1

121(lim +-→；（6）x x x x o x 23151lim 2+--+→

四、求数列的极限：

（1）

n n n ???? ??+∞→21lim ；（2）

???? ??-+-∞

→111lim 3n n n n ；

（3）)

(lim n

b n a

n e e n -∞

→，其中b a ,为正的常数。（4）x

x x arctan 1

arcsin lim ∞→。

五、用洛必达法则求下列函数的极限

１．123lim 2331+--+-→x x x x x x ；２．x

x 5tan 3sin lim 0→；

３．x arc x x cot )

11ln(lim

+∞→ ；４．)ln 11(lim 1x

x x x --→；

15.lim (1)x

x x e →∞

-； 16.lim (ln )x

x x →+∞

；

sin 37.lim tan 3x x

x π→；８．1

23lim 321-+-→x x x x ；

９．a

x a x a x --→sin sin lim ； 2ln lim .10x x

x +∞→；

.11x x x x ln 1lim 2++∞→； 012.lim

ln (0)n

x x x n +

→>；

111

13.lim x

x x

-→； sin 0

14.lim(tan )x

x x +

→；

15. x x x x x sin tan lim 0--→ ； 16. )

3ln()

31ln(lim 42x x x ++∞→；

17.2

111sin lim x

e x x x --+-→ ； 18. x x x 2cot lim 0

→；

19.1

1)(ln lim -→x x x ； 20. x x x x 1

0)2cos 2

(sin lim +→；

21. x x x x sin 32lim 0-→ ； 22. x

e x

e x x x cos sin lim -++∞→。

六、求b a ,之值使2

)15(lim 2=++-+∞→bx ax x x

七、已知11lim

21=-++→x

ax x x ，求常数a 与b 的值。

八、已知2)(

lim =-∞

→x

x c

x x ，求c 。

九、证明：当0→x 时，x 2tan ～x 2，x cos 1-～

1x 。

第四讲：函数的连续性

一、是非题

1.若)(x f ，)(x g 在点0x 处均不连续，则)()(x g x f +在点0x 处亦不连续；（）

2.若)(x f 在点0x 处连续，)(x g 在点0x 处不连续，则)()(x g x f 在点0x 处必不连续；（）

3. 若)(x f 与)(x g 在点0x 处均不连续，则)()(x g x f 在点0x 处亦不连续；（）

4.x y =在0=x 处不连续；（）

5.)(x f 在0x 处连续当且仅当)(x f 在0x 处既左连续又右连续；（）

6.设)(x f y =在),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内必有界；（）

7.设)(x f y =在],[b a 上连续，且无零点，则)(x f 在],[b a 上恒为正或恒为负；（）

8.014

3tan

tan

<-=?ππ

，所以0tan =x 在)43,4(π

π内有根。（）

二、填空题 1.0=x 是函数

sin 的类型间断点； 2.0=x 是函数x

x e 1+的类型间断点；

3.设)1ln(1

)(x x

x f -=

，若定义_________)0(=f ，则)(x f 在0=x 处连续； 4.若函数?????=,

tan )(x ax x f 00=≠x x 在0=x 处连续，则a 等于；

5.)

1ln(1

)(-=

x x f 的连续区间是；

6.x arctan 在),0[+∞上的最大值为，最小值为；

7.函数22

-+=x x y ，当5.0,1=?=x x 时，________=?y ；当5.0,1-=?=x x 时，

________=?y 。

三、选择题 1.函数x

x x x f x

-+=

1sin )(1

在),(+∞-∞内间断点的个数为（）； A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

2.)0()0(-=+a f a f 是函数)(x f 在a x =处连续的（）；

A 、必要条件

B 、充分条件

C 、充要条件

D 、无关条件 3.方程0133

=+-x x 在区间)1,0(内（）

A 、无实根

B 、有唯一实根

C 、有两个实根

D 、有三个实根

四、设函数???

???+=,1sin ,

sin 1

)(b x x a x x x f .0,0,0>=

五、指出下列函数的间断点，并指明是哪一类型间断点。

1.1

)(2-=x x f ； 2.x e x f 1

)(=

3.???

??=,2

,)(x x f 11=≠x x ； 4.???

???

--+=,11sin )1(,,11)(x x x x x f .1,11,1>≤≤--

六、求下列极限

1.)ln(lim 1

x e x

x +→ ； 2.2

2312lim

---+→x x x ；

3.x

x a x )31(log lim

0+→ ； 4. 1

2lim 110+--→x x

x 。

七、证明方程024=-x

x 在)2

1,0(内至少有一个实根。

八、设???+-=,1,1)(2x x x f 1

10>≤≤x x ，试判定)(x f 在2,1,21

===x x x 处的连续性，并求出

连续区间。

第一章：单元测试题

一、填空题 1.设??

?+=,1,1)(x x f 3

≤≤

2.函数)3ln()(x x x f -+=在连续；

3.________________)3sin 1sin

(lim 2

=+→x x x

x x ； 4.______________)1(lim =+

∞

→x

x x

k ； 5.设)(x f 在1=x 处连续，且3)1(=f ，则__________)1

11)((lim 21

=---→x x x f x ； 6. 0=x 是函数x

x x f 1

sin

)(=的间断点； 7.)

1()(2

2--=x x x

x x f 的间断点是，其中可去间断点是，跳跃间断点是。

二、选择题

1.]0,(,12

-∞∈+=x x y 的反函数是（）； A 、),1[,1+∞∈-=

x x y B 、),0[,1+∞∈--=x x y

C 、),1[,1+∞∈--=x x y

D 、),1[,1+∞∈-=x x y

2.当∞→x 时，下列函数中有极限的是（）； A 、x sin B 、

x e 1 C 、1

2-+x x D 、x arctan 3. ?????=,1,0)(x

x f 00

>≤x x 在点0=x 不连续是因为（）；

A 、)00(-f 不存在

B 、)00(+f 不存在

C 、)0()00(f f ≠+

D 、)0()00(f f ≠-

4.设1

cot

)(2

-+=x arc x x f ，则1=x 是)(x f 的（）； A 、可去间断点 B 、跳跃间断点 C 、无穷间断点 D 、连续点 5.设??

?-=,

,1cos )(k x x f 00

A 、充分但非必要条件

B 、必要但非充分条件

C 、充分必要条件

D 、无关条件

6.当0x x →时，α和)0(≠β都是无穷小。当0x x →时，下列变量中可能不是无穷小的是（）；

A 、βα+

B 、βα-

C 、βα?

D 、

α 7.当∞→n 时，若n 1sin

与k n 1

是等价无穷小，则=k （）； A 、2 B 、2

C 、1

D 、3

8.当0→x 时，下列函数中为x 的高阶无穷小的是（）；

A 、x cos 1-

B 、2

x x + C 、x sin D 、x

9.当∞→n 时，n

n 1

sin

是（）； A 、无穷大量 B 、无穷小量 C 、无界变量 D 、有界变量 10.方程)0(013

>=++p px x 的实根个数是（）； A 、一个 B 、二个 C 、三个 D 、零个 11.当0→x 时，2

)cos 1(x -是x 2

sin 的（）； A 、高阶无穷小 B 、同阶无穷小，但不等价 C 、低阶无穷小 D 、等价无穷小

12.设8)

1()1()1(lim 5025

95=+++∞→x ax x x ，则a 的值为（）； A 、1 B 、2 C 、58 D 、A 、B 、C 均不对三、求下列函数的极限

函数与数列的极限的强化练习题答案(含详细分析)

第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题 1．下面函数与y x =为同一函数的是（） 2 .A y= .B y= ln .x C y e =.ln x D y e = 解：ln ln x y e x e x === Q，且定义域 () , -∞+∞，∴选D 2．已知?是f的反函数，则() 2 f x的反函数是（） () 1 . 2 A y x ? =() .2 B y x ? = () 1 .2 2 C y x ? =() .22 D y x ? = 解:令() 2, y f x =反解出x：() 1 , 2 x y =?互换x，y位置得反函数() 1 2 y x =?，选A 3．设() f x在() , -∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（） ()() .A y f x f x =+- ()() .B y x f x f x =-- ?? ?? () 32 .C y x f x = ()() .D y f x f x =-? 解：() 32 y x f x = Q的定义域() , -∞+∞且 ()()()()() 3232 y x x f x x f x y x -=-=-=- ∴选C 4．下列函数在() , -∞+∞内无界的是（） 2 1 . 1 A y x = + .arctan B y x = .sin cos C y x x =+.sin D y x x = 解: 排除法：A 2 1 122 x x x x ≤= + 有界， B arctan 2 x π <有界， C sin cos x x +≤ 故选D 5．数列{}n x有界是lim n n x →∞ 存在的（） A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即 n x M ≤），反之不成立，（如() {}11n--有界，但不收敛，选A 6．当n→∞时，2 1 sin n 与 1 k n 为等价无穷小，则k= （） A 1 2 B 1 C 2 D -2 解：Q 2 2 11 sin lim lim1 11 n n k k n n n n →∞→∞ ==，2 k=选C 二、填空题（每小题4分，共24分） 7．设() 1 1 f x x = + ，则() f f x ?? ??的定义域为

高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与()11 3--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞<

关于大学高等数学函数极限和连续

关于大学高等数学函数极限和连续 Last revision on 21 December 2020

第一章函数、极限和连续 § 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),

则称f(x)在D内严格单调增加( )；若f(x1)＞f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c为常数) 2.幂函数： y=x n , (n为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=log x ,(a＞0、a≠1) a 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:

函数与极限练习题

题型一．求下列函数的极限二．求下列函数的定义域、值域三．判断函数的连续性，以及求它的间断点的类型内容一．函数 1.函数的概念 2.函数的性质——有界性、单调性、周期性、奇偶性 3.复合函数 4.基本初等函数与初等函数 5.分段函数二．极限（一）数列的极限 1.数列极限的定义 2.收敛数列的基本性质 3.数列收敛的准则（二）函数的极限 1.函数在无穷大处的极限 2.函数在有限点处的极限 3.函数极限的性质 4.极限的运算法则（三）无穷小量与无穷大量 1.无穷小量 2.无穷大量 3.无穷小量的性质 4.无穷小量的比较 5.等价无穷小的替换原理三．函数的连续性 x处连续的定义 1.函数在点0 2.函数的间断点 3.间断点的分类 4.连续函数的运算 5.闭区间上连续函数的性质例题详解题型I函数的概念与性质题型II求函数的极限（重点讨论未定式的极限）题型III求数列的极限题型IV已知极限，求待定参数、函数、函数值题型V无穷小的比较题型VI判断函数的连续性与间断点类型题型VII与闭区间上连续函数有关的命题证明

自测题一一．填空题二．选择题三．解答题 3月18日函数与极限练习题一．填空题 1.若函数121)x (f x -??? ??=，则______)x (f lim x =+∞ → 2.若函数1 x 1 x )x (f 2--=，则______)x (f lim _1x =→ 3. 设23,,tan ,u y u v v x === 则复合函数为 ()y f x = = _________ 4. 设 cos 0()0 x x f x x x ≤??=? >?? ，则 (0)f = __________ 5.已知函数 2 ()1 ax b x f x x x +

函数极限与连续

函数 1.1.1 函数及其性质 1.函数的概念引例汽车以60千米/小时的速度均速行驶，那么行驶里程与时间有什么关系设行驶路程为s 千米，行驶时间为t 小时，依题意可得()600s t t =<<+∞.变量s 和t 的这种对应关系，即是函数概念的实质. 定义设x 和y 是两个变量，D 是一个非空实数集，如果对于数集D 中的每一个数x 按照一定的对应法则f 都有唯一确定的实数y 与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，其中D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量．如果对于确定的0x D ∈，通过对应法则f ，有唯一确定的实数0y 与之对应，则称0y 为)(x f y =在0x 处的函数值，记作00()y f x =.集合{} (),Y y y f x x D ==∈称为函数的值域. 2.函数的表示法（1）解析法：用一个等式来表示两个变量的函数关系.如一次函数y kx b =+ （,k b 为常数，且0k ≠）. （2）列表法：列出表格来表示两个变量的函数关系.如三角函数表. （3）图像法：用函数图像表示两个变量之间的函数关系.如二次函数图像. 3.函数的两个要素函数的对应法则和定义域称为函数的两个要素.函数的对应法则通常由函数的解析式给出，函数的值域由定义域和对应法则确定.函数的定义域是使函数表达式有意义的自变量取值的全体.在实际问题中，函数的定义域要由问题的实际意义确定.在求函数的定义域时，应注意：分式函数的分母不能为零；偶次根式的被开方式必须大于等于零；对数函数的真数必须大于零；反正弦函数与反余弦函数的定义域为[]1,1-等，如果函数表达式中含有上述几种函数，则应取各部分定义域的交集. 两个函数只有当定义域和对应法则都相同时，才是同一个函数. 例如函数 y =y x =是相同的函数；而函数()2lg f x x =与()2lg f x x =因定义域不

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x ，求 f ( x ) 的定义域及值域。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1， x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 )，且 f (0 ) 0， f (1) a ，求 f (0 )及 f ( n)．(n 为正整数 ) 定义函数 I ( x) 表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，若 f ( x) 表示将 x 之值保留二位小数，小数第 3 位起以后所有数全部舍去，试用表示 f ( x) 。 I ( x) 定义函数 I ( x) 表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，若 g ( x) 表示将 x 依 4 舍 5 入法则保留 2 位小数，试用 I ( x) 表示 g ( x) 。在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元，而零售价为 0.40 元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸 t 份，而销售量为 x 份，试将报摊的利润 y 表示为 x 的函数。定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数，试判定 ( x) x I ( x )的周期性。判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x ，问在 0 ，上 f ( x ) 是否有界？函数 y f ( x ) 的图形是图中所示的折线 O BA ，写出 y f ( x) 的表达式。 x 2 ， 0 x ； x ， x ；设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) ． x x 4 x x ，．，． 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1， x 0 ； ( x ) 2 x 1，求 f ( x ) 及 f ( x) ． 1 ， x 0 ． e x ， x ； 0 ， x 0 ；设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) ． x x ( x) x 2， x 0 ，．． 1 x ) ， ( x ) x ， x 0 ；求 f ( x ) ．设 f ( x )( x x 2 ， x 2 0 ． 2 x ， x 0 ；求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0．． 2 ， 0 ， x ； x ， x ； ( x ) 求 f ( x) ( x )．设 f ( x ) x ， x 0 ． x ， x ． 1

函数与极限测试题及答案(一)

函数与极限测试题（一）一、填空题 1、若1ln 1 1ln x f x x +??= ?-??，则()f x =_____。 2、函数()f x 的定义域为[],a b ，则()21f x -的定义域为_____。 3、若0x →时，无穷小2 21ln 1x x -+与2sin a 等价，则常数a =_____。 4、设()()2 1lim 1 n n x f x nx →∞ -=+，则()f x 的间断点为x =_____。二、单选题 1、当0x →时，变量 2 11 sin x x 是（） A 、无穷小 B 、无穷大 C 、有界的，但不是无穷小 D 、无界的，也不是无穷大 2、设函数()bx x f x a e =+在(),-∞+∞上连续，且()lim 0x f x →-∞=，则常数,a b 满足（） A 、0,0a b << B 、0,0a b >> C 、0,0a b ≥< D 、0,0a b ≤> 3、设()232x x f x =+-，则当0x →时（） A 、()f x 与x 是等价无穷小 B 、()f x 与x 是同阶但非等价无穷小 C 、()f x 是x 的高阶无穷小 D 、()f x 是x 的低阶无穷小 4、设对任意的x ，总有()()()x f x g x ?≤≤，且()()lim 0x g x x ?→∞ -=????，则()lim x f x →∞ 为（） A 、存在且等于零 B 、存在但不一定等于零 C 、一定不存在 D 、不一定存在

例：()()()11 ,,22 1 x x f x x g x x x x ?==+ =+ ++ 三、求下列极限 1 、 lim x 2、()2 21212lim 1x x x x x -→?? ?+?? 四、确定,a b 的值，使() 32 2ln 10 011ln 0 1ax x f x b x x x x x x x ?+<==??-+?>++?? 在(),-∞+∞内连续。五、指出函数()1 11x x x e e f x e e --= -的间断点及其类型。六、设1234,,,a a a a 为正常数，证明方程 31240123 a a a a x x x x +++=---有且仅有三个实根。七、设函数()(),f x g x 在[],a b 上连续，且满足()()()(),f a g a f b g b ≤≥，证明：在[],a b 内至少存在一点ξ，使得()()f g ξξ=。函数与极限测试题答案（一）一、1、 11x x e -+； 2、 11, 2 2a b ++?? ???? ； 3、 4-； 4、0 ；二、1—4、DCBD 三、1 、解：原式lim 3x ==；

(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续

第一章函数、极限与连续由于社会和科学发展的需要，到了17世纪，对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应，数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代，这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点，认识到“数”的研究比“形”更重要，以积极的态度开展对“无限”的研究，由常量数学发展为变量数学，微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法，而连续性则是函数的一种重要属性.因此，本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念，其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质，以及与极限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外，还给出了两个极其重要的极限.随后，运用极限的概念引入函数的连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节变量与函数一、变量及其变化范围的常用表示法在自然现象或工程技术中，常常会遇到各种各样的量.有一种量，在考察过程中是不断变化的，可以取得各种不同的数值，我们把这一类量叫做变量；另一类量在考察过程中保持不变，它取同样的数值，我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的，如自然数由小到大变化、数列的变化等，而更多的则是在某个范围内变化，即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间，记为,a b ????，即 ,{|}a b x a x b =≤≤????；满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间，记为(,)a b ，即 (,){|}a b x a x b =<<；满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间，记为 (,a b ?? (或),a b ??)，即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

高等数学1.3-函数的极限

第三节函数的极限（一）教学目的：（1）理解函数极限和左、右极限的概念；（2）理解无穷小概念，掌握其性质教学重点：函数极限的概念，无穷小概念教学难点：函数极限的概念的理解与应用教学方法：讲授法教学时数：2课时本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数，然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1）+∞→x 时的极限： +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”，表示x 无限增加，0x > ．例：对于x x f 1)(= ，当自变量+∞→x 时，x x f 1 )(=与常数0无限接近．复习数列极限的定义：数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε，N ?，N n >时,ε<-a x n ．令()n f x n =，则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε，N ?，当N n >时，()ε<-a n f ．将n 换成连续变量x ，将a 改记为A ，就可以得到x →+∞时，()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述．定义3.1：设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X >时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限，记作()lim x f x A →+∞ =，或()A x f →，（x →+∞）．几何意义：对任意给定的0ε>，在轴上存在一点X ，使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内． 2）x →-∞时的极限： x →-∞读作“x 趋于负无穷大”，表示x 无限增加，0x < ．定义：设函数)(x f 在),(a -∞内有定义，,A ∈若0>?ε，0X ?>，当x X <-时，有()ε<-A x f ，则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限，记作()lim x f x A →-∞ =

函数与极限习题与答案

第一章函数与极限（A ）一、填空题 1、设x x x f lg lg 2)(+-= ，其定义域为。 2、设)1ln()(+=x x f ，其定义域为。 3、设)3arcsin()(-=x x f ，其定义域为。 4、设)(x f 的定义域是[0，1]，则)(sin x f 的定义域为。 5、设)(x f y =的定义域是[0，2] ，则)(2x f y =的定义域为。 6、43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k= 。 7、函数x x y sin = 有间断点，其中为其可去间断点。 8、若当0≠x 时，x x x f 2sin )(= ，且0)(=x x f 在处连续，则=)0(f 。 9、=++++++∞→)21(lim 222 n n n n n n n n 。 10、函数)(x f 在0x 处连续是)(x f 在0x 连续的条件。 11、=++++∞→352352) 23)(1(lim x x x x x x 。 12、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则k= 。 13、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是。 14、当+∞→x 时， x 1 是比3-+x 15、当0→x 时，无穷小x --11与x 相比较是无穷小。 16、函数x e y 1=在x=0处是第类间断点。 17、设1 1 3 --= x x y ，则x=1为y 的间断点。 18、已知33=?? ? ??πf ，则当a 为时，函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。

19、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在，则a= 。 20、曲线2sin 2 -+=x x x y 水平渐近线方程是。 21、1 14)(2 2-+ -= x x x f 的连续区间为。 22、设?? ?>≤+=0 ,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续，则常数 a= 。二、计算题 1、求下列函数定义域（1）2 11 x y -= ；（2）x y sin = ；（3）x e y 1= ； 2、函数)(x f 和)(x g 是否相同？为什么？（1）x x g x x f ln 2)(,ln )(2 == ；（2）2)(,)(x x g x x f = = ；（3）x x x g x f 22tan sec )(, 1)(-== ； 3、判定函数的奇偶性（1）)1(2 2 x x y -= ；（2）3 2 3x x y -= ；

最全大学高等数学函数、极限和连续(新)

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ???∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x

函数极限与连续知识梳理

知识梳理函数极限内容网络图内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难

一、函数极限的概念 1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成。定理且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称时，是无穷大量。而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。

读者同理可给出定义。注：（常数）与的区别，前者是表明函数极限存在，后者指函数极限不存在，但还是有个趋于无穷大的趋势。因此，给它一个记号，但还是属于极限不存在之列，以后，我们说函数极限存在，指的是函数极限值是个常数。 9．。称当是无穷小量。这里的可以是常数，也可以是。定理。其中。 10．若时，都有，称时是有界量。二、无穷小量阶的比较，无穷小量与无穷大量关系设，（这里可以是常数，也可以是，以后我们不指出都是指的这个意思）（1）若，称当时是的高阶无穷小量，记作。（2）若，称时是的同价无穷小量。（3）若，称时是的等价无穷小量，记作，此时（2）式也可记作。（4）若，称时是的k阶无穷小量。由等价无穷量在求极限过程中起到非常重要的作用，因此，引入若。记作，如果均是无穷小量，称为等价无穷小量；如果均是无穷大量，称为等价无穷大量；如

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(，求)(x f 的定义域及值域。，，，且成立，对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数．及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x f 表示将x 之值保留二位小数，小数第3位起以后所有数全部舍去，试用)(x I 表示)(x f 。定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数，若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数，试用)(x I 表示)(x g 。在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元，而零售价为0.40元，并且如果报纸当天未售出不能退给报社，只好亏本。若每天进报纸t 份，而销售量为x 份，试将报摊的利润y 表示为x 的函数。的取整函数，试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设，问在，上是否有界？f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线，写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=．，；，．，；，　设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][]．及求)()(x f x f ?? [][]设，；，．，求及．f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=．，；，．，　；，设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x []．及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设，，；，．求．f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设，；，　．求．f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 ．求．，；，．，；，设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

函数与极限练习题

第一章函数与极限 §1 函数一、是非判断题 1、)(x f 在X 上有界，)(x g 在X 上无界，则)()(x g x f +在X 上无界。 [ ] 2、)(x f 在X 上有界的充分必要条件是存在数A 与B ，使得对任一X x ∈都有 B x f A ≤≤)( [ ] 3、)(),(x g x f 都在区间I 上单调增加，则)(·)(x g x f 也在I 上单调增加。 [ ] 4、定义在（∞+∞-，）上的常函数是周期函数。 [ ] 5、任一周期函数必有最小正周期。 [ ] 6、)(x f 为（∞+∞-，）上的任意函数，则)(3x f 必是奇函数。 [ ] 7、设)(x f 是定义在[]a a ,-上的函数，则)()(x f x f -+必是偶函数。 [ ] 8、f(x)=1+x+ 2 x 是初等函数。 [ ] 二．单项选择题 1、下面四个函数中，与y=|x|不同的是（A ）||ln x e y = （B ）2x y = （C ）44x y = （D ）x x y sgn = 2、下列函数中既是奇函数，又是单调增加的。（A ）sin 3x （B ）x 3+1 （C ）x 3+x （D ）x 3-x 3、设[])(,2)(,)(22x x f x x f x ??则函数==是（A ）x 2log （B ）x 2 （C ）22log x （D ）2 x 4、若)(x f 为奇函数，则也为奇函数。 (A));0(,)(≠+c c x f (B) )0(,)(≠+-c c x f (C) );()(x f x f + (D) )].([x f f - 三．下列函数是由那些简单初等函数复合而成。 1、 y=) 1arctan(+x e 2、 y=x x x ++ 3、 y=x ln ln ln

高等数学函数与极限试的题目

高等数学第一章函数与极限试题一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有（A ） F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. （B ） F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. （C ） F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. （D ） F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2．设函数,1 1)(1 -= -x x e x f 则（A ） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B ） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C ） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D ） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点. 3．设f (x)=x x 1 -，x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( ) A ） 1－x B ） x -11 C ） X 1 D ） x 4．下列各式正确的是 ( ) A ） lim + →x )x 1 +1(x =1 B ） lim + →x )x 1 +1(x =e C ） lim ∞ →x )x 1 1－(x =-e D ） lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e 5．已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ( )。 A.1； B.∞； C.3ln ； D.3ln 2。 6．极限：=+-∞→x x x x )1 1( lim ( ) A.1； B.∞； C.2 -e ； D.2 e 7．极限：∞ →x lim 3 32x x +=（） A.1； B.∞； C.0； D.2． 8．极限：x x x 11lim 0-+→=（） A.0； B.∞； C 2 1； D.2．

函数、极限与连续复习题参考答案Word版

函数、极限与连续复习题一.填空题: 1. 函数1 1ln +-=x x y 的奇偶性是奇函数. 2. 设1 2)11(-=-x x x f ，则=)(x f 1 1x -. 3. 函数x e y -=1的复合过程是,1u y e u x ==-. 4. 函数y =sin ,12y u u v x ===+. 5. 设)(x f 的定义域是[0,1] , 则函数y=)(ln x f 的定义域[1,]e 6. =∞→x x x sin lim 0 . 7. =-∞→n n n )1 1(lim 1e - 8. 5 432lim 42-+-∞→n n n n =0 9. 设43 2lim 23=-+-→x k x x x ，则k =___-3_. 10. 设b ax x x x f ++-+= 1 3 4)(2，0)(lim =∞→x f x ，则=a __-4_，=b __-4. 11. 设0→x 时，b ax 与x x sin tan -为等价无穷小，则=a __1 2 __，=b __3__. 12. 函数3 21 2 --=x x y 的间断点有x=-1,x=3 连续区间是(,1),(1,3),(3,)-∞--+∞. 二、选择题 1、ln(1) y x =+ A ） A 、（—1，+∞） B 、]1,1(- C 、（—1，1） D 、（1，+∞） 2、当0→x 时，下列变量为无穷小量的是（ D ） A 、x 1sin B 、x 1 cos C 、x e 1 D 、) 1ln(2x +

3、A x f x x =→)(lim 0 （A 为常数），则)(x f 在0x 处（ D ） A 、一定有定义 B 、一定无定义 C 、有定义且A x f =)(0 D 、不一定有定义 4、设???≥+<=0,20,)(2x a x x e x f x 当时；当在点0=x 连续，则a 的值等于（D ） A 、0 B 、1 C 、—1 D 、2 1 5、函数)(x f = 3 2 -x ，则x=3是函数)(x f 的（D ） A 、连续点 B 、可去间断点 C 、跳跃间断点 D 、无穷间断点 6、)(x f 在0x 处左、右极限存在是)(x f 在0x 处连续的（ B ） A 、充分条件 B 、必要条件 C 、充要条件 D 、以上都不是三.求下列极限: 1. )1(lim 2x x x x -++∞ → 解：)1(lim 2 x x x x -++∞ → =lim x lim x = lim x =1 2 2. 3 tan sin lim x x x x →- 解：30tan sin lim x x x x →-=32 00 sin (1cos )sin 11cos lim lim()cos cos x x x x x x x x x x x →→--= =20 1cos lim x x x →-=2 202lim x x x →=12 3. x x x x ?? ? ??+-∞→11lim 解：x x x x ??? ??+-∞→11lim =11lim 11x x x x →∞??- ? ? ? +? ?=1e e -=2e - 4. x x x x x 3sin 2sin lim 0-+→

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇函数、极限与连续第一章函数、极限与连续高等数学的主要内容是微积分，微积分是以变量为研究对象，以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容，继而介绍极限的概念、性质、运算等知识，最后通过函数的极限引入函数的连续性概念，这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合讨论函数离不开集合的概念.一般地，我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合，组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、表示集合，用小写字母a 、b 、c 、表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素，则表示为A a ∈，读作“a 属于A ”；如果a 不是集合A 的元素，则表示为A a ?，读作“a 不属于A ”. 一个集合，如果它含有有限个元素，则称为有限集；如果它含有无限个元素，则称为无限集；如果它不含任何元素，则称为空集，记作Φ. 集合的表示方法通常有两种：一种是列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合.例如，有1,2,3,4,5组成的集合A ，可表示成 A ={1,2,3,4,5}；第二种是描述法，即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ，则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如，集合A 是不等式022<--x x 的解集，就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合，称为数集，初等数学中常见的数集有：（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ，即 {} ,,,3,2,1,0n N =；（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记作+ N ，即 {} ,,,3,2,1n N =+；（3）全体整数组成的集合称为整数集，记作Z ，即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=；

函数极限与连续知识梳理

知识梳理? ? ? ? 函数极限内容网络图内容提要与释疑解难内容提要与释疑解难一、函数极限的概念

1. 。 2. 把1中“”换成“”。 3．把1中“”换成“”。定理且 4．设在的某空心邻域内有定义，若存在一个常数A，，都有。 5．设在的某左半邻域内有定义，若存在一个常数A，时，都有。此时也可用记号或表示左极限值A，因此可写成 6. 设在的某右半邻域内有定义，若存在一个常数，当时，都有。此时也可用或表示右极限。因此可写成。定理且该定理是求分界点两侧表达式不同的分段函数在该分界点极限是否存在的方法，而如果在的左右极限存在且相等，则在该点的极限存在，否则不存在。 7．时，都有。此时称时，是无穷大量。而，只要把公式中“”改成“”，，只要把上式中“”改成“”。 8.。当时，都有。

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