解读定积分与微积分基本定理
一、知识点精析
知识点1 曲边梯形的面积
曲边梯形是曲线()y f x =与平行于y 轴的直线x a =,x b =和x 轴所围成的图形,通常称为曲边梯形,求曲边梯形面积可分为四个步骤:
(1)分割:将曲边梯形分割成有限个很细的小曲边梯形.从区间[]a b ,上看,用1n +个分点将区间[]a b ,分成n 个小区间(不一定相等).
(2)近似代替:在每个小区间1[](12)i i x x i n -=L ,,
,,内任取一点11()i i i ξξξξ-+≤≤,以()i f ξ为高,1i i i x x x -?=-为底的小矩形面积为()i i f x ξ?,用它作为相应的小曲边梯形面积的近似值.
(3)求和:将分割成的n 个矩形面积加起来,其和为1
()n
i
i
i f x ξ=?∑,它是所求曲边梯
形的面积的近似值.
(4)取极限:将曲边梯形无限的细分(即分点越多),上面的近似值
1
()i
n
i
x i f ξ=?
∑就越
接近于曲边梯形的面积,当i x ?中的最大值{}max 0i x λ=?→时,
1
()n
i
i
i f x ξ=?∑的极限
1
lim ()n
i i i i f x ξ→=?∑存在,则这个极限值就是曲边梯形的面积.
知识点2 定积分
设函数()y f x =定义在区间[]a b ,上,用分点0121n n a x x x x x b -=<<<<=L ,把
区间[]a b ,分成n 个小区间,其长度依次为1(0121)i i i x x x i n +?=-=-L ,
,,,记λ为这些小区间长度的最大值,当λ趋近于0时,所有的小区间的长度都趋近于0,在每个小区间内任取一点i ξ,作和式1
()n n i
i
i I f x ξ-==
?∑.当0λ→时,如果和式的极限存在,我们把和式n
I
的极限叫做函数()f x 在区间[]a b ,上的定积分,记作
()b
a
f x dx ?
,即
1
()lim ()n b
i i a
i f x dx f x λξ-→==?∑?
.其中,()f x 叫做被积函数,a 叫积分下限,b 叫积分上限,
()f x dx 叫做被积式,此时称函数()f x 在区间[]a b ,上可积.
理解说明: (1)定积分
()b
a
f x dx ?
是“和式”的极限值,它的值取决于被积函数()f x 和积分上限、
下限,而与积分变量用什么字母表示无关,即()()()b
b b
a
a
a
f x dx f u du f t dt ===?
??L (称
为积分形式的不变性). (2)在定积分()b
a
f x dx ?
的定义中,总是假设a b <,而当a b =及a b >时,不难验
证
()0a
b
f x dx =?
,()()b
a a
b
f x dx f x dx =-??.这就是说当定积分的上限和下限相同时,定
积分的值为零;当交换定积分的上限和下限时,定积分的绝对值相同,只相差一个负号. (3)在区间[]a b ,上求连续函数()f x 的定积分,可归结为:分割、近似代替、求和、取极限四步,因此用定义求定积分的一般步骤:
①分割:将区间[]a b ,等分成n 个小区间; ②近似代替:取点
1[](01231)i i i x x i n ξ+∈=-L ,,,,,,;③求和:
1
()n i i b a
f n
ξ-=-∑
g ;④取极限:
1
()lim ()
n b
i a
i b a
f x dx f n
λξ-→=-=∑?
. 知识点3 定积分的几何意义 一般情况下,定积分
()b
a
f x dx ?
的几何意义是表示由x 轴、曲线()y f x =以及直线
x a =,x b =所围成的曲边梯形的面积的代数和.
在区间[]a b ,上,当函数()0f x ≥时,曲边梯形位于x 轴的上方,定积分
()b
a
f x dx ?
的
几何意义是由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =,x b =所围成的曲边梯形的面积S ,即
()b
a
S f x dx =?.
当函数()0f x ≤时,曲边梯形位于x 轴的下方,在
()lim ()b
i i a
i f x dx f x ξ→=??
右端的和
式中,由于0i x ?>,()0i f ξ≤,所以有()0i i f x ξ?≤,从而定积分
()b
a
f x dx ?
的值为负
值,此时由x 轴、曲线()y f x =以及直线x a =,x b =所围成的曲边梯形的面积S 应是
()b
a
S f x dx -?或()b
a
S f x dx =
?
.
因此在用定积分求平面图形的面积时,首先要确定被积函数、积分变量、积分上限下限,其一般步骤为:
①画出图形,将其适当分割成若干个曲边梯形;
②对每一个曲边梯形确定其被积函数与积分上下限,用定积分表示其面积;
③计算各个定积分,求出所求的面积. 知识点4 微积分基本定理
如果()()F x f x '=,且()f x 在[]a b ,上可积,则()()()b
a f x dx F
b F a =-?,这个结
论叫微积分基本定理,其中()F x 叫做()f x 的一个原函数.也常记为
()()
()()b
b a
a
f x dx F x F b F a ==-?
.
理解说明:
(1)由于[()]()F x C f x '+=,所以()F x C +也是函数()f x 的原函数,其中C 为常数.
(2)利用微积分基本定理求定积分
()b
a
f x dx ?
的关键是找出被积函数()f x 的一个原函
数()F x ,通常我们运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则,从反方向上求出
()F x ,因此可见求导运算与求原函数运算是互为逆运算.
二、应注意的几点
1.根据定积分定义求定积分,往往比较困难,利用微积分基本定理求定积分比较方便. 2.利用定积分求所围成的平面图形的面积,要用数形结合的方法确定被积函数和积分上下限. 3.
()b
a
f x dx ?
,()b
a
f x dx ?与
()b
a
f x dx ?
有不同的几何意义,绝不能等同看待,由于
被积函数()f x 在闭区间[]a b ,上可正可负,因而它的图象可都在x 轴的上方,也可都在x 轴的下方,还可以在x 轴的上下两侧,所以
()b
a
f x dx ?
表示x 轴、曲线()y f x =以及直线
x a =,x b =所围成图形的面积的代数和;而被积函数()f x 是非负的,所以()b a
f x dx ?表
示在区间[]a b ,上以()f x 为曲边的曲边梯形的面积,而()b
a
f x dx ?
则是()b
a
f x dx ?的绝
对值,三者的值一般是不相同的.
微积分基本定理 一、教材分析 1、教材的地位及作用 微积分基本定理是普通高中课程标准实验教科书(人教版)高二年级数学(选修2-2)第一章第六节内容,本节内容共设计两个课时,这是第一课时,这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了导数和定积分这两个概念后的学习,它不仅揭示了导数和定积分之间的内在联系,同时也提供计算定积分的一种有效方法,为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位,起到了承上启下的作用,不仅如此,它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响,是微积分学中最重要最辉煌的成果。 2、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1)知识与技能目标:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会求简单的定积分。 (2)过程与方法目标:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法。 (3)情感、态度与价值观目标:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 3、教学重点、难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。(根据教材内容特点及教学目标的要求) 难点:了解微积分基本定理的含义。(根据学生的年龄结构特征和心理认知特点) ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的,而突破难点的关键在于让学生主动去探索,体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分,这样才能从真正意义上把握该定理的含义,提高学生的能力,体现学生的主体地位。 二、教法和学法 1、教法: 素质教育理论明确要求:教师是主导,学生是主体,只有教师在教学过程中注重引导,才能充分发挥学生的主观能动性,有利于学生创造性思维的培养和能力的提高,根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律,我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法,启发、
定积分与微积分基本定理(理) 基础巩固强化 1.求曲线y =x 2与y =x 所围成图形的面积,其中正确的是( ) A .S =?? ?0 1(x 2-x )d x B .S =?? ?0 1 (x -x 2)d x C .S =?? ?0 1 (y 2-y )d y D .S =??? 1 (y - y )d y [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义,确定积分上、下限和被积函数. [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0),(1,1),故积分上限是1,下限是0,由于在[0,1]上,x ≥x 2,故函数y =x 2与y =x 所围成图 形的面积S =?? ?0 1 (x -x 2)d x . 2.如图,阴影部分面积等于( ) A .2 3 B .2-3 [答案] C [解析] 图中阴影部分面积为
S =??? -3 1 (3-x 2 -2x )d x =(3x -1 3x 3-x 2)|1 -3=32 3. 4-x 2d x =( ) A .4π B .2π C .π [答案] C [解析] 令y =4-x 2,则x 2+y 2=4(y ≥0),由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积, ∴S =1 4×π×22=π. 4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示).那么对于图中给定的t 0和t 1,下列判断中一定正确的是( ) A .在t 1时刻,甲车在乙车前面 B .在t 1时刻,甲车在乙车后面 C .在t 0时刻,两车的位置相同 D .t 0时刻后,乙车在甲车前面 [答案] A [解析] 判断甲、乙两车谁在前,谁在后的问题,实际上是判断在t 0,t 1时刻,甲、乙两车行驶路程的大小问题.根据定积分的几何意义知:车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
1.6 微积分基本定理( 2) 一、【教学目标】 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:利用微积分基本定理求积分;找到被积函数的原函数. 能力点:正确运用基本定理计算简单的定积分. 教育点:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩 证唯物主义观点,提高理性思维能力. 自主探究点:通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义. 易错点:准确找到被积函数的原函数,积分上限与下限代人求差注意步骤,以免符号出错. 考试点:高考多以填空题出现,以考查定积分的求法和面积的计算为主. 二、【知识梳理】 1. 定积分定义:如果函数() f x在区间[,] a b上连续,用分点 0121- =<<<<<<<= i i n a x x x x x x b,将区间[,] a b等分成n个小区间,在每一个小区间 1 [,] i i x x - 上任取一点(1,2,,) ξ= i i n,作和 1 ()() ξξ = - ?=∑n i i i i b a f x f n ,当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数() f x在区间[,] a b上的定积分,记作() b a f x dx ?,即 1 ()lim() n b a i n i b a f x dx f n ξ →∞ = - =∑ ?,这里a、b分别叫做积分的下限与上限,区间[,] a b叫做积分区间,函数() f x叫做被积函数,x叫做积分变量,() f x dx叫做被积式. 2.定积分的几何意义 如果在区间[,] a b上函数连续且恒有()0 f x≥,那么定积分() b a f x dx ?表示由直线, x a x b ==(a b ≠),0 y=和曲线() y f x =所围成的曲边梯形的面积.
7、微积分基本定理 一、选择题 1.??0 1(x 2 +2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C .1 D.43 2.∫2π π(sin x -cos x )d x 等于( ) A .-3 B .-2 C .-1 D .0 3.自由落体的速率v =gt ,则落体从t =0到t =t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B .gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4.曲线y =cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A .4 B .2 C.5 2 D .3 5.如图,阴影部分的面积是( ) A .2 3 B .2- 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2-4|d x =( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7.??241 x d x 等于( ) A .-2ln2 B .2ln2 C .-ln2 D .ln2 8.若??1a ? ?? ??2x +1x d x =3+ln2,则a 等于( ) A .6 B .4 C .3 D .2 9.(2010·山东理,7)由曲线y =x 2 ,y =x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10.设f (x )=??? ?? x 2 0≤x <12-x 1 11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ,y ),则点M 取自阴影部分的概率为________. 12.一物体沿直线以v =1+t m/s 的速度运动,该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________. 13.求曲线y =sin x 与直线x =-π2,x =5 4π,y =0所围图形的面积为________. 14.若a =??02x 2 d x ,b =??02x 3 d x ,c =??0 2sin x d x ,则a 、b 、c 大小关系是________. 三、解答题 15.求下列定积分: ①??0 2(3x 2+4x 3 )d x ; ② sin 2 x 2 d x . 17.求直线y =2x +3与抛物线y =x 2 所围成的图形的面积. 18.(1)已知f (a )=??0 1(2ax 2 -a 2 x )d x ,求f (a )的最大值; (2)已知f (x )=ax 2 +bx +c (a ≠0),且f (-1)=2,f ′(0)=0,??0 1f (x )d x =-2,求a ,b ,c 的值. DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132-1) 13.4-2 2 [解析] 所求面积为 =1+2+? ?? ?? 1-22=4-22. 14.[答案] c 微积分基本定理 一:教学目标 知识与技能目标 通过实例,直观了解微积分基本定理的内容,会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分 过程与方法 通过实例探求微分与定积分间的关系,体会微积分基本定理的重要意义 情感态度与价值观 通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。 二:教学重难点 重点:通过探究变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基 本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分。 难点:了解微积分基本定理的含义 三:教学过程: 1、知识链接: 定积分的概念: 用定义计算的步骤: 2、合作探究: ⑴导数与积分的关系; 我们讲过用定积分定义计算定积分,但其计算过程比较复杂,所以不是求定积分的一般方法。有没有计算定积分的更直接方法,也是比较一般的方法呢? 下面以变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系为例: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t 时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(()v t o ≥), 则物体在时间间隔12[,]T T 内经过的路程可用速度函数表示为2 1()T T v t dt ?。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S (t )在12[,]T T 上的增量12()()S T S T -来表达,即 2 1()T T v t dt ?=12()()S T S T - 而()()S t v t '=。 说出你的发现 ⑵ 微积分基本定理 对于一般函数()f x ,设()()F x f x '=,是否也有 ()()()b a f x dx F b F a =-?? 若上式成立,我们就找到了用()f x 的原函数(即满足()()F x f x '=)的数值差 牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何,竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始,然后给出积分上限函数的定义,最后总揽全局,得出结论。证明过程会尽可能地保持严密,也许你会不太习惯,会觉得多佘,不过在一些条件上如函数f(x),我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的,都是从最低层最简单开始的,所以你绝对,注意,请注意,你是绝对能看懂的,对于寻求真理的人,你值得看懂! (Ps :如果你不太有耐心,我建议你别看了,因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义: 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1],其中x 0=a ,x n =b ,第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义,我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积,因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即: 性质1:证明?b a c dx = C(b-a),其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2:F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数,证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ?微积分基本定理 教案
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
定积分及微积分基本定理练习题及答案