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(完整版)概率论第三章答案

习题3-1

而且12{P X X =. 求X 1和X 2的联合分布律.

解由12

{0}1P X X ==知12{0}0P X X ≠=. 因此X 1和X 2的联合分布必形

于是根据边缘概率密度和联合概率分布的关系有X 1和X 2的联合分布律

(2) 注意到12{0,0}0P X X ===, 而121{0}{0}04

P X P X =?==

≠, 所以X 1和X 2

不独立.

2. 一盒子中有3只黑球、2只红球和2只白球, 在其中任取4只球. 以X 表示取到黑球的只数, 以Y 表示取到红球的只数. 求X 和Y 的联合分布律.

解从7只球中取4球只有354

=C 种取法. 在4只球中, 黑球有i 只, 红

球有j 只(余下为白球4i j --

只)的取法为

4322i j i j C C C --,0,1,2,3,0,1,2,i j i j ==+≤4.

于是有

022

322

1{0,2}35

P X Y C C C ====,111322

6{1,1}35

P X Y C C C ====,

121322

{1,2}35

P X Y C C C ====,202322

{2,0}35

P X Y C C C ====

211

322

12{2,1}35

35P X Y C C C ====

,220

322

3{2,2}35

35P X

Y C C C ===

301

322

{3,0}3535P X Y C C C ===

=, 310

322

{3,1}3535

P X Y C C C ====,

{0,0}{0,1}{1,0}{3,2}0P X Y P X Y P X Y P X Y ============.

3. (,)(6),02,24,

0,.f x y k x y x y =--<<<

其它

求: (1) 常数k ; (2)

{1,3}P X Y <<; (3) { 1.5}P X <; (4) {4}P X Y +≤.

解 (1) 由

(,)d d 1f x y x y +∞+∞-∞

-∞

=??

, 得

422

11d (6)d (6)d (10)82y k x y x k y x x y k y y k =--=--=-=?????????

, 所以

k =

. (2)

312

1,3

1{1,3}d (6)d 8

(,)d d x y P X Y y x y x f x y x y <<<<=

=--??

220

(6)d 82y x x y =--???????321113()d 828y y =-=?. (3)

1.51.5

{ 1.5}d (,)d ()d X P X x f x y y f x x +∞-∞

-∞

=??

4 1.52

1d (6)d 8

y x y x --=??

1.5

1(6)d 82y x x y =--?

????

?? 421633

()d 882y y =-? 2732

=. (4) 作直线4x y +=, 并记此直线下方区域与(,)0f x y ≠的矩形区域(0,2)(0,4)?的交集为G . 即:02,0G x y <<<≤4x -.见图3-8. 因此

{P X Y +≤4}{(,)}P X Y G =∈

(,)d d G

f x y x y =??4420

d (6)d 8x y x y x -=--??

44220

(6)d 82x

y x x y -=--???????

1[(6)(4)(4)]d 82y y y y =

----? 42211

[2(4)(4)]d 82

y y y =-+-? 4

23211

(4)(4)86y y =----?

?????23

图3-8 第4题积分区域

4. 二维随机变量(,)X Y 的概率密度为

2(,),1,01,

f x y kxy x y x =??

?≤≤≤≤其它. 试确定k , 并求2

{(,)},:,01P X Y G G x y x x ∈≤≤≤≤.

解由21

01(,)d d d (1)d 26

k k f x y xdy x kxy y x x x +∞+∞-∞

-∞

-??

???,解得6=k .

因而

240

{(,)}d 6d 3()d 4

P X Y G x xy y x x x x ∈==-=

???. 5. 设二维随机变量(X , Y )概率密度为

4.8(2),01,0,

(,)0,.y x x y x f x y -=??

≤≤≤≤其它求关于X 和Y 边缘概率密度.

解 (,)X Y 的概率密度(,)f x y 在区域:0G ≤x ≤1,0≤y ≤x 外取零值.因而,

有

024.8(2)d ,01,

()(,)d 0,

2.4(2),01,0,

X y x y x f x f x y y x x x +∞-∞

-<<==-<<=???

????

???

其它.其它. 124.8(2)d ,01,

()(,)d 0,2.4(34),01,0,

Y y x x y f y f x y x y y y y +∞-∞

-<<==-+<<=???????

???

其它.其它.

6. 假设随机变量U 在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

1,1,1,1,U X U --=>-???若≤若 1,1,

1, 1.U Y U -=>???

若≤若

试求：(1) X 和Y 的联合概率分布；(2){P X Y +≤1}.

解 (1) 见本章第三节三(4).

(2){P X

Y +≤1}1{1}P X Y =-+>1{1,1}P X Y =-==13144

=. 习题3-2

1. 设(X , Y )的分布律为

求: (1)

在条件X =2

下Y 的条件分布律;

(2) {22}P X Y ≥≤.

解 (1) 由于6.02.01.003.0}2{=+++==X P ,所以在条件X =2下Y 的条件

分布律为

6.03.0}2{}1,2{}2|1{======

==X P Y X P X Y P ,

06.00

}2{}2,2{}2|2{========X P Y X P X Y P ,

6.01.0}2{}3,2{}2|3{========X P Y X P X Y P ,

6.02.0}2{}4,2{}2|4{========X P Y X P X Y P ,

{P Y ≤2}{1}{2}P Y P Y ==+==0.10.3000.20.6++++=.

而

{2,2}{2,1}{2,2}

{3,1}{3,2}P X Y P X Y P X Y P X Y P X Y ===+==+==+==≥≤

0.3000.20.5=+++=.

因此

{2,2}

{22}{2}

P X Y P X Y P Y =

≥≤≤≥≤0.55

0.66

=. 2. 设平面区域D 由曲线

1y x

及直线

20,1,e y x x ===所围成, 二维随机变量(X , Y )

在区域D 上服从均匀分布, 求(X , Y )关于X 的边缘概率密度在x =2处的值.

解由题设知D 的面积为2

e e

d ln 2D

S x x x ===?

因此, (X ,Y )的密度为

,(,),

(,)20x y D f x y ∈=?????，其它.

由此可得关于X 的边缘概率密度

()(,)d X f x f x y y +∞-∞

显然, 当x ≤1或x ≥e 2时,

()0X f x =; 当2

1e x <<时,1

11()d 2

2x X f x y x

. 故

(2)14

X f =

. 3. 设二维随机变量(X , Y )的概率密度为

(,)1,01,02,

0,.

f x y x y x =<<<

?其它求：(1) (X , Y )的边缘概率密度

(),()X Y f x f y ；(2)1

1{}.22

P Y X ≤

≤ 解 (1) 当01x <<时,20

()(,)d d 2x X f x f x y y y x +∞

-∞

===?

当x ≤0时或x ≥1时, ()0X f x =.

故

2,01,()0,其它.X x x f x <<=??

当0

()(,)d d 12

y Y y f y f x y x x +∞-∞

===-

当

y ≤0时或y ≥2时, ()0Y f y =.

故

1,02,

()20,

.Y y

y f y -<<=?????其它

(2) 当z ≤0时,()

0Z F z =;

当z ≥2时,1)(=z F Z ; 当0

(){2Z F z P X Y =-≤2}(,)d d x y z

z f x y x y -=

≤

220

2-2

d 1d d 1d z

z x z

x y x y =?+?????

z z =-

故

1,02,()20,

.()其它Z z z

z f z F z -<<'==?????

(3) {

}

{}

113

11322161122442

≤，≤

≤

≤≤

P X Y P Y X P X ===??????. 4. 设G 是由直线y =x , y =3,x =1所围成的三角形区域, 二维随机变量(,)X Y 在G 上

服从二维均匀分布.求:

(1) (X , Y )的联合概率密度；(2) {1}P Y X -≤；(3) 关于X 的边缘概率密度.

解 (1)由于三角形区域G 的面积等于2, 所以(,)X Y 的概率密度为

??????∈=.

),(,0,

),(,2

1),(G y x G y x y x f (2)记区域x y y x D -=|),{(≤}1与G 的交集为0G ,则

{1}P Y X -≤00

11113

d d (2)22224G G x y S ===-=??.

其中0G S 为G 0的面积.

(3) X 的边缘概率密度

()(,)d X f x f x y y +∞-∞

. 所以,

当]3,1[∈x 时, 311

()d (3)22

X x

f x y x ==-?

. 当1x 时, 0)(=x f X .

因此

?????∈-=.,

0],

3,1[),1(21

)(其它x x x f X

习题3-3

1. 设X 与Y 相互独立, 且分布律分别为下表:

求二维随机变量(,)X Y 的分布律.

解由于X 与Y 相互独立, 所以有

}{}{},{j i j i y Y P x X P y Y x X P =?====,6,5,2,0;0,2

,1=--=j i .

因此可得二维随机变量(,)X Y 的联合分布律

2. 设(X , Y )的分布律如下表:

问,αβ为何值时

X 与Y 相互独立?

解

由于边缘分布满足

1,1i j i j p

p ?

?====∑∑, 又X , Y 相互独立的等价条件为

p ij = p i . p .j (i =1,2; j =1,2,3).

故可得方程组

1,3

111().939

αβα++==?+????

??? 解得29

α=

,19β=

经检验, 当29

,19

β=

时, 对于所有的i =1,2; j =1,2,3均有p ij = p i . p .j 成立. 因此当

α=

,19

β=

时, X 与Y 相互独立..

3. 设随机变量X 与Y 的概率密度为

()e (,)0,.,01,0,

x y b f x y x y -+=?<<>??

其它

(1) 试确定常数b .

(2) 求边缘概率密度

()X f x , ()Y f y .

(3) 问X 与Y 是否相互独立？解 (1) 由

()10

1(,)d d e d d e d e d (1e )x y y x f x y x y b y x b y x b +∞+∞+∞+∞-+----∞

-∞

====-?

得

11e b -=

(2) ()(,)d X f x f x y y ∞-∞

=?1e ,01,1e 0,

x --<<=-??

???其它.

()(,)d Y f y f x y x ∞-∞

=?e ,0,

y y ->=???其它.

(3) 由于(,)()()X Y f x y f x f y =?，所以X 与Y 相互独立.

4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, X 在(0, 1)上服从均匀分布, Y 的概率密度为

21e ,

0,()2

0Y y

y f y y ->=?????，

≤0.

(1) 求X 和Y 的联合概率密度.

(2) 设关于a 的二次方程为2

20a Xa Y ++=, 试求a 有实根的概率.

解 (1) 由题设知X 和Y 的概率密度分别为

1,01,

()0,X x f x <<=??

?其它，

1e ,0,

()2

Y y f y ->=?????其它因X 和Y 相互独立, 故(X , Y )的联合概率密度为

1e ,01,0

(,)()()2

X Y x y f x y f x f y -<<>==?????其它 (2) 方程有实根的充要条件是判别式大于等于零. 即

244X Y ?=-≥20X ?≥Y .

因此事件{方程有实根}2

{X =≥}Y .

下面计算2

{P X ≥}Y (参见图3-3).

2{P X ≥}Y 2

1122

1(,)d d e d (1e

)d 2

x D

f x y xdy x y x -

===-????

d 12[(1)(0)]0.1445x

x πΦΦ-

=-=--≈?.

图3-3 第6题积分区域

习题3-4

1. 设二维随机变量(X ,Y )的概率分布为

X 0 1

0 0.4 a 1 b 0.1

若随机事件{X =0}与{X +Y =1}相互独立, 求常数a , b .

解首先, 由题设知0.40.11a b +++=. 由此得0.5a b +=. 此外, {0}0.4P X a ==+,

{1}{0,1}{1,0}0.5P X Y P X Y P X Y a b +====+===+=, {0,1}{0,1}P X X Y P X Y a =+=====.

根据题意有

{0,1}{0}{1}P X X Y P X P X Y =+===+=, 即(0.4)0.5a a =+?. 解得0.4,0.1a b ==.

2. 设两个相互独立的随机变量X ,Y 的分布律分别为

X 1 3 Y 2 4 P X 0.3 0.7 P Y 0.6

0.4

求随机变量Z = X + Y 的分布律.

解随机变量Z = X + Y 的可能取值为7,5,3.

Z 的分布律为

18.06.0.03}2,1{}3{=?=====Y X P Z P , {5}{1,4}{3,2}

0.30.4070.60.54

P Z P X Y P X Y ====+===?+?=,

28.04.07.0}4,3{}7{=?=====Y X P Z P ,

或写为

Z 3 5 7 P Z

0.18 0.54 0.28

3. 随机变量

与

相互独立, 且均服从区间[0,3]上的均匀分布, 求

{}max{,}1P X Y ≤.

解由题意知, X 与Y 的概率密度均为

,03,()30x f x =?????≤≤，其它.

又由独立性, 有

P {max{X +Y }≤1}=P {X ≤1,Y ≤1}= P {X ≤1} P {Y ≤1}.

而 P {X ≤1}= P {Y ≤1}11

011

()d d 33

f x x x -∞

==?

, 故 P {max{X +Y }≤1}=

111

339

?=. 4. 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量, 且X 服从正态分布N (μ, σ2), Y 服从均匀分布U (-a , a )( a >0), 试求随机变量和Z =X +Y 的概率密度.

解已知X 和Y 的概率密度分别为

()2()e

2x X f x μσ

πσ

--=,

),(+∞-∞∈x ;

?????-?-∈=).

,(,

0),,(,

21)(a a y a a y a

y f Y .

由于X 和Y 相互独立, 所以

()21()()()d e d 22z y a Z X Y a f z f z y f y y y a μσπσ

---+∞

-∞-=-=??

=1[()()]2z μa z μa ΦΦa σσ

-+---. 10. 设随机变量X 和Y 的联合分布是正方形G={(x,y )|1≤x ≤3, 1≤y ≤3}上的均匀分布,

试求随机变量U=|X -Y|的概率密度f (u ).

解由题设知, X 和Y 的联合概率密度为

111

,3,3,

(,)40,.

x y f x y =?????≤≤≤≤其它

记()F u 为U 的分布函数, 参见图3-7, 则有当u ≤0时,(){||F u P X Y =

-≤u }=0;

当u ≥2时,()1F u =;

当0< u <2时, 图3-7 第8题积分区域

||(){}(,)d d x y u

F u P U u f x y x y -==

≤≤

21[42(2)]41

2u =-?- 21

1(2)4

u =--.

故随机变量||U X Y =-的概率密度为

(2),02,()20,

u u p u -<<=?????其它..

总习题三

1. 设随机变量(X , Y )的概率密度为

<<<=.,0,

10,||,1),(其它x x y y x f 求条件概率密度)|()|(||y x f x y f Y X X Y 和.

解首先

2,01,

()0,.

(,)其它X x x f x f x y dy +∞

-∞

<<=

=??

1,01,()1,10,

0,(,)≤其它.Y y y f y y y f x y dx +∞

-∞

-<<=

=+-

???

图3-9第1题积分区域

当01y <<时, |1

,1,1(|)0,X Y y x y f x y x <<-=??

???取其它值.

当1y -<≤0时, |1

,1,1(|)0,X Y y x y f x y x -<<+=??

???

取其它值.

当10<

,||,

(|)20,

Y X y x f y x x y <=?????取其它值.

2. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表列出二维随机变量(,)X Y 的分布律及关于X 和关于Y 的边缘分布律中部分数值, 试将其余数值填入表中空白处 .

解首先, 由于

11121{}{,}{,}P Y y P X x Y y P X x Y y ====+==,

所以有

11121111{,}{}{,}6

P X x Y y P Y y P X x Y y ====-===

在此基础上利用X 和Y 的独立性, 有

11111

{,}

24{}1{}46P X x Y y P X x P Y y ====

===.

于是 2113

{}1{}144

P X x P X x ==-==-=.

再次, 利用X 和Y 的独立性, 有

12211

{,}

18{}1{}

P X x Y y P Y y P X x ====

===. 于是 312111

{}1{}{}1623

P Y y P Y y P Y y ==-=-==--=.

最后, 利用X 和Y 的独立性, 有

2222313{,}{}{}428P X x Y y P X x P Y y ======

?=; 2323311

{,}{}{}434P X x Y y P X x P Y y ======?=;

1313111

{,}{}{}4312P X x Y y P X x P Y y ======?=

. 因此得到下表

3. 设随机变量的概率密度为

(34)e (,)0,.,0,0,

x y k f x y x y -+=?>>??

其它

(1) 求常数k ；(2) 求(X ,Y )的分布函数；(3) 计算{01,02}P X Y <<≤≤;

(4) 计算

(),x f x ()y f y ；(5) 问随机变量X 与Y 是否相互独立?

解 (1)由

340

1(,)d d e d e d 12

y k

f x y x y k x y +∞+∞+∞+∞---∞

-∞

===

,可得

12=k .

(2) (X ,Y )的分布函数(,)(,)d d x y F x y f u v x y -∞

-∞

=??

当x ≤0或y ≤0时,有 0),(=y x F ;

当0,0>>y

x 时, 34340

(,)12e d e d (1e )(1e )x

u v x y F x y u v ----==--??.

即 34(1e )(1e ),0,0,

(,)0,

.其它x y x y F x y --?-->>=??

(3) {01,02}P X Y <<≤

≤38

(1,2)(0,0)(1e )(1e )F F --=-=--.

(4) (34)012e

d ,0,()(,)d 0,

其它.x y X y x f x f x y y +∞

-++∞

-∞

?>?==?

???? 所以 33e ,0,

()0,

其它.x X x f x -?>=??

类似地, 有

44e ,0,

()0,其它.y Y y f y -?>=?

显然2

),(),()(),(R y x y f x f y x f Y X ∈??=, 故X 与Y 相互独立. 4.解已知),(Y X 的分布律为

注意到4

1260}1{}1{=++

====Y P X P , 而0}1,1{===Y X P ,可见P {X =1, Y =1}≠P {X =1}P {Y =1}. 因此X 与Y 不相互独立.

(2) Z X Y =+的可能取值为3, 4, 5, 6, 且

16161}1,2{}2,1{}3{=+=

==+====Y X P Y X P Z P , }

1,3{}2,2{}3,1{}4{==+==+====Y X P Y X P Y X P Z P

112161121=++=

, 3

16161}2,3{}3,2{}5{=+=

==+====Y X P Y X P Z P . 即Z

X Y =+

(3)

max{,}V X Y =的可能取值为2, 3, 且

1}2,2{}1,2{}2,1{}2{===+==+====Y X P Y X P Y X P V P , 2

1}2{1}3{=

=-==V P V P . 即max(,)V

X Y =的分布律为

(4)

min{U X =的可能取值为1, 2, 且

}3,1{}2,1{}1{==+====Y X P Y X P U P

}1,2{}1,3{==+==+Y X P Y X P 2

, 2

1}1{1}2{=

=-==U P U P . 即min{,}U

X Y =的分布律为

(5)

W U V =+3

1}1,2{}2,1{}2,1{}3{=

==+=======Y X P Y X P V U P W P , }2,2{}3,1{}4{==+====V U P V U P W P

31}2,2{}1,3{}3,1{=

==+==+===y X P Y X P Y X P , 3

}2,3{}3,2{}3,2{}5{===+=======Y X P Y X P V U P W P .

5. 2,01,01,

(,)0,

x y x y f x y --<<<

?其它. (1) 求P {X >2Y }; (2) 求Z = X +Y 的概率密度f Z (z ).

解 (1)

227{2}(,)d d d (2)d 24

x y

P X Y f x y x y y x y x >>=

=--=

????. (2) 方法一: 先求Z 的分布函数:

()()(,)d d Z x y z

F z P X Y Z f x y x y +=+=

≤≤.

当z <0时, F Z (z )<0; 当0≤z <1时,

()(,)d d d (2)d z

z y

Z D F z f x y x y y x y x -==--????

= z 2-13

z 3; 当1≤z <2时,

()1(,)d d 1d (2)d Z z z y

D F z f x y x y y x y x --=-=---????

= 1-1

(2-z )3; 当z ≥2时, F Z (z ) = 1.

故Z = X +Y 的概率密度为

222,01,()()(2),12,0,Z Z z z z f z F z z z ?-<

'==-

≤其它.

方法二: 利用公式

()(,)d :Z f z f x z x x +∞

-∞

=-?

2(),01,01,

(,)0,

x z x x z x f x z x ---<<<-

?其它 2,01,1,0,

.z x x z x -<<<<+?=??其它

当z ≤0或z ≥2时, f Z (z ) = 0; 当0

()(2)d (2);z

Z f z z x z z =-=-?

当1≤z <2时,

()(2)d (2).Z z f z z x z -=-=-?

故Z = X +Y 的概率密度为

222,01,()(2),12,0,.Z z z z f z z z ?-<

≤其它.

6. 设随机变量(X , Y )得密度为

01,02,

(,)3

其它x xy x y x y ??+?=???≤≤≤≤

试求: (1) (X , Y )的分布函数; (2) (X , Y )的两个边缘分布密度; (3) (X , Y )的两个条件密度; (4) 概

率P {X +Y >1}, P {Y >X }及P {Y <

|X <

解 (1) 当x ≤0或y ≤0时, φ(x , y ) = 0, 所以 F (x , y ) = 0. 当0

xy ,

所以

(,)(,)d d [()d ]d 3

F x y u v u v u uv v u -∞-∞

==+?

???

32211

312

x y x y =

+. 当02时,

(,)(,)d d [(,)d ]d [(,)d ]d x

x y x F x y u v u v u v v u u v v u -∞-∞

===?

???????

2200

1[()d ]d 3x

u uv v u =

+??2

1(21)3

x x =+. 当x >1, 0

(,)(,)d d [(,)d ]d x

F x y u v u v u v v u -∞-∞

==?

?????

200

1[()d ]d 3y

u uv v u =

+??1(4)12

y y =+. 当x >1, y >2时,

2001

(,)[()d ]d 13

F x y u uv v u =+=??.

综上所述, 分布函数为

220,

00,1

(),01,02,

(,)(21),01,2,31

(4),

1,02,121,1, 2.或≤≤≤≤≤≤x y y x y x x y F x y x x x y y y x y x y ???+<???+>

>>??

(2) 当0≤x ≤1时,

220

()(,)d ()d 2,33

X xy x x y y x y x x ??+∞-∞

==+

=+?? 故 22

01,

()3

其它≤≤X x x x x ??+?=???

当0≤y ≤2时,

()(,)d ()d ,336

Y xy y x y x x x y ??+∞

-∞

==+

=+?? 故 11

,02,

()360,

.其它≤≤Y y y y ??+?=???

(3) 当0≤y ≤2时, X 关于Y = y 的条件概率密度为

2(,)62(|).()2Y x y x xy x y y y

???+==+

当0≤x ≤1时, Y 关于X = x 的条件概率密度为

(,)3(|).()62

X x y x y

y x y x ???+=

(4) 参见图3-10.

图3-10 第9题积分区域图3-11 第9题积分区域

概率论第一章课后习题答案

《概率论与数理统计》课后习题解答习题一 3．设A ,B ,C 表示三个事件,用A ,B ,C 的运算关系表示下列各事件：（1）A 发生,B 与C 不发生; （2）A 与B 都发生,而C 不发生; （3）A ,B ,C 都发生; （4）A ,B ,C 都不发生; （5）A ,B ,C 中至少有一个发生; （6）A ,B ,C 中恰有一个发生; （7）A ,B ,C 中至少有两个发生; （8）A ,B ,C 中最多有一个发生. 解：（1）C B A ；（2）C AB ；（3）ABC ；（4）C B A ；（5）C B A ；（6）C B A C B A C B A ++；（7）BC AC AB ；（8）BC AC AB 或C B C A B A ． 5．在房间里有10个人，分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码．（1）求最小的号码为5的概率; （2）求最大的号码为5的概率. 解：设事件A 表示“最小的号码为5”，事件B 表示“最大的号码为5”，由概率的古典定义得（1）12 1)(31025==C C A P ；（2）20 1)(31024==C C B P ． 6．一批产品共有200件，其中有6件废品，求：（1）任取3件产品恰有1件是废品的概率; （2）任取3件产品没有废品的概率; （3）任取3件产品中废品不少于2件的概率. 解：设事件i A 表示“取出的3件产品中恰有i 件废品”)3,2,1,0(=i ，由概率的古典定义得

（1）0855.0)(3200 2194161≈=C C C A P ；（2）9122.0)(3200 31940≈=C C A P ；（3）0023.0)(3200 3611942632≈+=+C C C C A A P ． 8．从0,1,2,…,9这十个数字中任意取出三个不同的数字，求下列事件的概率： A 表示“这三个数字中不含0和5” ； B 表示“这三个数字中包含0或5” ； C 表示“这三个数字中含0但不含5”．解：由概率的古典定义得 157)(31038==C C A P ；158)(1)(=-=A P B P ；30 7)(31028==C C C P 9．已知5.0)(=A P ,6.0)(=B P ,8.0)(=A B P ，求)(AB P 和)(B A P ．解：4.08.05.0)|()()(=?==A B P A P AB P )]()()([1)(1)()(AB P B P A P B A P B A P B A P -+-=-== 3.0) 4.06.0 5.0(1=-+-= 10．已知4.0)(=B P ,6.0)(=B A P ,求)(B A P ．解：314.014.06.0)(1)()() ()()(=--=--==B P B P B A P B P B A P B A P 11．某种品牌电冰箱能正常使用10年的概率为9.0,能正常使用15年的概率为3.0,现某人购买的该品牌电冰箱已经正常使用了10年,问还能正常用到15年的概率是多少? 解：设事件B A ,分别表示“该品牌电冰箱能正常使用10,15年”，依题可知 3.0)()(,9.0)(===B P AB P A P ，则所求的概率为 3 19.03.0)()()|(===A P AB P A B P 12．某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨最后一个号码．

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12 (34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k （1）确定常数k；（2）求P{X＜1，Y＜3}；（3）求P{X<1.5}；（4）求P{X+Y≤4}. 【解】（1）由性质有

李贤平《概率论与数理统计第一章》答案

第1章事件与概率 2、若A ，B ，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1)A ABC =；(2)A C B A =Y Y ； (3)C AB ?；(4)BC A ?. 3、试把n A A A Y ΛY Y 21表示成n 个两两互不相容事件的和． 6、若A ，B ，C ，D 是四个事件，试用这四个事件表示下列各事件：（1）这四个事件至少发生一个；（2）这四个事件恰好发生两个；（3）A ，B 都发生而C ，D 都不发生；（4）这四个事件都不发生；（5）这四个事件中至多发生一个。 8、证明下列等式：（1）1321232-=++++n n n n n n n nC C C C Λ；（2）0)1(321321=-+-+--n n n n n n nC C C C Λ；（3）∑-=-++=r a k r a b a k b r k a C C C 0. 9、袋中有白球5只，黑球6只，陆续取出三球，求顺序为黑白黑的概率。 10、一部五本头的文集，按任意次序放书架上去，试求下列概率：（1）第一卷出现在旁边；（2）第一卷及第五卷出现在旁边；（3）第一卷或第五卷出现在旁边；（4）第一卷及第五卷都不出现在旁边；（5）第三卷正好在正中。 11、把戏，2，3，4，5诸数各写在一小纸片上，任取其三而排成自左向右的次序，求所得数是偶数的概率。 12、在一个装有n 只白球，n 只黑球，n 只红球的袋中，任取m 只球，求其中白、黑、红球分别有)(,,321321m m m m m m m =++只的概率。 13、甲袋中有3只白球，7办红球，15只黑球，乙袋中有10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。 14、由盛有号码Λ,2,1，N 的球的箱子中有放回地摸了n 次球，依次记下其号码，试求这些号码按严格上升次序排列的概率。

上海工程技术大学概率论第一章答案

习题一 2．设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7，P (A -B )=0.3，求P （ AB 解： P （AB ） =1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6。 3. 设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率。解：因为 A B C A B ?,所以0()()P ABC P AB ≤≤，又 P （AB ）=0，则()0P ABC =， P （A ∪B ∪C ） =P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ) =14+14+13-112=34 。 4．将3个不同的球随机地放入4个杯子中去，求所有杯中球的最大个数分别为1，2，3的概率。解：设i A ={杯中球的最大个数为i }，i =1，2，3。将3个球随机放入4个杯子中，全部可能放法有43种，杯中球的最大个数为1时，每个杯中最多放一球，故 34 13C 3!3()84 P A == 而杯中球的最大个数为3，即三个球全放入一个杯中，故1433C 1()164 P A ==，因此 213319()1()()181616 P A P A P A =--=--= 或 12143323C C C 9()164P A ==. 6．从1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这10个数字中任取五个数按先后顺序组成多位数，求下列事件的概率：(1) 这五个数字组成一个五位偶数；(2) 2和3都被抽到且靠在一起. 解（1）5105987648764190 P A ????-???==．（2）145102!876445 C P A ????==． 7．对一个五人学习小组考虑生日问题：（1）求五个人的生日都在星期日的概率；（2）求五个人的生日都不在星期日的概率；（3）求五个人的生日不都在星期日的概率. 解：基本事件总数为57，（1）设A 1={五个人的生日都在星期日}，所求事件包含基本事件的个数为1个，故 P （A 1）=517=51()7 ;

概率论第一章习题解答

00第一章随机事件与概率 I 教学基本要求 1、了解随机现象与随机试验，了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件之间的关系与运算； 2、了解概率的统计定义、古典定义、几何定义和公理化定义，会计算简单的古典概率和几何概率，理解概率的基本性质； 3、了解条件概率，理解概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式，会用它们解决较简单的问题； 4、理解事件的独立性概念. II 习题解答 A 组 1、写出下列随机试验的样本空间 (1) 抛掷两颗骰子，观察两次点数之和； (2) 连续抛掷一枚硬币，直至出现正面为止； (3) 某路口一天通过的机动车车辆数； (4) 某城市一天的用电量. 解：(1) {2,3, ,12}Ω=； (2) 记抛掷出现反面为“0”，出现正面为“1”，则{(1),(0,1),(0,0,1),}Ω=； (3) {0,1,2, }Ω=； (4) {|0}t t Ω=≥. 2、设A 、B 、C 为三个事件，试表示下列事件： (1) A 、B 、C 都发生或都不发生； (2) A 、B 、C 中至少有一个发生； (3) A 、B 、C 中不多于两个发生. 解：(1) ()()ABC ABC ； (2) A B C ； (3) ABC 或A B C . 3、在一次射击中，记事件A 为“命中2至4环”、B 为“命中3至5环”、C 为“命中5至7环”，写出下列事件：(1) AB ；(2) A B ；(3) ()A B C ；(4) ABC . 解：(1) AB 为“命中5环”； (2) A B 为“命中0至1环或3至10环”；

(3) ()A B C 为“命中0至2环或5至10环”； (4) ABC 为“命中2至4环”. 4、任取两正整数，求它们的和为偶数的概率？解：记取出偶数为“0”，取出奇数为“1”，则其出现的可能性相同，于是任取两个整数的样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.设A 为“取出的两个正整数之和为偶数”，则 {(0,0),(1,1)}A =，从而1 ()2 p A = . 5、从一副52张的扑克中任取4张，求下列事件的概率： (1) 全是黑桃；(2) 同花；(3) 没有两张同一花色；(4) 同色？解：从52张扑克中任取4张，有4 52C 种等可能取法. (1) 设A 为“全是黑桃”，则A 有413 C 种取法，于是413 452 ()C p A C =； (2) 设B 为“同花”，则B 有413 4C 种取法，于是413 452 4()C p B C =； (3) 设C 为“没有两张同一花色”，则C 有4 13种取法，于是4 452 13()p C C =； (4) 设D 为“同色”，则D 有426 2C 种取法，于是426 452 2()C p D C =. 6、把12枚硬币任意投入三个盒中，求第一只盒子中没有硬币的概率？解：把12枚硬币任意投入三个盒中，有12 3种等可能结果，记A 为“第一个盒中没有硬币”，则A 有12 2种结果，于是12 2()()3 p A =. 7、甲袋中有5个白球和3个黑球，乙袋中有4个白球和6个黑球，从两个袋中各任取一球，求取到的两个球同色的概率？解：从两个袋中各任取一球，有11 810C C ?种等可能取法，记A 为“取到的两个球同色”，则A 有1 111 5 4 3 6C C C C ?+?种取法，于是 1111543611 81019 ()40 C C C C p A C C ?+?==?. 8、把10本书任意放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率？解：把10本书任意放在书架上，有10!种等可能放法，记A 为“指定的三本书放在一起”，则A 有3!8!?种放法，于是3!8!1 ()10!15 p A ?= =. 9、5个人在第一层进入十一层楼的电梯，假若每个人以相同的概率走出任一层(从第二层开始)，求5个人在不同楼层走出的概率？

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案 1．写出下列随机试验的样本空间． (1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)； (2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取出3个球； (3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数； (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：(1)}100,,2,1{ =Ω； (2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω； (3)},2,1{ =Ω； (4)}|),{(22y x y x +=Ω． 2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ， }5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ； (3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ， }10,9,8,7,6,1{=B A ， }5,4,3,2{=B A ；法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ； (4)}5{=BC ， }10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ， }4,3,2{=BC A ， }10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；

(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ， {1,8,9,10}=C B A ． 3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121| {≤<=x x A ，}2 341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．解：(1)B B A = ， }22 3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ?； (3)A AB =， }21,10|{≤<≤ ≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ； (2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生； (2)A ，B ，C 中至少有一个发生； (3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生； (4)A ，B ，C 中不多于一个发生． 6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．

同济大学版概率论与数理统计——修改版答案

概率论与数理统计练习题系专业班姓名学号第一章随机事件及其概率（一）一．选择题 1．对掷一粒骰子的试验，在概率论中将“出现奇数点”称为 [ C ] （A ）不可能事件（B ）必然事件（C ）随机事件（D ）样本事件 2．下面各组事件中，互为对立事件的有 [ B ] （A ）1A ={抽到的三个产品全是合格品} 2A ={抽到的三个产品全是废品} （B ）1B ={抽到的三个产品全是合格品} 2B ={抽到的三个产品中至少有一个废品} （C ）1C ={抽到的三个产品中合格品不少于2个} 2C ={抽到的三个产品中废品不多于2个} （D ）1D ={抽到的三个产品中有2个合格品} 2D ={抽到的三个产品中有2个废品} 3．下列事件与事件A B -不等价的是 [ C ] （A ）A A B - （B ）()A B B ?- （C ）A B （D ）A B 4．甲、乙两人进行射击，A 、B 分别表示甲、乙射中目标，则A B ?表示 [ C] （A ）二人都没射中（B ）二人都射中（C ）二人没有都射着（D ）至少一个射中 5．以A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对应事件A 为. [ D] （A ）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”；（B ）“甲、乙两种产品均畅销”；（C ）“甲种产品滞销”；（D ）“甲种产品滞销或乙种产品畅销 6．设{|},{|02},{|13}x x A x x B x x Ω=-∞<<+∞=≤<=≤<，则A B 表示 [ A] （A ）{|01}x x ≤< （B ）{|01}x x << （C ）{|12}x x ≤< （D ）{|0}{|1}x x x x -∞<

概率统计第三章答案

概率统计第三章答案概率论与数理统计作业8 (§ 3.1?§ 3.3 ) 一、填空题 1.X,Y 独立同分布X L03 2：3，则P(X+YW1)=?E(XY)=4? 2.设X的密度函数为5= 2(10x) 0其它1，则 2 E(X) = 1/3,E(X ) = 1/6 . 3.随机变量X的分布率为P|0；00303，则E(X) = -0.2 ________ , 2 E(3X 5)= 13.4 ________________ 。 4.已知随机变量X的分布列为P ( X=m )= 1 , m = 2,4,…,18,20 ”则 E( X ) = ___________

5.对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为P I，第二台仪器发生故障的概率为P2 ?令X表示测试中发生故障的仪器数，则 E x A P1 P2 二、计算题 1.连续型随机变量X的概率密度为 a f(x)= kx穿",「0)又知 E(X)=0.75 ，求k 和 a 的值。 0 其它解：由［3 (x dx = Jkx a dx = 1,得_^=1, . o a 1 又E(X)匚0.75，则有xf xdx 二：x kx a dx =0?75,得—= 0.75, 0 a 2 故由上两式解得k=3,a=2?

2.对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。如果发现次品，则立即停止检查而认为这批产品不合格；如果连续检查5个产品，都是合格品，则也停止检查而认为这批产品合格。设每批产品的次品率为p,求每批产品抽查样品的平均数。解：设随机变量X表示每批产品抽查的样品数，则：P( X =m ) = pq m」(m =1,2,3,4); P( X = 5) = pq4 q5二q4 ( p q = 1) ???X的概率分布表如下: EX = p 2pq 3pq2 4 pq3 5q4 = 5 TO p 10 p2_5p3 p4 3 ?设二维随机变量X, Y的联合密度函数为I 21 2 2 . f(x，y)J匸x y X —y —1 [0其它 1)求EX，EY 及EXY ；

概率统计第一章答案

概率论与数理统计作业班级姓名学号任课教师第一章概率论的基本概念教学要求：一、了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，掌握事件的关系及运算．二、理解概率、条件概率的概念，掌握概率的基本性质，会计算古典概率，掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式．三、理解事件的独立性的概念，掌握用事件独立性进行概率计算，理解独立重复试验的概念，掌握计算有关事件概率的方法．重点：事件的表示与事件的独立性；概率的性质与计算．难点：复杂事件的表示与分解；试验概型的选定与正确运用公式计算概率；条件概率的理解与应用；独立性的应用．练习一随机试验、样本空间、随机事件 1.写出下列随机事件的样本空间 (1)同时掷两颗骰子，记录两颗骰子点数之和； (2)生产产品直到有5件正品为止，记录生产产品的总件数； (3)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．解：（1）{=Ω2；3；4；5；6；7；8；9；10；11；12 }; （2）{=Ω5；6；7；…}; （3）(){} 1,22≤+=Ωy x y x 2.设C B A ,,三事件，用C B A ,,的运算关系表示下列事件：（1）A 发生，B 与C 不发生，记为 C B A ；（2）C B A ,,至少有一个发生，记为C B A Y Y ； (3) C B A ,,中只有一个发生，记为C B A C B A C B A Y Y ； (4）C B A ,,中不多于两个发生，记为ABC ． 3.一盒中有3个黑球，2个白球，现从中依次取球，每次取一个，设i A ={第i 次取到黑

球}，,2,1=i 叙述下列事件的内涵：（1）21A A ={}次都取得黑球次、第第21. （2）21A A Y ={}次取得黑球次或地第21. （3）21A A ={}次都取得白球次、第第21 . （4）21A A Y ={}次取得白球次或地第21. （5）21A A -={}次取得白球次取得黑球，且第第21. 4.若要击落飞机，必须同时击毁2个发动机或击毁驾驶舱，记1A ={击毁第1个发动机}；2A ={击毁第2个发动机}；3A ={击毁驾驶舱}；试用1A 、2A 、3A 事件表示=B {飞机被击落}的事件. 解：321A A A B Y = 练习二频率与概率、等可能概型（古典概率） 1.若41)()()(===C P B P A P ,0)()(==BC P AB P , 16 3)(=AC P , 求事件A 、B 、C 都不发生的概率. 解：由于 ,AB ABC ? 则 ()(),00=≤≤AB P ABC P 得(),0=ABC P 于是 ()()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=Y Y 16 9163414141=-++= 所以 ()().16 716911=- =-=C B A P C B A P Y Y 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P ===Y 求B A P (). 解：因为 ()()(),AB A P B A P B A P -=-=且,A AB ?则() ()().AB P A P B A P -= 又 ()()()(),r q p B A P B P A P AB P -+=-+=Y

概率论与数理统计复旦大学出版社第一章课后答案

第一章 1.见教材习题参考答案. 2.设A ，B ，C 为三个事件，试用A ，B ，C （1） A 发生，B ，C 都不发生；（2） A ，B ，C 都发生；（3） A ，B ，C （4） A ，B ，C 都不发生；（5） A ，B ，C （6） A ，B ，C 至多有1个不发生；【解】（1） ABC （2） ABC （3）A B C (4) ABC =A B C (5) ABC (6) ABC ∪ABC ∪ABC ∪ABC =AB BC AC 3. . 4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6 5.设A ，B 是两事件，且P （A ）=0.6,P (B )=0.7, （1）在什么条件下P （AB （2）在什么条件下P （AB 【解】（1）当AB =A 时，()()0.6P AB P A ==,()P AB 取到最大值为0.6. （2）当A ∪B =Ω时，()()()()0.3P AB P A P B P A B =+-=,()P AB 取到最小值为0.3. 6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0， P （AC ）=1/12，求A ，B ，C 至少有一事件发生的概率. 【解】因为P （AB ）=P （BC ）=0，所以P (ABC )=0，由加法公式可得 ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =++---+ = 14+14+13-112=34

概率论答案第三章测试题

第三章测试题 1箱子里装有12件产品,其中两件是次品.每次从箱子里任取1件产品,共取两次(取后不放回).定义随机变量X Y ，如下: 0X=1???，若第一次取出正品，若第一次取出次品 0Y=1??? ，若第二次取出正品，若第二次取出次品 (1)求出二维随机变量X Y （，）的联合分布律及边缘分布律；（2）求在Y=1的条件下，X 的条件分布律。解（2） 2 设二维随机变量 X Y （，）的概率密度Cy(2-x),0x 1,0y x, f(x,y)=0,.≤≤≤≤??? 其他（1）试确定常数C ；（2）求边缘概率密度。解（1）1)(=??+∞∞-+∞∞-dy dx x f 即1)2(100=??-x dxdy x Cy x ，5 12 = ∴C 3设X Y （，）的联合分布律为：求（1）Z X Y =+的分布律；（2）V min(X ,Y )=的分布律（2）

4设X 和Y 是两个相互独立的随机变量，X 服从(0,1)上的均匀分布，Y 的概率密度为： y 212Y e ,y 0 f (y )0,y 0 -??>=? ≤?? （1）求X 和Y 的联合概率密度；（2）设含有a 的二次方程为2 a 2Xa Y 0++=，试求a 有实根的概率。解（1）X 1,0x 1 f (x )0,other <<<==∴-other y x e y f x f y x f y Y X , 00,10,21)()(),(2 （2）2 a 2Xa Y 0++=有实根，则0442≥-=?Y X ，即求02 ≥-Y X 的概率 ?-=??=??=≥---≥-1 01 00 20 2 2 22 121),(}0{dx e dy e dx dxdy y x f Y X P x x y y x 3413.0)0()1(211 2 2=Φ-Φ=?- dx e x π ，π23413.010 22=?∴-dx e x

概率论第一章答案

.1. 解：（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） A （正，正），（正，反） .B （正，正），（反，反） C （正，正），（正，反），（反，正） 2.解：(1,1),(1,2), ,(1,6),(2,1),(2,2), ,(2,6), ,(6,1),(6,2), ,(6,6)；AB (1,1),(1,3),(2,2),(3,1)； A B (1,1),(1,3),(1,5), ,(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)； AC - BC (1,1),(2,2). A B C D (1,5), (2,4), (2,6), (4,2), (4,6), (5,1), (6,2), (6,4) 3. 解：(1) ABC ；(2) ABC ；(3) ABC ABC ABC ； (4) ABC ABC ABC ；( 5) A B C ； (6) ABC ；(7) ABC ABC ABC ABC 或AB AC BC (8) ABC ；(9) ABC 4. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中c 5. 解：如图：第一章概率论的基本概念习题答案

每次拿一件，取后放回，拿3次: ABC ABC; AB C ABC C; B A C ABC ABC ABC BA ABC BC ABC 6. 解：不疋成立。例如： A 3,4,5 B 那么 A C B C 但A B 0 7. 解：不疋成立。例如： A 3,4,5 B 那么 A (B C) 3 , 但是（A B) C 3,6,7 ABC ABC A B 4,5,6 o 8.解: C ABC ABC ABC 3 C 4,5 6,7 P( BA) P(B AB) P(B) P(AB) (1) 2 ; (2) P( BA) P(B A) P(B) 1 P(A) 6 ; (3) P( BA) P(B AB) P(B) 1 P(AB)- 2 9. 解： P(ABC) P A B C 1 P(A B C)= 1 1 8 P (1 ) 2 982 1003 0.0576 ; 1旦 1003 0.0588 ; 1 P(A) 1 P(B) 1 P(C) 1 P(AB) 1 P(AC) 3 P(BC) P(ABC) 16 16 g 八牛 A)n .(.( (C p( B P (1) C ；8C ； C 100 0.0588 ; P (2) 3 100 1 98 0.0594 ; D P 3 2 2 P c ；c

概率论与数理统计修订版第三章练习答案郝志峰,谢国瑞

概率论与数理统计第三章习题率分布。，试写出命中次数的概标的命中率为目；设已知射手每次射击射击中命中目标的次数指示射手在这三次独立以本空间上定义一个函数验的样本空间；试在样作为试验，试写出此试察这些次射击是否命中三次独立射击，现将观一射手对某目标进行了7.0.1 。出的废品数的概率分布前已取个，求在取得合格品之不再放回而再取来使用，若取得废品就个这批零件中任取个废品，安装机器时从个合格品、一批零件中有1139.2

11880 54 99101112123)3(132054 109112123)2(132 27 119123)1(12 9 )0(3 210191911011111121121311019111121121311119112131121 9= ???=???=== ??=??=== ?=?=== ==C C C C C C C C P C C C C C C P C C C C P C C P ξξξξξξ，，，可能取值为：代表废品数，则解：令 .1188054132054132271293210 ??? ? ??的分布列为所以，ξ 废品数的概率分布。况，求出取得）取后放回两种不同情）取后不放回；（个，试分别就（件，每次取个废品，现从中任取混有个同类型的一堆产品内设在2113210.3 .008.0096.0384.0512.03210 008.0)3(096.0)2(384.0)1(512.0)0(32102210)2()1()0(2 1013 1101 22 1101211018231101 22 1101 8133 1101831022183101228310383 10 2 2 18310122831038??? ? ??=??? ? ??===???? ?????? ??===??? ? ????? ? ??===???? ??==???? ? ?????==?====的分布列为所以，，，，有，，，，则可能取值有：）设废品数为（的分布列为所以，，，，，的可能值有：代表废品数，则）令解：（ηηηηηηξξξξξξC C P C C C C C P C C C C C P C C P C C C C C C C C C C C P C C C P C C P

概率论与数理统计(第三版)课后答案习题1

第一章事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。（1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数（设以百分制记分）。（2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。（3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数。（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。（5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。（6）实测某种型号灯泡的寿命。解（1）}, 100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。（2）}18,,4,3{ =Ω。（3）},11,10{ =Ω。

（4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100，1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中0表示次品，1表示正品。（5）=Ω{(x,y) 0

概率论课后答案

习题1-2 1. 选择题 (1) 设随机事件A ，B 满足关系A B ?,则下列表述正确的是( ). (A) 若A 发生, 则B 必发生. (B) A , B 同时发生. (C) 若A 发生, 则B 必不发生. (D) 若A 不发生，则B 一定不发生. 解根据事件的包含关系, 考虑对立事件, 本题应选(D). (2) 设A 表示“甲种商品畅销, 乙种商品滞销”, 其对立事件A 表示( ). (A) 甲种商品滞销, 乙种商品畅销. (B) 甲种商品畅销, 乙种商品畅销. (C) 甲种商品滞销, 乙种商品滞销.(D) 甲种商品滞销, 或者乙种商品畅销. 解设B 表示“甲种商品畅销”，C 表示“乙种商品滞销”，根据公式B C B C = , 本题应选(D). 2. 写出下列各题中随机事件的样本空间: (1) 一袋中有5只球, 其中有3只白球和2只黑球, 从袋中任意取一球, 观察其颜色; (2) 从(1)的袋中不放回任意取两次球, 每次取出一个, 观察其颜色； (3) 从(1)的袋中不放回任意取3只球, 记录取到的黑球个数； (4) 生产产品直到有10件正品为止, 记录生产产品的总件数. 解 (1) {黑球,白球}； (2) {黑黑,黑白,白黑,白白}； (3) {0,1,2}； (4) 设在生产第10件正品前共生产了n 件不合格品，则样本空间为{10|0,1,2,n n += }. 3. 设A, B, C 是三个随机事件, 试以A, B, C 的运算关系来表示下列各事件： (1) 仅有A 发生； (2) A , B , C 中至少有一个发生; (3) A , B , C 中恰有一个发生; (4) A , B , C 中最多有一个发生; (5) A , B , C 都不发生; (6) A 不发生, B , C 中至少有一个发生. 解 (1) ABC ; (2) A B C ; (3) ABC ABC ABC ; (4) ABC ABC ABC ABC ; (5) ABC ; (6) ()A B C . 4. 事件A i 表示某射手第i 次(i =1, 2, 3)击中目标, 试用文字叙述下列事件： (1) A 1∪A 2; (2) A 1∪A 2∪A 3; (3)3A ; (4) A 2－A 3; (5)2 3A A ； (6)12A A . 解 (1) 射手第一次或第二次击中目标;(2) 射手三次射击中至少击中目标;(3) 射手第三次没有击中目标;(4) 射手第二次击中目标,但是第三次没有击中目标;(5) 射手第二次和第三次都没有击中目标;(6) 射手第一次或第二次没有击中目标. 习题1-3 1. 选择题 (1) 设A, B 为任二事件, 则下列关系正确的是( ). (A)()()()P A B P A P B -=-. (B)()()()P A B P A P B =+ . (C)()()()P AB P A P B = . (D)()()()P A P AB P AB =+. 解由文氏图易知本题应选(D). (2) 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是 ( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) AB 未必是不可能事件. (D) P (A )=0或P (B )=0. 解本题答案应选(C). 2. 设P (AB )=P (AB ), 且P (A )＝p ，求P (B ). 解因 ()1()1()()()()P AB P A B P A P B P AB P AB =-=--+= , 故()()1P A P B +=. 于是()1.P B p =- 3. 已知() 0.4P A =,()0.3P B =,()0.4P A B = , 求()P AB .

大学概率统计试题及答案 (1)

)B= B (A) 0.15 B是两个随机事件， )B= (A) 0(B) B,C是两个随机事件

8.已知某对夫妇有四个小孩，但不知道他们的具体性别。设他们有Y 个儿子，如果生男孩的概率为0.5，则Y 服从 B 分布. (A) (01)- 分布 (B) (4,0.5)B (C) (2,1)N (D) (2)π 9.假设某市公安机关每天接到的110报警电话次数X 可以用泊松(Poisson)分布 ()πλ来描述.已知{49}{50}.P X P X ===则该市公安机关每天接到的110报警电话次数的方差为 B . (A) 51 (B) 50 (C) 49 (D) 48 10.指数分布又称为寿命分布，经常用来描述电子器件的寿命。设某款电器的寿命（单位：小时）的密度函数为则这种电器的平均寿命为 B 小时. (A) 500 (B) 1000 (C) 250000 (D) 1000000 11.设随机变量X 具有概率密度则常数k = C . (A) 1/4 (B) 1/3 (C) 1/2 (D) 1 12.在第11小题中, {0.50.5}P X -≤≤= D . (A) 14 (B) 34 (C) 1 8 (D) 38 13.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗骰子的点数之和(Z=X+Y)为6的概率为 C . (A) 336 (B) 436 (C) 5 36 (D) 636 14.抛掷两颗骰子,用X 和Y 分别表示它们的点数(向上的面上的数字),则这两颗 0.0010.001, 0()0, t e t f t -?>=? ?其它,01,()0, 其它. x k x f x +≤≤?=? ?

概率论与数理统计第三章习题及答案

概率论与数理统计习题第三章多维随机变量及其分布习题3-1 盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球.以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数，求X 和Y 的联合分布律. （X ，Y ）的可能取值为(i , j )，i =0，1，2，3， j =0，12，i + j ≥2，联合分布律为 P {X=0, Y=2 }= 35147 2222=C C C P {X=1, Y=1 }=356 47 221213=C C C C P {X=1, Y=2 }= 3564 7 1 2 2213=C C C C P {X=2, Y=0 }=353 472 223=C C C P {X=2, Y=1 }= 35124 712 1223=C C C C P {X=2, Y=2 }=353 47 2 223=C C C P {X=3, Y=0 }= 35247 1233=C C C P {X=3, Y=1 }=352 47 1233=C C C P {X=3, Y=2 }=0 习题3-2 设随机变量),(Y X 的概率密度为 ?? ?<<<<--=其它 , 0, 42,20), 6(),(y x y x k y x f （1）确定常数k ；（2）求{}3,1<

?? ????????<<<<=42,20),(y x y x D o 解：（1）∵??? ? +∞∞-+∞ ∞ ---= = 20 12 )6(),(1dydx y x k dy dx y x f ，∴8 1= k （2）8 3 )6(8 1)3,1(32 1 ? ?= --= <

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