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浅谈数学期望

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浅谈数学期望

摘要

概率统计是研究随机现象与统计规律的学科,数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个数字特征。虽然随机变量的概率分布能完整地描述随机变量的统计规律,但是在实际问题中,要获得随机变量的概率分布不是一件简单的事情,所以我们往往要知道一些从某些方面刻画随机变量特征的数值,从而也可以清晰地解决实际问题。数学期望则完美地演绎了这一角色。这篇论文主要介绍了数学期望的来源,定义,性质以及应用。让我们更加深刻地认识数学期望应用的广泛性以及对于分析实际问题的重要性。

关键词:概率统计,数学期望,统计规律,应用

Abstract

Probability and Statistics is the study of random phenomena and statistical rules and disciplines, mathematical expectation is reflected in the overall average value of a random variable feature a number.Although the probability distribution of the random variable can complete description of the statistical laws of random variables. However, in practical problems, It’s not easy to get the probability distribution of the random variable , so we tend to know some portray in some ways of the numerical characteristics of random variables, which can clearly solve practical problems. Mathematical expectation plays this role perfectly. This paper introduces the mathematical expectation of origin, definition, properties, and applications. Let us deeper understanding that the breadth and application of mathematical expectation for the analysis of the importance of practical problems.

Keywords: Probability and Statistics ,mathematical expectation, application

1·一般随机变量的数学期望

1.1引言

数学期望是刻画随机变量平均取值的数字特征,它是一类在概率论中最重要,也是最基本的与随机变量密切相关的数值。虽然它不能像随机变量概率分布那样完整地描述随机变量的统计规律,在实际问题中,利用概率统计知识可以获得合理的决策,但是要求出随机变量的分布函数并不是那么简单。实际上,我们只需要知道随机变量的某些重要特征也可以做出合理的决策,而数学期望则是随机变量中最重要的特征数。近年来,不管是在自然界还是社会生活,数学期望在各种决策中频繁“亮相”,并为决策者作出最优决策提供了重要的理论依据。

1.2数学期望的源来

数学期望源于一个赌博分本的问题。

17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡请教让他困惑许久的了一个摊分赌本的问题:甲乙赌徒相约,用硬币赌博,谁先赢三局就可以获得全部赌本100法郎,当甲赢了两局,乙赢了一局时,由于某些原因被迫停止赌博,问应该怎样分配赌本比较合理?

帕斯卡做出了如下的回答:当甲赢两局乙只赢了一局的时候。最多再玩两局就

本100法郎,只有A 4出现时,甲得到0法郎,乙得到100法郎。由于这四种结果出现的可能性都等可能的,所以甲应该得到100法郎的概率为3/4,乙应该得到100法郎的概率为1/4。所以甲赢得的赌本的数学期望为100?(3/4)+0?(1/4)=75法郎。

这就是帕斯卡的回答。这就是说:如果进行多次这样的赌博,甲平均每次获得75法郎。

1.3数学期望的定义

定义1 设离散型随机变量X 的分布律为:P{X=x k }=p k ,k=1,2,... 若级数k k k p x ∑+∞

=1 绝

对收敛,则称 k k k

p x ∑+∞=1的和数为X 的数学期望(简称期望,又称均值),记为E

(X ),即E (X )=

k k k p x ∑+∞=1。

若级数 k k k

p x ∑+∞=1 发散,则说X 的数学期望不存在。

定义2 设连续随机变量X 概率密度为f(x),若积分dx x xf ?+∞∞

_)( 绝对收敛,则称积分 dx x xf ?+∞

∞_)(的值为X 的数学期望(简称期望,又称均值)

,记为E(X),即E(X)= .dx x xf ?+∞

∞_)(。 若积分 dx x xf ?+∞

∞_)(发散,则说X 的数学期望不存在。

注意:随机变量的数学期望不一定存在。例如:

(1)若随机变量X 的取值为x k =(-1)k 2k /k ,k=1,2...容易验证p k =1/2k(k=1,2...)满足分布律的两个条件,但k k k p x ∑+∞=1=∑

+∞∞-(-1)k 2k /k (1/2k )=∑+∞=1k (-1)k

/k =∑+∞

=11k k

发散,所以X 的数学期望不存在。

(2)若随机变量X 的概率密度为∏=1)(x f 2^11x +,即X 服从柯西分布,因为

dx x x dx x f x 2^112)(+?∞+∞-∏=∞+∞-??=∏1In(1+x 2)=∞+发散,所以X 的数学期望不存在。

1.4数学期望的性质

数学期望具有以下几个重要的性质(设以下遇到的随机变量的数学期望均存在)

(1) 若C 为常数,则E (C )=C ;

(2) 设X 是一个随机变量,C 为常数,则E (CX )=CE(X);

(3) 设X,Y 是两个随机变量,则E(X+Y)=E(X)+E(Y);

这一性质可以推广到任意有限葛随机变量的情形:对于任意n 个随机变量X 1,X 2,...Xn ,有E(X 1+X 2+...+Xn)=E(X 1)+E(X 2)+...+E(Xn)

(4) 若X ,Y 相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y);

这一性质可以推广到任意有限个随机变量的情形:若n 个随机变量X 1,X 2,...Xn 相互独立,则E(X 1X 2...Xn)=E(X 1)E(X 2)...E(Xn);

(5) 若X ≥O,则E(X)≤0.

由数学期望的定义可知,性质(1)(2)(5)都是显然的,下面只对连续随机变量的情况证明性质(3)(4),对于离散随机变量也可以类似地证明。 证明:设随机变量(X,Y )的概率密度是f(x,y),其边缘概率密度为f x (x),f y (y),则E(X+Y)= ?

?+∞∞+∞∞+__),()(dxdy y x f y x =dxdy y x yf dxdy y x xf ????+∞∞-+∞∞-+∞∞-+∞

∞-+),(),(

=E(X)+E(Y )

性质(3)得证!

若X 和Y 相互独立,则f(x,y)=x f (x)y f (y),故有E(XY)=dxdy y x f xy ),()(?

?+∞∞-+∞∞- =dy y yf dx x xf y x )()(??+∞∞-+∞

∞-?

=E(X)E(Y)

性质(4)得证!

2·数学期望的应用

2.1最佳进货量问题

商场要进某种商品, 作为商场而言, 必定要考虑准备多少货源, 既能满足市场需求, 又不会产生积压, 使资金使用最佳、收益最优。在概率论中, 运用数学期望的概念, 此问题可以从平均收益, 即期望着手处理。

例1设某种商品每周的需求量X 服从区间[10,30]上的均匀分布,而经

销商场的进货数量为区间[10,30]中的某一整数,商场销售以1单位就获得利润500元,若供大于求,则销价处理,每处理以单位商品,就会亏损100元;若供过于求则从外部调剂,这时仅有利润300元;为使得商场利润不少于9280千元,试确定最少进货量。

解:设进货量为a ,利润为y,则利润函数为

500a+300(x-a) , a

y(x)= 500x-100(a-x) , 10

因为X 服从[10,30]的均匀分布。所以X 的概率密度函数为

20

1 , 10

)(x f =

0 , 其他

利润期望为E(y)=?3010201y(x)dx=?a 10201(600x-100a)dx+?30201a (200a+300x)dx =-7.5a 2+350a+5250

若要 E(y)=-7.5a 2+350a+5250≥9280

解得3

220≤a ≦26 故在使得商场利润大于9280元时,最少进货量应该为21单位。

2.2商场抽奖活动问题

买彩票,摸球,高奖销售固然激动人心,每个人都希望自己能成为那个拿大奖的幸运儿。然而事实真的像我们所期望的那样吗?下面从计算期望的角度可以看出,我们还是应该少参加这些活动。

例2某商店在年末大甩卖中进行有奖销售,摇奖时从摇箱里摇出的球可能的颜色为黄球和白球均有8个,每次只会摇出8个球,黄球记10分,白球记5分,摇出的球分数和作为中奖分数:一等奖80分或40分,风扇一台价值500元, 二等奖75分或45分,电锅一个价值50元; 三等奖70分或50分,瓷锅一个价值20元; 四等奖65分或55分,交10元送金属碗一个(假设成本5元);

五等奖60分罚款20元;

解:从表面上看整个活动都是有利于消费者的,因为前三名的奖品的价值都是相当可观的,而四,五等奖只需要给相当少的一部分钱。但是经过分析,商家真的会亏本吗?顾客真的有很大的机会拿到大奖吗?根据中奖规则摇出来的球会有5种情况,假设为i A (i=1,2,..5)其中事件一等奖表示摇出8个黄球或者8个白球;二等奖为摇出7个黄球1个白球或者7个白球1个黄球;三等奖为摇出6个黄球球2个白球或者6个白球2和黄球;四等奖为摇出5个黄球3个白球或者

5个白球3个黄球;五等奖为摇出4个黄球4个白球;对应的概率为p(i A )=C K

8C 8-K 8/C 8 16

可以计算出数学期望E(X)=)(51

i i i x p x ∑==-7.044145,也就是说商家在每一次抽奖中平均获得

7.044145元,而平均每一位抽奖者要花费7.044145元享受一次抽奖机会。顾客真的得到期望的大奖吗?相反,商家不仅在这次抽奖活动赚了钱,还轻而易举地把商品促销出去,而且还赢得了人气。这就是商家利用数学期望估计出搞这次活动而不会亏损,最后一举多得。由此看出数学期望在经济决策中的利用发挥了重要的作用。

2.3委托售后服务问题

企业在购买机器进行生产时,不仅要要求质量要有保障,而且还要要求售后服务,企业对机器的售后服务是必不可少的。企业的售后维修服务都是委托给各地的维修部,如何与维修部签订售后服务合同,是企业要考虑的问题。

例3某家电企业经调查预计明年向某地销售3000台洗衣机,计划与当地的一家维修部签订保修合同,委托维修部承包维修业务,保修期一年 该企业与维修部对这批产品的保修有以下两个方案选择:

方案1:维修次数不限,一次性支付总维修费2000元;

方案2:维修次数少于300次,支付维修费1 000元;若超过,每增加一次加付维修费5元; 另根据过去的经验及产品的质量情况估计,今后一年内洗衣机可能出现维修的次

解:如果选择方案1,企业将支出维修费用2000元。

如果选择方案2,企业将支出的维修费用X 的数学期望为E(X)=1000×0.5+1500×0.25+2000×0.15+2500×0.07+3000×0.03=1440元。 由最后的结果可以知道,方案2优于方案1,所以企业应该选择维修方案2。

2.4分组验血问题

在一个人数为N 的群体中普查某种疾病,为此要抽验N 个人的血。如果将每个人的血分别化验,则共化验N 次。为了能减少工作量,统计学家提出一种方法:按k(k ≥2)个人一组进行分组,把同一组的k 个人的血样混在一起进行化验,

如果 该混合血样呈阴性反应,就说明这k 个人的血样混合在一起呈阴性反应,这样,这k 个人只需要化验一次,这时检验的工作量就减少了;如果该混合血样呈阳性反应,就说明这k 个人中至少有一个人的血呈阳性反应,此时需要再对这k 个人的血液分别进行化验,这样,这k 个人的血共需化验k+1次,这时的工作量增加了。

假设每个人血液化验呈阳性的概率为p,且这些人的试验反应相互独立.试说明当p 较小时,适当分组可以减少化验次数,并说明k 取什么值时得到最佳分组。 解:由于每人血液呈阳性的概率为p ,所以每人血液呈阴性反应的概率q=1-p,因而k 个人的混合血样呈阴性反应的概率为q k ,k 个人的混合血样呈阳性反应的概率为1-q k .以k 个人为一组时,组内每个人的血化验次数X 是一个随机变量,

E(X)=k 1×q k +(1+k 1)(1-q k )=1-q k +k

1,表明N 个人的平均化验次数为N(1-q k +k

1), 由此可知,只要选择k 使得1-q k +k

1<1,则N 个人平均化验的次数就小于N ,亦即减少了化验次数;当p 固定时,选取k 使得L=1-q k +k

1<1且取得最小值,就能得到最好的分组方法。

例如:当p=0.1时,对于不同的k 值,E(X)的值如下表所示,当k>34时,平均验血的次数超过1,即分组检验增加了工作量;而当k ≤33时,平均验血次数在不同的程度上得到了减少,特别地,当k=4时,平均验血次数最少,验血工作量可以减少到40%以上。

当然,我们也可以根据不同的发病率p 计算出最佳的分组人数k 0,下由表统计得出:发病率p 越小,分组的效益越明显。譬如在p=0.01时,如果取11个人为一组进行检验,则验血的工作量可以减少80%左右。这正是美国在二战期间大量征兵时,对新兵进行验血所采用减少工作量的措施。

式。

3.结论

由以上的所对数学期望的认识以及数学期望在实际问题中的应用中,不管是作为出资做买卖的商家,还是作为消费者的我们,都应该清楚地了解数学期望带来的好处和坏处,只有很好地掌握数学期望并懂得应用数学期望的性质和特征,才可以找到更加合理配置资源的方法,做出更加合理的决策,减少人力,物力,财力。如果能恰到好处地运用数学期望,可以降低成本,为我们带来收益。

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例1,(08浙江理)一个袋中装有若干个大小相同的黑球,白球和红球.已知从袋中任意摸出1 ;从袋中任意摸出2个球,得到黑球的概率是2 5 . 个球,至少得到1个白球的概率是7 9 (1)若袋中共有10个球,(1)若袋中共有10个球,(ⅰ)求白球的个数;(ⅱ)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望Eξ. (2)求证:从袋中任意摸出2个球,至少得到1 .并指出袋中哪种颜色的个黑球的概率不大于7 10 球个数最少. 分析:本题是以古典概率为题材的高考题,由于从袋中摸球是有回放地摸球,且每次摸球都是互相独立的,系互不影响事件,所发生的概率是等可能的。故可根据概率定义,利用排列组合计算方法求解随机变量各值的概率。 解:袋中共有10个球,且至少得到1个白球7,设其中有X个白球,我们将至少得到的概率为 9 7,又∵P(A)一个白球的事件为A,则P(A)= 9

关于数学期望在生活中应用的一些探讨

关于数学期望在生活中应用的一些探讨 【摘要】:概率论与数理统计是高等学校理工科和经营类学生的必修课,是全国硕士研究生入学考试数学科目的必考内容之一。概率论与数理统计不仅是学习后续数学课程和专业课程的必备基础课程,也是自然科学和工程技术领域中的一种重要数学工具,它在培养学生的计算能力、逻辑推理能力和抽象思维能力方面起着十分重要的作用。然而,离散型随机变量数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一,是概率论和数理统计来反映随机变量取值分布的特征数,通过探讨数学期望在生活中的一些实际问题应用,了解数学期望在生活中的实践运用,掌握概率论与数理统计已成为处理信息、制定决策的重要理论和方法。 【关键词】: 概率论与数理统计;离散型随机变量;数学期望 一丶引言 概率论与数理统计是一门与我们日常生活密不可分的学科,不过大多数人对这么学科的理解非常的片面,就那最简单的说,投一枚硬币,结果正面朝上和反面朝上的概率都为50%,这就是概率论。是的,这就是概率论最简单最容易理解的例子了。但学过这门学科的人又多以这门课较为理论化,特别是像母函数,极限定理等内容与现实的日常生活的联系并不是很大,它具有的专业性很强。但是我们的日常生活中又确实有很多例子需要我们来利用这门学科来做些分析才能得出结果。 三四百年前在欧洲许多国家,贵族之间盛行赌博之风。掷骰子是他们常用的一种赌博方式。因骰子的形状为小正方体,当它被掷到桌面上时,每个面向上的可能性是相等的,即出现1点至6点中任何一个点数的可能性是相等的。有的参赌者就想:如果同时掷两颗骰子,则点数之和为9与点数之和为10,哪种情况出现的可能性较大? 17世纪中叶,法国有一位热衷于掷骰子游戏的贵族德·梅耳,发现了这样的事实:将一枚骰子连掷四次至少出现一个六点的机会比较多,而同时将两枚骰子掷24次,至少出现一次双六的机会却很少。这是什么原因呢?后人称此为著名的德·梅耳问题。 又有人提出了“分赌注问题”:两个人事先约定谁先赢得5局便算赢家。而在甲赢3局,乙赢4局的时候因为特殊原因要终止赌博,那应该如何分配赌注呢?他们自己无法给出答案。赌徒们就去请教当时法国数学家帕斯卡,帕斯卡接受了这个问题,他没有立即回答,而把它交给另一位法国数学家费尔马。他们便围绕着赌博中的数学问题开始了深入细致的研究。后来,这些问题被来到巴黎的荷兰科学家惠更斯获悉,回荷兰后,他独立地进行研究。帕斯卡和费尔马两人一边亲自做赌博实验,一边仔细分析计算赌博中出现的各种问题,终于完整地解决了“分赌注问题”,正确的答案是,甲拿3/4,乙拿剩下的1/4。为什么呢?假定他们俩再赌一局,或者甲赢,或者乙赢。若是甲赢满了5局,钱应该全归他;甲如果输了,则甲乙各赢4局,这个钱应该对半分。现在,甲输赢的可能性都是1/2,所以,他拿的钱应该是1/2*1+1/2*1/2=3/4;当然,乙就应该得1/4。他们将此题的解法向更一般的情况推广,从而建立了概率论的一个基本概念——数学期望,这是描述随机变量取值的平均水平的一个量。 在十六世纪,惠更斯的专著《论掷骰子游戏中的计算》被认为是概率论中最早的论著。可以说早期概率论的真正创立者是帕斯卡、费尔马和惠更斯。这一时期被称为组合概率时期,计算各种古典概率。而后,雅可布·贝努利在前人研究的基础上,继续分析赌博中的其他问题,给出了“赌徒输光问题”的详尽解法,并证明了被称为“大数定律”的一个定理,这是研究等可能性事件的古典概率论中的极其重要的结果。 1713年,雅可布的著作《猜度术》出版。雅可布的侄子尼古拉·贝努利也真正地参与了“赌博”。他提出了著名的“圣彼得堡问题”:甲乙两人赌博,甲掷一枚硬币到掷出正面为一局。若甲掷一次出现正面,则乙付给甲一个卢布;若甲第一次掷得反面,第二次掷得正面,乙付给甲2个卢布;若甲前两次掷得反面,第三次得到正面,乙付给甲5个卢布。以此类推,若甲前n-1次掷得反面,第n次掷得正面,则乙需付给甲2n-1个卢布。那么问题来了,在赌博开始前甲应付给乙多少卢布,才有权参加赌博而不致乙方亏钱呢?当时有许多数学家都研究了这个问题,并给出了一些不同的解法。但是结果却是,不管甲事先拿出多少钱给乙,只要赌博不断地进行,乙肯定是要赔钱的。 随着十八世纪到十九世纪科学的发展,人们注意到很多物理和社会现象都与这种“赌博概率”有关,从而由赌博起源的概率论被应用到这些领域中,同时也大大推动了概率论本身的发展。法国数学家拉普拉斯将古典概率论向近代概率论进行推进,他明确给出了概率的古典定义,并在概率论中引入了更有力的数学分析工具,将概率论推向一个新的发展阶段。他还证明了“棣莫弗——拉普拉斯定理”,把棣莫弗的结论推广到一般场合,还建立了观测误差理论和最小二乘法。拉普拉斯于1812年出版了他的著作《分析的概率理论》,这是一部继往开来的作品。概率论在20世纪再度迅速地发展起来,这是由于科学技术发展的迫切需要而产生的。1906年,俄国数学家马尔科夫提出了所谓“马尔科夫链”的数学模型。1934年,前苏联数学家辛钦又提出一种在时间中均匀进行着的平稳过程理论。如何把概率论建立在严格的逻辑基础上,这是人们从概率诞生开始就关注的问题,这些年来,好多数学家进行过尝试,终因条件不成熟,一直拖了三百年才得以解决。 20世纪初,勒贝格测度与积分理论及随后发展的抽象测度和积分理论的完成为概率公理体系的建立奠定了基础。现在,概率论与以它作为基础的数理统计学科一起,在自然科学、社会科学、工程技术、军事科学及工农业生产等诸多领域中都起着不可或缺的作用。 二丶正文 1.离散型随机变量数学期望的定义 设离散型随机变量X的分布列∞∞∞∞ ∑P(X=Xi)=Pi (i=1,2,...),若数级∑XiPi绝对收敛,即∑XiPi < +∞,则称∑XiPi为X的 i=1 i=1 i=1 i=1 ∞∞ 数学期望或均值,记为E(X),即E(X)=∑XiPi。若∑XiPi发散时,则称X的数学期望不存在。 i=1 i=1 2.离散型随机变量数学期望的作用 期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值,它事概率意义下的平均值,不同与相应数值的算术平均数,是简单算术平均数的一种推广,类似加权平均。它不仅在科学技术、工农业生产和经济管理中发挥着重要作用,而且常常出现在我们生活

概率论中数学期望的概念

毕业论文(设计) 题目:概率论中数学期望的概念 姓名: 学号:0411******* 教学院:数学与计算机科学学院 专业班级:数学与应用数学专业2008级1班 指导教师: 完成时间:2012年04月10日 毕节学院教务处制

概率论中数学期望概念 摘要:数学期望是现代概率论中最重要的基本概念之一,无论在理论上还是在应用中都具有重要的地位和作用。但是,数学期望这一概念对许多学者来说却又是一个难点,特别是对概念的理解和对这一数学工具的使用上都很难掌握。本文从离散型随机变量的来源、定义、分布及其理解上详细阐述概率论中的数学期望的概念及其性质,并介绍说明这一数学工具在实际生活中的应用。目的是希望能给更多的学者提供一些参考及帮助。 关键词:离散型;随机变量;分布;函数;期望 Mathematical expection concept

in theory of probability Candidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and applied mathematics Student No:0411******* Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer) Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help. Keywords:discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect

条件数学期望及其应用

实用文档 文案大全条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it's application Abstract:The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords:Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中,被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各 点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长,在积分函数是向量函数时,一般是函数值与曲线微元向量的标量积)后的黎曼和.带有权重是曲线积 分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都 是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1设X是一个离散型随机变量,取值为},,{21?xx,分布列 为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP,这时 ,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi

为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有 ???Aiii px| 则称 ??. Aiii pxAXE|]|[ 为随机变量X在条件A下的条件数学期望(简称条件期望). 定义2设X是一个连续型随机变量,事件A有0)(?AP,且X在条件A 之 实用文档 ??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf.若 X在条件A下的条件数学期望. 定义3设),(YX是离散型二维随机变量,其取值全体为 },2,1,),,{(??jiyx ii, 联合分布列为 ?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij, 在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若 ???jiii px|, 则 ??? jiiii pxyYXE|]|[ 为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望. 定义4 设),(YX是连续型二维随机变量,随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX,若 ??????dxyxpx YX)|(|, 则称

数学期望在生活中地应用原文

一、数学期望的定义及性质 (一)数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望(设级数绝对收敛),记为E(X)。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值,称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广,类似加权平均。E(X) = X1*P(X1)+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3,……,Xn 为这几个数据,P(X1),P(X2),P(X3),……,P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中,P(X1),P(X2),P(X3),……,P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi),则:E(X) = X1*P(X1)+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2)+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是:设连续性随机变量X的概率密度函数为f(X),若积分绝对收敛,则称积分的值为随机变量的数学期望,记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分,则称X为连续随机变量,f(X)称为X的概率密度函数(分布密度函数)。能按一定次序一一列出,其值域为一个或若干个有限或无限区间,这样的随机变量称为连续型随机变量。 (二)数学期望的常用性质 1.设X是随机变量,C是常数,则E(CX)=CE(X); 2.设X,Y是任意两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y); 3.设X,Y是相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y)。 对于第一条性质,假设E(X)你的考试成绩,C为你们全班人数,则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望,这很好理解。 对于第二条性质,E(X)为你的考试成绩,E(Y)是小明的考试成绩,你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质,我们一再强调是独立的,也就是相互没有关联,有关联是肯定是不是不等的。

浅谈数学期望

浅谈数学期望 摘要 概率统计是研究随机现象与统计规律的学科,数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个数字特征。虽然随机变量的概率分布能完整地描述随机变量的统计规律,但是在实际问题中,要获得随机变量的概率分布不是一件简单的事情,所以我们往往要知道一些从某些方面刻画随机变量特征的数值,从而也可以清晰地解决实际问题。数学期望则完美地演绎了这一角色。这篇论文主要介绍了数学期望的来源,定义,性质以及应用。让我们更加深刻地认识数学期望应用的广泛性以及对于分析实际问题的重要性。 关键词:概率统计,数学期望,统计规律,应用 Abstract Probability and Statistics is the study of random phenomena and statistical rules and disciplines, mathematical expectation is reflected in the overall average value of a random variable feature a number.Although the probability distribution of the random variable can complete description of the statistical laws of random variables. However, in practical problems, It’s not easy to get the probability distribution of the random variable , so we tend to know some portray in some ways of the numerical characteristics of random variables, which can clearly solve practical problems. Mathematical expectation plays this role perfectly. This paper introduces the mathematical expectation of origin, definition, properties, and applications. Let us deeper understanding that the breadth and application of mathematical expectation for the analysis of the importance of practical problems. Keywords: Probability and Statistics ,mathematical expectation, application 1·一般随机变量的数学期望 1.1引言 数学期望是刻画随机变量平均取值的数字特征,它是一类在概率论中最重要,也是最基本的与随机变量密切相关的数值。虽然它不能像随机变量概率分布那样完整地描述随机变量的统计规律,在实际问题中,利用概率统计知识可以获得合理的决策,但是要求出随机变量的分布函数并不是那么简单。实际上,我们只需要知道随机变量的某些重要特征也可以做出合理的决策,而数学期望则是随机变量中最重要的特征数。近年来,不管是在自然界还是社会生活,数学期望在各种决策中频繁“亮相”,并为决策者作出最优决策提供了重要的理论依据。 1.2数学期望的源来 数学期望源于一个赌博分本的问题。 17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡请教让他困惑许久的了一个摊分赌本的问题:甲乙赌徒相约,用硬币赌博,谁先赢三局就可以获得全部赌本100法郎,当甲赢了两局,乙赢了一局时,由于某些原因被迫停止赌博,问应该怎样分配赌本比较合理? 帕斯卡做出了如下的回答:当甲赢两局乙只赢了一局的时候。最多再玩两局就

概率分布以及期望和方差

概率分布以及期望和方差 上课时间: 上课教师: 上课重点:掌握两点分布、超几何分布、二项分布、正态分布的概率分布及其期望和方差 上课规划:解题技巧和方法 一 两点分布 ⑴两点分布 如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p q 其中01p <<,1q p =-,则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布. 二点分布举例:某次抽查活动中,一件产品合格记为1,不合格记为0,已知产品的合格率为80%,随机变量X 为任意抽取一件产品得到的结果,则X 的分布列满足二点分布. X 1 0 P 0.8 0.2 两点分布又称01-分布,由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验,所以这种分布又称为伯努利分布. (2)典型分布的期望与方差: 二点分布:在一次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为p ,在n 次二点分布试验中,离散型随机变量X 的期望取值为np . 1、在抛掷一枚图钉的随机试验中,令10X ?=? ? ,针尖向上; ,针尖向下.,如果针尖向上的 概率为p ,试写出随机变量X 的概率分布. 2、从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球,用X 表示“取到的 知识内容 典例分析

白球个数”,即???=,当取到红球时, ,当取到白球时, 01X ,求随机变量X 的概率分布. 3、若随机变量X 的概率分布如下: X 1 P 29C C - 38C - 试求出C ,并写出X 的分布列. 3、抛掷一颗骰子两次,定义随机变量 ?? ?=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点 面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点 ξ 试写出随机变量ξ的分布列. 4、篮球运动员比赛投篮,命中得1分,不中得0分,已知运动员甲投篮命中率的概率为P . ⑴ 记投篮1次得分X ,求方差()D X 的最大值; ⑵ 当⑴中()D X 取最大值时,甲投3次篮,求所得总分Y 的分布列及Y 的期望与方差. 二 超几何分布

数学期望在经济生活中的应用

数学期望在经济生活中的应用 【摘要】数学期望是随机变量的重要数字特征之一。本文通过探讨数学期望在决策、利润、委托代理关系、彩票等方面的一些实例,阐述了数学期望在经济和实际问题中的应用。 【关键词】随机变量数学期望经济应用 数学期望(mathematical expectation)简称期望.又称均值,是概率论中一项重要的数字特征.在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用,以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴,切身体会到“数学的确有用”。 一.决策方案问题 决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为:如果知道任一方案A(i=1,2,?,m)在每个影响因素S(j=1.2,?,n)发生的情况下,实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率,则可以比较各个方案的期望盈利,从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。 1.风险方案 假设某公司预计市场的需求将会增长。目前公司的员工都满负荷地工作着.为满足市场需求,公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的办法提高产量。假设公司预测市场需求量增加的概率为P,同时还有1-p的可能市 是合算的。然而现实是不知道哪种情况会出现,因此要比较几种方案获利的 期望大小。用期望值判断,有:E(A 1)=30(1-p)+34p,E(A 2 )=29(1-p)+42p, E(A 3)=25(1-p)+44p。事实上.若p=0.8,则E(A 1 )-33.2(万), E(A 2)=39.4(万),E(A 3 )=40.2(万),于是公司可以决定更新设备,扩大生产。 若p=O.5,则E(A 1)=32(万),E(A 2 )=35.5(万),E(A 3 )=34.5(万),此时公司 可决定采取员工超时工作的应急措施。由此可见,只要市场需求增长可能性在50%以上.公司就应采取一定的措施,以期利润的增长。 2.投资方案 假设某人用10万元进行为期一年的投资.有两种投资方案:一是购买股票:二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济绝势,若经济形势

数学期望和方差的应用

2QQ2±:箜!塑工 -学术-理论现代衾案一 数学期望和方差的应用 陈奕宏张鑫 (武警广州指挥学院广东广州510440) 摘要:本文主要讨论随机变量的数学期望和方差的性质,利用随机变量的对称性可简化求数学期望和方差的计算过程: 关键词:对称性数学期望方差 在教学过程中,由于很多同学对概牢论巾的定义和性质认识不深刻,冈此对概率论巾的问题存在许多认识误区,进一步影响了计算、证明能力。 性质l对随机变量x和y,则有E(nn簟Ⅸ+Ey①性质2设随机变量x和y相互独立,贝咿育层陇n=Ex?Ey②定义l设X是一个随机变量,若EI肛删Iz存在,则称其为X的方差,记为Dx。即 Dx=坦Ix—Ex】2③显然可得:们,-ElX一以】2 =E瞄2—2xEX+(踊2] =麟z一(删):④性质3设随机变量x和y相互独立,则有层孵y:净E孵?Ey2⑤证明:设随机变量X和y的联合分布密度为m砂),|jl《为x和y相互独立,有 “r,y)=^(掌)。,r(y) .’.E(x2y2)=J一。J一。工2y2“r,j,)d膏咖 =eex2y2以(r)厂r(y)如咖 =Cx2^(工)如Cy2加)咖 :Ex2E】,2⑥性质4设随机变量x和l,,n和西为常数,则有E(口X2+6y2)=n露x2+6曰y2(D证明:设随机变量x和l,的联合分布密度为厂(x,j,),则有 E似x2+6y2)=J+。J一。(口工2+6j,2)“r,j,)d_咖 =e仁nx2flx,,Mxdy+e仁b矿fIx,yⅪxdy ,+∞,+∞r十o,+∞ =n\一。\一亭2fIx,如dxd,+b1.。1一。旷fIx,,Ⅺxdy =口f)2【e№j,)dy】dr拍ej,2【C“础)dx协 =口仁量2【e,(Ⅵ)dyJdx柏ej,2【C,(础)dx坳 =n尽2以(r)dy拍D2加)dy =口EX2+西Ey2 掣狮,=∥茗引m,=驴㈣’翟引 求E伍2+y2)。 解:E(x2+y2)=Ex2+Eyz(南公式⑦) =I:一4r3出+炒.12y2(1+y)咖《 性质5设随机变量x和y卡H互独立,则有 D(x的=Dx?Dy+(E幻2?Dl,+(层y)2?Dx⑧ 证明:ODⅨy)=层(xy)2一IE(xy)J2 =E(X2y2)一(EX)2(E】,)2 南公式⑤,所以 D(Xn=EX2Ey2一(EX)2(E”2 =曰x2El,2一(E的2EP+(E的2(El,)2一(E抑2僻y)2 =【层x2一(EX)2】EP+(Ex)2【(E】,)2一(日y)2】 矗剪陋妒+(雕净汗钮曙(联)辚苦帮 =n碰Iy+(EY)2Dy+(Ey)2蹦 显然,若随机变量x和y独立,则可得D(xn>Dx?Dy⑨例设随机变量x和l,相互独立,均服从Ⅳ(O,1)分布,f=x—y,叩=xy,试求1)D叩;2)p£。。 解:1)方法一 OX和y相互独立 .‘.D即=D(xy)=E(xl,)2一【层(x聊】2 =E(r—l,)2一(以E的2 =E舻EP(由公式⑤) =【脚“(E的2】【Dy;(E玢2】=1 方法二 0X和y相互独立 .?.Dq=D(x】,)=似Dy+(E柳2Dy+(目】,)2Dx=l(由公式⑧)2)op。:』业 q厩丽 又OcoV(f,'7)=层【(f—Ef)('7一露77)j =层(x2y)一E(xP)(把f=x—y,’7=xy代人) 曲(南x与r鹃对称性)综上所述,本文主要讨论连续型随机变量的数字特征的性质,结合对随机变量的对称性可解决存概率论巾一些常见的求数[字特征的问题。 参考文献: …盛骤等编概率论与数理统计高等教育出版社2001.12口 现代企业教育MODERNENTERPRISEEDUCATION117 万方数据

数学期望与分布列专题

离散型随机变量的数学期望 称E(X)= 切七+…曲+…7竹为随机变帚K 的均 侑或数学期犁,它反映了离散型随机变最取值的士均 水平. A.丄 B. 1 C. — D.— 18 9 9 20 鱸析由分布列的件质, 可得2x+3x+7x+2x+3r^x=l f 几芹=/. A E(X)=0X2xHX 3E 2 X 7x+3 X 2工+4 X 3JT +5JC 20 =40x= — 9 2.已知某一随机变量占的槪率分布列如F, M 日门= 电3, !(|陆的值为 (C ) J B.6 C. 7 D.B 解析 由分布列性虞知,0?&+O.1+U 0. 4. :? E? 4X0.5+aX0. 1+9X0, 4-6,3, :,a-l. 某中学组建了 A 、B 、C 、D 、E 五个不同 的社团组织,为培养学生的兴趣爱好 必须参加,且只能参加一个社团 ?假定某班级的甲、乙、丙三名学生对这五个社团的选择是 ,要求每个学生

等可能的. (1) 求甲、乙、丙三名学生参加五个社团 的所有选法种数; (2) 求甲、乙、丙三人中至少有两人参加同一社团的 概率; (3) 设随机变量E为甲、乙、丙这三名学生参加A社 团的人数,求E的分布列与数学期望. 有一批产品,其中有12件正品和4件次品,从中任取3件,若E表示取到次品的个 数 E(E )=_ 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者,若用随机变量E 选出的志 表示愿者中女生的人数,则数学期望E(E)=_ 袋中有相同的5个球,其中3个红球,2个黄球,现从中随机且不放回地摸球,每次摸1个,当 两种颜色的球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量E为此时已摸球的次数,求: (1)随机变量E的概率分布列; (2)随机变量E的数学期望与方差

数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质

均值、方差和协方差的定义和基本性质 1 数学期望(均值)的定义和性质 定义:设离散型随机变量X 的分布律为 {}, 1,2,k k P X x p k === 若级数 1k k k x p ∞=∑ 绝对收敛,则称级数1k k k x p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望,记为()E X 。即 ()1k k k E X x p ∞==∑。 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ,若积分 ()xf x dx ∞?∞? 绝对收敛,则称积分 ()xf x dx ∞?∞?的值为随机变量X 的数学期望,记为()E X 。即 ()()E X xf x dx ∞ ?∞=? 数学期望简称期望,又称为均值。 性质:下面给出数学期望的几个重要的性质 (1)设C 是常数,则有()E C C =; (2)设X 是一个随机变量,C 是常数,则有()()E CX CE X =; (3)设X 和Y 是两个随机变量,则有()()()E X Y E X E Y +=+,这一性质可以推 广至任意有限个随机变量之和的情况; (4)设X 和Y 是相互独立的随机变量,则有()()()E XY E X E Y =。 2 方差的定义和性质 定义:设X 是一个随机变量,若(){}2E X E X ?????存在,则称(){}2E X E X ?????为X

的方差,记为()D X 或()Var X ,即 性质:下面给出方差的几个重要性质 (1)设C 是常数,则有()0D C =; (2)设X 是一个随机变量,C 是常数,则有 ()()2D CX C D X =,()()D X C D X +=; (3)设X 和Y 是两个随机变量,则有 ()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++?? 特别地,若X 和Y 相互独立,则有()()()D X Y D X D Y +=+ (4)()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ,即(){}1P X E X ==。 3 协方差的定义和性质 定义:量()(){} E X E X Y E Y ??????????称为随机变量X 与Y 的协方差。记为(),Cov X Y ,即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =?????????? 性质:下面给出协方差的几个重要性质 (1)()(),,Cov X Y Cov Y X = (2)()(),Cov X X D X = (3)()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =? (4)()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 (5)()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献 [1]概率论与数理统计(第四版),浙江大学

数学期望

概率论与数理统计 数学期望在经济中的应用 班级:电子信息工程2班 小组成员:李建辉201208102069 刘廷201208102068 姚立志201208102045 刘卫超201208102057 李艳东201208102064 贾辉201208102081 指导教师:边学军 时间:2013~2014第二学期

数学期望在经济中的应用 [摘要] 文章通过实例介绍了数学期望在减少工作量、选择最优存储量、选择最佳进货量、总利润最大问题等方面的应用,说明了数学期望在经济决策中的重要作用.[关键词] 数学期望经济决策应用 概率论是从数量上研究随机现象统计规律性的学科,而随机变量的分布函数能够全面地反映随机变量的统计规律性.但在诸多的经济管理或决策工作中,一方面由于求出随机变量的分布函数并非易事,而且对于某些实际问题来说,并不需要对随机变量进行全面的描写,只需知道能够反映随机变量的某些重要的数字特征即可.数学期望是反映随机变量总体取值的平均水平的一个重要的数字特征,它在经济决策工作中有着广泛的应用,为决策者做出最优决策提供重要的理论依据。 一、数学期望的概念 定义1(1)设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk,k=1,2,…,若级数绝对收敛,则称级数为离散型随机变量X的数学期望(或均值),记为EX,即。若级数发散,则称随机变量X的数学期望不存在;(2)设连续型机变量X的概率密度函数为f(x),若积分绝对收敛,则称其为连续型随机变量X的数学期望或均值,记为E(X), 定义2设Y为随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数),(1)X是离散型随机变量,分布律为P{X=xk}=pk,k=1,2,…,若级数绝对收敛,则有(2)X是连续型随机变量,概率密度函数为f(x),若积分绝对收敛,则有 二、数学期望的应用 1.期望值问题 例1一商场共有16层楼,设有10位顾客在一层进入电梯,每位乘客在楼上任何一层出电梯是等可能的,且各乘客是否出电梯相互独立,求直到电梯中的乘客出空为止电梯需停次数X的期望值。 解:引入计数随机变量 则有X=X2+X3+…+X16。 由题意,每一个人在任何一层出电梯的概率为1/15,若10个人同时不在第i 层出电梯,那么电梯在该层就不停,而此时的概率为 因此,进而 2.减少工作量 例2某商场对员工(N人)进行体检,其中普查某种疾病需要逐个验血,一般来说,若血样呈阳性,则有此种疾病;呈阴性则无此疾病.逐个验血需要N次,

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