文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 《三角恒等变换章末总结》教师版

《三角恒等变换章末总结》教师版

《三角恒等变换》章末总结

08.10.10

一、教学目的:

对第三章“三角恒等变换”进行章末知识总结,对重点、热点题型进行归纳总结。 二. 重点、难点: 公式的灵活应用 三、知识分析: 1、 本章网络结构

《三角恒等变换章末总结》教师版

tan tan tan 2212ααα

αβ

=

-=←??

《三角恒等变换章末总结》教师版

《三角恒等变换章末总结》教师版

《三角恒等变换章末总结》教师版

《三角恒等变换章末总结》教师版

相除

《三角恒等变换章末总结》教师版

2、要点概述

(1)求值常用的方法:切割化弦法,升幂降幂法,和积互化法,辅助元素法,“1”的代

换法等。

(2)要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如 ()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+,

α3

23

α的半角,

α2

α4

的倍角等。

(3)要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,

正确选用公式,灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。 (4)求值的类型:

①“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系,解题时,要利用观察得到的关系,结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。 ②“给值求值”:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系。 ③“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。

(5)灵活运用角和公式的变形,如:()()2ααβαβ=++-,

()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等,另外重视角的范围对三角函数值的影响,因此

要注意角的范围的讨论。 (6)化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般是“切割化弦”),有时,两种变换并用,有时只用一种,视题而定。

(7)证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法: ①从一边到另一边,②两边等于同一个式子,③作差法。 3、题型归纳

(1)求值题

例1. 已知αππ∈?? ???434,,βπ∈?

? ??

?04,,且cos sin παπβ435541213-?? ???=+?? ???=-

,,求()cos αβ+。

分析:由已知条件求()cos αβ+,应注意到角之间的关系,αβπαπα+=+??

???--?? ?

?

?44,可应用两角差的余弦公式求得。

解:由已知αππ∈??

???434,,得-∈--?? ??

?απ

π344, ∴

,π

απ4

20-∈-?? ?

??

又cos sin παπα435445

-??

???=-?? ?

??=-,∴

由βπ∈??

???

04

,得πβπ

π442+∈?? ???,

又∵sin sin 544πβππβ+??

???=++?? ?????

??

??

=-+?? ?

??=-

sin πβ41213

1354cos 13124sin =

??

?

??+=??? ??+βπβπ∴,∴

由πβπααβ44+??

???--?? ?

?

?=+,得

()cos cos αβπβπα+=+?? ???--?? ?????????4

4

=+?? ???-?? ???++?? ???-?? ?

?

?

=

?

+

?-?? ?

?

?=-

cos cos sin sin πβπαπβπα4444513

35

12

13453365

点评:<1>三角变换是解决已知三角函数值求三角函数值这类题型的关键;

<2>常见角的变换:()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+,,

πππ442

+?? ???+-?? ?

??=

x x 等。 (2)化简题

例2. 化简:

()12

222++-?

?

??

?+sin cos sin

cos

cos ααααα

,其中παπ<<2。

分析:式中有单角α与半角α2

,可用倍角公式把α化为α2

解:原式=

+?? ???-?? ??

?222222242

22

cos

sin cos sin cos cos

α

ααααα

2

cos

cos 2cos 2

cos

2cos

2

sin 2cos

2

cos

22cos 2sin 2sin 2cos 2cos 22

2

α

α

α

αααααααααα·-=

??

? ?

?

-=

??

? ??-??? ??

+=

∵,∴

,∴παππαπα<<<<<222

20cos

∴原式=--=cos

cos cos

cos αααα2

2

·

(3)证明题

例3. 求证:12112

2

--=-+sin cos cos sin tan tan x x x x

x x

分析1:从右端向左端变形,将“切”化为“弦”,逐步化成左边。

证法1:右边=

-

+

=-+11sin cos sin cos cos sin cos sin x

x x x

x x x x ()

()()

=

--+=+--=

--=cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x x x x x x x

x x

x x x x

2

2

2

2

2

2

2212左边

∴原命题成立

分析2:由12-sin cos x x 配方,得()cos sin x x -2

。将左边约分,达到化简的目的。

证法2:左边=+--sin cos sin cos cos sin 2

2

2

2

2x x x x

x x

()

=

--=

-+=

-+=cos sin cos sin cos sin cos sin tan tan x x x x x x x x x x

2

2

2

11右边

∴原命题成立

分析3:代数证明中的作差法也适用于三角证明。

证明3:左-右()

=

---

-+cos sin cos sin tan tan x x x x

x x

2

2

2

11

=

-+-

-+=-+--+=cos sin cos sin tan tan tan tan tan tan x x

x x x

x

x x x x

1111110

∴左=右

∴原式成立

(4)与向量、三角形等有关的综合题

例4. 平面直角坐标系内有点()()

P x Q x x 1144,,,,,cos cos ∈-?

???

??π

π。

(1)求向量O P →

与O Q →的夹角θ的余弦;

(2)求cos θ的最值。

解析:(1)∵O P O Q x O P O Q x →→=→→

=+·,212cos ||||cos

∴·cos ||||

cos cos θ=→→

→→=+O P O Q O P O Q x

x

212

(2)cos ()cos cos cos cos θ==

+=

+

f x x x

x x

21212

∵,,∴,x x ∈-??????∈?????

π44221cos

又∵21322≤+

cos cos x x

223

1≤≤f x (),即223

1≤≤cos θ

∴,cos cos m in m ax θθ=

=223

1

【模拟试题】

一. 选择题(每小题4分,共48分) 1.

sin cos sin cos 15151515

o

o o o

+-的值为( )

A.

33

B.

26

4

+ C.

26

4

- D. -3

2.

12

32

cos sin αα-

可化为( )

A. sin πα6-??

?

??

B. sin πα3-??

?

??

C. sin πα6+??

?

?

?

D. sin πα3+??

?

?

? 3. 若αβπ、,

∈?

?

?

??02

,且tan tan αβ==4317,,则αβ-的值是( ) A. π3

B.

π4

C.

π6

D.

π8

4. 函数y x x x =82sin cos cos 的周期为T ,最大值为A ,则( ) A. T A ==π,4 B. T A ==π24,

C. T A ==π,2

D. T A =

=π2

2,

5. 已知111cos sin α

α

-

=,则sin 2α的值为( )

A. 21-

B. 12-

C. 222-

D. 222-

6. 已知tan θ=13

,则cos sin 2

12

2θθ+( )

A. -

65

B. -

45

C.

45

D.

65

7. 设f x x (tan )tan =2,则f ()2=( )

A. 4

B.

45

C. -

23

D. -

43

8. 2242

-+sin cos 的值是( )

A. sin 2

B. -cos 2

C. -32cos

D. 32cos

9. 在△ABC 中,若2cos sin sin B A C =,则△ABC 的形状一定是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形

10. 要使斜边一定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是( )

A. 30°

B. 45°

C. 60°

D. 正弦值为

13

的锐角

11. 已知向量()OB →=20,,向量()OC →=22,,向量(

)

CA →

=22cos sin αα,,则向

量O A →

与OB →的夹角范围为( )

A. 04,

π?

?

?

??

? B.

π

π4512,??

???? C.

5122π

π,?????

? D.

π

π12512,?????

? 12. 已知:()3250cos cos αββ++=,则()tan tan αβα+的值为( ) A. ±4 B. 4 C. -4

D. 1

二. 填空题(每小题3分,共12分) 13. 已知sin cos αα+=

13

,则cos 4α=_____________。

14. 函数y x x x =-+2212sin cos sin 的最小正周期为_____________。 15. 已知αβπ+=

6

,且αβ、满足关系式()3230tan tan tan tan αβαβ+++=a ,则

tan α=_____________。

16. 已知f x x x

()=

-+11。若αππ∈??

?

?

?2,,则f f (cos )(cos )αα+-可化简为 _____________。

三. 解答题(每小题10分,共40分)

17. 求值:tan cos (tan )70103201o o o ·- 18. 已知函数f x x x x ()sin sin cos =++

2

312

(1)求函数f x ()的最小正周期;

(2)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x 的集合;

(3)求函数的单调区间,并指出在每一个区间上函数的单调性。

19. 若已知cos πππ435171274

+?? ?

??=<<

x x ,,求sin sin tan 2212

x x x +-的值。 20. 已知α、β为锐角,且3213222022

sin sin sin sin αβαβ+=-=,。

求证:αβπ+=

22

[参考答案]

一. 选择题: 1. D 2. A 3. B 4. D 5. C 6. D 7. D 8. C 9. A 10. B 11. D 12. C

二. 填空题: 13. -

4781

14. π 15. ()31+a

16. 2sin α

三. 解答题:

17. 解:原式=-?

?

?

?

?sin cos cos sin cos 70

701032020

1o

o

o

o

o

·

(

)

=-=

-

=-=

-=

-=-310107070

3101020

21010

32020

210

20302030

10

2030

10

1

cos cos sin cos cos cos cos sin cos sin cos sin sin cos cos sin sin sin sin o

o

o o o

o

o o o

o

o

o o

o

o

o

o o

o

·

····

18. 解:f x x

x ()cos sin =-++122

32

212

=

-

+=-?

? ??

?+32

212

21

261

sin cos sin x x x π

(1)T =

==222πω

ππ

(2)当()2622

x k k Z -

=+

∈πππ

即x x x k k Z ∈=+

∈???

?

??

|ππ

3,时,f x ()max =2 当()26

22

x k k Z -

=-

∈πππ

即x x x k k Z ∈=-

∈???

?

??

|ππ

6,时,f x ()min =0

(3)当()22

26

22

k x k k Z πππππ-≤-

≤+

即()k x k k Z ππππ-

≤≤+∈6

3

时,f x ()单调递增。 当()2226

232

k x k k Z πππππ+≤-

≤+∈

即()k x k k

Z ππππ+

≤≤+

∈3

56

时,f x ()单调递减。

故f x ()的单调递增区间为()k k k Z ππππ-

+

??

?

?

??∈63,

f x ()的单调递减区间为()k k k Z ππππ+

+

??

?

?

?

?∈3

5

6, 19. 解法1:∵,cos ππππ435171274

+??

?

??=<<

x ∴

35

42ππ

π<

+

+?? ?

??=-x

从而cos cos x x =+?? ?

??-????

??π

π4

4 =+?? ???++?? ?

??=

?+-?? ?

???=-

cos cos sin sin

ππππ4444

35

2

24522

210

x x

∴,sin cos tan x x x =--=-

=17210

72

故原式=

+-2212

sin cos sin tan x x x x

=

?-?? ????-?? ???+?-??

???

-=-

272102102721017

2875

2

解法2:原式=

+-2212

sin cos sin tan x x x

x

()

=

+-=+?? ?

?

?

21124sin cos tan tan sin tan x x x x

x x π

,∴

1712

74534

2πππππ<<<+

又cos sin ππ435445

+??

???=+?? ?

??=-x x ,∴

即tan π443

+??

?

??=-x

则sin sin 224

2x x =+?? ?

??-????

??π

π

25

714cos 242cos 2=

??????-??? ??+-=?

?

?

??+-=x x π

π

故原式=

?-?? ?

??=-

7

25432875 20. 证法1:由已知32122sin sin αβ+=

32220

3122232

2322

sin sin sin sin cos sin sin sin cos αβαβββααα

-==-==

=∴ ()∴··cos cos cos sin sin cos sin sin sin cos αβαβαβ

ααααα+=-=-=222330

2

∵α、β为锐角,∴0232

<+<

αβπ

∴αβπ+=

22

证法2:由已知条件得:

3213222

sin cos sin cos sin αβααβ

=<>=<>

又∵α、β为锐角 ∴απβ=-2

2,即αβπ+=22