1.函数的概念讲义答案版
1.函数
1.1函数的定义
例1．下列图形中不是函数图象的是（）
A．B．
C．D．
【解答】解：由函数的概念，A中有的x，存在两个y与x对应，
不符合函数的定义，
而CBD均符合．
故选：A．
变式1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数关系的图象是（）
A．①②B．③④C．②③D．①④
【解答】解：由题意知：M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，
对于图①中，在集合M中区间（1，2]内的元素没有象，比如f（）的值就不存在，所以图①不符合题意；
对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；
对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确；
对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x＝1时，有两个y值与
之对应，不符合函数的定义，故④不正确
故选：C．
例2．设函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（x）+1，则函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能是（）
A．0B．1C．0或无数个D．无数个
【解答】解：∵f（x+1）＝f（x）+1，
∴f（x+1）﹣f（x）]＝（x+1）﹣x，
∴＝1，
即该函数的斜率为1，而y＝x的斜率也为1，
∴两直线平行或重合，
∴函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能没有交点或有无数个，
故选：C．
变式1．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数为（）
A．0个B．1个C．2个D．0个或者2个【解答】解：∵1∈[﹣2，2]，
∴由函数的定义可得：函数f（x）在定义域[﹣2，2]上，任一x均有唯一的函数值与之对应，
则在同一坐标系中，y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点的个数为1个．
故选：B．
1.2 同一函数的判断
例3．下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同的函数的是（）
A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgx
B．f（x）＝x，g（x）＝
C．f（x）＝1（x∈R且x≠0），g（x）＝
D．f（x）＝x，g（x）＝
【解答】解：A．f（x）＝lgx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lgx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；
B.，解析式不同，不是相同函数；
C．f（x）＝1（x∈R，且x≠0），，解析式不同，不是相同函数；
D．f（x）＝x的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，是相同函数．
故选：D．
变式1．下列各组函数表示相同函数的是（）
A．f（x）＝，g（x）＝（）2
B．f（x）＝1，g（x）＝x0
C．f（x）＝，g（x）＝
D．f（x）＝x+1，g（x）＝
【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝|x|（x∈R）与g（x）＝＝x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是相同函数；
对于B，函数f（x）＝1|（x∈R）与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，所以不是相同函数；
对于C，函数f（x）＝与g（x）＝＝|x|＝的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同函数；
对于D，函数f（x）＝x+1（x∈R）与g（x）＝＝x+1（x≠1）的定义域不同，所以不是相同函数．
故选：C．
变式2．下列各组函数中，f（x）与g（x）是相同函数的是（e为自然对数的底数）（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2
B．f（x）＝，g（x）＝x
C．f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnx
D．f（x）＝e x﹣1?e x+1，g（x）＝e2x
【解答】解：A.的定义域为R，的定义域为{x|x≥0}，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；
B.的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x的定义域为R，∴f（x）与g（x）不相同，
即该选项错误；
C．f（x）＝lnx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lnx的定义域为{x|x＞0}，∴该选项错误；
D．f（x）＝e x﹣1?e x+1＝e2x，g（x）＝e2x，f（x）与g（x）的定义域都是R，且解析式相同，∴f（x）与g（x）相同，∴该选项正确．
故选：D．
变式3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）
A．f（x）＝g（x）＝
B．f（x）＝g（x）＝
C．f（x）＝x2﹣2x﹣1 g（t）＝t2﹣2t﹣1
D．f（x）＝g（x）＝x
【解答】解：f（x）＝的定义域是R，g（x）＝的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．
f（x）＝的定义域是x≥0，g（x）＝的定义域是x≤﹣1或x≥0，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，所以B不正确．
f（x）＝x2﹣2x﹣1的定义域是R，g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域是R，两个函数的对应法则相同，所以是相同函数，所以C正确．
f（x）＝的定义域是R，g（x）＝x的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．
故选：C．
1.3 同族函数的判断
例4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）
A．7个B．8个C．9个D．10个
【解答】解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，
函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}时，
它的定义域可以是{1，2}{1，﹣2}{﹣1，2}{﹣1，﹣2}{1，﹣1，2}{1，﹣1，﹣2}{1，2，﹣2}{﹣1，2，﹣2}{1，﹣1，2，﹣2}
共有9种不同的情况，
故选：C．
变式1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝﹣x2，值域为{﹣1，﹣9}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个
【解答】解：定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有﹣1、1中的一个和﹣3、3中的一个，
满足条件的定义有：{﹣1，﹣3}、{﹣1，3}、{1，﹣3}、{1，3}、{﹣1，1，﹣3}、{﹣1，1，3}、{﹣1，﹣3，3}、{1，﹣3，3}、{﹣1，1，﹣3，3}，共9个．
故选：C．
变式2．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：
①f（x）＝sin x cos x；
②f（x）＝sin2x+1；
③f（x）＝2sin（x+）；
④f（x）＝sin x+cos x．
其中“同簇函数”的是（）
A．①②B．①④C．②③D．③④
【解答】解：由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与②f（x）＝sin2x+1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．
由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与④f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．
②f（x）＝sin2x+1与③f（x）＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须
经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．
由于④f（x）＝sin x+cos x＝2（sin x+cos x）＝2sin（x+），
故把③f（x）＝2sin（x+）的图象向左平移，可得f（x）＝2sin（x+）的图象，故③和④是“同簇函数”，
故选：D．
变式3．函数f：{1，}→{1，}满足f[f（x）]＞1的这样的函数个数有个．【解答】解：若函数f（x）满足，f（1）＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．
若函数f（x）满足f（1）＝，，则当x＝1时，f[f（1）]＝＞1；当x＝时，f[f（）]＝＞1；所以此时满足条件．
若函数f（x）满足，f（1）＝1，，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．
若函数f（x）满足，f（1）＝，＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝＝1，所以此时不满足条件．
所以满足条件的函数只有一个．
故答案为：1
变式4．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有个．
【解答】解：如下图，可知满足条件的函数共10个，
故答案为：10．
变式5．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）
A．y＝x B．C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝log0.5x
【解答】解：对于B，函数与函数满足解析式和值域相同，定义域不同，是同族函数；
对于ACD，它们在定义域上具有严格的单调性，当定义域不同时，其值域一定不同，故不是同族函数；
故选：B．
1.4 函数的定义域
例5．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]
C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]
【解答】解：要使函数有意义，则，
即，
＞0等价为①即，即x＞3，
②，即，此时2＜x＜3，
即2＜x＜3或x＞3，
∵﹣4≤x≤4，
∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，
即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，
故选：C．
变式1．函数f（x）＝log a（x2+2x﹣3）的定义域是（）
A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）
C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3[∪[1，+∞）【解答】解：函数，
则x2+2x﹣3＞0，
即（x+3）（x﹣1）＞0，
解得x＜﹣3或x＞1，
所以f（x）的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．
故选：C．
变式2．若，则函数f（x）的定义域为（）A．B．（0，+∞）C．D．
【解答】解：的定义域为：
{x|}，即{x|}，
解得{x|﹣＜x＜0}．
故选：C．
变式3．函数y＝log2x﹣1的定义域是（，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意得：
，解得：x＞且x≠1，
故答案为：（，1）∪（1，+∞）．
例6．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，B．（﹣∞，C．，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）的定义域为R，
∴x2+x+a≥0的解集为R，
∴△＝1﹣4a≤0，解得，
∴实数a的取值范围是．
故选：C．
变式1．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）
A．（0，4）B．[0，2）C．[0，4）D．（2，4]
【解答】解：∵f（x）的定义域为R；
∴ax2+ax+1＞0的解集为R；
①a＝0时，1＞0恒成立，ax2+ax+1＞0的解集为R；
②a≠0时，则；
解得0＜a＜4；
∴综上得，实数a的取值范围是[0，4）．
故选：C．
变式2．已知f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．
（1）函数的定义域为R，求a的取值范围，
（2）函数值域为R，求a的取值范围．
【解答】解：（1）∵f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
ax2﹣ax﹣1＞0，△＝a2+4a，∵定义域为R．
∴△＜0，解得﹣4＜a＜0．
综上a∈?
（2）∵函数f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1），且f（x）的值域为R，
根据对数的性质，可知当ax2﹣ax﹣1取遍所有大于0的值时，f（x）的值域为R，
∵a＞0，则y＝ax2﹣ax﹣1的图象开口向上，
∴△＝a2+4a≥0，即a≤﹣4或a≥0，
又a＞0，
∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．
故a的取值范围为：（0，1）∪（1，+∞）．
变式3．已知f（x）＝lg（ax2﹣2x+1）．
（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；
（2）如f（x）的值域为R，求a的取值范围；
（3）若f（x）在x∈[2，3]时有意义，且f（x）的最大值与最小值的差等于1，求a的值．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，
∴ax2﹣2x+1＞0恒成立．
当a＝0时，显然不成立．
当a≠0时，应有a＞0且△＝4﹣4a＜0，
解得a＞1．
故a的取值范围为：a＞1，
（2）若函数的值域为R，则ax2﹣2x+1能取遍所有的正数，图象不能在x轴上方
∴或a＝0
解得：0≤a≤1，
故a的取值范围为[0，1]；
（3）在x∈[2，3]时，ax2﹣2x+1＞0成立，∴a＞﹣（﹣1）2+1成立，∴a＞，
∵f（2）＝lg（4a﹣3），f（3）＝lg（9a﹣5），f（）＝lg（1﹣），f（x）的最大值与最小值的差等于1．
∴|f（2）﹣f（3）|＝1或|f（2）﹣f（）|＝1或|f（3）﹣f（）|＝1，
∴a＝．
例7．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]
【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，
∴由，解得﹣1≤x≤1．
∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．
故选：C．
变式1．已知函数f（x）满足f（x+1）的定义域是[0，31），则f（2x）的定义域是（）A．[1，32）B．[﹣1，30）
C．[0，5）D．（﹣∞，log230）
【解答】解：∵f（x+1）的定义域是[0，31），即0≤x＜31，∴1≤x+1＜32，
∴f（x）有意义须1≤x＜32，
∴f（2x）有意义须20＝1≤2x＜32＝25，得0≤x＜5．
即f（2x）的定义域是[0，5）．
故选：C．
变式2．设函数f（2x）的定义域是[2，4]，则函数的定义域为（）A．[1，2]B．C．[2，8]D．[8，32]
【解答】解：∵函数f（2x）的定义域是[2，4]，
∴4≤2x≤16，
∴4≤≤16，
则函数的定义域为[8，32]，
故选：D．
1.5 函数的值
例6．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值为（）
A．1B．2C．0D．
【解答】解：∵函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），
∴f（3）＝1，∴f（）＝f（1）＝2，
故选：B．
变式1．设f（x）＝g（x）＝则f[g（π）]的值为（）A．2B．0C．﹣1D．﹣2
【解答】解：∵f（x）＝g（x）＝，
∴g（π）＝﹣1，
f[g（π）]＝f（﹣1）＝﹣2．
故选：D．
2.函数解析式求法
2.1 待定系数法
例1．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]＝4x+8，则f（x）＝（）A．B．﹣2x﹣8
C．2x﹣8D．或﹣2x﹣8
【解答】解：设f（x）＝ax+b，a＞0
∴f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝4x+8，
∴，
∴，
∴f（x）＝2x+．
故选：A．
变式1. 若一次函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，则f（x）的解析式【解答】解：由题意设f（x）＝ax+b，（a≠0）．
∵f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，
∴ax+b+2[a（1﹣x）+b]＝x，
化为﹣ax+（2a+3b）＝x，
∴﹣a＝1且2a+3b＝0，
解得a＝﹣1，b＝，
∴f（x）＝﹣x+．
变式2．已知f（x）为二次函数且f（0）＝3，f（x+2）﹣f（x）＝4x+2．求f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为二次函数，
∴设f（x）＝ax2+bx+c，
∵f（0）＝c，
∴c＝3，
则f（x）＝ax2+bx+3，
又∵f（x+2）﹣f（x）＝4x+2，
∴a（x+2）2+b（x+2）+3﹣ax2﹣bx﹣3＝4x+2，
即4ax+4a+2b＝4x+2，
则，即，
即f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣x+3．
2.2 方程组法
例2．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，则f（1）﹣g（1）＝（）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【解答】解：由f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，
将所有x替换成﹣x，得
f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣x3﹣x2+1，
根据f（x）＝f（﹣x），g（﹣x）＝﹣g（x），得
f（x）﹣g（x）＝﹣x3﹣x2+1，
再令x＝1，计算得，
f（1）﹣g（1）＝﹣1．
故选：B．
变式1．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）＝e x，试比较f（3），g（0），f（2）三数的大小：g（0）＜f（2）＜f（3）．
【解答】解：由函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数
得：f（﹣x）＝﹣f（x）；g（﹣x）＝g（x）
∵f（x）﹣g（x）＝e x，①
∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，②
∴﹣f（x）﹣g（x）＝e﹣x③
∴由①②③得：，
，，g（0）＝﹣1，
f（x）递增，f（2），f（3）＞0，e2＜e3，即有f（2）＜f（3），
∴g（0）＜f（2）＜f（3）
故答案为：g（0）＜f（2）＜f（3）
变式2. 已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x．
【解答】解：已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x…①，
2f（）+f（x）＝…②，
2×①﹣②可得：3f（x）＝6x﹣，
解得f（x）＝2x﹣．
变式3. 定义在（﹣1，1）内的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1），求函数f（x）的解析式．
【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1）①，
以﹣x代x有：2f（﹣x）﹣f（x）＝lg（﹣x+1）②；
由①、②联立，消去f（﹣x），得
f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）；
∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）．
2.3 坐标转移法
例3．已知函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则（）A．f（2x）＝e2x（x∈R）B．f（2x）＝ln2?lnx（x＞0）
C．f（2x）＝2e x（x∈R）D．f（2x）＝lnx+ln2（x＞0）
【解答】解：函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝e x的反函数，即f（x）＝lnx，
∴f（2x）＝ln2x＝lnx+ln2（x＞0），
选D．
变式1．与函数y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）的曲线关于直线y＝x对称的曲线的方程为（）A．B．C．D．
【解答】解：由题意
∵y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）?（e x﹣1）2＝y
∵x≥0，∴e x≥1，即e x＝1+∴x＝ln（1+），
所以
故选：A．
2.4 换元法配凑法
例4. 已知f（x+）＝x2+，求f（x）的解析式；
【解答】解：∵f（x+）＝x2+＝﹣2，
∴f（x）＝x2﹣2，且x≥2或x≤﹣2，
∴f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣2（其中x≥2或x≤﹣2）；
变式1. 已知f（+1）＝lgx，求f（x）的解析式；
【解答】解：设+1＝t，则x＝，代入函数解析式，
得f（t）＝lg，
又∵x＞0，所以t＞1；
∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（其中x＞1）；
变式2. 已知f（+1）＝x+2，求f（x）．
【解答】解：∵f（+1）＝x+2＝（+1）2﹣1
∴f（x）＝x2﹣1，x≥1
变式3. 已知x≠0时，函数f（x）满足f（）＝x2+；
【解答】解：设，t≠1可得1﹣，即，可得x＝，
f（t）＝，
∴f（x）＝，x≠1．
2.5 赋值法
例5．设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意实数x，y，有f（x﹣y）＝f （x）﹣y（2x﹣y+1），求f（x）的解析式．
【解答】解：由题意，令x＝y得，
f（0）＝f（x）﹣x（2x﹣x+1），
则f（x）＝x（x+1）+1．
3 常见的求值域的方法
3.1 数形结合求值域
例1．函数y＝的值域为[﹣4，+∞）．
【解答】解：（1）x≤0时，y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4；
∴y≥﹣4；
（2）x＞0时，y＝3x＞0；
∴原函数的值域为[﹣4，+∞）．
故答案为：[﹣4，+∞）．
变式1．求函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的值域．
【解答】解：由y＝|x﹣1|+|x﹣3|＝．
作出y的图象：
从图不难看出：函数y的值域为[2，+∞）．
变式2．设函数，则下列结论错误的是（）
A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数
C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数
【解答】解：A显然正确；
∵＝D（x），
∴D（x）是偶函数，
B正确；
∵D（x+1）＝＝D（x），
∴T＝1为其一个周期，
故C错误；
∵D（）＝0，D（2）＝1，D（）＝0，
显然函数D（x）不是单调函数，
故D正确；
故选：C．
变式3．“[x]”表示不超过实数x的最大的整数，如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣2.3]＝﹣3，又记{x}＝x﹣[x]，已知函数f（x）＝[x]﹣{x}，x∈R，给出以下命题：
①f（x）的值域为R；
②f（x）在区间[k，k+1]，k∈Z上单调递减；
③f（x）的图象关于点（1，0）中心对称；
④函数|f（x）|为偶函数．
其中所有正确命题的序号是①（将所有正确命题序号填上）
【解答】解：由题意，f（x）＝[x]﹣{x}＝[x]﹣{x﹣[x]}＝2[x]﹣x．
作出函数f（x）＝2[x]﹣x的图象如图，
由图可知，f（x）的值域为R，故①正确；
f（x）在区间[k，k+1），k∈Z上单调递减，故②错误；
f（x）的图象不关于点（1，0）中心对称，故③错误；
函数|f（x）|不是偶函数，故④错误．
∴正确命题的序号为①．
故答案为：①．
变式4．给出定义：若m﹣＜x≤m+，（其中m为整数），则m叫作离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m，在此基础上，给出下列关于函数f（x）＝|{x}﹣x|的命题：
①函数f（x）的定义域是R，值域是[﹣，]；
②函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；
③函数y＝f（x）的图象关于原点对称；
④函数y＝f（x）在[﹣，]上是增函数；
其中说法正确的是②．
【解答】解：①∵，∴，∴．即0≤|{x}﹣x|；
∴f（x）的值域是：，∴①错误；
②当时，，∴{﹣x}＝﹣m；
f（﹣x）＝|{﹣x}+x|＝|﹣m+x|＝|m﹣x|＝|{x}﹣x|＝f（x）；
当x＝时，{﹣x}＝{﹣m﹣}＝﹣m﹣1，∴f（﹣x）＝|﹣m﹣1﹣（﹣m﹣）|＝＝
＝f（x）；
∴综上得f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，∴②正确；
③由②知f（﹣x）＝f（x），∴点（﹣x，f（x）），与（x，f（x））不关于原点对称；
所以f（x）图象不关于原点对称，∴③错误；
④f（）＝f（），即，而，∴f（x）在上
不是增函数，∴④错误；
∴说法正确的是②．
故答案为：②．
变式5．已知a，b∈R，定义运算“?”：，设函数f（x）＝（2x?2）﹣（1?log2x），x∈（0，2），
则f（1）＝1，f（x）的值域为[1，3）．
【解答】解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f （x）∈[1，3），
故答案分别为：1，[1，3）
变式6．函数的值域为R，则实数a的范围（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．
【解答】解：当x≥1时，y＝lnx≥0，
当1﹣2a＝0，即a＝时，当x＜1时，f（x）＝，不满足f（x）的值域为R，
当1﹣2a＜0，即a＞时，当x＜1时，f（x）＞1+a，不满足f（x）的值域为R，
当1﹣2a＞0，即a＜时，当x＜1时，f（x）＜1+a，
要使满足f（x）的值域为R，
则1+a≥0，即a≥﹣1，
综上﹣1≤a＜，
故选：C．
3.2 换元法求值域
例2．已知函数f（x）＝2+x，其中1≤x≤9，求函数y＝[f（x）]2+f（x）的最大值和最小值，并求出相应x的值．
【解答】解：∵f（x）＝2+x，且1≤x≤9，
∴y＝[f（x）]2+f（x）＝（2+x）2+（2+x）＝x2+5x+6，（1≤x≤9），
函数y＝x2+5x+6图象关于直线对称，
即有函数y＝x2+5x+6在区间[1，9]上是单调递增函数，
当x＝1时，函数y＝x2+5x+6取最小值，最小值为12；
当x＝9时，函数y＝x2+5x+6取最大值，最小值为132．
即有x＝1时，函数y＝[f（x）]2+f（x）取得最小值12；
x＝9时，y＝[f（x）]2+f（x）取得最大值132．
变式1．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）＝f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．
【解答】解：∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），
∴，即1≤x≤2，
∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），
g（x）＝f2（x）+f（x2）＝（1+log2x）2+1+2log2x，
∴g（x）＝（log2x）2+4log2x+2，1≤x≤2
设t＝log2x，则h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，
∵对称轴t＝﹣2，h（t）在[0，1]为增函数，
则g（x）的最小值为h（0）＝2，最大值为h（1）＝7．
变式2．求函数的值域.
【解答】解：设（t≥0），x＝t2+1，则y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2（t≥0），∵t≥0，
∴t+1≥1，
∴（t+1）2+2≥3，
人教版高一数学必修一第一章 集合与函数概念知识点
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集
集合与函数概念单元测试题_有答案
高一数学集合与函数测试题 一、 选择题（每题5分，共60分） 1、下列各组对象：○12008年北京奥运会上所有的比赛项目；○2《高中数学》必修1中的所有难题；○3所有质数；○4平面上到点(1,1)的距离等于5的点的全体；○5在数轴上与原点O 非常近的点。其中能构成集合的有（ ） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 2、下列集合中与集合{21,}x x k k N +=+∈不相等的是（ ） A ．{23,}x x k k N =+∈ B ．{41,}x x k k N +=±∈ C ．{21,}x x k k N =+∈ D ．{23,3,}x x k k k Z =-≥∈ 3、设221()1x f x x -=+，则(2)1()2 f f 等于（ ） A ．1 B ．1- C ．35 D ．35- 4、已知集合2{40}A x x =-=，集合{1}B x ax ==，若B A ?，则实数a 的值是（ ） A ．0 B ．12± C ．0或12± D ．0或12 5、已知集合{(,)2}A x y x y =+=，{(,)4}B x y x y =-=，则A B =I （ ） A ．{3,1}x y ==- B ．(3,1)- C ．{3,1}- D ．{(3,1)}- 6、下列各组函数)()(x g x f 与的图象相同的是（ ） （A ）2)()(,)(x x g x x f == （B ）22)1()(,)(+==x x g x x f （C ）0)(,1)(x x g x f == （D ）???-==x x x g x x f )(|,|)( )0()0(<≥x x 7、是定义在上的增函数,则不等式的解集
第一章集合与函数概念(教师用书)
第一章集合与函数概念 §1.1集合 1.1.1 集合的含义与表示（一） 1．体验由实例分析探究集合中元素的特性的过程，了解集合的含义以及集合中元素的特性，培养自己的抽象、概括能力． 2．掌握“属于”关系的意义，知道常用数集及其记法，初步体会集合语言和符号语言表示数学内容的简洁性和准确性． 1．元素与集合的概念 (1)把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母表示． (2)把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母表示． 2．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性． 3．集合相等：只有构成两个集合的元素是一样的，才说这两个集合是相等的． 4．元素与集合的关系 (1)如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. (2)如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A. 5．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母R、Q、Z、N、N*或N＋来表示．
对点讲练 集合的概念 【例1】考查下列每组对象能否构成一个集合： (1)著名的数学家；(2)某校2007年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x2－9＝0在实数范围内的解； (5)直角坐标平面内第一象限的一些点；(6)3的近似值的全体． 解(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合；类似地，(2)也不能构成集合；(3)任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x≤20”与“x>20或x<0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；类似地，(4)也能构成集合；(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(6)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以(6)不能构成集合． 规律方法判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性． 变式迁移1 下列给出的对象中，能构成集合的是() A．高个子的人B．很大的数C．聪明的人D．小于3的实数 答案 D
集合与函数概念单元测试题(含答案)
新课标数学必修1第一章集合与函数概念测试题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111+=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =?????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150) 5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(122≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ）
第04讲-函数的概念(讲义版)
第04讲函数的概念 一、考情分析 1.了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域； 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用； 3.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 二、知识梳理 1.函数的概念 设A，B是两个非空数集，如果按照确定的法则f，对A中的任意数x，都有唯一确定的数y与它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2.函数的定义域、值域 (1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域. (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数. (2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. [微点提醒] 1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点. 2.分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论. 三、经典例题 考点一求函数的定义域 【例1-2】函数y＝1－x2＋log2(tan x－1)的定义域为________；
【解析】 (1)要使函数y ＝1－x 2＋log 2(tan x －1)有意义，则1－x 2≥0，tan x －1>0，且x ≠k π＋π 2(k ∈Z ). ∴－1≤x ≤1且π4＋k π
高中数学第一章集合与函数概念知识点
高中数学第一章集合与函数概念知识点 〖1.1〗集合 【1.1.1】集合的含义与表示 （1）集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法 表示正整数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，N表示自然数集，N*或N + R表示实数集. （3）集合与元素间的关系 ?，两者必居其一. ∈，或者a M 对象a与集合M的关系是a M （4）集合的表示法 ①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集(?). 【1.1.2】集合间的基本关系 （6）子集、真子集、集合相等
（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有 21n -个非空子集，它有22n -非空真子集. （8）交集、并集、补集 【1.1.3】集合的基本运算
【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法 （2）一元二次不等式的解法 0) 〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念 （1）函数的概念
①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →． ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则． ③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足 ,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须 a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2 x k k Z π π≠+ ∈． ⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域
集合与函数概念单元测试题(含答案)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）。 1．用描述法表示一元二次方程的全体，应是 （ ） A ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ｝ B ．｛x ｜ax 2+bx +c =0，a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ C ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ｝ D ．｛ax 2+bx +c =0｜a ，b ，c ∈R ，且a ≠0｝ 2．图中阴影部分所表示的集合是（ ） ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 3．设集合P=｛立方后等于自身的数｝，那么集合P 的真子集个数是 （ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8 4．设P=｛质数｝，Q=｛偶数｝，则P ∩Q 等于 （ ） A ． B ．2 C ．｛2｝ D ．N 5．设函数x y 111 +=的定义域为M ，值域为N ，那么 （ ） A ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ≠0｝ B ．M=｛x ｜x ＜0且x ≠－1，或x ＞0}，N={y ｜y ＜0，或0＜y ＜1，或y ＞1} C ．M=｛x ｜x ≠0｝，N=｛y ｜y ∈R ｝ D ．M=｛x ｜x ＜－1，或－1＜x ＜0，或x ＞0＝，N=｛y ｜y ≠0｝ 6．已知A 、B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地，把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t （小时）的函数表达式是 （ ） A ．x =60t B ．x =60t +50t C ．x =???>-≤≤)5.3(,50150)5.20(,60t t t t D ．x =? ????≤<--≤<≤≤)5.65.3(),5.3(50150)5.35.2(,150)5.20(,60t t t t t 7．已知g (x )=1-2x,f [g (x )]=)0(12 2≠-x x x ,则f (21)等于 （ ） A ．1 B ．3 C ．15 D ．30 8．函数y=x x ++-1912是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶数
高三复习 高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质
高中数学复习讲义 第一课时函数概念及其性质 第1课 函数的概念 【基础练习】 1． 设有函数组：①y x = ，y = y x = ，y = ；③y ，y = ；④1(0),1 (0), x y x >?=?-
(3) ()1f x x =+，(1,2]x ∈． 值域是(2,3]． 【范例解析】 例 1.设有函数组：①21 ()1 x f x x -=-，()1g x x =+； ②()f x = ， ()g x = ③()f x =()1g x x =-；④()21f x x =-，()21g t t =-．其中表示同一个函数的有 ． 例2.求下列函数的定义域：① 12y x =+- ② ()f x = 例3.求下列函数的值域： （1）242y x x =-+-，[0,3)x ∈； （2）2 2 1 x y x =+()x R ∈； （3 ）y x =- 【反馈演练】 1．函数f (x )＝x 21-的定义域是___________． 2．函数) 34(log 1 )(2 2-+-= x x x f 的定义域为_________________． 3. 函数2 1 ()1y x R x = ∈+的值域为________________． 4. 函数23y x =-+_____________． 5．函数)34(log 25.0x x y -= 的定义域为_____________________． 6.记函数f (x )=1 3 2++- x x 的定义域为A ，g (x )=lg [(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B ． (1) 求A ； (2) 若B ?A ，求实数a 的取值范围．
集合与函数概念单元测试
集合与函数概念单元测试 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2、已知函数x x f -=21)(的定义域为M ，2)(+=x x g 的定义域为N ，则=?N M A.{}2-≥x x B.{}2
10.已知函数212x y x ?+=?-? (0)(0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52- C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 11.下列四个函数中，在（0，∞）上为增函数的是 （A ）f （x ）＝3－x （B ）f （x ）＝x 2－3x （C ）f （x ）＝－｜x ｜ （D ）f （x ）＝－2 3+x 12、定义在R 上的偶函数在[0，7]上是增函数，在[7，+∞]上是减函数，又6)7(=f ，则)(x f A 、在[－7，0]上是增函数，且最大值是6 B 、在[－7，0]上是增函数，且最小值是6 C 、在[－7，0]上是减函数，且最小值是6 D 、在[－7，0]上是减函数，且最大值是6 二、填空题 13.已知集合M={(x ，y )|x ＋y =2}，N={(x ，y )|x －y =4}，那么集合M∩N＝ ． 14.已知f （x ）是偶函数，当x ＜0时，f （x ）＝x （2x －1），则当x ＞0时，f （x ）＝＿＿ 15． 设f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，则g(x)= ． 16．定义域为2[32,4]a a --上的函数f(x)是奇函数，则a= ． 17．设32()3,()2f x x x g x x =-=-，则(())g f x = ． 三．解答题 18．.已知集合A={-1，a 2+1,a 2-3},B={-4,a-1,a+1},且A∩B={-2}，求a 的值.(13分) 19．已知集合A={} 71<≤x x ，B={x|2 第四讲函数的概念与表示 一．知识归纳： 1．映射 （ 1）映射：设 A 、 B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合 A 中的任一个 元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及 A到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到集合 B 的映射，记作 f ： A→B。 （ 2）象与原象：如果给定一个从集合 A 到集合 B 的映射，那么集合 A 中的元素 a 对应的 B 中的元素 b 叫做 a 的象， a 叫做 b 的原象。 注意：（ 1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。 2．函数 （ 1）函数的定义 ①原始定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是 x 的函数， x 叫作自变量。 ②近代定义：设 A 、 B 都是非空的数的集合，f： x→y是从 A 到 B 的一个对应法则，那么从 A 到 B 的映射 f ： A→B就叫做函数，记作y=f(x) ，其中 x∈ A,y ∈ B，原象集合 A 叫做函数的定义域，象集合 C 叫做函数的值域。 注意：①C B; ② A,B,C 均非空 （ 2）构成函数概念的三要素：①定义域②对应法则③值域 3．函数的表示方法：①解析法②列表法③图象法 注意：强调分段函数与复合函数的表示形式。 二．例题讲解： 【例 1】下列各组函数中，表示相同函数的是（） (A) f(x)=lnx 2,g(x)=2lnx (B)f(x)= a log a x (a>0 且 a≠1),g(x)=x (C) f(x)= 1 x 2 , g(x)=1 - |x| (x ∈[ - 1,1]) (D) f(x)= log a a x (a>0 且 a≠1),g(x)= 3 x3 解答：选D 点评：判断两个函数是否相同主要是从定义域、对应法则两个方面加以分析。 变式：下列各对函数中，相同的是（ D ） (A) f(x)= x 2, g(x)=x (B)f(x)=lgx 2 ,g(x)=2lgx (C)f(x)= lg x 1 , g(x)=lg(x - 1)- lg(x+1) (D) f(x)= 1 u 1 v 1 , g(x)= v x 1 u 1 【例 2】（ 1）集合 A={3,4},B={5,6,7} ，那么可以建立从 A 到 B 的映射的个数是；从B 到 A 的映射的个数是。 （ 2）设集合 A 和 B 都是自然数集合N，映射 f：A→B把集合 A 中的元素 n 映射到集 合 B 中的元素2n+n，则在映射 f 下，像20 的原象是。 解答：（ 1）从 A 到 B 可分两步进行，第一步 A 中的元素 3 可有 3 种对应方法（ 5 或 6 精选 函数的定义及表示 知识讲解 一、函数 1.函数的概念 概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x =，x A ?其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a =，所有函数值构成的集合{()}y y f x x A =?，叫做这个函数的值域． 2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则 3.函数的表示法 1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式； 2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系． 4.求函数定义域注意事项 1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义； 3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2 x x k k Z π π ??，； 6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集． 5.分段函数 定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数． 6.复合函数 定义：若()y f u =，()u g x =，(),x a b ∈，(),u m n ∈，那么[()]y f x =称为复合函数，u 称 为中间变量，它的取值范围是()g x 的值域． 注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式． 二、映射 定义：设A B ， 是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x 在B 中有一个且仅有一个元素y 与x 对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射，这时称y 是x 在映射f 的作用下的象，记作()f x ，于是 ()y f x = x 称为y 的原象，映射f 也可记为： :f A B ? ()x f x ? 其中A 叫做映射f 的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f x 构成的集合叫做映射f 的值域．通常记作()f A ． 映射三要素：集合A B 、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B ?，集合A 中每一个元素 在集合B 中都有唯一的元素与之对应，从A 到B 的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B 中有多余元素． 三、函数求解析式 1.换元法 2.方程组法 四、函数求值域 1.直接法（分析观察法） 2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值 域． 3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中 要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c =++(0)a 1或2()[()]()F x a f x bf x c =++(0)a 1类的函数的值域问题，均可使用配方法． 4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法． 集合与函数概念 一.课标要求： 本章将集合作为一种语言来学习，使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性，帮助学生学会用集合语言描述数学对象，发展学生运用数学语言进行交 流的能力. 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型 来学习，强调结合实际问题，使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法，从而发展 学生对变量数学的认识. 1.了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系，掌握某些数集的专用符号. 2.理解集合的表示法，能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述 不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，培养学生分析、比较、归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中，了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集,培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6.理解在给定集合中，一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. 7.能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 8.学会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素，了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域，并熟练使用区间表 示法. 9.了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法)，并能在实际情境中，恰当 地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 11.结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义，了解奇偶 性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 心智家三优教育高一特训营数学教学进度表 ¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、 集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征. ¤知识要点： 1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性. 2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ???，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集. 3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ???表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或 N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R . 4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、?表示，例如3N ∈， 2N -?. ¤例题精讲： 【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合； （2）大于2且小于7的整数. 【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ； －5 A ； 17 B . 【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4） （1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合； （2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合； （3）反比例函数2 y x =的自变量的值组成的集合. *【例4】已知集合2{| 1}2 x a A a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ． 第一章 集合与函数单元测试卷（巅峰版） 一、选择题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．设{ } 2 1M x x ==，则下列关系正确的是（ ） A ．1M ? B ．{}1,1M -∈ C ．{}1M -? D ．M φ∈ 【答案】C 【解析】 由题得{}1,1M =-， A. 元素“1”和集合M 的关系只能用∈?， 连接，不能用??，连接，所以该选项错误； B.{}1,1-和集合M 只能用??， 连接，不能用∈?，连接，所以该选项错误； C.{}1M -?正确； D. M φ∈，显然错误. 故选：C 2．（2019·唐山一中高一期中）已知集合A={x|x 2﹣2x ﹣3＜0}，集合B={x|2x+1＞1}，则?B A=（） A ．[3，+∞） B ．（3，+∞） C ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） D ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） 【答案】A 【解析】因为2 {|230}{|(1)(3)0}(1,3)A x x x x x x =--<=+-<=-，{ } 1 2 1(1,)x B x +==-+∞，所以 [3,)B C A =+∞；故选A. 3．（2019·苍南县树人中学高一期中）若对任意的实数x ∈R ，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则实数 m 的取值范围是 A ．[2,6]? B ．[6,2]-- C ．(2,6) D ．(6,2)-- 【答案】A 【解析】对任意实数x R ∈，不等式2230x mx m ++-≥恒成立，则224238120m m m m --=-+≤（）， 解得26m ≤≤，即实数m 的取值范围是[] 26， ，故选A. 4．（5分）已知集合2{|2530}A x x x =++<，集合{|20}B x x a =+>，若A B ?，则a 的取值范围是( ) A ．(3,)+∞ B ．[3，)+∞ C ．[1，)+∞ D ．(1,)+∞ 【分析】先分别求出集合A ，B ，由A B ?，能求出a 的取值范围． 【解答】解：Q 集合23 {|2530}{|1}2A x x x x x =++<=-<<-， 集合{|20}{|}2 a B x x a x x =+>=>-， A B ?， 3 22a ∴--…，解得3a … ． a ∴的取值范围是[3，)+∞． 故选：B ． 【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集、子集、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．已知函数y ＝f （x ）的定义域为[﹣6，1]，则函数g （x ）()212 f x x +=+的定义域是（ ） A ．（﹣∞．﹣2）∪（﹣2，3] B ．[﹣11，3] C ．[7 2- ，﹣2] D ．[7 2 - ，﹣2）∪（﹣2，0] 【答案】D 【解析】 由题可知，对应的x 应满足[]216,120 x x ?+∈-?+≠?，即(]7,22,02?? - --???? U 故选：D 6．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()2 4f x x x =+，则()25f x +>的解集为（ ） A ．()(),73,-∞-+∞U B ．()(),33,-∞-+∞U C ．()(),71,-∞--+∞U D ．()(),53,-∞-+∞U 【答案】A 【解析】 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合得含义: 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成得总体叫做集合(简称为集)。 2、集合得中元素得三个特性: (1)元素得确定性:对于一个给定得集合,集合中得元素就是确定得,任何一个对象或者就是或者不就是这个给定得集合得元素。 (2)元素得互异性:任何一个给定得集合中,任何两个元素都就是不同得对象,相同得对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)元素得无序性:集合中得元素就是平等得,没有先后顺序,因此判定两个集合就是否一样,仅需比较它们得元素就是否一样,不需考查排列顺序就是否一样。 3、元素与集合得关系:2hf7sHC。51kBEbP。 (1)如果 a 就是集合 A 得元素,就说 a 属于A,记作: (2)如果 a 不就是集合 A 得元素,就说 a 不属于A,记作: 4、集合得表示: *用拉丁字母表示集合:A={我校得篮球队员},B={1,2,3,4,5} *常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R (1)列举法:把集合中得元素一一列举出来,写在大括号内。如:{1,2,3,4,5},{x2,3x+2,5y3-x,x2+y2} aypYuMZ。0DeBxzM。 (2) 图示法:Venn图 (3) 描述法(数学式子描述与语言描述):把集合中得元素得公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素得一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有得共同特征。 如:{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1},{直角三角形}90qy1aJ。2fZxY1j。 5、集合得分类: (1)有限集含有有限个元素得集合 (2)无限集含有无限个元素得集合 (3)空集不含任何元素得集合例:{x|x2=-5｝ 二、集合间得基本关系 1、包含关系 (1)子集:真子集或相等 (2)真子集 2、相等关系:元素相同 两个结论:任何一个集合就是它本身得子集,即A A 对于集合A,B,C,如果 A B, B C ,那么 A C 3、空集 结论:空集就是任何集合得子集,就是任何非空集合得真子集 *集合子集公式:含n个元素得集合子集有2?个,真子集有2?-1个 三、集合得基本运算 1、并集 2、交集 *性质:A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∩B=A, A∩B=B AUA=A, AUΦ=A,AUB=BUA ,AUB包含A, AUB包含B 3、全集与补集 *性质:CU(CUA)=A,(CUA)∩A=Φ,(CUA)∪A=U,(CuA)∩(CuB)= Cu(AUB),(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B)al5t6aw。eN17HuK。 选择补充:集合中元素得个数: 四、函数有关概念 人教版高中数学必修一第一章函数与集合 概念知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念： 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示：{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} （1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。 （Ⅰ）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（文氏图）： 4、常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a ∈A ，相反，a不属于集合A 记作a?A 6、集合的分类： 1．有限集含有有限个元素的集合2．无限集含有无限个元素的集合3．空集不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B 中江中学校集合与函数测试题 一、选择题 1．集合},{b a 的子集有 （ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 2． 设集合{}|43A x x =-<<，{}|2B x x =≤，则A B = （ ） A ．(4,3)- B ．(4,2]- C ．(,2]-∞ D ．(,3)-∞ 3．已知()5412-+=-x x x f ，则()x f 的表达式是（ ） A ．x x 62+ B ．782++x x C ．322-+x x D ．1062-+x x 4．下列对应关系：（ ） ①{1,4,9},{3,2,1,1,2,3},A B ==---f ：x x →的平方根 ②,,A R B R ==f ：x x →的倒数 ③,,A R B R ==f ：22x x →- ④{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-：A 中的数平方 其中是A 到B 的映射的是 A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③ 5．下列四个函数：①3y x =-；②21 1y x =+；③2210y x x =+-；④(0) 1 (0) x x y x x ?-≤?=?- >??. 其中值域为R 的函数有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6． 已知函数212x y x ?+=?-? (0) (0)x x ≤>，使函数值为5的x 的值是（ ） A ．-2 B ．2或52 - C ． 2或-2 D ．2或-2或52 - 7．下列函数中，定义域为[0，∞）的函数是 （ ） A ．x y = B ．2 2x y -= C ．13+=x y D ．2 )1(-=x y 8．若R y x ∈,，且)()()(y f x f y x f +=+，则函数)(x f （ ） A ． 0)0(=f 且)(x f 为奇函数 B ．0)0(=f 且)(x f 为偶函数 C ．)(x f 为增函数且为奇函数 D ．)(x f 为增函数且为偶函数函数的概念与表示复习讲义与习题.doc
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