高考数学二轮复习第二部分专题四立体几何第3讲立体几何中的向量方法课时规范练理
第3讲 圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是边长为1的正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ，点D 在棱BB 1上，且BD ＝1，若AD 与平面AA 1C 1C 所成的角为α，则sin α的值是( )
A.3
2 B.22 C.
104
D.64
解析：如图，建立空间直角坐标系，易求点D ?
??
?
?
32，12，1.
平面AA 1C 1C 的一个法向量是n ＝(1，0，0)， 所以cos 〈n ，AD →〉＝3
22＝6
4，
则sin α＝64
. 答案：D
2．在三棱锥P -ABC 中，侧面PAC 与底面ABC 均是等腰直角三角形．O 是斜边AC 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ，且AC ＝4，设θ是二面角P -AB -C 的大小，则sin θ＝( )(导学号 54850122)
A.23
B.53
C.63
D.
73
解析：连接PO ，过O
作OD ⊥AB ，连接PD (如图)．
因为平面PAC ⊥平面ABC ，PO ⊥AC ， 所以PO ⊥平面ABC ，PO ⊥AB .
又OD ⊥AB .从而AB ⊥平面POD ，PD ⊥AB ，
所以∠PDO 为二面角P -AB -C 的平面角，即θ＝∠PDO . 由题设，OD ＝12BC ＝1
2×22＝2，OP ＝2，
所以PD ＝PO 2
＋OD 2
＝ 6. 故sin θ＝sin ∠PDO ＝PO
PD
＝2
6＝63
. 答案：C 二、填空题
3．(2017·衡阳联考)如图所示，在正方体AC 1中，AB ＝2，A 1C 1∩B 1D 1＝E ，直线AC 与直线DE 所成的角为α，直线DE 与平面BCC 1B 1所成的角为β，则cos(α－β)＝________．
解析：连接BD ，?????AC ⊥BD AC ⊥BB 1
?AC ⊥平面BB 1D 1D ?AC ⊥DE ，所以α＝π
2.
取A 1D 1的中点F ，连EF ，FD ，易知EF ⊥平面AD 1，则β＝∠EDF ，cos(α－β)＝cos ? ??
??π2－∠EDF ＝sin ∠EDF ＝66.
答案：
6
6
4．如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CC 1＝2，AC ＝23，m 是AC 的中点，则异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为________．
解析：在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝CC 1＝2，AC ＝23，M 是AC 的中点， 所以BM ⊥AC ，BM ＝4－3＝1.
以M 为原点，MA 为x 轴，MB 为y 轴，过M 作AC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则C (－3，0，0)，B 1(0，1，2)，C 1(－3，0，2)，M (0，0，0)，
所以CB 1→
＝(3，1，2)，MC 1→
＝(－3，0，2)， 设异面直线CB 1与C 1M 所成角为θ，
则cos θ＝
|CB 1→
·MC 1→
||CB 1→|·|MC 1→|
＝18·7＝14
28.
所以异面直线CB 1与C 1M 所成角的余弦值为1428
. 答案：
1428
三、解答题
5．(2017·西安质检)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，
AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点．
(1)求证：AF ∥平面BCE ；
(2)求二面角C -BE -D 的余弦值的大小．
解：设AD ＝DE ＝2AB ＝2a ，以AC 、AB 所在的直线分别作为x 轴、z 轴，以过点A 在平面
ACD 上作出以AC 垂直的直线作为y 轴，建立如图所示的坐标系，A (0，0，0)，C (2a ，0，0)，B (0，0，a )，D (a ，3a ，0)，E (a ，3a ，2a )．
因为F 为CD 的中点，所以F ? ??
??3
2a ，3a 2，0.
(1)证明：AF →＝? ????
32a ，32a ，0，BE →＝(a ，3a ，a )，BC →
＝(2a ，0，－a )，
所以AF →＝1
2
(BE →＋BC →
)，AF ?平面BCE ，所以AF ∥平面BCE .
(2)设平面BCE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则?
??m ·BE →
＝0，m ·BC →＝0，
即???x ＋3y ＋z ＝0，
2x －z ＝0，不妨令x
＝1可得m ＝(1，－3，2)．
设平面BDE 的法向量n ＝(x 0
，y 0
，z 0
)，则???n ·BE →＝0，
n ·BD →
＝0，
即???x 0＋3y 0＋z 0＝0，x 0＋3y 0－z 0＝0.
令x 0＝3可得n ＝(3，－1，0)．
于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |×|n |＝6
4
.
故二面角C -BE -D 的余弦值为
64
. 6．(2017·德州二模)如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝
60°.
(1)求证：BD ⊥平面ADG ；
(2)求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值．
(1)证明：在△BAD 中，因为AB ＝2AD ＝2，∠BAD ＝60°. 由余弦定理，BD 2
＝AD 2
＋AB 2
－2AB ·AD cos 60°，BD ＝3， 因为AB 2
＝AD 2
＋DB 2，所以AD ⊥DB ，
在直平行六面体中，GD ⊥平面ABCD ，DB ?平面ABCD ，所以GD ⊥DB ， 又AD ∩GD ＝D ，所以BD ⊥平面ADG .
(2)解：如图以D 为原点建立空间直角坐标系D
-xyz ，
因为∠BAE ＝∠GAD ＝45°，AB ＝2AD ＝2，
所以A (1，0，0)，B (0，3，0)，E (0，3，2)，G (0，0，1)， AE →
＝(－1，3，2)，AG →＝(－1，0，1)，GB →
＝(0，3，－1)． 设平面AEFG 的法向量n ＝(x ，y ，z )，
???n ·AE →＝－x ＋3y ＋2z ＝0，
n ·AG →
＝－x ＋z ＝0，
令x ＝1， 得y ＝－33，z ＝1，
所以n ＝? ??
??1，－
33，1. 设直线GB 和平面AEFG 的夹角为θ， 所以sin θ＝|cos 〈GB →
，n 〉|＝
????
??GB →·n |GB →|·|n |＝217
， 所以直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值为
217
. 7．(2016·北京卷)如图，在四棱锥P -ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝
PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD
＝ 5.(导学号 54850123)
(1)求证：PD ⊥平面PAB ；
(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；
(3)在棱PA 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP
的值；若不存在，说明理由．
(1)证明：因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊥AD ， 所以AB ⊥平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB .
(2)解：取AD 的中点O ，连接PO ，CO . 因为PA ＝PD ，所以PO ⊥AD .
因为PO ?平面PAD ，平面PAD ⊥平面ABCD . 所以PO ⊥平面ABCD .
因为CO ?平面ABCD ，所以PO ⊥CO . 因为AC ＝CD ，所以CO ⊥AD .
如图，建立空间直角坐标系O -xyz .由题意，得A (0，1，0)，B (1，1，0)，C (2，0，0)，
D (0，－1，0)，P (0，0，1)．
则PB →＝(1，1，－1)，PC →＝(－2，0，1)，PD →＝(0，1，1)，CD →
＝(－2，－1，0)． 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则
???n ·PD →＝0，n ·PC →＝0，
即?
???
?－y －z ＝0，2x －z ＝0. 令z ＝2，则x ＝1，y ＝－2. 所以n ＝(1，－2，2)．
又PB →＝(1，1，－1)，所以cos 〈n ，PB →
〉＝n ·PB →
|n ||PB →|＝－3
3.
所以直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值为33
. (3)解：设M 是棱PA 上一点， 则存在λ∈[0，1]，使得AM →＝λAP →
. 因此点M (0，1－λ，λ)， BM →
＝(－1，－λ，λ)．
因为BM ?平面PCD ， 所以要使BM ∥平面PCD ，
则BM →
·n ＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2，2)＝0，解得λ＝1
4
.
所以在棱PA 上存在点M ，使得BM ∥平面PCD ，此时AM AP ＝1
4
.
8．(2017·山东卷)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF ︵
的中点．
(1)设P 是CE ︵
上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小； (2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E -AG -C 的大小．
解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ，AB ，AP ?平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ?平面ABP ，所以BE ⊥BP ， 又∠EBC ＝120°，所以∠CBP ＝30°. (2)法一：取EC ︵
的中点H ，连接EH ，GH ，CH .
因为∠EBC ＝120°， 所以四边形BEHC 为菱形，
所以AE ＝GE ＝AC ＝GC ＝32
＋22
＝13. 取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC ， 则EM ⊥AG ，CM ⊥AG ，
所以∠EMC 为所求二面角的平面角． 又AM ＝1，所以EM ＝CM ＝13－1＝2 3. 在△BEC 中，由于∠EBC ＝120°，
由余弦定理得EC 2
＝22
＋22－2×2×2×cos 120°＝12， 所以EC ＝23，所以△EMC 为等边三角形， 故所求的角为60°.
法二：以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得A (0，0，3)，E (2，0，0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)， 故AE →＝(2，0，－3)，AG →＝(1，3，0)，CG →
＝(2，0，3)， 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面AEG 的一个法向量， 由???m ·AE →＝0，m ·AG →＝0，
可得???2x 1
－3z 1
＝0，x 1
＋3y 1
＝0.
取z 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)． 设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACG 的一个法向量， 由???n ·AG →＝0，n ·CG →＝0，
可得???x 2
＋3y 2
＝0，2x 2
＋3z 2
＝0.
取z 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．
所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝1
2
.
因此所求的角为60°.
9．(2017·郴州二模)如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥平面ABCD ，CF ∥AE ，AB ＝2，CF ＝3.(导学号
54850124)
(1)求证：BD ⊥平面ACFE ；
(2)当直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°时，求AE 的长度． (1)证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC . 因为AE ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ， 所以BD ⊥AE .
又AC ?平面ACFE ，AE ?平面ACFE ，AC ∩AE ＝A ，
所以BD ⊥平面ACFE .
(2)解：以O 为原点，以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，以过点O 且平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则B (0，3，0)，D (0，－3，0)，F (－1，0，3)．
设AE ＝a ，则E (1，0，a )，
所以OF →＝(－1，0，3)，DB →＝(0，23，0)，EB →
＝(－1，3，－a )，
设平面BDE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则???
n ·DB →
＝0，
n ·EB →
＝0，
即???23y ＝0，－x ＋3y －az ＝0.
令z ＝1，得n ＝(－a ，0，1)，
所以cos 〈n ，OF →
〉＝n ·OF →
|n ||OF →|＝a ＋3
10 a 2
＋1 . 因为直线FO 与平面BED 所成角的大小为45°， 所以
a ＋310 a 2
＋1＝22
，解得a ＝2或a ＝－1
2(舍)， 所以|AE |＝2.
10.(2016·全国卷Ⅰ)如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，平面ABEF 为正方形，AF ＝2FD ，∠AFD ＝90°，且二面角D
-AF -E 与二面角C -BE -F 都是60°.
(1)证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； (2)求二面角E -BC -A 的余弦值． (1)证明：在正方形ABEF 中，AF ⊥EF . 因为∠AFD ＝90°，所以AF ⊥DF . 因为DF ∩EF ＝F ，所以AF ⊥面EFDC .
因为AF ?面ABEF ， 所以平面ABEF ⊥平面EFDC . (2)解：过D 作DG ⊥EF ，垂足为G . 由(1)知DG ⊥平面ABEF
.
以G 为坐标原点，GF →的方向为x 轴正方向，|GF →
|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系G -xyz .
由(1)知∠DFE 为二面角D -AF -E 的平面角，故∠DFE ＝60°，则|DF |＝2，|DG |＝3，可得A (1，4，0)，B (－3，4，0)，E (－3，0，0)，D (0，0，3)．
由已知得AB ∥EF ，所以AB ∥平面EFDC . 又平面ABCD ∩平面EFDC ＝CD ， 故AB ∥CD ，CD ∥EF .
由BE ∥AF ，可得BE ⊥平面EFDC ，
所以∠CEF 为二面角C -BE -F 的平面角，∠CEF ＝60°. 从而可得C (－2，0，3)．
所以EC →＝(1，0，3)，EB →＝(0，4，0)，AC →＝(－3，－4，3)，AB →
＝(－4，0，0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面BCE 的法向量， 则?
??n ·EC →
＝0，n ·EB →＝0，
即???x ＋3z ＝0，4y ＝0，
所以可取n ＝(3，0，－3)．
设m 是平面ABCD 的法向量，则???m ·AC →＝0，
m ·AB →
＝0，
同理可取m ＝(0，3，4)．
则cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝－219
19
.
故二面角E -BC -A 的余弦值为－219
19
.
11．(2017·天津卷)如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝90°.点D ，E ，
N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA ＝AC ＝4，AB ＝2.
(导学号
54850125)
(1)求证：MN ∥平面BDE ； (2)求二面角C -EM -N 的正弦值；
(3)已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为
7
21
，求线段AH 的长． 解：如图，以A 为原点，分别以AB →，AC →，AP →
的方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，依题意可得A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (0，4，0)，P (0，0，4)，D (0，0，2)，E (0，2，2)，M (0，0，1)，N (1，2
，0)．
(1)证明：DE →＝(0，2，0)，DB →
＝(2，0，－2)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面BDE 的法向量，
则???n ·DE →＝0，n ·DB →＝0，即?
????2y ＝0，2x －2z ＝0.不妨设z ＝1，可得n ＝(1，0，1)．
又MN →＝(1，2，－1)，可得MN →
·n ＝0. 因为MN ?平面BDE ，所以MN ∥平面BDE .
(2)易知n 1＝(1，0，0)为平面CEM 的法向量．设n 2＝(x 0，y 0，z 0)为平面EMN 的法向量，则???n 2·EM →＝0，n 2
·MN →＝0.
因为EM →＝(0，－2，－1)，MN →
＝(1，2，－1)，
所以?
????－2y 0－z 0＝0，x 0＋2y 0－z 0＝0.
不妨设y 0＝1，可得n 2＝(－4，1，－2)．
因此有cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－421
，
于是sin 〈n 1，n 2〉＝
10521
. 所以二面角C -EM -N 的正弦值为
10521
. (3)依题意， 设AH ＝h (0≤h ≤4)，则H (0，0，h )，进而可得NH →＝(－1，－2，h )，BE →
＝(－2，2，2)．
由已知，得
|cos 〈NH →，BE →
〉|＝|NH →·BE →
||NH →||BE →|＝|2h －2|h 2＋5×23＝7
21，
整理得10h 2
－21h ＋8＝0，解得h ＝85或h ＝12.
所以线段AH 的长为85或1
2
.
[典例] (本小题满分12分)(2016·全国卷Ⅱ)如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝5，AC ＝6，点E ，F 分别在AD ，CD 上，AE ＝CF ＝5
4，EF 交BD 于点H .将△DEF
沿EF 折到△D ′EF 的位置，OD ′＝10.
(1)证明：D ′H ⊥平面ABCD ； (2)求二面角B -D ′A -C 的正弦值． (1)规律解答：由已知得AC ⊥BD ，AD ＝CD . 又由AE ＝CF 得AE AD ＝CF CD
，故AC ∥EF .(2分) 因此EF ⊥HD ，从而EF ⊥D ′H .
由AB ＝5，AC ＝6得DO ＝BO ＝AB 2－AO 2
＝4. 由EF ∥AC 得OH DO ＝
AE AD ＝1
4
.(4分)
所以OH ＝1，D ′H ＝DH ＝3.
于是D ′H 2
＋OH 2
＝32
＋12
＝10＝D ′O 2
，故D ′H ⊥OH . 又D ′H ⊥EF ，而OH ∩EF ＝H ，所以D ′H ⊥平面ABCD .(6分)
(2)如图，以H 为坐标原点，HF →
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系H -xyz ，则H (0，0，0)，A (－3，－1，0)，B (0，－5，0)，C (3，－1，0)，D ′(0，0，3)，AB →
＝(3，－4，0)，AC →＝(6，0，0)，AD ′→
＝(3，1，3)．
设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面ABD ′的法向量，则
???m ·AB →＝0，m ·AD →＝0，
即?
??
??3x 1－4y 1＝0，
3x 1
＋y 1
＋3z 1
＝0， 所以可取m ＝(4，3，－5)．(9分)
设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面ACD ′的法向量，则
???n ·AC →＝0，n ·AD →′＝0，
即?
???
?6x 2＝0，3x 2
＋y 2
＋3z 2
＝0， 所以可取n ＝(0，－3，1)．(10分)
于是cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝－1450×10
＝－75
25.
sin 〈m ，n 〉＝295
25
.
因此二面角B -D ′A -
C 的正弦值是295
25
.(12分)
1．写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有
则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写．如第(1)问中的AC ⊥BD ，AD ＝CD ，AC ∥EF ；第(2)问中的AB →，AC →，AD →
的坐标，及两平面法向量的坐标．
2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，立体几何解答题的第(2)问建系，要用到第(1)问中的垂直关系时，可以直接用，有时不用第(1)问的结果无法建系，如本题即是在第(1)问的基础上建系．
3．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分．所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定写出判断D ′H ⊥平面ABCD 的三个条件，写不全则不能得全分，如OH ∩EF ＝H 一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出
cos 〈m ，n 〉＝m ·n
|m ||n |
这个公式，而直接得出余弦值，则要扣1分．
[解题程序] 第一步：利用平面几何性质，得AC ∥EF . 第二步：借助数学计算，证明D ′H ⊥OH .
第三步：根据线面垂直的判断定理，得D ′H ⊥平面ABCD . 第四步：依题设建系，确定相关点、直线方向向量的坐标． 第五步：分别计算求得平面ABD ′与平面ACD ′的法向量． 第六步：由法向量夹角的余弦，得到二面角的正弦值．
[跟踪训练] (2017·衡水中学质检)如图，在三棱锥A -BCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°，AC ＝63，BC ＝CD ＝6，点E 在平面BCD 内，EC ＝BD ，EC ⊥BD .
(1)求证：AE ⊥平面BCDE ；
(2)在棱AC 上，是否存在点G ，使得二面角C -EG -D 的余弦值为
10
5
？若存在点G ，求出CG
GA
的值，若不存在，说明理由． (1)证明：因为△BCD 是等腰直角三角形，CO ⊥BD ，所以CO ＝1
2BD .
又EC ＝BD ，所以点O 是BD 和CE 的中点． 因为EC ⊥BD ，
所以四边形BCDE 是正方形． 则CD ⊥ED ，又CD ⊥AD ，AD ∩ED ＝D ， 所以CD ⊥平面ADE ，CD ⊥AE .
同理BC ⊥AE ，BC ∩CD ＝C ， 所以AE ⊥平面BCDE
.
(2)解：由(1)的证明过程知四边形BCDE 为正方形，建立如图所示的坐标系，则E (0，0，0)，D (0，6，0)，A (0，0，6)，B (6，0，0)，C (6，6，0)．
假设在棱AC 上存在点G ，使得二面角C -EG -D 的余弦值为105
， 设CG GA
＝t (t ＞0)，G (x ，y ，z )， 由CG →＝tGA →
可得G ? ???
?61＋t ，61＋t ，6t 1＋t ，
则ED →＝(0，6，0)，EG →
＝? ???
?61＋t ，61＋t ，6t 1＋t .
易知平面CEG 的一个法向量为DB →
＝(6，－6，0)． 设平面DEG 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则?
??n ·ED →
＝0，n ·EG →
＝0，
即?????6y 0＝0，61＋t
x 0＋61＋t y 0＋6t
1＋t z 0＝0. 令x 0＝1得z 0＝－1t
，n ＝? ??
??1，0，－1t ，
所以
DB →·n
|DB →
|·|n |
＝
105，662·1＋1
t
2
＝105， 解得t ＝2.
故存在点G (2，2，4)，使得二面角C -EG -D 的余弦值为
105，此时CG
GA
＝2.
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 1． 空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l 1，l 2的方向向量分别为m 1，m 2，则l 1与l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉|. (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin θ＝|cos 〈m ，n 〉|. (3)求二面角的大小 1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →，CD →〉． 2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉． 2． 点面距的求法 如图，设AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到 平面α的距离d ＝|AB → ·n | |n | . 1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角． ( × ) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角． ( × ) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角． ( × ) (4)两异面直线夹角的范围是(0，π2]，直线与平面所成角的范围是[0，π 2]，二面角的 范围是[0，π]． ( √ ) (5)直线l 的方向向量与平面α的法向量夹角为120°，则l 和α所成角为30°. ( √ ) (6)若二面角α－a －β的两个半平面α、β的法向量n 1，n 2所成角为θ，则二面角α－ a －β的大小是π－θ. ( × ) 2． 已知二面角α－l －β的大小是π 3 ，m ，n 是异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成 的角为 ( ) A.2π3 B.π 3 C.π 2 D. π6 答案 B 解析 ∵m ⊥α，n ⊥β， ∴异面直线m ，n 所成的角的补角与二面角α－l －β互补． 又∵异面直线所成角的范围为(0，π 2]， ∴m ，n 所成的角为π 3 . 3． 在空间直角坐标系Oxyz 中，平面OAB 的一个法向量为n ＝(2，－2,1)，已知点P (－1,3,2)，
6.2 立体几何中的向量方法(A卷提升篇)【解析版】
专题6.2 立体几何中的向量方法（A 卷基础篇）（浙江专用） 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（共10小题，满分50分，每小题5分） 1．（2020·全国高二课时练习）已知(1,0,0)A ，(0,1,0)B ，(0,0,1)C ，则下列向量是平面ABC 法向量的是（ ） A ．(1,1,1)- B ．(1,1,1)- C ．? ? ? ??? D ．?? ? ??? 【答案】C 【解析】 (1,1,0),(1,0,1)AB AC =-=-, 设(,,)n x y z =为平面ABC 的法向量， 则00n AB n AC ??=??=? ，化简得00x y x z -+=??-+=?， ∴x y z ==，故选C. 2．（2020·全国高二课时练习）空间直角坐标中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB 与CD 的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．相交但不垂直 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 ∵空间直角坐标系中， A （1，2，3）， B （﹣1，0，5）， C （3，0，4）， D （4，1，3）， ∴AB =（﹣2，﹣2，2），CD =（1，1，﹣1）， ∴AB =﹣2CD ， ∴直线AB 与CD 平行． 故选A ．
3．（2020·全国高二课时练习）已知平面α的法向量为(2,2,1)n =--，点(,3,0)A x 在平面α内，则点(2,1,4)P -到平面α的距离为 103，则x ＝( ) A ．－1 B ．－11 C ．－1或－11 D ．－21 【答案】C 【解析】 (2,2,4)PA x =+-，而103n d n PA ?= =， 103=，解得1x =-或－11. 故选：C 4．（2020·全国高二课时练习）已知向量,m n 分别是直线l 和平面α的方向向量和法向量，若 1cos ,2 m n =-，则l 与α所成的角为（ ） A ．030 B ．060 C ．0120 D ．0150 【答案】A 【解析】 设线面角为θ，则1sin cos ,,302 m n θθ=??==. 5．（2020·全国高二课时练习）设直线l 与平面α相交，且l 的方向向量为a ，α的法向量为n ，若2,3a n π= ，则l 与α所成的角为（ ） A ．23π B ．3π C ．6π D ．56 π 【答案】C 【解析】 结合题意，作出图形如下：
立体几何中的向量方法总结
立体几何中的向量方法基础篇一（几何证明） 一．求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量，求y x ,。 二．平面的法向量 2.在空间中，已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ，求平面ABC 的一个法向量。 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形， 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面，E 为PC 中点 （1）分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量； （2）求平面EDB 的一个法向量； （3）求平面ADE 的一个法向量。 三．向量法证明空间平行与垂直 1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，M AF AB ,1,2== 为EF 的中点，求 证：BDE AM 平面//
2. 如图，正方体''''D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD BB ,'的中点，求证：ADE F D 平面⊥'。 3. 如图，在四棱锥ABCD E -中，BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ，求证：平面ABE ADE 平面⊥。 巩固练习： 1. 如图，在正方体''''D C B A ABCD -中，P 是'DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心， （1）求证：O B '为平面PAC 的一个法向量；（2）求平面CD B A ''的一个法向量。
2. 如图，在直棱柱'''C B A ABC -中，4',5,4,3====AA AB BC AC （1）求证：'BC AC ⊥ （2）在AB 上是否存在点D ，使得'//'CDB AC 平面，若存在，确定D 点位置，若不存在，说明理由。 3. 如图，已知长方体''''D C B A ABCD -中，2==BC AB ，E AA ,4'=为'CC 的上的点，C B BE '⊥， 求证：BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中，1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面，E 为'BB 的中点，求证：C C AA AEC '''平面平面⊥
用向量方法解立体几何题(老师用)
用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b
法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．
空间几何中的向量方法
第一讲：空间几何中的向量方法---------坐标运算与法向量 一、空间向量的坐标运算 1． 若123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b = ，则 （1）112233(,,)a b a b a b a b +=+++； （2）112233(,,)a b a b a b a b -=---； （3）123(,,),a a a a R λλλλλ=∈； （4）112233a b a b a b a b ?=++； （5）112233//,,,(0,)a b a b a b a b b R λλλλ?===≠∈； （6）1122330a b a b a b a b ⊥?++=； （7 ）a == （8 ）cos ,a b a b a b ?<>= = ?. 例1 已知(2,3,5),(3,1,4),a b =-=-- 求,,8,,a b a b a a b +-? 的坐标. 2.若111222(,,),(,,),A x y z B x y z 则212121(,,)AB x x y y z z =--- 练习1: 已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M 、N 分别是AB,PC 的中点，且PA=AD=1， 求向量MN 的坐标. 二、空间直角坐标系中平面法向量的求法 1、 方程法 利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组，由于有三个未知数，两个方程，要设定一个变量的值才能求解，这是一种基本的方法，容易接受，但运算稍繁，要使法向量简洁，设值可灵活，法向量有无数个，他们是共线向量，取一个就可以。 例1 已知(2,2,1),(4,5,3),AB AC == 求平面ABC 的法向量。 解：设(,,)n x y z = ，则由,,n AB n AC ⊥⊥ 得=0=0n AB n AC ??????? 即220453=0x y z x y z ++=?? ++? 不妨设1z =，得12 =-1 x y ?=? ???， 取1(,1,1)2n =-
利用法向量解立体几何题
利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos
则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥
用向量方法解立体几何题
用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a r 、b r 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos ||||||a b a b r r g r r （２）求线面角 设l r 是斜线l 的方向向量，n r 是平面α的法向量， 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n r r g r r 则斜线l （３）求二面角
方法一：在α内a r l ⊥，在β内b r l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角 α=arccos |||| a b a b r r g r r 方法二：设12,,n n u r u u r 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=1212arccos |||| n n n n u r u u r g u r u u r 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n r 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ==u u u r r u u u r g r 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO uuu r ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a βP ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a r 、 b r 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设
用向量方法解立体几何题
用向量方法求空间角和距离前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos | |||||a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方 向向量，n 是平面α的法向量， α所成的角α=arcsin ||||||l n l n 则斜线l 与平面 （３）求二面角 方法一：在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ --的平面角α=arccos |||| a b a b 12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的方法二：设 法向量，其方向 一个指向内侧，另一个指向外侧，则二的平面角α=1212arccos |||| n n n n 面角l αβ--2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到
α的距离|||||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示， 可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 方法二：在a 上取一点A, 在b 上 取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==（此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 解：（Ⅰ）记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 则α等于向量1DE FC 与的夹角或其补角， 图建立空间坐标系D xyz -， （II ）如1 1||||111111cos ||()()|||||| 222||,arccos DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC αα∴=++=-==∴=
(精心整理)高中数学：向量法解立体几何总结
向量法解立体几何 1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴．直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则AB 为直线l 的一个方向向量；与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. ⑵．平面的法向量： 若向量n 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作 n α⊥，如果n α⊥，那么向量n 叫做平面α的法向量. ⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）： ①建立适当的坐标系． ②设平面α的法向量为(,,)n x y z =． ③求出平面内两个不共线向量的坐标123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==． ④根据法向量定义建立方程组0 n a n b ??=???=??. ⑤解方程组，取其中一组解，即得平面α的法向量. 2、用向量方法判定空间中的平行关系 ⑴线线平行。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、，则要证明1l ∥2l ，只需证明a ∥b ，即()a kb k R =∈. ⑵线面平行。设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l ∥α，只需证明 a u ⊥，即0a u ?=. ⑶面面平行。若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证α∥β，只需证u ∥v ，即证u v λ=. 3、用向量方法判定空间的垂直关系 ⑴线线垂直。设直线12,l l 的方向向量分别是a b 、 ，则要证明12l l ⊥，只需证明a b ⊥，即0a b ?=. ⑵线面垂直 ①（法一）设直线l 的方向向量是a ，平面α的法向量是u ，则要证明l α⊥，只需证明
a ∥u ，即a u λ=. ②（法二）设直线l 的方向向量是a ，平面α内的两个相交向量分别为m n 、 ，若0 ,.0 a m l a n α??=?⊥? ?=??则 ⑶面面垂直。 若平面α的法向量为u ，平面β的法向量为v ，要证αβ⊥，只需证u v ⊥，即证0u v ?=. 4、利用向量求空间角 ⑴求异面直线所成的角 已知,a b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是,a b 上的任意两点，,a b 所成的角为θ，则cos .AC BD AC BD θ?= ⑵求直线和平面所成的角 求法：设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的夹角为?， 则θ为?的余角或?的补角 的余角.即有：cos s .in a u a u ?θ?== ⑶求二面角 二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角. 如图： 求法：设二面角l αβ--的两个半平面的法向量分别为m n 、 ，再设m n 、的夹角为?，二面角l αβ--的平面角为θ，则二面角θ为m n 、 的夹角?或其补角.π?- 根据具体图形确定θ是锐角或是钝角： 如果θ是锐角，则cos cos m n m n θ??== ， 即arccos m n m n θ?=； O A B O A B l
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v
的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批
1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法 Prepared on 22 November 2020
教学过程 一、课堂导入 空间平行垂直问题 1．两条直线平行与垂直； ２．直线与平面平行与垂直； ３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题 1．两直线所成角； ２．直线和平面所成角； ３．二面角的概念；
空间距离问题 二、复习预习 （１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去 起点的坐标． （3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则 21||a a a a =?=+ （4）夹角公式： 2 1cos |||| a b a b a b a ? ?= = ?+ （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 221221221)()()(z z y y x x -+-+-== ． 三、知识讲解 考点1 平面法向量的求法 在空间平面法向量的算法中，普遍采用的算法是设(,,)n x y z =，它和平面内的两个不共线的向量垂直，数量积为0，建立两个关于x ,y ,z 的方程，再对其中一个变量根据需要取特殊值，即可得到法向量．还有几种求平面法向量的办法也比较简便． 求法一：先来看一个引理： 若平面ABC 与空间直角坐标系x 轴、y 轴、z 轴的交点分别为A (a ，0，0)、B (0，b ，0)、C (0，0，c )，定义三点分别在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标值x A ＝ a ， y B ＝ b ， z C ＝ c
向量法解立体几何
中山二中2011届空间向量解立体几何 一、空间直角坐标系的建立及点的坐标表示 （1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底 叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示； （2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 {,,}i j k ，以点O 为原点，分别以,,i j k 的方向为正 方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系O xyz -， 点O 叫原点，向量,,i j k 都叫坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为 xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。 （3）作空间直角坐标系O xyz -时，一般使135xOy ∠=（或45），90yOz ∠=； （4）在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，称这个坐标系为右手直角坐标系规 定立几中建立的坐标系为右手直角坐标系 （5）空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐 标系和向量 a ，设,,i j k 123(,,)a a a ，使123a a i a j a k =++，有序实数组123(,,)a a a 作向量a 在空间直角坐标系O xyz -123(,,)a a a a =．在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任 一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使 OA xi yj zk =++，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的 坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标． 二、空间向量的直角坐标运算律 （1）若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,) a b a b a b a b -=---， 123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 （3）//a b b a λ?=11 223 3()b a b a R b a λλλλ=?? ?=∈??=? 三、空间向量直角坐标的数量积 1、设,是空间两个非零向量，我们把数量><,cos |||| 规定：零向量与任一向量的数量积为0。 2、模长公式 2| |a a a x =?=+3、两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ， 则2 ||(AB AB = =， 或,A B d = 4、夹角：cos |||| a b a b a b ??= ?． 注：①0(,a b a b a b ⊥??=是两个非零向量）； ②2 2||a a a a =?=。 5、 空间向量数量积的性质： ①||cos ,a e a a e ?=<>．②0a b a b ⊥??=．③2||a a a =?．
13—立体几何中的向量方法
13—立体几何中的向量方法 【基础巩固】 1.已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a ∥b,则λ与μ的值可以是( ) (A)2, (B)-, (C)-3,2 (D)2,2 2.如图所示,PD 垂直于正方形ABCD 所在平面,AB=2,E 为PB 的中点,cos< , >=,若以DA,DC,DP 所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为( ) (A)(1,1,1) (B)(1,1,) (C)(1,1,) (D)(1,1,2) 3.正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为a,点M 在AC 1上且= ,N 为B 1B 的中点,则| |为( ) (A) a (B) a (C) a (D) a 4.如图所示,已知PA ⊥平面ABC,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则| |等于( ) 5.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且a 与b 的夹角的余弦值为,则λ= . 6.已知A(4,1,3),B(2,3,1),C(3,7,-5),点P(x,-1,3)在平面ABC 内,则x= . 【空间三种角】 1．异面直线所成角 设异面直线a ，b 所成的角为θ，则cos θ＝|a ·b | |a ||b |， 其中a ，b 分别是直线a ，b 的方向向量． 2．直线与平面所成角 如图所示，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a·n | |a ||n |． 3．二面角 (1)若AB ，CD 分别是二面角α-l -β的两个平面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量AB ―→与CD ―→ 的夹角，如图(1)． 平面α与β相交于直线l ，平面α的法向量为n 1，平面β的法向量为n 2，〈n 1，n 2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ．设二面角大小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2 |，如图(2)(3)． 考点一 异面直线所成角 [典例引领] (2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC ．(1)证明：
法向量解立体几何专题训练
法向量解立体几何专题训练 一、运用法向量求空间角 1、向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不 需要用法向量。 2、设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为sin θ= cos( 2π -θ) = |cos
1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥ 四、应用举例： 例1：如右下图,在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,已知AB= 4, AD =3, AA 1= 2. E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB= FB=1. (1) 求二面角C —DE —C 1的正切值; (2) 求直线EC 1与FD 1所成的余弦值. 解：（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为x 轴，y 轴,z 轴的正向建立空间直角坐标系， 则D(0,3,0)、D 1(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、C 1(4,3,2) 于是，11(3,3,0),(1,3,2),(4,2,2)DE EC FD =-==- 设法向量(,,2)n x y =与平面C 1DE 垂直，则有 1330 1320n DE x y x y x y z n EC ⊥-=? ?==-++=⊥?? ???? ?? 11111(1,1,2), (0,0,2), cos 3 ||||1tan 2n AA CDE n AA C DE C n AA n AA θθθ∴=--=∴--?== = ?∴= 向量与平面垂直与所成的角为二面角的平面角 （II ）设EC 1与FD 1所成角为β，则 1111cos 14 |||| 1EC FD EC FD β?= = = ? 例2：（高考辽宁卷17）如图，已知四棱锥P-ABCD ，底面ABCD 是菱形，∠DAB=600，PD ⊥平面ABCD ，PD=AD ，点E 为AB 中点，点F 为PD 中点。 （1）证明平面PED ⊥平面PAB ； （2）求二面角P-AB-F 的平面角的余弦值 证明：（1）∵面ABCD 是菱形，∠DAB=600， ∴△ABD 是等边三角形，又E 是AB 中点，连结BD ∴∠EDB=300，∠BDC=600，∴∠EDC=900，
立体几何中的向量方法复习
姓 名 年级 性 别 学 校 学 科 教师 上课日期 上课时间 课题 立体几何中的向量方法复习 一、选择题 1.若直线l 的方向向量为a ＝(1，－1，2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)，则( ) A. l ∥α B. l ⊥α C. l ?α D. l 与α斜交 答案：B 解析：因为直线l 的方向向量为a ＝(1，－1,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,2，－4)共线，则说明了直线与平面垂直，选择B. 2. 如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝23A 1D ，AF ＝1 3AC ，则( ) A. EF 至多与A 1D ，AC 之一垂直 B. EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC C. EF 与BD 1相交 D. EF 与BD 1异面 答案：B 解析：以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A 1(1,0,1)，D (0,0,0)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E (13，0，13)，F (23，1 3 ，0)，B (1,1,0)，D 1(0,0,1)， A 1D →＝(－1,0，－1)，AC →＝(－1,1,0)，EF →＝(13，13，－13)，BD 1→ ＝(－1，－1,1)， EF →＝－13BD 1→，A 1D →·EF →＝AC →·E F → ＝0，从而EF ∥BD 1，EF ⊥A 1D ，EF ⊥AC .故选B. 3. 若a ＝(2，－2，－2)，b ＝(2,0,4)，则a 与b 的夹角的余弦值为( ) A. 48585 B. 6985 C. －15 15 D. 0 答案：C 解析：cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝2×2－823×25＝－1515 . 4.在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，已知AB ＝1，D 在棱BB 1上，且BD ＝1，则AD 与平面AA 1C 1C 所成的角的正弦值为( ) A. 64 B. －64 C. 104 D. －10 4 答案：A
立体几何中的向量方法(一)
3.2立体几何中的向量方法（一） 学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题． 知识点一直线的方向向量与平面的法向量 思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 答案(1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用向量OP → 来表示．我们把向量OP → 称为点P的位置向量． (2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量． ②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP → ＝tAB → ，此方程称为直线的向量参数方程．(3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两个不共线向量确定．对于平面α上的任一点P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP → ＝x a＋y b. ②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示． 梳理(1)直线的方向向量和平面的法向量 直线的方向向量 能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方 向向量 平面的法向量 直线l⊥α，取直线l的方向向量n，叫做平面α 的法向量 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为μ，v，则 线线平行l∥m?a∥b?a＝k b (k∈R) 线面平行l∥α?a⊥μ?a·μ＝0 面面平行α∥β?μ∥v?μ＝k v (k∈R) 线线垂直l⊥m?a⊥b?a·b＝0 线面垂直l⊥α?a∥μ?a＝kμ(k∈R) 面面垂直α⊥β?μ⊥v?μ·v＝0 知识点二 思考(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量．若直线l1∥l2，则向量v1，v2应满足什么关系．
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法 适用学科高中数学适用年级高中二年级 适用区域通用课时时长（分钟）90 知识点用空间向量处理平行垂直问题；用空间向量处理夹角问题. 教学目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量； 2. 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； 3. 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）． 4. 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法的作用．教学重点用向量方法解决立体几何中的有关问题 教学难点用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题
教学过程 一、课堂导入 空间平行垂直问题 1．两条直线平行与垂直； ２．直线与平面平行与垂直； ３．两个平面平行与垂直；空间夹角问题 1．两直线所成角； ２．直线和平面所成角； ３．二面角的概念； 空间距离问题
二、复习预习 （１）空间向量的直角坐标运算律：设231(,,)a a a a =，231(,,)b b b b =，则 112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=． （2）若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---． 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标． （3）模长公式：若231(,,)a a a a =， 则 222 123 ||a a a a a a =?=++． （4）夹角公式： 112233 2 2 2 22 2 123 123 cos |||| a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++??= = ?++++． （5）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则 2212212212 )()()(z z y y x x AB AB -+-+-== ．
立体几何(向量法)建系难
立体几何（向量法）—建系难 例1 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3 BC CD AC ACB ACD π ===∠=∠=,F 为PC 的中 点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值. 【答案】 解：(1)如图，联结BD 交AC 于O ，因为BC ＝CD ，即△BCD 为等腰三角形，又AC 平分∠BCD ，故AC ⊥BD .以O 为坐标原点，OB →，OC →，AP → 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz ，则OC ＝CD cos π3＝1，而AC ＝4，得AO ＝AC －OC ＝3.又OD ＝CD sin π 3＝3，故A (0，－3，0)，B (3，0，0)，C (0，1，0)，D (－3，0，0)． 因P A ⊥底面ABCD ，可设P (0，－3，z )，由F 为PC 边中点，得F ????0，－1，z 2，又AF → ＝????0，2，z 2，PB →＝(3，3，－z )，因AF ⊥PB ，故AF →·PB →＝0，即6－z 2 2 ＝0，z ＝2 3(舍去－2 3)，所以|P A → |＝2 3. (2)由(1)知AD →＝(－3，3，0)，AB →＝(3，3，0)，AF → ＝(0，2，3)．设平面F AD 的法
向量为1＝(x 1，y 1，z 1)，平面F AB 的法向量为2＝(x 2，y 2，z 2)． 由1·AD →＝0，1·AF →＝0，得 ?? ?－3x 1＋3y 1＝0， 2y 1＋3z 1＝0， 因此可取1＝(3，3，－2)． 由2·AB →＝0，2·AF →＝0，得 ?? ?3x 2＋3y 2＝0， 2y 2＋3z 2＝0， 故可取2＝(3，－3，2)． 从而向量1，2的夹角的余弦值为 cos 〈1，2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝1 8 . 故二面角B －AF －D 的正弦值为3 7 8 . 例2（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））如图,四 棱锥P ABCD -中,902,ABC BAD BC AD PAB ∠=∠==?o ，与PAD ?都是等边三角形. (I)证明:;PB CD ⊥ (II)求二面角A PD C --的大小. 【答案】解：(1)取BC 的中点E ，联结DE ，则四边形ABED 为正方形． 过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O . 联结OA ，OB ，OD ，OE . 由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ， 所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点， 故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE . 因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD .因此PB ⊥CD .
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