专题一、含绝对值不等式的解法(含答案)
第三讲 含绝对值不等式与一元二次不等式
一、知识点回顾
1、绝对值的意义：（其几何意义是数轴的点A （a ）离开原点的距离a OA =）
()()()??
?
??<-=>=0,0,00,a a a a a a
2、含有绝对值不等式的解法：（解绝对值不等式的关键在于去掉绝对值的符号） （1）定义法；
（2）零点分段法：通常适用于含有两个及两个以上的绝对值符号的不等式； （3）平方法：通常适用于两端均为非负实数时（比如()()x g x f <）；
（4）图象法或数形结合法； （5）不等式同解变形原理：即
()a x a a a x <<-?><0 ()a x a x a a x -<>?>>或0
()c b ax c c c b ax <+<-?><+0 ()c b ax c b ax c c b ax -<+>+?>>+或0 ()()()()()x g x f x g x g x f <<-?< ()()()()()()x g x f x g x f x g x f <>?>或 ()()()()a x f b b x f a a b b x f a -<<-<><<或0
3、不等式的解集都要用集合形式表示，不要使用不等式的形式。
4、二次函数、一元二次方程、一元两次不等式的联系。（见P8）
5、利用二次函数图象的直观性来研究一元二次方程根的性质和一元二次不等式解集及变化，以及含字母的有关问题的讨论，渗透数形结合思想。
6、解一元二次不等式的步骤：
（1）将不等式化为标准形式()002≥>++c bx ax 或()002≤<++c bx ax (2)解方程02=++c bx ax
(3)据二次函数c bx ax y ++=2的图象写出二次不等式的解集。
一、 基本解法与思想
解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识：
1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}
a x a x x -<>或,
不等式a x <的解集是}
a x a x <<-;
不等式a x <的解集是?;
3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{
}
c b ax c b ax x -<+>+或,
不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;
当0
不等式c bx a <+的解集是?;
例1 解不等式32<-x
分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。答案为{}
51<<-x x 。(解略) （3）532<+<-x (2) 392+≤-x x
(1)解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为???
?
??>32x x
(2)解：（1）法一：原不等式???+≤-≥-?3
90
922x x x ①或???+≤-<-39092
2x x x ② 由①解得433≤≤-=x x 或，由②解得32<≤x ∴原不等式的解集是{}
342-=≤≤x x x 或
法二：原等式等价于39)3(2+≤-≤+-x x x ?
??≤≤-≥-≤?432
3x x x 或
423≤≤-=?x x 或
∴原不等式的解集是{}
342-=≤≤x x x 或
法三：设)33,9221-≥+=-=x x y x y （
，由392+=-x x 解得非曲直2,3,4321=-==x x x ，在同一坐标系下作出它们的图象，由图得使21y y ≤的x 的范围是
433≤≤-=x x 或，
∴原不等式的解集是{
42-=≤≤x x x 或
（二）、定义法:即利用(0),
0(0),(0).a a a a a a >??
==??-
去掉绝对值再解。
例2。解不等式
22
x x
x x >
++。 分析:由绝对值的意义知，a a =?a ≥0，a a =-?a ≤0。
解:原不等式等价于
2
x
x +＜0?x(x+2)＜0?-2＜x ＜0。 练习：x x 3232->-
(1)解：原不等式等价于032<-x ，所以不等式解集为?
???
??
>
32x x
（三）、平方法:解()()f x g x >型不等式。 例3、解不等式123x x ->-。
解:原不等式?22(1)(23)x x ->-?22(23)(1)0x x ---<
?(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0?(3x-4)(x-2)<0 ?
4
23
x <<。 说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。 二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。 例4 解不等式125x x -++<。
分析:由01=-x ，02=+x ，得1=x 和2=x 。2-和1把实数集合分成三个区间，即2-
解:当x ＜-2时，得2
(1)(2)5x x x <-??---+
解得：23-<<-x 当-2≤x ≤1时，得21,
(1)(2)5x x x -≤≤??--++
，
解得：12≤≤-x
当1>x 时，得1,
(1)(2) 5.x x x >??-++
综上，原不等式的解集为{}
23<<-x x 。 说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;
(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。
三、几何法：即转化为几何知识求解。
例5 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为 ( )
(A)k<3
(B)k<-3
(C)k ≤3
(D)
k ≤-3
分析:设12y x x =+--，则原式对任意实数x 恒成立的充要条件是min k y <，于是题转化为求y 的最小值。
解:1x +、2x -的几何意义分别为数轴上点x 到-1和2的距离1x +-2x -的几何意义为数轴上点x 到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B ）。
（3）分析：关键是去掉绝对值
方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义） ①当1- ∴1)1()3(<+---x x ?21>x ，∴}32 1 |{< 1)1()3(<+--x x ?-4<1R x ∈? ∴}3|{≥x x 综上，原不等式的解集为}2 1 |{>x x 也可以这样写： 解：原不等式等价于 ①???<++---<1)1()3(1x x x 或②???<+---<≤-1)1()3(31x x x 或 ③???<+--≥1 )1()3(3x x x ， 解①的解集为φ，②的解集为{x|21 ∴原不等式的解集为{x|x>2 1 } 方法2：数形结合 从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点 ∴原不等式的解集为{x|x>2 1 } 变式：（1）若a x x >+++12恒成立，求实数a 的取值范围。 解：由几何意义可知，12+++x x 的最小值为1，所以实数a 的取值范围为()1,∞-。 （2）数轴上有三个点A 、B 、C ，坐标分别为-1，2，5，在数轴上找一点M ，使它到A 、B 、C 三点的距离之和最小。 解：设M （x ，0） 则它到A 、B 、C 三点的距离之和()521-+-++=x x x x f 即()???? ???-<+-<≤-+-<≤+≥-=1 ,6321,852,45,63x x x x x x x x x f 由图象可得：当()62min ==x f x 时 四、典型题型 1、解关于x 的不等式10832 <-+x x 解：原不等式等价于1083102<-+<-x x ， 即???<-+->-+10 8310 832 2x x x x ?? ??<<--<->3 62 1x x x 或 ∴ 原不等式的解集为)3,1()2,6(--- 2、解关于x 的不等式 23 21 >-x 解：原不等式等价于??? ??<-≠-2 132032x x ? ????? <<≠4 74523x x 3、解关于x 的不等式212+<-x x 解：原不等式可化为22)2()12(+<-x x ∴ 0)2()12(22<+--x x 即 0)13)(3(<+-x x 解得：331 <<-x ∴ 原不等式的解集为)3,3 1 (- 4、解关于x 的不等式1212-<-m x )(R m ∈ 解：⑴ 当012≤-m 时，即2 1 ≤m ，因012≥-x ，故原不等式的解集是空 集。 ⑵ 当012>-m 时，即2 1 >m ，原不等式等价于 1212)12(-<-<--m x m 解得：m x m <<-1 综上，当21≤m 时，原不等式解集为空集;当2 1 >m 时，不等式解集为 {}m x m x <<-1 5、解关于x 的不等式1312++<--x x x 解：当3- ??++-<----<1)3()12(3 x x x x ，无解 当213≤≤-x ，得?????++<---≤ ≤-1 3)12(2 13x x x x ，解得：2143≤<-x 当21>x 时，得?? ???++<--> 13122 1x x x x ，解得：21>x 综上所述，原不等式的解集为43(-，)2 1 6、解关于x 的不等式521≥++-x x （答案：),2[]3,(+∞--∞ ） 解： 五、巩固练习 1、设函数)2(,312)(-++-=f x x x f 则＝ ;若2)(≤x f ，则x 的取值范围 是 . 2、已知a ∈R ，若关于x 的方程21 04 x x a a ++- +=有实根，则a 的取值范围 是 ． 3、不等式 12 1 ≥++x x 的实数解为 ． 4、解下列不等式 ⑴ 4321x x ->+； ⑵ |2||1|x x -<+； ⑶ |21||2|4x x ++->； ⑷ 4|23|7x <-≤ ； ⑸ 241<--x ； ⑹ a a x <-2 （a R ∈） 5、若不等式62<+ax 的解集为()1,2-，则实数a 等于 （ ） .A 8 .B 2 .C 4- .D 8- 6、若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（ ） .A {}01x x ≤<.B {0x x <且1}x ≠-.C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 7、()1对任意实数x ，|1||2|x x a ++->恒成立，则a 的取值范围是 ； ()2对任意实数x ，|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ； ()3若关于x 的不等式|4||3|x x a -++<的解集不是空集，则a 的取值范围是 ； 8、不等式x x 3102 ≤-的解集为（ ） .A {|2x x ≤≤ .B {}|25x x -≤≤ .C {}|25x x ≤≤ .D {} | 5x x ≤≤ 9、解不等式：221>-+-x x 10、方程x x x x x x 323222++=++的解集为 ，不等式x x x x ->-22的解集是 ； 12、不等式x 0)21(>-x 的解集是（ ） .A )21,(-∞ .B )21,0()0,( -∞ .C ),21(+∞ .D )2 1,0( 11、不等式3529x ≤-<的解集是 .A () (),27,-∞-+∞ .B []1,4 .C [][]2,14,7- .D (][)2,14,7- 12、 已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值 13、解关于x 的不等式：①解关于x 的不等式31<-mx ；②a x <-+132)(R a ∈ 14、不等式1|1|3x <+<的解集为（ ）. .A (0,2) .B (2,0) (- .C (4,0)- .D (4,2) (0,2)-- 15、 设集合{} 22,A x x x R =-≤∈，{ } 21,2 ≤≤--==x x y y B ，则()R C A B 等于 ( ) .A R .B {},0x x R x ∈≠ .C {}0 .D ? 16、不等式211x x --<的解集是 ． 17、设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈ （参考答案） 1、 6 ； ? ； 2、 ]4,0[ 3、)2 3,2()2,(----∞ 4、⑴ ???? ??><23 1x x x 或 ⑵ ???? ??> 21x x ⑶ ? ?? ???>-<121x x x 或 ⑷ ? ?? ? ?? ≤<-<≤-5272 12x x x 或 ⑸ {}7315<<-<<-x x x 或 ⑹ 当0>a 时，{ } a x a x 22<<- ；当0≤a 时，不等式的解集为? 5、C 6、D 7、⑴ 3a ； ⑶ 7>a ； 8、C 9、? ?? ? ?? >< 2521x a x x 或 10、{}023>≤<-x x x 或；{}02<>x x x 或 11、D 12、 15 13、① 当0=m 时，R x ∈；当0>m 时，m x m 42<<-；当0 x m 2 4-<< ② 当01>+a ，即1->a 时，不等式的解集为???? ?? -<<-122a x a x ； 当01≤+a ，即1-≤a 时，不等式的解集为?； 14、D 15、B 16、0(，)2 17、当01>-a ，即1<2或； 当01=-a ，即1=a 时，不等式的解集为{}1≠x x ； 当01<-a ，即1>a 时，不等式的解集为R ； 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 下面我们就人大附中初一学生的家庭作业进行讲解如何对绝对值进行化简 首先我们要知道绝对值化简公式： 例题1：化简代数式 |x-1| 可令x-1=0，得x=1 （1叫零点值） 根据x=1在数轴上的位置，发现x=1将数轴分为3个部分 1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当x=1时，x-1=0，则|x-1|=0 3）当x>1时，x-1>0，则|x-1|=x-1 另解，在化简分组过程中我们可以把零点值归到零点值右侧的部分 1）当x<1时，x-1<0，则|x-1|=-(x-1)=-x+1 2）当x≥1时，x-1≥0，则|x-1|=x-1 例题2：化简代数式 |x+1|+|x-2| 解：可令x+1=0和x-2=0，得x=-1和x=2（-1和2都是零点值） 在数轴上找到-1和2的位置，发现-1和2将数轴分为5个部分 1）当x<-1时，x+1<0，x-2<0，则|x+1|+|x-2|=-（x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+1 2）当x=-1时，x+1=0，x-2=-3，则|x+1|+|x-2|=0+3=3 3）当-1 1 精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年级：高三课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学 学科教师：刘剑授课 类型 T (同步知识主题) C （专题方法主题） C （专题方法主题） 授课日 期时段教学内容 绝对值类型（2） 专题二：局部绝对值 例1：若不等式a ＋21 x x ≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为． 例2：关于x 的不等式x 2＋9＋|x 2－3x |≥kx 在[1,5]上恒成立，则实数k 的范围为________．例3：设实数1a ，使得不等式a a x x 23，对任意的实数2,1x 恒成立，则满足条件的实数a 的范围是 . 2 例4：设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x ∈R ，a 为实数)． (1)若f(x)为偶函数，求实数 a 的值；(2)a=2时，讨论函数)(x f 的单调性； (3)设a>2，求函数f(x)的最小值． 例习1：已知函数f(x)＝|x －m|和函数g(x)＝x|x －m|＋m 2 －7m. (1)若方程f(x)＝|m|在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；[来源学#科#网Z#X#X#K](2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f(x 1)>g(x 2)成立，求实数m 的取值范围．练习2：设 a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a . （1）若 (0)1f ，求a 的取值范围；（2）求()f x 的最小值； （3）设函数 ()(),(,)h x f x x a ，求不等式()1h x 的解集. 3 专题三：整体绝对值 3 例1.已知函数f(x)＝|x 2＋2x －1|，若a ＜b ＜－1，且f(a)＝f (b)，则ab ＋a ＋b 的取值范围是． 例2.设函数d cx bx ax x f 23)(是奇函数，且当33x 时，)(x f 取得最小值932设函数)1,1()13()()(x x t x f x g ，求)(x g 的最大值)(t F 练习3：21 0x 时，21 |2|3x ax 恒成立，则实数a 的取值范围为． 练习4：设函数3221() 23(01,)3 f x x ax a x b a b R . （Ⅰ）求函数f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）若对任意的 ],2,1[a a x 不等式f x a 成立，求a 的取值范围。 含绝对值的不等式解法练习题及答案 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ]答选C． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A．3 B．2 C．－2 D．－5 分析列出不等式． 解根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x＜－2或2＜x≤5，其中最小整数为－5， 答选D． 例3不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析利用所学知识对不等式实施同解变形． 解原不等式可化为4＜|3x－1|≤7，即4＜3x－1≤7或－7例4已知集合A＝{x|2＜|6－2x|＜5，x∈N}，求A． 分析转化为解绝对值不等式． 解∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x－6|＜5 因为x∈N，所以A＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a，b满足ab＜0，那么 [ ] A．|a－b|＜|a|＋|b| B．|a＋b|＞|a－b| C．|a＋b|＜|a－b| D．|a－b|＜||a|＋|b|| 分析根据符号法则及绝对值的意义． 解∵a、b异号， ∴ |a＋b|＜|a－b|． 答选C． 例6 设不等式|x－a|＜b的解集为{x|－1＜x＜2}，则a，b 的值为 [ ] A．a＝1，b＝3 B．a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝－3 分析解不等式后比较区间的端点． 解由题意知，b＞0，原不等式的解集为{x|a－b＜x＜a＋b}，由于解集又为{x|－1＜x＜2}所以比较可得． 答选D． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组．例7 解关于x的不等式|2x－1|＜2m－1(m∈R) 市一中数学科课时教学设计格式 执教时间:10年9月21日第4周星期二执教班级：初一(5)（6）班执教人：曾海容 学法探求自主发现法，启发引导法，采用小组交流合作和“想——做——想”数学思想相结合的方法。 教具学具准备教具：多媒体课件，三角板；学具：铅笔、三角尺。 教学过程设计 教 学 环 节 教学内容教师活动学生活动设计意图 导入新课第一环节情境引入,激发兴趣 1、让学生观察图画，并回答问题，“大 象和两只小狗分别距离原点多远？”利用 图画将学生引入一定的问题情境，学生积 极思考问题，解决问题，进入主题的重要 环节。 2、引入课题：绝对值 引导学生积 极思考回答 问题。 板书课题。 感知和欣赏生 活中的图形， 并思考教师提 出的问题。 利用动画 展示，让学 生在有趣 的问题情 境中获取 对绝对值 概念的感 性认识.并 激发学生 学习的积 极性与主 动性。 讲授新课 第二环节合作交流，解读探究 1、引入绝对值概念 一个数在数轴上对应的点与原点的 距离叫做这个数的绝对值，用符号“| |” 表示。 [板演] 例1 求下列各数的绝 对值：21 -， 4 9 +，0，7.8 -. 解：|21 -|=21; | 4 9 +|= 4 9 ; |0|=0; |7.8 -|=7.8. [口答] 说出下列各数的绝对值 7-， 2.05 -，0，0.25，1000. [板书：绝 对值的概 念] 经历探索、发 现、思考用数 轴表示数和绝 对值的性质的 联系与区别。 引导学生进 入发现的过 程，让学生对 研究对象的 意义、内容和 解决方法产 生兴趣做好 探索解决问 题的精神准 备。 函数的性质与带有绝对值的函数 一、复习要点 基本初等函数性质主要包含了函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及周期性等，另外最值问题、含参问题、范围问题等是重点复习的内容，特别是含有绝对值的函数问题难度都比较大，当涉及到最值问题时，分类讨论与数形结合是常用方法. 二、基础训练 1．(1)若f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝1＋3 x ，则f (x ) ＝ ． （2）若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)=0，则f (x )＜0的x 的取值范围是 ． 【答案】（1）?????－1＋3x ，x ＜0 0， x ＝0 1＋3 x ， x ＞0 ；（2）(－2，2). 2.已知函数()log 1(01)a f x x a a =+>≠且，若当(0,1)x ∈时恒有()0f x <,则函数 23 ()log () 2a g x x ax =-+ 的递减区间是 . 【答案】(0,)3 a . 3．（1）若函数y ＝log 2(x ＋2)的图象与y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )= ． （2）已知f (x )＝log 2|ax ＋3|关于x ＝1对称，则实数a ＝ ． 【答案】（1）log 2(4－x )；（2）－3或0． 4.已知函数()lg f x x =，若0a b <<且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是 . 【答案】()3,+∞. 5.()||f x x a =-在()2+∞， 上为增函数，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≤. 6.关于x 的方程()(0)x a x a a a --=≠的实数解的个数为 . 【答案】1个. 7.2 3x m b --=有4个根，则实数b 的取值范围是 . 【答案】02b <<. 8.若不等式a ＋21x x -≥2log 2x 在x ∈(12，2)上恒成立，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】1a ≥. （2）若函数()x f 满足条件（1），且对任意[]10,30∈x ，总有()[]10,30∈x f ，求c 的取值范围； （3）若0b =，函数()x f 是奇函数，()01=f ，()2 3 2-=-f ，且对任意[)+∞∈,1x 时， 高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ? ??<<-∈21x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+ 第二讲绝对值 【数学小故事】： 动物中的数学“天才” 蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成，组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料，蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极少。 丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字开。“人”字形的角度是110度，更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契？” 蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺和圆规也很难画出像蜘蛛那样匀称的图案。 冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。 真正的数学“天才”是珊瑚虫。珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。奇怪的是，古生物学业家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天。 一、回顾与预习 （一）知识回顾 1、具有、、的叫做数轴。 2、3到原点的距离是，-5到原点的距离是，到原点的距离是6的数有，到原点距离是1的数有。 3、2的相反数是，-3的相反数是，a的相反数是， -a b的相反数是。 （二）探究新知 问题1、两位同学在书店O处购买书籍后坐出租车回家，甲车向东行驶了10公里到达A处，乙车向西行驶了10公里到达B处。若规定向东为正，则A处记做，Ｂ处记做。 、的位置； （1）请同学们画出数轴，并在数轴上标出A B 、两点又有什（2）这两辆出租车在行驶的过程中，有没有共同的地方？在数轴上的A B 么特征？ 分段函数与绝对值函数练习 一、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=?????≥--<+, 114,1)1(2x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=?- 7. 已知函数13 2 (0)()(01)log (1)x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数221(0)()(0)x x f x x x ?+≥?=?-≤n n 求f （2002）. 解：∵2002＞2000， ∴f （2002）=f ［f （2002－18）］=f ［f （1984）］=f ［1984+13］=f （1997）=1997+13=2010. 感悟方法 求值时代入哪个解析式,一定要看清自变量的取值在哪一段上. 【例2】判断函数22(1)(0)()(1)(0)x x x f x x x x ?-≥?=?-+0时，－x<0, f(－x)= －(－x)2(－x+1)=x 2(x －1)=f(x)； 当x=0时，f(－0)=f(0)=0；当x<0时，f(－x)=( －x)2(－x －1)= －x 2(x+1)=f(x)。因此，对任意x ∈R 都有f(-x)=f(x)，所以函数f(x)为偶函数。 2．11分段函数与绝对值函数 ——随着高考命题思维量的加大,分段函数成了新的热点和亮点,单设专题,以明析强化之 一、明确复习目标 了解分段函数的有关概念；掌握分段函数问题的处理方法 二．建构知识网络 1.分段函数:定义域中各段的x 与y 的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 分段函数是一个函数,定义域、值域都是各段的并集。 2.绝对值函数去掉绝对符号后就是分段函数. 3.分段函数中的问题一般是求解析式、反函数、值域或最值,讨论奇偶性单调性等。 4.分段函数的处理方法:分段函数分段研究. 三、双基题目练练手 1.设函数f （x ）=???? ?≥--<+, 11 4,1) 1(2 x x x x 则使得f （x ）≥1的x 的取值范围为 ( ) A.（－∞，－2］∪［0，10］ B.（－∞，－2］∪［0，1］ C.（－∞，－2］∪［1，10］ D.［－2，0］∪［1，10］ 2．(2006安徽)函数2 2,0 ,0x x y x x ≥?=? - 4.（2006全国Ⅱ）函数19 1 ()n f x x n == -∑的最小值为 ( ) （A ）190 （B ）171 （C ）90 （D ）45 5.（2005北京市西城模拟）已知函数f （x ）=?? ?<-≥-), 2(2 ), 2(2 x x x 则f （lg30－lg3） =___________；不等式xf （x －1）＜10的解集是_______________. 6. （2006浙江）对R b a ∈,,记则{}? ??≥=b a b b a a b a ＜,,,max 则函数 (){}()R x x x x f ∈-+=2,1max 的最小值是 . 7. 已知函数1 3 2 (0)()(01)log (1) x x f x x x x ?<=≤≤>??,当a <0时,f {f [f (a )]}= 8.函数2 21(0) ()(0) x x f x x x ?+≥?=?- 含绝对值的不等式解法·典型例题 能力素质 例1 不等式|8－3x|＞0的解集是 [ ] A B R C {x|x } D {83 }．．．≠．? 83 分析∵－＞，∴－≠，即≠． |83x|083x 0x 83 答 选C ． 例2 绝对值大于2且不大于5的最小整数是 [ ] A ．3 B ．2 C ．－2 D ．－5 分析 列出不等式． 解 根据题意得2＜|x|≤5． 从而－5≤x ＜－2或2＜x ≤5，其中最小整数为－5， 答 选D ． 例3 不等式4＜|1－3x|≤7的解集为________． 分析 利用所学知识对不等式实施同解变形． 解 原不等式可化为4＜|3x －1|≤7，即4＜3x －1≤7或－7 ≤－＜－解之得＜≤或－≤＜－，即所求不等式解集为－≤＜－或＜≤．3x 14x 2x 1{x|2x 1x }53835383 例4 已知集合A ＝{x|2＜|6－2x|＜5，x ∈N}，求A ． 分析 转化为解绝对值不等式． 解 ∵2＜|6－2x|＜5可化为 2＜|2x －6|＜5 即－＜－＜，－＞或－＜－， 52x 652x 622x 62??? 即＜＜，＞或＜，12x 112x 82x 4??? 解之得＜＜或＜＜．4x x 211212 因为x ∈N ，所以A ＝{0，1，5}． 说明：注意元素的限制条件． 例5 实数a ，b 满足ab ＜0，那么 [ ] A ．|a －b|＜|a|＋|b| B ．|a ＋b|＞|a －b| C ．|a ＋b|＜|a －b| D ．|a －b|＜||a|＋|b|| 分析 根据符号法则及绝对值的意义． 解 ∵a 、b 异号， ∴ |a ＋b|＜|a －b|． 答 选C ． 例6 设不等式|x －a|＜b 的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ，b 的值为 [ ] A ．a ＝1，b ＝3 B ．a ＝－1，b ＝3 C ．a ＝－1，b ＝－3 D a b ．＝，＝1232 分析 解不等式后比较区间的端点． 解 由题意知，b ＞0，原不等式的解集为{x|a －b ＜x ＜a ＋b}，由于解集又为{x|－1＜x ＜2}所以比较可得． a b 1a b 2 a b －＝－＋＝，解之得＝，＝．???1232 答 选D ． 说明：本题实际上是利用端点的位置关系构造新不等式组． 例7 解关于x 的不等式|2x －1|＜2m －1(m ∈R) 分析 分类讨论． 解若－≤即≤，则－＜－恒不成立，此时原不等 2m 10m |2x 1|2m 112 式的解集为；? 若－＞即＞，则－－＜－＜－，所以－＜2m 10m (2m 1)2x 12m 11m 12 x ＜m ． 解绝对值不等式题型探讨 题型一 解不等式2|55|1x x -+<． ［题型1］解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜ 2.3 绝对值 1.会借助数轴，理解绝对值和相反数的概念。 2．知道| a|的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。 3．会求一个数的绝对值和相反数，能用绝对值比较两个负数的大小 （1）如果两个数只有_________，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这 两个数 ； (2)在数轴上，_____________________________________叫做这个数的绝对值。有理数a 的绝对值记作： 。 （3）一个正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；０的绝对值是 ． （4）—3的绝对值是_____，0的绝对值是_______，_________的绝对值是1 │-8│= ， -│8│= ，│x │=8，则x= 探究1：让学生观察图画，并回答问题，“两只狗分别距原点多远?” 1． 引入绝对值概念 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数 a 的绝对值记作│a │．如│+3│=3，│-3│=3，│0│=0． 2．求下列各数的绝对值： - 7.8， 7.8， - 21， 21，-94，9 4， 0 3．议一议：（1）互为相反数的两个数的绝对值有什么关系? （2）一个数的绝对值与这个数有什么关系? 4．通过上面例子，引导学生归纳总结出： 探究2： 1、(1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小： -1.5 ， -3 ， -1 ， -5 ； (2)求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小； (3)你发现了什么? 2．比较下列每组数的大小： (1)-1和-5； (2)65 - 和 -2.7。 得分： 1. │-5│= , │+3│= ，│0│= . 2.一个数的绝对值是它本身,那么这个数一定是 . 3.用“>、<、=”填空：│+8│ │-8│ , -5 -8. 4.如果一个数的绝对值等于 4，那么这个数等于 . 5.绝对值小于3的整数有 个,分别是 . 6．比较：－12和-23 的大小 1．绝对值小于4的所有负整数有_________；绝对值不大于10.2的整数有 个。 2．如果a 表示一个数，那么a - 表示_____，|a|表示_____________。 3．在数轴上,离开表示数2的点距离是3的点表示的数是_______． 4．若│x -3│+│y+4│+│z -5│=0,分别求x,y,z 的值． 5.比较下列各组数的大小： (1) (2) (3) (4) 6选做题： 若 则a 0; 若 则a 0. ,a a -=,a a =;,72101--;,5.03 2--;,032-.7,7- 含绝对值的不等式的解法 一、 基本解法与思想 解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。 （一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。 主要知识： 1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。 2、a x >与a x <型的不等式的解法。 当0>a 时，不等式>x 的解集是{} a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是} a x a x <<-; 当0的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是?; 3．c b ax >+与 c b ax <+型的不等式的解法。 把 b ax + 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。 当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{ } c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-; 当0 标准实用 绝对值函数和绝对值不等式【知识点】 一、绝对值的性质 a，a≥0， 1.| a|= －a， a<0 推论①： |ab |≥ab ( 当且仅当ab ≥0时，“=”成立)； 推论②： |ab |≥－ab (当且仅当ab ≤0时，“=”成立). 2.| a| 2= a2； 二、绝对值不等式 3.若 a2≥b 2，则| a|≥|b |； 证明：由性质 2， a 2≥ 2a2≥2 a ≥ b |. b| ||b || | | 4.| a| ≥a， ( 当且仅当a≥0时等号成立 )； 推论③： |ab |≥ab . 推论④： || a| － |b || ≤| a±b| ≤|a|+| b |. 证明： (1) || a|－| b||≤|a－b |： 因为 |ab |≥ab，所以：－ 2| ab |≤－2 ab，所以：a2 + b2－ 2| ab|≤a2+ b2－ 2ab，由性质 2 ，则： (|a|－| b|)2≤(a－b)2，由性质 3即证 . 此时，当且仅当ab ≥0时等号成立. (2) || a|－ |b||≤|a+ b |. 证明：由推论②：|ab |≥－ab，所以：－ 2| ab |≤2 ab，从而： (|a|－| b |)2≤(a+b )2，由性质2即证 .此时，“ = ”成立的条件为ab ≤0. (3)由 2 ab ≤2| ab |=2||| b |，则( +)2≤(||+| b |) 2，由性质 2 即证 .等号成立的条件为 ab ≥0. a a b a 同理可： |a－b |≤|a|+| b |.等号成立的条件ab ≤0. 推⑤： |a1 + a2 + ?+ a n |≤| a1 |+| a2 |+ ?+| a n|. 明：当 n=2，然成立； 当 n = k ，有：|a1+ a2+?+ a k|≤|a1|+| a2|+?+| a k|； 当 n = k+1，|a1+a2+?+a k+a k+1|=|(a1+a2+?+a k)+a k+1|≤|a1+a2+?+a k|+|a k+1|≤|a1 |+| a2|+ ?+| a k |+| a k+1 |. | a+ b |，ab≥0 ， 推⑥： |a|+| b|=|a|+| b|=max{|a+ b |，|a－ b |}. | a－b | ，ab <0 ， 明：若 ab ≥0，然有|a|+| b |=| a+ b|， 且此： |a+ b| ≥|a－b|，所以： |a|+| b |=max{| a+ b |， |a－b |}； ab <，同理可. 5. 任意a，b∈ R，a+ b +| a－b |=2max{a， b }. 明：由于称性，不妨≥ ，： a + b +| a － b |= a + b + a － b =2 a =2max{ a ， b }. a b 6. 任意a，b∈ R，a+ b－ | a－b |=2min{a， b }. 明： a+ b =max{ a， b }+min{ a， b}，由性 5 ， |a－b |=2max{a， b }－(a+ b)，从而： a+ b －|a－ b |= a+ b －[2max{ a，b }－(a+ b )]=2(a+ b )－2max{ a，b}=2max{ a，b }+2min{a， b }－2max{ a， b}=2min{a， b}. 7. 任意数a，b， |a+ b |+| a－b |=2max{|a|，| b |}. 明①：不妨 a≥b ，|a－ b|+| a+ b |= a－ b+| a－(－ b )|=2max{a，－ b }； 若 b≤a≤0，2max{ a，－ b }=2(－ b)=2max{| a|，| b|}； 若 b≤0≤a，2max{ a，－ b }=2max{| a|，|b |}； 若 0 ≤b≤a， 2max{ a，－b }=2 a=2max{| a|， |b |}. 去绝对值符号的几种常用方法 湖南祁东育贤中学 周友良 421600 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥?? -????≤?； |x |>c (0) 0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 学案17 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0高中数学 含绝对值的函数图象的画法及其应用素材
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