(完整版)全等三角形经典例题(含答案)

全等三角形证明题精选

一．解答题（共30小题）

1．四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．

2．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；

（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．

3．如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．

4．如图，点O是线段AB和线段CD的中点．

（1）求证：△AOD≌△BOC；

（2）求证：AD∥BC．

5．如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．

6．如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．

7．如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．

8．如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．

9．如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB

求证：AE=CE．

10．如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

11．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．

12．已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．

（1）求证：BD=CE；

（2）求证：∠M=∠N．

13．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．

14．如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠B=∠E．

15．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．（1）求证：AB=AC；

（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．

16．如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．

17．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．

18．已知：如图，点B、F、C、E在一条直线上，BF=CE，AC=DF，且AC∥DF．

求证：△ABC≌△DEF．

19．已知：点A、C、B、D在同一条直线，∠M=∠N，AM=CN．请你添加一个条件，使△ABM≌△CDN，并给出证明．

（1）你添加的条件是：；

（2）证明：．

20．如图，AB=AC，AD=AE．求证：∠B=∠C．

21．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．

求证：BE=CF．

22．一个平分角的仪器如图所示，其中AB=AD，BC=DC．求证：∠BAC=∠DAC．

23．在数学课上，林老师在黑板上画出如图所示的图形（其中点B、F、C、E在同一直线上），并写出四个条件：①AB=DE，②BF=EC，③∠B=∠E，④∠1=∠2．

请你从这四个条件中选出三个作为题设，另一个作为结论，

组成一个真命题，并给予证明．

题设：；结论：．（均填写序号）

证明：

24．如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．

求证：AC=DF．（要求：写出证明过程中的重要依据）

25．如图，已知AB=DC，AC=DB．求证：∠1=∠2．

26．如图，D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，BE与CD相交于O点．现有四个条件：①AB=AC；②OB=OC；③∠ABE=∠ACD；④BE=CD．

（1）请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确的命题：

命题的条件是和，命题的结论是和（均填序号）；

（2）证明你写出的命题．

27．如图，已知AB∥DE，AB=DE，AF=DC，请问图中有哪几对全等三角形并任选其中一对给予证明．

28．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C，点E是BC边上的中点．

求证：AE=DE．

29．如图，给出下列论断：①DE=CE，②∠1=∠2，③∠3=∠4．请你将其中的两个作为条件，另一个作为结论，构成一个真命题，并加以证明．

30．已知：如图，∠ACB=90°，AC=BC，CD是经过点C的一条直线，过点A、B分别作AE⊥CD、BF⊥CD，垂足为E、F，求证：CE=BF．

全等三角形证明题精选

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016?连云港）四边形ABCD中，AD=BC，BE=DF，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F．

（1）求证：△ADE≌△CBF；

（2）若AC与BD相交于点O，求证：AO=CO．

【分析】（1）根据已知条件得到BF=DE，由垂直的定义得到∠AED=∠CFB=90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；

（2）如图，连接AC交BD于O，根据全等三角形的性质得到∠ADE=∠CBF，由平行线的判定得到AD∥BC，根据平行四边形的性质即可得到结论．

【解答】证明：（1）∵BE=DF，

∴BE﹣EF=DF﹣EF，

即BF=DE，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AED=∠CFB=90°，

在Rt△ADE与Rt△CBF中，，

∴Rt△ADE≌Rt△CBF；

（2）如图，连接AC交BD于O，

∵Rt△ADE≌Rt△CBF，

∴∠ADE=∠CBF，

∴AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

2．（2016?曲靖）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D．（1）求证：AC∥DE；

（2）若BF=13，EC=5，求BC的长．

【分析】（1）首先证明△ABC≌△DFE可得∠ACE=∠DEF，进而可得AC∥DE；

（2）根据△ABC≌△DFE可得BC=EF，利用等式的性质可得EB=CF，再由BF=13，EC=5进而可得EB的长，然后可得答案．

【解答】（1）证明：在△ABC和△DFE中，

∴△ABC≌△DFE（SAS），

∴∠ACE=∠DEF，

∴AC∥DE；

（2）解：∵△ABC≌△DFE，

∴BC=EF，

∴CB﹣EC=EF﹣EC，

∴EB=CF，

∵BF=13，EC=5，

∴EB==4，

∴CB=4+5=9．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

3．（2016?孝感）如图，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，AD=AE．求证：BE=CD．

【分析】要证明BE=CD，只要证明AB=AC即可，由条件可以求得△AEC和△ADB全等，从而可以证得结论．

【解答】证明；∵BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，

∴∠ADB=∠AEC=90°，

在△ADB和△AEC中，

∴△ADB≌△AEC（ASA）

∴AB=AC，

又∵AD=AE，

∴BE=CD．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

4．（2016?湘西州）如图，点O是线段AB和线段CD的中点．

（1）求证：△AOD≌△BOC；

（2）求证：AD∥BC．

【分析】（1）由点O是线段AB和线段CD的中点可得出AO=BO，CO=DO，结合对顶角相等，即可利用全等三角形的判定定理（SAS）证出△AOD≌△BOC；

（2）结合全等三角形的性质可得出∠A=∠B，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出结论．

【解答】证明：（1）∵点O是线段AB和线段CD的中点，

∴AO=BO，CO=DO．

在△AOD和△BOC中，有，

∴△AOD≌△BOC（SAS）．

（2）∵△AOD≌△BOC，

∴∠A=∠B，

∴AD∥BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定定理，解题的关键是：（1）利用SAS证出△AOD≌△BOC；（2）找出∠A=∠B．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的判定定理证出两三角形全等，结合全等三角形的性质找出相等的角，再依据平行线的判定定理证出两直线平行即可．

5．（2016?云南）如图：点C是AE的中点，∠A=∠ECD，AB=CD，求证：∠B=∠D．

【分析】根据全等三角形的判定方法SAS，即可证明△ABC≌△CDE，根据全等三角形的性质：得出结论．

【解答】证明：∵点C是AE的中点，

∴AC=CE，

在△ABC和△CDE中，，

∴△ABC≌△CDE，

∴∠B=∠D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，直角三角形还有HL．

6．（2016?宁德）如图，已知△ABC和△DAE，D是AC上一点，AD=AB，DE∥AB，DE=AC．求证：AE=BC．

【分析】根据平行线的性质找出∠ADE=∠BAC，借助全等三角形的判定定理ASA证出△ADE≌△BAC，由此即可得出AE=BC．

【解答】证明：∵DE∥AB，

∴∠ADE=∠BAC．

在△ADE和△BAC中，，

∴△ADE≌△BAC（ASA），

∴AE=BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

7．（2016?十堰）如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF=BF．求证：AF=DF．

【分析】欲证明AF=DF只要证明△ABF≌△DEF即可解决问题．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠B=∠FED，

在△ABF和△DEF中，

，

∴△ABF≌△DEF，

∴AF=DF．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判断和性质，熟练掌握平行线的性质，属于基础题，中考常考题型．

8．（2016?武汉）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：AB∥DE．

【分析】证明它们所在的三角形全等即可．根据等式的性质可得BC=EF．运用SSS证明△ABC与△DEF全等．

【解答】证明：∵BE=CF，

∴BC=EF，

在△ABC与△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS），

∴∠ABC=∠DEF，

∴AB∥DE．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定．全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的对应角相等．

9．（2016?昆明）如图，点D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB

求证：AE=CE．

【分析】根据平行线的性质得出∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，再根据全等三角形的判定定理AAS得出△ADE≌△CFE，即可得出答案．

【解答】证明：∵FC∥AB，

∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠CFE，

在△ADE和△CFE中，

，

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AE=CE．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理SSS、SAS、ASA、AAS、HL是解题的关键．

10．（2016?衡阳）如图，点A、C、D、B四点共线，且AC=BD，∠A=∠B，∠ADE=∠BCF，求证：DE=CF．

【分析】求出AD=BC，根据ASA推出△AED≌△BFC，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵AC=BD，

∴AC+CD=BD+CD，

∴AD=BC，

在△AED和△BFC中，

，

∴△AED≌△BFC（ASA），

∴DE=CF．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能求出△AED≌△BFC是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等．

11．（2016?重庆）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD．求证：AE=FB．

【分析】根据CE∥DF，可得∠ACE=∠D，再利用SAS证明△ACE≌△FDB，得出对应边相等即可．

【解答】证明：∵CE∥DF，

∴∠ACE=∠D，

在△ACE和△FDB中，

，

∴△ACE≌△FDB（SAS），

∴AE=FB．

【点评】此题主要考查全等三角形的判定与性质和平行线的性质；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．

12．（2016?南充）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，∠1=∠2．（1）求证：BD=CE；

（2）求证：∠M=∠N．

【分析】（1）由SAS证明△ABD≌△ACE，得出对应边相等即可

（2）证出∠BAN=∠CAM，由全等三角形的性质得出∠B=∠C，由AAS证明△ACM≌△ABN，得出对应角相等即可．

【解答】（1）证明：在△ABD和△ACE中，，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴BD=CE；

（2）证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAE=∠2+∠DAE，

即∠BAN=∠CAM，

由（1）得：△ABD≌△ACE，

∴∠B=∠C，

在△ACM和△ABN中，，

∴△ACM≌△ABN（ASA），

∴∠M=∠N．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．

13．（2016?恩施州）如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．

【分析】通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．

【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，

∴∠CEB=∠BDC=90°．

∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，

∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），

∴∠ECB=∠DBC，

∴AB=AC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．

14．（2016?重庆）如图，在△ABC和△CED中，AB∥CD，AB=CE，AC=CD．求证：∠

B=∠E．

【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ECD，再利用“边角边”证明△ABC和△CED全等，然后根据全等三角形对应角相等证明即可．

【解答】证明：∵AB∥CD，

∴∠BAC=∠ECD，

在△ABC和△CED中，

，

∴△ABC≌△CED（SAS），

∴∠B=∠E．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并找出两边的夹角是解题的关键．

15．（2016?湖北襄阳）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AD=2，∠DAC=30°，求AC的长．

【分析】（1）先证明△DEB≌△DFC得∠B=∠C由此即可证明．

（2）先证明AD⊥BC，再在RT△ADC中，利用30°角性质设CD=a，AC=2a，根据勾股定理列出方程即可解决问题．

【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，

∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，

在RT△DEB和RT△DFC中，

，

∴△DEB≌△DFC，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．

（2）∵AB=AC，BD=DC，

∴AD⊥BC，

在RT△ADC中，∵∠ADC=90°，AD=2，∠DAC=30°，

∴AC=2CD，设CD=a，则AC=2a，

∵AC2=AD2+CD2，

∴4a2=a2+（2）2，

∵a＞0，

∴a=2，

∴AC=2a=4．

【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、直角三角形30°性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，记住直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，属于中考常考题型．

16．（2016?吉安校级一模）如图，Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，∠D=28°，求∠GBF的度数．

【分析】根据全等三角形的性质得到CD=AF，证明∴△DGC≌△AGF，根据全等三角形的性质和角平分线的判定得到∠CBG=∠FBG，根据三角形内角和定理计算即可．

【解答】解：∵Rt△ABC≌Rt△DBF，∠ACB=∠DFB=90°，

∴BC=BF，BD=BA，

∴CD=AF，

在△DGC和△AGF中，

，

∴△DGC≌△AGF，

∴GC=GF，又∠ACB=∠DFB=90°，

∴∠CBG=∠FBG，

∴∠GBF=（90°﹣28°）÷2=31°．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质角平分线的判定，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．

17．（2016?武汉校级四模）如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．求证：△ABC≌△BAD．

【分析】由垂直的定义可得到∠C=∠D，结合条件和公共边，可证得结论．

【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥AD，

∴∠C=∠D=90，

在Rt△ACB和Rt△BDA中，

，

∴△ACB≌△BDA（HL）．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．