二次根式单元 易错题测试综合卷检测
一、选择题
1．若
有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x >
B ．3x ≥
C ．3x ≤
D ．x 是非负数
2．下列各式成立的是（ ） A
3=
B
3=
C
．22(3
=- D
．2-=
3．下列运算正确的是（ ） A
2= B
5=
-
C
2
=
D 012=
4．下列各式中，运算正确的是（
）
A
．
=
-
=
．2=
D 2=-
5．下列运算中，正确的是
( ) A
=
B
1=
C
=
D
=
6．关于代数式1
2
a a +
+，有以下几种说法， ①当3a =-时，则1
2
a a ++的值为-4. ②若1
2
a a +
+
值为2，则a = ③若2a >-，则1
2
a a ++存在最小值且最小值为0. 在上述说法中正确的是（ ）
A ．①
B ．①②
C ．①③
D ．①②③
7．如果关于x 的不等式组0,2
223
x m
x x -?>???-?-<-??的解集为2x
>则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
8．下列计算或判断：（1）±3是27
的立方根；（2
；（3
2；（4；（5
） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
9．
a 的值是（ ）
A ．2
B ．-1
C ．3
D ．-1或3
10．下列各组二次根式中，能合并的一组是（ ） A
B
和
C
D
二、填空题
11．
设4 a,小数部分为 b.则1
a b
-
= __________________________. 12．
已知x =()
21142221x x x x -??+?
= ?-+-??_________ 13．若0a >
化成最简二次根式为________． 14．当x
x 2﹣4x +2017=________．
15．
)30m -≤，若整数a
满足m a +=a =__________． 16．
已知x =，a 是x 的整数部分，b 是x 的小数部分，则a-b=_______ 17．
把_____________. 18．对于任意实数a ，b ，定义一种运算“◇”如下：a ◇b ＝a(a －b)＋b(a ＋b)，如：3◇2＝3×(3－2)＋2×(3＋2)＝13
＝_____. 19．
，3
，
，
，则第100个数是_______．
20．
如果2y ，那么y x =_______________________．
三、解答题
21．阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式
a =
，
)
1
11=
1
1互为有理化因式．
（1
）1的有理化因式是 ；
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
3==，
2
4==
==
进行分母有理化． （3
）利用所需知识判断：若a =
，2b =a b ，的关系是 ． （4
）直接写结果：)
1= ．
【答案】（1
）1；（2
）7-；（3）互为相反数；（4）2019 【分析】
（1）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出； （2
）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可； （3
）将a =
（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可． 【详解】
解：（1
）∵(
)()
1111=，
∴1
的有理化因式是1；
（2
2
243743--
==--
（3
）∵2
a =
==，2b =-
， ∴a 和b 互为相反数；
（4
）)
1++
?
=
)
1
1
?
=)
1
1
=20201- =2019， 故原式的值为2019. 【点睛】
本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．
22．计算：
10099+
【答案】
910
【解析】 【分析】
先对代数式的每一部分分母有理化，然后再进行运算 【详解】
10099++
=
2100992-++++
=991224
-+-++
-
=1- =1110
- =
910
【点睛】
本题看似计算繁杂，但只要找到分母有理化这个突破口，就会化难为易。
23．先观察下列等式，再回答问题：
=1+1=2；
12=2 12
；
=3+
13=31
3
；… （1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；
（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n （n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明．
【答案】（1=144+=144；（2=211n n n n
++=
，证明见解析． 【分析】
（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，
=414+
=414
；
（2=n 211
n n n
++=
”，再利用222
112n n n n
++=+（）（）开方即可证出结论成立．
【详解】
（1=1+1=2=212+
=212
；
=313+
=31
3
；里面的数字分别为1、2、3，
= 144+
= 144
．
（2=1+1=2，
=212+=212=313+=313=414+=4
14
= 211
n n n n
++=
．
证明：等式左边==n 211
n n n
++==右边．
=n 211
n n n
++=
成立． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律
=n 211
n n n
++=
”．解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键．
24．像2)＝1＝a (a ≥0)、﹣1)＝b ﹣1(b ≥0)……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因
+1﹣1，﹣因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．请完成下列问题：
(1)
；
(2)
+；
(3)的大小，并说明理由．
【答案】（1（2）（3）＜ 【解析】
分析：（1=1，确定互为有理化因式，由此计算即可；
（2）确定分母的有理化因式为2与2+然后分母有理
化后计算即可；
（3与
，
，然后比较即可.
详解：(1) 原式
=9；
（2）原式=2+=2+ （3）根据题意，
-=
=，
>
<，
>
点睛：此题是一个阅读题，认证读题，了解互为有理化因式的实际意义，以及特点，然后根据特点变形解题是关键.
25．已知a ，b （1）求a 2﹣b 2的值； （2）求
b a +a
b
的值．
【答案】（1）；（2）10 【分析】
(1)先计算出a+b 、a-b 的值，然后将所求的式子因式分解后利用整体代入思想代入数值进行计算即可；
(2)先计算ab 的值，然后将所求的式子通分，分子进行变形后利用整体代入思想代入相关
数值进行计算即可. 【详解】
(1)∵a
b
， ∴a +b
a ﹣b
＝
， ∴a 2﹣b 2＝(a +b )(a ﹣b )＝
＝
； (2)∵a
b
， ∴ab ＝
)×
)＝3﹣2＝1，
则原式＝
2
2
b a ab +＝
()2
2a b ab ab +-
＝(2
211
-?＝10． 【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握整体代入思想是解题的关键.
26．
计算：0(3)|1|π-+．
【答案】【分析】
根据二次根式的意义和性质以及零次幂的定义可以得到解答． 【详解】
解：原式11=+=
【点睛】
本题考查实数的运算，熟练掌握二次根式的运算和零次幂的意义是解题关键．
27．
已知长方形的长a =
b =. (1)求长方形的周长；
(2)求与长方形等面积的正方形的周长，并比较其与长方形周长的大小关系． 【答案】（1
）2）长方形的周长大. 【解析】
试题分析：（1）代入周长计算公式解决问题；
（2）求得长方形的面积，开方得出正方形的边长，进一步求得周长比较即可． 试题解析： (1)(
)11222223a b ?+=?=???=?= ?
∴长方形的周长为 .
(2)11
4.23
=??=
正方形的面积也为4. 2.= 周长为：428.?=
8.>
∴长方形的周长大于正方形的周长．
28．计算下列各题：
（1
（2）2-．
【答案】（1）2）2-- 【分析】
（1）根据二次根式的运算顺序和运算法则计算即可； （2）利用平方差、完全平方公式进行计算． 【详解】
解：（1）原式==；
（2）原式22(5=--+
525=---
2=--
【点睛】
本题考查二次根式的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】
有意义的x 的取值范围是：x ≥3． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．2．A
解析：A
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：A3
=，故A正确；
B-不能合并，故B错误；
C、22
(
3
=，故C错误；
D、=D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．3．C
解析：C
【分析】
由二次根式的性质，二次根式的混合运算，分别进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：A A错误；
B5
=，故B错误；
C2
==，故C正确；
D01213
=+=，故D错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，二次根式的混合运算，立方根，零指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
4．A
解析：A
【分析】
由合并同类项、二次根式的性质分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、-=A正确；
B=B错误；
C、2不能合并，故C错误；
D 2=，故D 错误；
故选：A ． 【点睛】
本题考查了二次根式的性质，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
5．C
解析：C 【分析】
根据二次根式的加、减、乘、除运算法则对各项进行计算即可得到结果． 【详解】
不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
不是同类二次根式，不能合并，故此选项错误；
=
D 2
=，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答此题的关键．
6．C
解析：C 【分析】
①将3a =-代入12a a +
+计算验证即可；②根据题意1
2
a a +
+=2，解得a 的值即可作出判断；③若a ＞-2，则a+2＞0，则对1
2
a a ++配方，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】
解：①当3a =-时，
11
34232a a +
=-+=-+-+． 故①正确； ②若1
2
a a ++值为2， 则1
22
a a +
=+， ∴a 2+2a+1=2a+4， ∴a 2=3，
∴a =． 故②错误；
③若a ＞-2，则a+2＞0， ∴12a a +
+=1
222
a a ++
-+
=222+-
=2
≥0． ∴若a ＞-2，则1
2
a a ++存在最小值且最小值为0． 故③正确．
综上，正确的有①③． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了分式的加减法、分式的值的计算及最值问题等知识点，熟练运用相关公式及运算法则是解题的关键．
7．C
解析：C 【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02
x m
->得x ＞m ， 解不等式
2
23
x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
8．B
解析：B 【解析】
根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1a
=正确，故（2）正
=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知
=，故
=，故（4
（5）正确.
故选B.
9．C
解析：C
【分析】
根据同类二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
由题意可知：a2-3=2a
∴解得：a=3或a=-1
当a=-1时，该二次根式无意义，
故a=3
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的概念，解题的关键是熟练正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念.
10．B
解析：B
【分析】
先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】
解：A、是最简二次根式，被开方数不同，不是同类二次根式;
B
C
D
故选B．
【点睛】
本题考查的知识点是同类二次根式的定义，解题关键是熟记同类二次根式的定义．
二、填空题
11．【分析】
根据实数的估算求出a,b，再代入即可求解.
【详解】
∵1＜＜2， ∴-2＜-＜-1， ∴2＜＜3
∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-， ∴== 故填：. 【点睛】 此题主要考查无理
解析：1 【分析】
根据实数的估算求出a,b ，再代入1
a b
-即可求解. 【详解】
∵1＜2，
∴-2＜＜-1，
∴2＜43
∴整数部分a=2,小数部分为4，
∴1a
b -
=2222=-=12-
故填：12
-. 【点睛】
此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.
12．【分析】
利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可. 【详解】
将代入得： 故答案为： 【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在
解析：1-
利用完全平方公式化简x =1x =；化简分式，最后将1x =代
入化简后的分式，计算即可. 【详解】
1x =====
()211422(2)(2)2221(2)(2)2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-??+?= ?
-+--+-?? 1
x
x =-
将1x =
1=-
故答案为：1-【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =熟练掌握相关知识点是解题关键.
13．【分析】
先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可. 【详解】 解：∵ ∴ ∴
所以答案是： 【点睛】
本题考查了二次根式的性质.
解析： 【分析】
先判断b 的符号，再根据二次根式的性质进行化简即可. 【详解】 解：∵
40,0a
a b
-≥> ∴0b < 2
a b b b b
=--
所以答案是：
a =.
14．2016 【解析】
把所求的式子化成（x ﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣4x+2017=（x ﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016． 故答案是：2016．
解析：2016 【解析】
把所求的式子化成（x ﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：
x 2﹣4x+2017=（x ﹣2）2+2013 =2+2013=3+2013=2016． 故答案是：2016．
点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因.
15．【分析】
先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围． 【详解】 解： 为整数 为
故答案为：5． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用 解析：5
【分析】
)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=
32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．
【详解】 解：
()230m m --≤
23m ∴≤≤
m a +=
a m ∴=
32a ∴≤≤
7528<<
46a ∴<< a 为整数
a ∴为5
故答案为：5． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出围是解此题的关键．
16．【分析】
先把x 分母有理化求出x= ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可． 【详解】 ∵ ∴ ∴ ∴ 【点睛】
本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．
解析：6【分析】
先把x 分母有理化求出2 ，求出a 、b 的值，再代入求出结果即可． 【详解】
2
x =
== ∵23<
<
∴425<
<
∴4,242a b ==
-=
∴42)6a b -=-=【点睛】
本题考查了分母有理化和估算无理数的大小的应用，解此题的关键是求a 、b 的值．
17．- 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质，可得答案 【详解】
由题意可得： ，即 ∴ 故答案为 【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定
解析：
【解析】 【分析】
根据二次根式的性质，可得答案 【详解】 由题意可得：
1
0m
，即0m
∴1
1
m m
m
m
m
m
m
故答案为【点睛】
本题考查了二次根式的性质与化简，利用了二次根式的性质．解答关键在于根据二次根式的性质确定m 的取值范围.
18．5 【解析】 ◇==5. 故本题应填5.
点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a 对应，b 对应，即将a=，b=，代入到代数式a(a －b)＋b(a ＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则
解析：5 【解析】
32==5.
故本题应填5.
点睛：理解新定义运算的运算规则，其实就是一个对应关系，a，b，即
将，代入到代数式a(a－b)＋b(a＋b)中，再根据二次根式的混合运算法则进行计算，注意最终的结果一定要化为最简二次根式.
19．【分析】
原来的一列数即为，，，，，，于是可得第n个数是，进而可得答案．
【详解】
解：原来的一列数即为：，，，，，，
∴第100个数是．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考
解析：
【分析】
，，于是可得第n
进而可得答案．
【详解】
，
∴第100 ．
故答案为：
【点睛】
本题考查了数的规律探求，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质、找到规律是解题的关键．
20．【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子计算即可．
【详解】
解：∵x－3≥0，3－x≥0，∴x=3，
∴y=﹣2，
∴．
故答案为：．
【点睛】
解析：1 9
【分析】
根据二次根式的有意义的条件可求出x，进而可得y的值，然后把x、y的值代入所求式子
计算即可． 【详解】
解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3， ∴y =﹣2， ∴2
13
9y
x -==． 故答案为：19
． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．
三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无 27．无 28．无