11.(2017·江西赣州厚德外国语学校高三入学考试)设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,若
4
2
3S S =,则64S S =( )
A .2
B .73
C .3
10
D .1或2
(2017·湖南双峰一中高三月考一)已知等比数列
{}n
a 的前n 项和为n
S
,02763=-a a ,
则
3
6
S S 的值是 . 【答案】28
10.(2017·湖南衡阳八中、永州四中高三联考一)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( )
A .31
B .32
C .63
D .64 【答案】C
(2017·河北息县第一高级中学高三测试)设等比数列{a n }的前n 项和为n S ,若02763=-a a ,则
=3
6
S S . 28
(2017·广西柳州铁一中学联考二)设等比数列}{n a 中,前n 项和为n S ,已知83=S ,76=S 则2a =__________.
16
3
-
4. (2017·广西桂林十八中高三月考一)设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则“20a >且
10a >”是“数列{}n S 单调递增”的
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件 D.既不充分也不必要条件
C
4.(2017·湖北武汉高三开学考试)设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为n S ,则4
3
S S =( ) A .5 B .
152
C .
73
D .
157
【答案】
D
山东省临沂市某重点中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)试9. 已知等比数列{}n a 中,21a =错误!未找到引用源。,则其前 错误!未找到引用源。 项的和 3S 的取值范围是 ( )
A. (,1]-∞-
B.(,0)(1,)-∞?+∞
C. [3,)+∞
D. (,1][3,)-∞-?+∞ D
11.已知数列{}n a 满足4,0a 311==++a a n n ,则{}n a 的前10项和等于( )
A. )(10-3-16-
B.)(10-3-19
1 C .)(
10
-3-13 D .)(10-313+
C
福建省龙岩市第一中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(文)试题
D
福建省莆田市第二十五中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学试题 等比数列
}{n a 的公比21
=
q ,前n 项和为n S ,则=3
3a S ( ) A .5 B .15 C .8 D .7
D
桂林市2015—2016学年度上学期期末质量检测
高二年级 理科数学
7.已知数列{}n a 满足()+1=2*n n a a n N ∈,其前n 项和为n S ,则
5
5
S a = A .1516 B .3116 C .1532 D .3132
B
福建省厦门市第六中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科数学试卷 7.设等比数列{}n a 的公比2q =,前n 项和为n S ,则
4
2
S a =( ) A . 2
B . 4
C .
2
15
D .
2
17 C
河北省衡水市冀州中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(理)福建省厦门市第六中学2015-2016学年高二上学期期中考试理科数学试卷 8.设等比数列{a n }的前n 项为S n ,若201620152015201426,26,a S a S =+=+则数列{ a n }的公比为q 为 ( ) A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
B
8、已知等比数列{a n }中,1
23n n a -=?,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n 项和
S n 的值为 A 、31n
-、()
331
n
-、
、
( )
D
2015-2016学年度嘉峪关市一中第一学期期中考卷
12.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足1n n a S +=,则n S 的取值范围是( )
.A (0,1) .B (0,)+∞ .C 1[,1)2 .D 1
[,)2+∞
12.C
2.内蒙古宁城2015-2016
学年度上学期期末素质测试试卷
高二数学(文科卷)
在等比数列{}n a 中,11a =,48a =,那么{}n a 的前5项和是
(A )31- (B )15 (C )31 (D )63 C
7.内蒙古宁城2015-2016
学年度上学期期末素质测试试卷
高二数学(理科卷)
设()n f x 是等比数列21,,,
,n x x x 的各项和,则()2n f 等于
(A )21n - (B )121n +- (C )22n - (D )1
22n +-
B
9.内蒙古宁城2015-2016
学年度上学期期末素质测试试卷
高二数学(理科卷)
设等差数列245,4
,3,77
的前n 和为n S ,若使得n S 最大,则n 等于
(A )7 (B )8 (C )6或7 (D )7或8 D
C
贵州黔东南
A
云南省保山市腾冲八中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科) 9.在等比数列{a n}中,若a3=2S2+1,a4=2S3+1,则公比q=( )
A.﹣3 B.3 C.﹣1 D.1
【考点】等比数列的性质.
【专题】计算题;等差数列与等比数列.
【分析】由已知条件,求出a4﹣a3=2a3,由此能求出公比.
【解答】解:等比数列{a n}中,
∵a3=2S2+1,a4=2S3+1,
∴a4﹣a3=2S3+1﹣(2S2+1)=2(S3﹣S2)=2a3,
∴a4=3a3,
∴q=3.
故选:B.
【点评】本题考查等比数列折公比的求法,是中档题,解题时要熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式.
山东省济宁市曲阜市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷5.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则=( )
A.2 B.C.D.3
【考点】等比数列的前n项和.
【分析】首先由等比数列前n项和公式列方程,并解得q3,然后再次利用等比数列前n项和公式则求得答案.
【解答】解:设公比为q,则===1+q3=3,
所以q3=2,
所以===.
故选B.
【点评】本题考查等比数列前n项和公式.
辽宁省大连二十四中、四十八中联考2015-2016学年高二上学期期中数学试卷 6.设各项均为实数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S10=10,S30=70,则S40等于( )
A.150 B.﹣200 C.150或﹣200 D.400或﹣50
【考点】等比数列的前n项和.
【专题】综合题.
【分析】根据等比数列的前n项和的公式化简S10=10,S30=70,分别得到关于q的两个关系式,两者相除即可求出公比q的10次方的值,然后利用等比数列的前n项和的公式表示S40比S10的值,把q的10次方的值代入即可求出比值,根据比值即可得到S40的值.
【解答】解:根据等比数列的前n项和的公式化简S10=10,S30=70得:
S10==10,S30==70,
则===7,得到1+q10+q20=7,
即(q10)2+q10﹣6=0,解得q10=﹣3(舍去),q10=2,
则====15,
所以S40=15S10=150.
故选A
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值,是一道综合题.
河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(理科).在等比数列{a n} 中,a1=4,公比为q,前n项和为S n,若数列{S n+2}也是等比数列,则q等于()
A.2 B.﹣2 C.3 D.﹣3
【考点】等比关系的确定.
【专题】计算题.
【分析】由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2,s2+2,s3+2成等比数列,即(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)
代入等比数列的前n项和公式整理可得(6+4q)2=24(1+q+q2)+12解方程即可求解
【解答】解:由题意可得q≠1
由数列{S n+2}也是等比数列可得s1+2,s2+2,s3+2成等比数列
则(s2+2)2=(S1+2)(S3+2)
代入等比数列的前n项和公式整理可得
(6+4q)2=24(1+q+q2)+12
解可得q=3
故选C.
【点评】等比数列得前n项和公式的应用需要注意公式的选择,解题时要注意对公比q=1,q≠1的分类讨论,体现了公式应用的全面性.
河南省南阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试卷4.设等比数列{a n}的公比q=2,前n 项和为S n,则=( )
A.2 B.4 C.D.
【考点】等比数列的前n项和.
【专题】计算题;等差数列与等比数列.
【分析】由等比数列的通项公式和求和公式,代入要求的式子化简可得.
【解答】解:由等比数列的求和公式和通项公式可得:==,
故选:C.
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式,属基础题.
吉林省吉林一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科).各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n,若S n=3,S3n=39,则S4n等于( )
A.80 B.90 C.120 D.130
【考点】等比数列的性质.
【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】由已知可得:公比q≠1,q>0.由于S n=3,S3n=39,可得=3,
=39,解得q n=3.=﹣.即可得出.
【解答】解:由已知可得:公比q≠1,q>0.
∵S n=3,S3n=39,
∴=3,=39,
化为q2n+q n﹣12=0,
解得q n=3.
∴=﹣.
则S4n==﹣=120.
故选:C.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、一元二次方程的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(文科)5.若等比数列{a n}的公比q <0,前n项和为S n,则S8a9与S9a8的大小关系是()
A.S8a9>S9a8B.S8a9<S9a8C.S8a9=S9a8 D.不确定
【考点】等比数列的前n项和.
【专题】常规题型.
【分析】首先对S8?a9﹣S9?a8两式作差,然后根据等比数列通项公式和前n项和公式,对其整理变形,进而判断符号可得答案.
【解答】解:S8?a9﹣S9?a8
=?a1q8﹣?a1q7
=
==﹣a12q7.
又q<0,则S8?a9﹣S9?a8>0,即S8?a9>S9?a8.
故选A.
【点评】本题考查等比数列通项公式和前n项和公式,同时考查作差法比较大小.
河南省洛阳市2015-2016学年高二上学期期中数学试题(理科)12.设a n =
+
+…+
,则对任意正整数m ,n (m >n )都成立的是( )
A .a m ﹣a n <
B .a m ﹣a n >
C .a m ﹣a n <
D .a m ﹣a n >
【考点】数列递推式.
【专题】等差数列与等比数列;三角函数的求值.
【分析】利用“放缩法”与等比数列的前n 项和公式即可得出. 【解答】解:a m ﹣
a n =
++…+≤+…+=
.
故选:A .
【点评】本题考查了“放缩法”、等比数列的前n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
河北省邢台一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)15.已知等比数列{a n }的公比q=,且a 1+a 3+…+a 199=180,则a 2+a 4+…+a 200=60.
【考点】等比数列的性质;等比数列的前n 项和.
【专题】转化思想;整体思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】利用a 2+a 4+…+a 200=q (a 1+a 3+…+a 199)即可得出.
【解答】解:∵等比数列{a n }的公比q=,且a 1+a 3+…+a 199=180, 则a 2+a 4+…+a 200=q (a 1+a 3+…+a 199)=
180=60,
故答案为:60.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
黑龙江省牡丹江市第一高级中学2016届高三上学期期末考试数学(文)试题 4、设等比数列}{n a 的公比2
1
=
q ,前n 项和为n S ,则=33a S ( )
A 5
B 7
C 8
D 15 B
甘肃省天水一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)12.在等比数列{a n}中,a1=1,公比q=2,若{a n}前n项和S n=127,则n的值为7.
【考点】等比数列的前n项和.
【专题】计算题.
【分析】由等比数列的前n项和公式可得,127=解方程可求n
【解答】解:由等比数列的前n项和公式可得,127=
解可得,n=7
故答案为:7
【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式的简单运用,属于基础试题.
安徽省安庆市慧德中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)11.已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0,a1=4,则{a n}的前10项和等于( )
A.﹣6(1﹣3﹣10)B.C.3(1﹣3﹣10)D.3(1+3﹣10)
【考点】数列的求和.
【专题】转化思想;定义法;点列、递归数列与数学归纳法.
【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项公式是即可得出.
【解答】解:∵3a n+1+a n=0,a1=4,
∴,
∴数列{a n}是等比数列,首项为4,公比为﹣.
则{a n}的前10项和==3(1﹣3﹣10).
故选:C.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
上海市杨浦区2016届高三上学期期末“3+1”质量调研数学理试题 5. 无穷等比数列
{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ,
且1
lim 2
n n S →∞
=
,则首项1a 的取值范围是_____________. 110,,122???? ? ?????
7.连云港市
2015-2016学年度第一学期期末高二数学综合试题
(6)
已知等比数列
{}
n a 的前n 项和为n S ,若481,4S S == ,则
13
1415a a a a +++= .27
(江西省师大附中2015届高三上学期期末考试)
已知数列{}n a 满足条件:11,21n n a t a a +==+*()n N ∈ (1)判断数列{}1n a +*()n N ∈是否等比数列 (2)若1t =,令1
2n
n n n C a a +=,记123n n T C C C C =+++
+*()n N ∈
求证:①1
11n n n C a a +=- ②1n T <
17.解析:(1)11,21n n a t a a +==+,112(1)n n a a ++=+ ,当1t =-时,10n a +=,{}1n a +不是等比数列,当1t ≠-时,{}1n a +是以1t +为首项,2为等比的等比数列………………(6分)
(2)1t =,由(1)可知{}1n a +是以2为首项,2为等比的等比数列,12,21n n n n a a ∴+=∴=-…(8分)
∴①111
21111
(21)(21)2121n n n n n n n n C a a +++==-=-----…………(10分)
②11111111
(1)()()11337212121
n n n n T ++=-+-++-=-<---…………(12分)
题后反思:研究数列问题的关键在于研究数列的通项,为此,我们就必须根据题设条件来判断数列的类型,看它是否是等差数列、等比数列或某种特殊的数列,如果不是,就应该相办法来构造新数列,使得这一新数列是某种特殊的数列,通过这个新数列来求出原来数列的通项后,问题就比较容易处理了.
17.
桂林市2015—2016学年度上学期期末质量检测
高二年级 文科数学
(本小题满分10分)
已知{}n a 为公比1q >的等比数列,21310
1,3
a a a =+=
,求{}n a 的第n 项n a 及 前n 项和n S . 17. (本题满分10分)
解:依题意,1211=1
10+q =31a q a a q ?????>??
解得1
1=,33a q ????=? . ·
········································································ 6分 ∴12
1=
3=33n n n a --?. ····························································································· 8分 ()
()
1
131
3=31136
n
n n S -=--. ·
············································································· 10分
17. (本小题满分10分)等比数列{n a }的前n 项和为n S ,已知1S ,3S ,2S 成等差数列. (1)求{n a }的公比q ; (2)若1a -3a =3,求n S 解析】(1)依题意有
由于
,故
又,从而。 ——5
(2)由已知可得 故
从而。 ——10
福建省安溪八中2015-2016学年高二上学期期中考试数学文试题18.(本小题满分12分) 已知数列{n a }为递增的等比数列,其中2=9, a 13+=30a a 。 (1)求数列{n a }的通项公式; (2)若21n
n b a =+,求数列{n b }的前n 项和n S
解:(1)设等比数列的公比为q ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 又由已知 2=9, a 13+=30a a 可得
9
930q q
+=,解得133q q ==或 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分
由已知,数列为递增数列,所以可知3q = ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 即 222933n n n n a a q --==?= ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分
(2)∵
21n n b a =+ 所以
12121(231)(231)(231)72(333) 93(13)
21333
n n n n n S n n
n +=?++?+++?+=?++
+-=?+-=+-┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄分
┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄分
即数列{n b }的前n 项和n S 为1
33n n ++- ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分
吉林省吉林一中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(理科)13.S n 是数列{a n }的前n 项和,若
,则
=.
【考点】数列的求和.
【专题】转化思想;数学模型法;等差数列与等比数列.
【分析】利用递推关系可得a n ,再利用等比数列的前n 项和公式即可得出. 【解答】解:∵
,
∴当n=1时,a 1=2;当n≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=(3n ﹣1)﹣(3n ﹣1﹣1)=2×3n ﹣1. 当n=1时上式也成立,
∴a n =2×3n ﹣1. ∴
=4×32n ﹣2=4×9n ﹣1.
∴数列{
}是等比数列,首项为4,公比为9.
∴==;
故答案为:.
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n 项和公式、递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
19.内蒙古宁城2015-2016
学年度上学期期末素质测试试卷
高二数学(理科卷)
(本题满分12分)
设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ)推导{}n a 的前n 项和n S 公式;
(Ⅱ)设1q ≠,证明数列n S n ??
????不是等比数列.
解:设{}n a 的前n 项和为n S ,
当1q =时,11111n n S a a q a q na -=+++=;--------------------1分 当1q ≠时,1111n n S a a q a q -=++
+. ①
1111n n n qS a q a q a q -=+
++, ②----------------3分
①-②得()()111n n q S a q -=-,所以 ()111n n a q S q
-=
-.----------5分
所以 ()11, 1,1, 1.1n n n a q
S a q q q =??
=-?≠?
-?
----------------------------7分
(Ⅱ)证:由{}n a 是公比为q 的等比数列有10a ≠,若对任意的n N +∈,数列n S n ???
???是等比数列,则考虑数列n S n ??
????
的前三项,有
()()2
23
11111111a q a q a q q ??--??=?--????
,--------------------9分 化简得 2210q q -+=,即()2
10q -=,----------------10分 但1q ≠时,()2
10q ->, 这一矛盾说明数列n S n ??
?
???
不是等比数列.---------------------12分
.解:
(Ⅰ)因为.3
1)31(311n n n a =?=
- ,23113
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
(Ⅱ)n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=
2
)
1(+-
=n n 所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n
江西省抚州市临川二中2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)22.已知正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=,且满足2S n+1=4S n+1(n∈N*).
(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;
(Ⅱ)当1≤i≤n,1≤j≤n(i,j,n均为正整数)时,求a i和a j的所有可能的乘积a i a j 之和.
【考点】数列递推式.
【专题】综合题;点列、递归数列与数学归纳法.
【分析】(Ⅰ)由2S n+1=4S n+1,再写一式,两式相减,确定数列{a n}是首项为,公比为2的等比数列,即可求出a n.
(Ⅱ)由a i和a j的所有可能乘积a i?a j=2i+j(1≤i≤j≤n)可构成下表:21+1﹣4,21+2﹣4,21+3﹣4,…,21+n﹣4,22+1﹣4,22+2﹣4,…,22+n﹣4,2n+1﹣4,2n+2﹣4,2n+3,…,2n+n﹣4,即可求a i和a j的所有可能的乘积a i a j之和T n.
【解答】解:(Ⅰ)∵,
∴,
两式相减得a n+1=2a n,∴,
由2S2=4S1+1得2(a1+a2)=4a1+1,又,∴.
∴数列{a n}是首项为,公比为2的等比数列,
∴.
(Ⅱ)由a i和a j的所有可能乘积(1≤i≤n,1≤j≤n)
可构成下表:21+1﹣4,21+2﹣4,21+3﹣4,…,21+n﹣4,22+1﹣4,22+2﹣4,…,22+n﹣4,2n+1﹣4,2n+2﹣4,2n+3,…,2n+n﹣4,
设上表第一行的和为T1,则
于是…+2n﹣1)==
【点评】考查等差数列、等比数列、不等式的证明、数列的求和等知识,考查推理论证能力和运算求解能力和化归转化数学思想.
广东深圳南山区高 二 教 学 质 量 监 测
数 学(文科)
4.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若0n a >,1q >,3520a a +=,2664a a =,则5S = A .48 B .36 C .42 D .31
【答案】B
【答案】-6
【答案】C
【答案】a n =2n-1
+5n
2016.01.20
【答案】C
解:(1)设{a
n
}的公差d,∵(2+2d)2=(2+d)(3+3d)
∴d=2或d=-1(舍) ∴a
n
=2n……………………………………………(6分)
(2)b
n =
2
n(a
n
+2)
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
∴S
n
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+?+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
……(12分)
(2017湖北宜昌长阳二中高二期中)2.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=()
A.B.C.D.
【考点】89:等比数列的前n项和.
【分析】设等比数列{a n}的公比为q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到
,解出即可.
【解答】解:设等比数列{a n}的公比为q,
∵S3=a2+10a1,a5=9,
∴,解得.
∴.
故选C.
(2017江西景德镇一中高二期中)5.S n是等比数列{a n}的前n项和,若S4,S3,S5成等差数列.则{a n}的公比q的值为()
A.B.2 C.D.﹣2
【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.
【分析】先判断q=1时,不满足题意;然后当q≠1时,利用等比数列的前n项和公式及等差中项的定义列出方程,求出q的值.
【解答】解:等比数列{a n}的前n项和为S n,且S4,S3,S5成等差数列,
当q=1时,S4=4a1,S3=3a1,S5=5a1,
此时2S3≠S4+S5,不满足题意;
当q≠1时,有2=+,
即q2+q﹣2=0.
解得q=﹣2或q=1(舍).
故选:D.
(2017江西景德镇一中高二期中)11.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3=3,S m=19,S m
+5
=14,则m的值为()
A.9 B.10 C.11 D.12
【考点】85:等差数列的前n项和.
【分析】用m表示出公差d和首项a1,代入S m=19求出m的值.
【解答】解:∵a m
+1+a m
+2
+a m
+3
+a m
+4
+a m
+5
=S m
+5
﹣S m=﹣5,
又a m
+1+a m
+2
+a m
+3
+a m
+4
+a m
+5
=5a m
+3
,
∴a m
+3
=﹣1.
设{a n}的公差为d,
∵a m
+3
=a3+md,即﹣1=3+md,
∴md=﹣4.即d=﹣.
∵a3=a1+2d=3,∴a1=3﹣2d=3+.
∵S m=ma1+=19,
∴m(3+)+(﹣)=19,解得m=10.
(2017安徽阜阳高二期末下)14.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a3,a5是方程x2﹣8x+15=0的两根,则S7=28.
【考点】84:等差数列的通项公式.
【分析】由韦达定理及等差数列通项公式得a3+a5=2a4=8,从而a4=4,由此利用等差数列前n项和公式能示出S7.
【解答】解:∵a3,a5是方程x2﹣8x+15=0的两根,
∴a3+a5=2a4=8,
解得a4=4,
∴S7==7a4=28.
故答案为:28.
(2017浙江杭州高二期末下)21.设数列{a n}的前n项和为S n.若S n=2a n﹣n,
则+++=.
【考点】8H:数列递推式.
【分析】S n=2a n﹣n,n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1,化为:a n+1=2(a n﹣1+1),n=1时,a1=2a1﹣1,解得a1.利用等比数列的通项公式可得a n=2n﹣1,于是
==.利用裂项求和方法即可得出.
【解答】解:∵S n=2a n﹣n,∴n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣n﹣[2a n﹣1﹣(n﹣1)],∴a n=2a n﹣1+1,化为:a n+1=2(a n﹣1+1),
n=1时,a1=2a1﹣1,解得a1=1.
∴数列{a n+1}是等比数列,首项为2,公比为2.
∴a n+1=2n,即a n=2n﹣1,
§3.2等比数列前n项和教学设计 一、教材分析 1、教学内容:《等比数列的前n项和》是高中数学北师大版《必修5》第一章《数列》第3节的内容,教学大纲安排本节内容授课时间为两课时,本节课作为第一课时,重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用. 2、教材分析:《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看,它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型,在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养.就内容的人文价值来看,等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、证明,这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体. 二、学情分析 1、知识基础:前几节课学生已学习了等差数列求和,等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用. 2、认知水平与能力:高二学生初步具有自主探究的能力,能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题,但从学生的思维特点看,很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导.不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q=1这一特殊情况,学生也往往容易忽略,尤其是在后面使用的过程中容易出错. 3、任教班级学生特点:我班学生基础知识还行、思维较活跃,应该能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题. 三、目标分析 教学目标 依据教学大纲的教学要求,渗透新课标理念,并结合以上学情分析,我制定了如下教学目标: 1.知识与技能 理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程,掌握公式的特点,并在此基础上能简单的应用公式. 2.过程与方法
等比数列及其前n 项和 [考纲传真] 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系. 【知识通关】 1.等比数列的有关概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零),那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比,通常用 字母q 表示,定义的数学表达式为a n +1a n =q (n ∈N *,q 为非零常数). (2)等比中项:如果a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.即G 是a 与b 的等比中项?a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab . 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:a n =a 1q n -1=a m q n -m . (2)前n 项和公式: S n =??? na 1(q = 1),a 1(1-q n )1-q =a 1-a n q 1-q (q ≠1). [常用结论] 1.在等比数列{a n }中,若m +n =p +q =2k (m ,n ,p ,q ,k ∈N *),则a m ·a n =a p ·a q =a 2k . 2.若数列{a n },{b n }(项数相同)是等比数列,则{λa n }(λ≠0),???? ??1a n ,{a 2n },{a n ·b n },???? ??a n b n 仍然是等比数列. 3.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n 仍成等比数列,其公比为q n ,其中当公比为-1时,n 为偶数时除外. 【基础自测】 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)满足a n +1=qa n (n ∈N *,q 为常数)的数列{a n }为等比数列.( ) (2)G 为a ,b 的等比中项?G 2=ab .( ) (3)若{a n }为等比数列,b n =a 2n -1+a 2n ,则数列{b n }也是等比数列.( )
- 等比数列及前n 项和练习题1 一、选择题 1、32+和32-的等比中项是 ( ) A. 1 B. 1- C. 1± D. 2 2、在等比数列{}n a 中,已知30,341515=-=+a a a a ,则3a = ( ) A. 8 B. -8 C. 8± D. 16 3、等比数列{}n a 中,72=S ,916=S ,则4S 等于( ) A. 28 B. 28或21- C. 21- D. 49 ] 5、在等比数列{}n a 中,55,551==S a ,则公比q 等于 ( ) A. 4 B. 2 C. 2- D. 2-或4 6、已知等比数列}{n a 的公比为正数,且3a ·9a =225a ,2a =1,则1a = A. 21 B. 2 2 C. 2 7、已知数列{n a }为等比数列,n S 是它的前n 项和,若2· a a 31=2a ,且4a 与72a 的等差中项为54 ,则S 5= A .35 B .33 C .31 D .29 8、已知等差数列{a n }的公差为2,若a 1,a 3,a 4成等比数列,则a 2等于 ( ) ^ (A )-4 (B )-6 (C )-8 (D )-10 9、等比数列{}n a 中,===+q a a a a 则,8,63232( ) A .2 B .2 1 C .2或2 1 D .-2或2 1- 10、在等比数列{a n }中,S 4=1,S 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是( ) A 、14 B 、16 C 、18 D 、20 二、填空题: 11、已知在等比数列{}n a 中,各项均为正数,且,7,13211=++=a a a a 则数列{}n a 的通项公式是_________=n a 12、在等比数列{}n a 中,已知,2,1654321-=++=++a a a a a a 则该数列
高二数学学案 序号025 高二年级 14班 教师王鸿斌 学生 课 题:等比数列(3)前n 项和 学习目标:1. 等比数列前n 项和公式及错位相减法. 2. 等比数列前n 项和公应用,熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题渗透方程思想。 学习重点:等比数列求和及求和公式应用. 学习难点:错位相减法 教学过程: 一.复习回顾 1.等比数列的定义式、递推式、通项式、中项式及其性质 2.等差数列的前n 项和公式及性质 二.新课导学 1. 等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++ ,公比为q ≠0, 则22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --?=++++??=?? (1)n q S ∴-= 当1q ≠时,n S = ① 或n S = ② 当q =1时,n S = 等比数列的前n 项和公式:11,1,1(1)1n n na q S q a q q ------------=??=≠-?=?-?(或)1,11,11≠?? ???--==q q q a a q na S n n 2. 等比数列的前n 项和性质:等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是n S ,2n S ,3n S , n S ,2n n S S -,32n n S S - 也成等比数列.(等比数列间隔相等的等长片段和仍为等比数列) 三.典型例题 例1:求3463124222++++++ 的和 练习1: 等比数列中 ①已知1441,64,.a a q S =-=求及 ②已知33139,.22a S a q ==,求及 ③0,2431 ,2791<==q a a ,求其前8项的和。 ④已知1912,,833 n a a q ===,求n 例2:某商场第一年销售计算机5000台,如果平均每年的售价比上一年增加10%,那么从第一年 起,约几年内可使总销售量达到30000台? 四、学习小结: 1.等比数列前n 项和公式及错位相减法 2.熟练解决“1,,,,n n a n q a s 知三求二”问题
高中数学《等比数列的前n项和(第一课时)》教学设计 一.教材分析。 (1教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5,是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思 维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力. (3情感,态度与价值观————培养学生勇于探索、敢于创新的精神,从探索中获得成功的体验,感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美。 四.重点,难点分析。 教学重点:公式的推导、公式的特点和公式的运用。 教学难点:公式的推导方法及公式应用中q与1的关系。 五.教法与学法分析. 培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提,是高中新课程改革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢?建构主义认为:“知识不是被动吸收的,而是由认知主体主动建构的。”这个观点从教学的角度来理解就是:知识不是通过教师传授得到的,而是学生在一定的情境中,运用已有的学习经验,并通过与他人(在教师指导和学习伙伴的帮助下协作,主动建构而获得的,建构主义教学模式强调以学生为中心,视学生为认知的主体,教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此,本节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法,让老师的主导性和学生的主体性有机结合,使学生能够愉快地自觉学习,通过学生自己观察、分析、探索等步骤,自己发现解决问题的方法,比较论证后得到一般性结论,形成完整的数学模型,再运用所得理论和方法去解决问题。一句话:还课堂以生命力,还学生以活力。 六.课堂设计
课时教案
一、复习提问 回顾等比数列定义,通项公式 (1)等比数列定义:(, (2)等比数列通项公式: (3)等差数列前n项和公式的推导方法:倒序相加法。二、问题引入: 阅读:课本“国王赏麦的故事”。 问题:如何计算 引出课题:等比数列的前n项和。 三、问题探讨: 问题:如何求等比数列的前n项和公式 回顾:等差数列的前n项和公式的推导方法。 倒序相加法。 等差数列它的前n项和是 根据等差数列的定义 (1) (2) (1)+(2)得:
探究:等比数列的前n项和公式是否能用倒序相加法推导? 学生讨论分析,得出等比数列的前n项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前n项和公式的推导方法本质。 构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前n项和公式是否能用这种思想推导? 根据等比数列的定义: 变形: 具体: …… 学生分组讨论推导等比数列的前n项和公式,学生不难发现:由于等比数列中的每一项乘以公比都等于其后一项。 所以将这一特点应用在前n项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。 (1) (2) 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。
当q=1时, 当时, 学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形 式: 当时, 四.知识整合: 1.等比数列的前n项和公式: 当q=1时, 当时, 2.公式特征: ⑴等比数列求和时,应考虑与两种情况。 ⑵当时,等比数列前n项和公式有两种形式,分别都 涉及四个量,四个量中“知三求一”。 ⑶等比数列通项公式结合前n项和公式涉及五个量, , 五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前n项和公式推导方法:错位相减法。
高中数学等比数列的前n项和训练题(含答案)转载 1.在等比数列{an}中a1=8,q=12,an=12,则Sn等于() A.31 B.312 C.8 D.15 答案:B 2.数列12,14,18,…的前10项和等于() A.11024 B.511512 C.10231024 D.1512 答案:C 3.在等比数列{an}中,q=12,S5=2,则a1等于________. 答案:3231 4.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,求数列{an}的前4项之和. 解:a2=9a5=243,即a1q=9a1q4=243,解得a1=3q=3. 所以S4=a1(1-q4)1-q=3(1-34)1-3=120. 一、选择题 1.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,a5=-2,a8=16,则S6等于() A.218 B.-218 C.178 D.-178 解析:选A.设公比为q,由题意,得a1q4=-2,a1q7=16, 解得q=-2,a1=-18. 所以S6=a1(1-q6)1-q=218. 2.在等比数列{an}中,公比q=-2,S5=44,则a1的值为() A.4 B.-4 C.2 D.-2 解析:选A.S5=a1(1-q5)1-q, ∴44=a1[1-(-2)5]1-(-2), ∴a1=4,故选A. 3.(2010年高考浙江卷)设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则S5S2=() A.11 B.5 C.-8 D.-11w w w .x k b 1.c o m 解析:选D.由8a2+a5=0,得8a1q+a1q4=0,所以q=-2,则S5S2=a1(1+25)a1(1-22)=-11.
等比数列前n 项和的性质导学案 知识目标:掌握等比数列前n 项和的性质,灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。 方法与过程:通过自主探究的方式,培养学生团队精神,勇于探索的精神。 教学过程: 复习: 1、 等比数列前n 项和公式: (1) (2) 2.数学思想: 课前练习: 1.数列()项和的前n a a a a n 13 2............,,,1- a a A n --11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。 2.求和()() )(.......212n a a a n -++-+- 新课探究: 探究一: 性质1。数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数 列。 例题1:若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。 变式:若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2,求a 的值。 探究二: 我们知道,等差数列有这样的性质: 数列{}n a 是等差数列,则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列; 则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2 。 那么,在等比数列中,也有类似的性质吗? 等比数列前n 项和的性质二: 数列{}n a 是等比数列,则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列; 则新的等比数列的首项是K S ,公比( ) 例题2 :已知等比数列{}n a 中,前10项和10S =10,前20项和20S =30,求30S 变式训练: 1. 等比数列{}n a 10S =20,20S =80,求30S =?.
等比数列及其前n 项和(作业) 例1: 已知等比数列{}n a 中,各项都是正数,且1a ,31 2 a ,22a 成等差数列,则 910 78 a a a a +=+( ) A .1 B .1 C .3+D .3- 【思路分析】 设公比为q ,则0q >,21a a q =,231a a q =, ∵1a ,31 2 a ,22a 成等差数列, ∴3122a a a =+,即21112a q a a q =+, 解得1q =+ 1, ∴22910787878()3a a a a q q a a a a ++===+++. 故选C . 例2: 若等比数列 {} n a 中,25112a a a ++=,58146a a a ++=,那么 2581114a a a a a ++++的值为( ) A .8 B .9 C .242 31 D . 240 41 【思路分析】 设公比为q ,则335814251125112511() a a a q a a a q a a a a a a ++++==++++,即33q =, ∴38553a a q a ==,9145527a a q a ==, 由58146a a a ++=,得5553276a a a ++=,解得56 31 a = , ∴2581114251158145242 ()()31 a a a a a a a a a a a a ++++=+++++-=. 故选C . 例3: 设{}n a 为等比数列,{}n b 为等差数列,且10b =,n n n c a b =+,若数列{} n c
的前三项为1,1,2,则{}n a 的前10项之和是 ( ) A .978 B .557 C .467 D .1 023 【思路分析】 设数列{}n a 的公比为q ,设数列{}n b 的公差为d , ∵10b =,11c =, ∴11a =, 则2a q =,23a q =,2b d =,32b d =, ∵21c =,32c =, ∴2122q d q d +=??+=? ,解得21q d =??=-?, ∴数列{}n a 的前10项之和10110(1) 1 0231a q S q -= =-.故选D . 1. 在等比数列{}n a 中,已知332a = ,前三项和39 2 S =,则公比q =( )
《等比数列的前n 项和》习题 一、选择题 1.一个等比数列,它的前n 项和n n S ab c =+,其中a 、b 、c 为常数且a ≠0,b ≠0且b ≠ 1,则a 、b 、c 必须满足( ). A.a +b =0 B.b +c =0 C.a +c =0 D.a +b +c =0 2.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 10=10,S 20=30,则S 30等于( ). A.70 B.90 C.100 D.120 3.一个等比数列{a n }的首项为a 1=2,公比q =3,从第m 项到第n 项(m <n )的和为720,则m 的值为( ). A.3 B.4 C.5 D.6 4.计算机的成本不断降低,若每隔5年计算机价格降低3 1,现在的价格是8100元,则15年后,价格降低为( ). A.2200元 B.900元 C.2400元 D.3600元 5.数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1的前n 项和S n 等于( ). A.2n B.2n -n
C.2n+1-n-2 D.n-2n 6.已知等比数列{a n}中,a n=2·3n-1,则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项和为(). A.3n-1 B.3(3n-1) C. 41 9-n D. 4)1 9(3- n 二、填空题 1.在等比数列{a n}中,若S n=93,a n=48,公比q=2,则n=__________. 2.S=1+a+a2+a3+…+a10=__________. 3.等比数列首项为2,公比为3,从前__________项的和开始大于100. 三、简答题 1.求等比数列1,2,4,…从第5项到第10项的和.
等比数列的前n项和 (第一课时) 一.教材分析。 (1)教材的地位与作用:《等比数列的前n项和》选自《普通高中课程标准数学教科书·数学(5),是数列这一章中的一个重要内容,它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用,如储蓄、分期付款的有关计算等等,而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。 (2)从知识的体系来看:“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解,也为以后学数列的求和,数学归纳法等做好铺垫。 二.学情分析。 (1)学生的已有的知识结构:掌握了等差数列的概念,等差数列的通项公式和求和公式与方法,等比数列的概念与通项公式。 (2)教学对象:高二理科班的学生,学习兴趣比较浓,表现欲较强, 逻辑思维能力也初步形成,具有一定的分析问题和解决问题的能力,但由于年龄的原因,思维尽管活跃、敏捷,却缺乏冷静、深刻,因而片面、不够严谨。 (3)从学生的认知角度来看:学生很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方面进行类比,这是积极因素,应因势利导。不利因素是:本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同,这对学生的思维是一个突破,另外,对于q = 1这一特殊情况,学生往往容易忽视,尤其是在后面使用的过程中容易出错。 三.教学目标。 根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律,本节课的教学目标确定为: (1)知识技能目标————理解并掌握等比数列前n项和公式的推导过程、公式的特点,在此基础上,并能初步应用公式解决与之有关的问题。 (2)过程与方法目标————通过对公式推导方法的探索与发现,向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想,培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维
等比数列的前n项和例题详细解法?例题解析 【例1】设等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),前n项和为80,其中 最大的一项为54,又它的前2n项和为6560,求a和q. 解:由S n=80,S2n=6560,故q≠1 ∵a>0,q>1,等比数列为递增数列,故前n项中最大项为an. ∴a n=aq n-1=54 ④ 将③代入①化简得a=q-1 ⑤ 由⑤,⑥联立方程组解得a=2,q=3 证∵Sn=a1+a1q+a1q2+...+a1q n-1 S2n=S n+(a1q n+a1q n+1+...+a1q2n-1)
=S n+q n(a1+a1q+...+a1q n-1)=S n+q n S n=S n(1+q n) 类似地,可得S3n=S n(1+q n+q2n) 说明本题直接运用前n项和公式去解,也很容易.上边的解法,灵活地处理了S2n、S3n与S n的关系.介绍它的用意在于让读者体会利用结合律、提取公因式等方法将某些解析式变形经常是解决数学问题的关键,并且变得好,则解法巧. 【例2】一个有穷的等比数列的首项为1,项数为偶数,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数. 分析设等比数列为{a n},公比为q,取其奇数项或偶数项所成的数列仍然是等比数列,公比为q2,首项分别为a1,a1q. 解设项数为2n(n∈N*),因为a1=1,由已知可得q≠1. 即公比为2,项数为8. 说明运用等比数列前n项和公式进行运算、推理时,对公比q要分情况讨论.有关等比数列的问题所列出的方程(组)往往有高次与指数方程,可采用两式相除的方法达到降次的目的.
6.3等比数列及其前n 项和 考情分析 高考中主要在选择题、填空题中考查等比数列的定义、基本运算和性质,在解 答题中多与等差数列、函数、不等式等综合考考查 基础知识 1、等比数列的判定:(1)定义法:*1()n n a q q n N a +=∈为非零常数,(2)等比中项法:2*11(0,2)n n n n a a a a n N n -+=≠∈≥且(3)通项公式法:*(,)n n a cq c q n N =∈均为非零常数,(4)1()1n n a S kq k k q =-=≠≠-是常数且q 0且q 1 (5)若{},{}n n a b 均为等比数列,n S 为{}n a 的前n 项和,则1{}(0),{||}{}{()}{}k n n n n n n ka k a ma b a a ≠;;;公比不为1的等比数列由相邻两项的差213243{,,}a a a a a a ---,相邻k 项和232{,,}k k k k k S S S S S --仍是等比;由原等比数列中相隔k 项的项从新组成的数列仍等比 2、等比数列的性质 (1)通项公式:①11n n a a q -=②n m n m a q a -= (2)前n 项和公式:111(1)(1)(1)11n n n na q S a a q a q q q q =??=--?=≠?--? (3)下脚标性质:若m+n=p+q ,则m n p q a a a a = (4)两个常用技巧:若三个数成等比通常设成,,a a aq q ,若四个数成等比通常设成33,,,a a aq aq q q ,方便计算 注意事项