高三理科数学综合测试题附答案

数学检测卷（理）

----------班级----------总分------------

一． 选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分． 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 ．

1．若集合{}{}

2||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B =（ ）

（A ）[1,0]-

（B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞-

2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（ ）

（A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x

3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算， 其参考数据如下：

那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（ ）。

A ．1.2

B ．1.3

C ．1.4

D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f

),,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+,则)

()()(22221n x f x f x f +++ 的值等于（ ） (A)

2

1

(B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8

6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （ ）

(A)109 (B) 1110

(C) 1211 (D) 13

12

7. ．直线21y x =-+上的点到圆2

2

4240x y x y

++-+=上的点的最近距离是 A B 1 C 1- D ．1

（第6题）

8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区域Ω上随机投一点P ， 则点P 落入区域A 的概率为（ ） A ．

31 B ．32 C ．9

1 D ．

9

2

9.已知平面αβγ、、，直线m 、l ，点A ，有下面四个命题： ①若，，则与l m A l m ?=αα 必为异面直线； ②若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；

③若l m l m ??αββααβ，，∥，∥，则∥；

④若αγγαγβα⊥，，，⊥，则⊥ ==m l l m l 。 其中正确命题的个数是 A. 3 B. 2 C . 1 D. 0

10．若函数()3

3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值围是（ ） A ．()2,2- B ．[]2,2- C ．(),1-∞- D ．()1,+∞

11．已知方程2

10ax bx +-=（,a b ∈R 且0a >）有两个实数根，其中一个根在区间()1,2，

则a b -的取值围为（ ）

A ．()1,-+∞

B ．(),1-∞-

C ．(),1-∞

D ．()1,1-

12半径为2的球面上有D C B A ,,,四点，且AD AC AB ,,两两垂直，则三个三角形面积之和

ABC S ?+ACD ADB S S ??+的最大值为（ ）

（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32

二．填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卷的相应位置． 13．某学校共有师生2400人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样 本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是 _______ . 14. 如图，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的形， 俯视图是直径为1的圆，那么这个几何体的侧面积．．．为 _______ . 15. 有下列命题：

①存在(0,)2

π

α∈使31cos sin =+a a ；

②存在区间（a ，b ）使x y cos =为减函数而x sin ＜0； ③x y tan =在其定义域为增函数；

④cos 2sin()2y x x π

=+-既有最大、最小值，又是偶函数；

⑤|6

2|sin π

+

=x y 最小正周期为π.其中错误的命题的序号为 .

16. 直线022=-+y x 经过椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆

的离心率等于 ________ .

三． 解答题: 本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17（本小题满分12分）

某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，3个同学曾经参加过数学研究性学习活动.

（Ⅰ）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；

（Ⅱ）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，此时该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.

18．（本小题满分12分）

已知数列的前项n 和为n S ，对一切正整数n ，点(n, n S )都在函数42

)(2

-=+x x f 的 图象上.

（I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设n n n a a b 2log ?=，求数列{}n b 的前n 项的和.n T

19. （本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P ABCD -的底面的菱形，60BCD ?

∠=，点E 是BC 边的中点，

AC DE 与交于点O ，PO ABCD ⊥平面 （1）求证：PD BC ⊥；

（2）若63,62AB PC P AD C ==--，求二面角的大小； （3）在（2）的条件下，求异面直线PB 与DE 所成角的余弦值。

20.（本小题满分12分）

已知函数x x f ln 6)(=(0)x >和2

()8g x ax x b =+-(a 、b 为常数)的图象在3=x 处有公共切线.

(Ⅰ) 求a 的值；

(Ⅱ) 求函数)()()(x g x f x F -=的极大值和极小值.

（Ⅲ）若关于x 的方程()()f x g x =有且只有3个不同的实数解，求b 的取值围。

21. （本小题满分12分）

设直线过抛物线C ：)0(22

>=p px y 的焦点F ，且交C 于点N M ,， 设)0(>=λλFN MF ．

（Ⅰ）若2=p ，4=λ，求MN 所在的直线方程； （Ⅱ）若2=p ，94≤≤λ，求直线MN 在y 轴上截距的取值围;

（Ⅲ）抛物线C 的准线l 与x 轴交于点E ，求证：EF 与

EM λ-的夹角为定值.

22选做题：本大题共3小题，请从这3题中选做1小题，如果多做，则按所做的第一题记分．每小题10分．

1．（几何证明选讲）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．求证：AB ·CD ＝BC ·DE ．

2．（坐标系与参

数方程）求经过极9(0,0),(6,),)24

O A B π

π

三点的圆的极坐标方程.

3．（不等式选讲）对于任意实数a （a ≠0）和b ，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|a |(|x －1|＋|x －2|恒成立，试数x 的取值围．

（第21题）

数学（理科）答案

一、选择题（每小题5分，共60分）

C 1.4。

二、填空题（每小题5分，共20分）

13.150 14. ①②③⑤ 15、 π 16、552

三、解答题

17（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的A , 则其概率为

.74

)(2

7

1314==C C C A P …………………………………………5分 （Ⅱ）随机变量4,3,2=ξ

;72

)2(2724===C C P ξ ……………………6分

;74

)3(2

7

1314===C C C P ξ …………………………7分 ;7

1

)4(2723===C C P ξ ………………………………8分

∴随机变量的分布列为

∴.7

20

714743722=?+?+?

=ξE …………………………12分

（18）（本小题满分12分）

（I ）由题意，42

2

-=+n n S ， 当2≥n 时，112

1222

+++-=-=-=n n n n n n S S a ， ……………………………3分 当1=n 时，4423

11=-==S a 也适合上式， ∴ 数列{}n a 的通项公式为++∈=N n a n n ,21

. ………………………………5分

（II ）∵ n n a b =?.2)1(log 1

2+?+=n n n a

∴ 1

4322)1(2242322+?++?++?+?+?=n n n n n T ①

22

15432)1(2242322++?++?++?+?+?=n n n n n T ② ……………………7分

②－① 得，2

14322)1(2222++?++-----=n n n n T ………………………8分

2133

2)1(21)

21(22+-?++---

-=n n n 2

1332)1()12(22+-?++---=n n n

.2222

)1(2132

+-+?=?-?+=n n n n n ……………………12分

19（本题满分12分） 解：解答一：（1）在菱形ABCD 中，连接,DB 则BCD ?是等边三角形。

E BC DE BC

PO ABCD

OD PD ABCD PD BC

∴⊥⊥∴∴⊥点是边的中点平面是斜线在底面内的射影

----3

（2）DE BC ⊥由（1）知

//163

2233

6363323

ABCD AD BC

DE AD

PO ABCD DE PD ABCD PD AD

PDO P AD C ABCD AD DE BCD E BC AC BD O BCD AB BDC DO DE BC ∴⊥⊥∴⊥∴∠--⊥?∴?=?=

=?==菱形中，又平面，是在平面的射影为二面角的平面角

在菱形中，，由（）知，为等

边三角形

点是边的中点，与互相平分点是重心又在等边中，

（3）取AD 中点H

，连结

,HB HP

6

62,66

tan 16

4

--4

OC OD PC PO PO Rt POD PDO DO PDO P AD C π

π

∴===∴=∴?∠===∴∠=

∴在中，二面角的大小为

-------8