高中数学 考前归纳总结 解三角形易错题剖析

例题1、在△ABC 中，已知2a =，b ＝22，C ＝15°，求A 。

错解：由余弦定理，得ca ba b 222215=+-c o s °

48228=+-=-×× ∴c =-62

。 又由正弦定理，得s i n s i n A a C c =

=12 而0000018030150A A A <<=，∴＝或。

分析：由题意b a

>，∴B A >。因此A ＝150°是不可能的。错因是没有认真审题， 未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细 致

地分析问题，避免错误发生。

正解：同上c A b a

=-=>6212

，，∵s i n ， 000018030B A A A ><<=∴，且，∴。 例题2、在△ABC 中，若a b

A B 22=ta n ta n ，试判断△ABC 的形状。 错解：由正弦定理，得s i n s i n t a n t a

n 22A B A B = 即s i n s i n s i n c o s c o s s i n s i n s i n 2200A B A A B B A B =>>·，∵，

∴，即s i n c o s s i n c o s s i n s i n A A B B A B

==22。 ∴2A ＝2B ，即A ＝B 。故△ABC 是等腰三角形。

分析：由s i n s i n 22A B

=，得2A ＝2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉 三角函数的性质，三角变换生疏。

正解：同上得s i n s i n 22A B =，∴2A ＝22k B π+

或222A k B k Z =+-∈ππ

()。 ∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π

2

。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

例题3、在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S A B C △=3，求a b c A B C

++++s i n s i n s i n 的值。 错解：∵A ＝60°，b ＝1，S A B C △=3，又S A B C △=12

b c A s i n ， ∴312=c s i n 60°，解得c ＝4。 由余弦定理，得a b cb c A =+-=+-22

2116860c o s c o s °=13 又由正弦定理，得s i n s i n C B ==6393239，。 ∴a b c A B C ++++=++

++s i n s i n s i n 1314323239639

。

分析：如此复杂的算式，计算困难。其原因是公式不熟、方法不当造成的。

正解：由已知可得c a ==413，。由正弦定理，得 2136023

9

3R a A ===s i n s i n °。

∴a b c

A B C R ++++==s i n s i n s i n 22393。

例题4、在△ABC 中，c =+62，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。

错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a

A b

A sin sin()sin =-=+15062

30°°

∴a A =+262()s i n ，b A =+-262150()s i n ()°

又∵s i n s i n ()A A ≤-≤11501，° ∴a b +≤+++=+262262462()()()。

故a b +的最大值为462()+。

分析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。这里A 与150°－A 是相互制约的，

不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的

结果也是错误的。

正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。

由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-=+1506230°°

因此a b A A +=++-262150()[s i n s i n ()]

°

sin 75cos(75)

cos(75)4

(875)8A A A =-=-=+-≤+°°·°° ∴a ＋b 的最大值为843+。

例题5、在不等边△ABC 中，a 为最大边，如果a b c

222

<+，求A 的取值范围。 错解：∵a b c b c a 2222220

<++->，∴。则 c o s A b c a b c =+->22220，由于cos A 在(0,180)上为减函数 且cos90090A =<°，∴°

又∵A 为△ABC 的内角，∴0°＜A ＜90°。

分析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a 为最大边，而错解中只把a 看做是三

角形的普通一条边，造成解题错误。

正解：由上面的解法，可得A ＜90°。又∵a 为最大边，∴A ＞60°。因此得A 的取值 范围是（60°，90°）。

例题6、在△ABC 中，cos cos A b B α=，判断△ABC 的形状。

错解：在△ABC 中，∵aA bB c o s c o s

=，由正弦定理 得22R A A R B B

s i n c o s s i n c o s = ∴s i n s i n 222222180A B A B A B ==+=，∴且°

∴A ＝B 且A ＋B ＝90°

故△ABC 为等腰直角三角形。

分析：对三角公式不熟，不理解逻辑连结词“或”、“且”的意义，导致结论错误。

正解：在△ABC 中，∵aA bB c o s c o s =，由正弦定理，

得2222R A A R B BA B s i n c o s s i n c o s s i n s i n ==，∴。

∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝180°，∴A ＝B 或A ＋B ＝90°。

故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

例题7 若a ，b ，c 是三角形的三边长，证明长为a b c ，，的三条线段能构成锐角三角

形。

错解：不妨设0<≤≤a b c

，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。 c o s ()()()θ=+-=+-a b c a b a b c a b

22222。 由于a ，b ，c 是三角形的三边长，

根据三角形三边关系，有a b c

+>，即c o s θ>0。 ∴长为a b c ，，的三条线段能构成锐角三角形。

分析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②

最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。

正解：由错解可得c o s θ>0

又∵abc abcabc abc +-=+-++++

()()

==> 即长为a b c ，，的三条线段能构成锐角三角形。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》专项训练及解析答案

新数学《三角函数与解三角形》高考知识点 一、选择题 1．在ABC ?中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =?的面积为 1， 则BD 的长为（ ） A ．32 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且ABC ?的面积25cos S C =，且 1,25a b ==，则c =（ ） A ．15 B ．17 C ．19 D ．21 【答案】B 【解析】 由题意得，三角形的面积1 sin 25cos 2 S ab C C ==，所以tan 2C =， 所以5cos C = ， 由余弦定理得2222cos 17c a b ab C =+-=，所以17c =，故选B. 3．如图，边长为1正方形ABCD ，射线BP 从BA 出发，绕着点B 顺时针方向旋转至 BC ，在旋转的过程中，记([0,])2 ABP x x π ∠=∈，BP 所经过的在正方形ABCD 内的区 域（阴影部分）的面积为()y f x =，则函数()f x 的图像是（ ）

A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件列()y f x =，再根据函数图象作判断. 【详解】 当0,4x π?? ∈???? 时，()112y f x tanx ==??; 当,42x ππ?? ∈ ??? 时，()11112y f x tanx ==-??; 根据正切函数图象可知选D. 【点睛】 本题考查函数解析式以及函数图象，考查基本分析识别能力，属基本题. 4．上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1），充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系.图2为骨笛测量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意图，图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角.

(word完整版)四年级《三角形试题分析及易错题分析》

四年级数学三角形考题分析与易错题分析 以盘龙区小学2016学年下学期期末四年级数学试题进行分析：三角形这一单元知识占11%，所考知识点主要有：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，等腰三角形等边三角形的定义，三角形三边的关系，高的做法，会求三角形和多边形的内角和。如： 近三年考题分析 4、请你想办法求出下面这个多边形的内角和。

考查目的：三角形内角和和钝角三角形的特征。 15．画出下面三角形指定边上的高。 考查目的：三角形高的含义，会正确画不同三角形指定底边上的高。 掌握高的方法。 16、等腰三角形的一个内角是60°，其他两个内角各是多少度？这是（）三角形。考查目的：综合三角形内角和、等腰三角形的特点及等边三角形的特点解决问题。

三角形单元检测卷 一、填空（40分） 个钝角三角形，（）个等腰三角形。 7、在一个三角形的三个角中，一个是50度，一个是80度，这个三角形既是（）三角形，又是（）三角形。 二、选择（18分） 1．下面第（）组中的三根小棒不能拼成一个三角形。 2．一个三角形的两边长分别为3 cm和7 cm，则此三角形的第三边的长可能是（）。 A．3 cm B．4 cm C．7 cm 3．下面各组角中，第（）组中的三个角能组成三角形。 A．60°，70°，90° B．50°，50°，50° C．80°，95°，5° 4．钝角三角形的两个锐角之和（）90°。 A．大于 B．小于 C．等于 5、一个等腰三角形中，其中一底角是75度，顶角是（）。 A、75度 B、45度 C、30度 D、60度 6、下面长度的小棒中（单位：cm），能围成三角形的是（）。 A. 3.5、7.5、4 B . 5、2.8、6 C. 10、4.2、5.6 三、判断（8分） 1、一个内角是80度的等腰三角形，一定是一个钝角三角形。（） 2、等腰三角形一定是等边三角形。（） 3、等腰三角形一定是锐角三角形。（）

初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案

初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案 一、选择题 1．如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A（1，1），∠ABC=60°，则k的值是（） A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2 【答案】C 【解析】 分析：根据题意可以求得点B的坐标，从而可以求得k的值． 详解：∵四边形ABCD是菱形， ∴BA=BC，AC⊥BD， ∵∠ABC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵点A（1，1）， ∴OA=， ∴BO=， ∵直线AC的解析式为y=x， ∴直线BD的解析式为y=-x， ∵OB=， ∴点B的坐标为（?，）， ∵点B在反比例函数y=的图象上， ∴， 解得，k=-3， 故选C． 点睛：本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 2．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在同一水平面上）．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地起飞，垂直上升1000米到

达C 处，在C 处观察B 地的俯角为α，则AB 两地之间的距离约为（ ） A ．1000sin α米 B ．1000tan α米 C ．1000tan α米 D ．1000sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中，∠CAB=90°，∠B=α，AC=1000米，根据tan AC AB α= ，即可解决问题． 【详解】 解：在Rt ABC ?中，∵90CAB ∠=o ，B α∠=，1000AC =米， ∴tan AC AB α= ， ∴1000tan tan AC AB αα ==米． 故选：C ． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果AC=2，cosA= 23，那么AB 的长是（ ） A ．3 B ．43 C 5 D 13【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质，可知cosA= AC AB =23，然后根据AC=2，解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛：此题主要考查了解直角三角形，解题关键是明确直角三角形中，余弦值cosA=A ∠的邻边 斜边，然后带入数值即可求解. 4．如图，在ABC ?中，AB AC =，MN 是边BC 上一条运动的线段（点M 不与点B 重

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案

【高中数学】单元《三角函数与解三角形》知识点归纳 一、选择题 1．若,2παπ??∈ ??? ，2cos2sin 4παα?? =- ???，则sin 2α的值为（ ） A ．7 8 - B ． 78 C ．18 - D ． 18 【答案】A 【解析】 【分析】 利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得； 【详解】 解：因为2cos2sin 4παα?? =- ??? 所以( ) 22 2cos sin sin cos cos sin 4 4 π π αααα-=- 所以()())2cos sin cos sin cos sin 2 αααααα-+= - ,cos sin 02παπαα??∈-≠ ??? Q ， 所以cos sin 4 αα+= 所以()2 1cos sin 8αα+=，即22 1cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28 α+= 所以7sin 28 α=- 故选：A 【点睛】 本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题； 2．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（ ） A ．102 x << B ． 1 12 x << C ．12x << D ．01x << 【答案】D 【解析】 【分析】

根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】 将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ， 设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则 cos 0A '∠<， 所以()()()()()2222342340x x x x x x x ?+++<+? +++>+??>? ，解得01x <<. 故选：D. 【点睛】 本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．小赵开车从A 处出发，以每小时40千米的速度沿南偏东40?的方向直线行驶，30分钟后到达B 处，此时，小王发来微信定位，显示他自己在A 的南偏东70?方向的C 处，且A 与C 的距离为15 3千米，若此时，小赵以每小时52千米的速度开车直线到达C 处接小王，则小赵到达C 处所用的时间大约为（ ） ( ) 7 2.6≈ A ．10分钟 B ．15分钟 C ．20分钟 D ．25分钟 【答案】B 【解析】 【分析】 首先根据题中所给的条件，得到30BAC ∠=?，20AB =，153AC =，两边和夹角，之后应用余弦定理求得5713BC =≈（千米），根据题中所给的速度，进而求得时间，得到结果. 【详解】 根据条件可得30BAC ∠=?，20AB =，153AC =， 由余弦定理可得2222cos30175BC AB AC AB AC ?=+-??=， 则5713BC =≈（千米），

三角形易错题集锦(带答案解析)

三角形易错题 一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为 _________． 2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC=_________cm． 3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围是_________． 4．如图：a∥b，BC=4，若三角形ABC的面积为6，则a与b的距离是_________． 【 5．小亮家离学校1千米，小明家离学校3千米，如果小亮家与小明家相距x千米，那么x的取值范围是_________． 6．已知△ABC两边长a，b满足，则△ABC周长l的取值范围是_________．7．若等腰△ABC（AB=AC），能用一刀剪成两个等腰三角形，则∠A=_________． 8．图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2；再分别连接图2中间小三角形的中点，得到图3．（若三角形中含有其它三角形则不记入） 、 （1）图2有_________个三角形；图3中有_________个三角形 （2）按上面方法继续下去，第20个图有_________个三角形；第n个图中有_________个三角形．（用n的代数式表示结论） 9．一个三角形两边长为5和7，且有两边长相等，这个三角形的周长是_________． 10．两边分别长4cm和10cm的等腰三角形的周长是_________cm．

参考答案与试题解析 ： 一、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 1．一个凸多边形最小的一个内角为100°，其他的内角依次增加10°，则这个多边形的边数为8． 考点：多边形内角与外角． 专题：计算题． 分析：根据内角和公式，设该多边形为n边形，内角和公式为180°?（n﹣2），因为最小角为100°，又依次增加的度数为10°，则它的最大内角为（10n+90）°，根据等差数列和的公式列出方程，求解即可． 解答：… 解：设该多边形的边数为n． 则为=180?（n﹣2）， 解得n1=8，n2=9， n=8时，10n+90=10×80+90=170， n=9时，10n+90=9×10+90=180，（不符合题意） 故这个多边形为八边形． 故答案为：8． 点评：本题结合等差数列考查了凸n边形内角和公式．方程思想是解此类多边形有关问题常要用到的思想方法，注意凸n边形的内角的范围为大于0°小于180°． % 2．等腰三角形ABC的周长是8cm，AB=3cm，则BC=2或3或cm． 考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系． 专题：计算题． 分析：按照AB为底边和腰，分类求解．当AB为底边时，BC为腰；当AB腰时，BC为腰或底边． 解答：解：（1）当AB=3cm为底边时，BC为腰， ） 由等腰三角形的性质，得BC=（8﹣AB）=； （2）当AB=3cm为腰时， ①若BC为腰，则BC=AB=3cm， ②若BC为底，则BC=8﹣2AB=2cm． 故本题答案为：2或3或． 点评：本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论思想．关键是明确等腰三角形的三边关系． 3．等腰三角形的周长为20cm，若腰不大于底边，则腰长x的取值范围是5＜x≤．

三角函数与解三角形 专题复习

专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式： 定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式角错误!未找到引用源。的弧度数公式 r 角度与弧度的换算 错误!未找到引用源。 ①rad 180 1 ② 错误!未找到引用源。 弧长公式 扇形面积公式 2 第一定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则错误!未找到引用源。 第二定义：设错误!未找到引用源。是任意角，它的终边上的任意一点P(x,y)，则错误!未找到引用源。. 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角 的终边在直线043 y x 上，则 tan 4cos 5sin 5 . 变式：（1）已知角 的终边过点)30sin 6,8( m P ，且5 4 cos ，则m 的值为 . （2）在直角坐标系中，O 是原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________． （3）4tan 3cos 2sin 的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为 120，则扇形的弧长为 面积为 . 变式：已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，则弦AB 所对的圆心角 的大小为 ， 所在的扇形弧长 为 ，弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2 cos sin tan

例1.已知 是三角形的角，且.5 cos sin (1)求 tan 的值； (2)把 2 2sin cos 1 用 tan 表示出来，并求其值. 变式：1、已知 是三角函数的角，且3 1 tan ，求 cos sin 的值. 2、已知.3 4tan （1）求 cos 2sin 5cos 4sin 的值；（2）求 cos sin 2sin 2 的值. 3.若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________.

高考数学压轴专题专题备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编及答案

新高考数学《三角函数与解三角形》练习题 一、选择题 1．在ABC ?中，060,10,A BC D ∠==是边AB 上的一点，2,CD CBD =?的面积为 1， 则BD 的长为（ ） A ．32 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】C 【解析】 1210sin 1sin 25 BCD BCD ???∠=∴∠= 2 2 2 2102210425 BD BD ∴=+-??? =∴=,选C 2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ） A ． 2 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 设AE BF a ==，1 3 B EBF EBF V S B B '-'= ??V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角，再利用余弦定理求解. 【详解】 设AE BF a ==，则()()2 3119333288B EBF a a V a a '-+-?? =???-?≤=???? ，当且仅当3a a =-，即3 2 a = 时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，

方法一：连接A E'，AF，则 3 5 2 A E'=， 3 5 2 AF=，22 9 2 A F AA AF '' =+=，132 22 EF AC ==， 因为// EF AC，所以A FE ' ∠即为异面直线A F'与AC所成的角， 由余弦定理得 222 81945 2 424 cos 93 22 22 22 A F EF A E A FE A F EF +- '' +- ' ∠=== ' ???? ， ∴ 4 A FE π ' ∠=． 方法二：以B为坐标原点，以BC、BA、BB'分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则() 0,3,0 A，() 3,0,0 C，() 0,3,3 A'， 3 ,0,0 2 F ?? ? ?? ， ∴ 3 ,3,3 2 A F ?? '=-- ? ?? u u u u r ，() 3,3,0 AC=- u u u r ， 所以 9 92 2 cos, 92 32 2 A F AC A F AC A F AC + '? '=== '?? u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r， 所以异面直线A F'与AC所成的角为 4 π ． 故选：C 【点睛】 本题主要考查异面直线所成的角，余弦定理，基本不等式以及向量法求角，还考查了推理论证运算求解的能力，属于中档题. 3．在ABC ?中，角,, A B C所对的边分别为,, a b c满足，222 b c a bc +-=， AB BC ?> u ur u u r u u ， 3 a=b c +的取值范围是( ) A． 3 1, 2 ?? ? ?? B． 33 22 ?? ? ? ?? C． 13 , 22 ?? ? ?? D． 3 1, 2 ?? ? ??

1解三角形易错题解析

1解三角形易错题解析

易错题解析 例题1 在不等边△ABC中，a为最大边，如果a b c 222 <+，求A 的取值范围。 错解：∵a b c b c a 2222220 <++-> ，∴。则 cos A b c a bc = +- > 222 2 0，由于cosA在（0°，180°）上为减函数 且cos90090 °，∴° =< A 又∵A为△ABC的内角，∴0°＜A＜90°。 辨析：错因是审题不细，已知条件弱用。题设是a为最大边，而错解中只把a看做是三角形的普通一条边，造成解题 错误。 正解：由上面的解法，可得A＜90°。 又∵a为最大边，∴A＞60°。因此得A的取值范围是（60°，90°）。 例题2 在△ABC中，若a b A B 2 2 = tan tan ，试判断△ABC的形状。 错解：由正弦定理，得sin sin tan tan 2 2 A B A B =即 sin sin sin cos cos sin sin sin 2 2 00 A B A A B B A B =>> ·，∵， ∴，即 sin cos sin cos sin sin A A B B A B == 22。 ∴2A＝2B，即A＝B。故△ABC是等腰三角形。

21360239 3R a A = ==sin sin °。∴a b c A B C R ++++== sin sin sin 2239 3 。 例题4 在△ABC 中，c = +62 ，C ＝30°，求a ＋b 的最大值。 错解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。 由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-= +15062 30°°∴a A =+262()sin ， b A =+-262150()sin() ° 又∵sin sin()A A ≤-≤11501，°∴a b +≤+++=+262262462()()() 。 故a b +的最大值为462( ) +。 辨析：错因是未弄清A 与150°－A 之间的关系。这里A 与 150°－A 是相互制约的，不是相互独立的两个量，sinA 与sin(150°－A)不能同时取最大值1，因此所得的结果也是错误的。 正解：∵C ＝30°，∴A ＋B ＝150°，B ＝150°－A 。 由正弦定理，得a A b A sin sin()sin =-= +1506230°° 因此a b A A +=++-262150( )[sin sin()] ° 2(62)sin 75cos(75)62 4(62) cos(75)(843)cos(75)843 A A A =-+=-=+-≤+·°°·°° ∴a ＋b 的最大值为843+。 例题5 在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝22，C ＝15°，求A 。

样稿 《三角函数、解三角形》部分易错题提醒

《三角函数、解三角形》部分易错题提醒 （315800 浙江宁波北仑职业高级中学）王瑛 三角函数及解三角形是高中数学的重要内容，也是各地高考的热点．但由于这部分内容公式多、概念广，解题方法与技巧多样，所以经常会出现遗漏条件、忽视范围及忘记分类等等问题，所以针对该部分常见错误与遗漏，归纳举例如下，望同学们能从中有所收获． 一、三角函数的概念、同角三角函数的关系式及诱导公式 1. 因“忽视轴线角、象限角表示中ｋ的讨论”而导致错误 【例1】已知α为第三象限角，则 2 α 是第 象限角，α2是第 象限角． 【解析】α 是第三象限角，即Z k k k ∈+<<+,2 3 22ππαππ Z k k k ∈+<<+∴,4 3 22ππαππ，Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ 当k 为偶数时，2α为第二象限角；当k 为奇数时，2 α 为第四象限角； 而α2的终边落在第一、二象限或y 轴的非负半轴上. 【评注】k 为整数，故不要忘记分奇数与偶数进行讨论．对于Z k k k ∈+<<+,34224ππαππ，不要疏忽终边落在y 轴的非负半轴上这种特殊情况． 【变式】已知βαsin 2sin =，βαtan 3tan =，求αcos 的值． 提示：若tan 0a ，tan 0b 则βββαααcos 3 2 tan 3sin 2tan sin cos === ，∴αβc os 23c os =．又因为 =βsin αsin 21，所以1cos 23sin 212 2 =?? ? ??+??? ??αα，∴46cos ±=α．若0tan =α，0tan =β，即 πβαk ==(Z k ∈)．此时1cos ±=α也满足题意，答案为4 6cos ± =α或1±． ２. 因对“三角函数线的方向搞错”而导致错误 【例２】利用单位圆，求y ＝lg (1－2cos x )的定义域． 【解析】由1－2cos x ＞0 得cos x ＜ 22 .如图１， 利用余弦线可知函数的定义域为：x ∈(2k π＋π4，2k π＋7π 4 )(k ∈ Z) 【评注】余弦线是以原点为起点，以终边与单位圆交点向x轴所引垂线的垂足为终点的一条有向线段 ．余弦线若与ｘ轴正方向一致的为正，反之为负． 【变式】已知sin sin ,αβ>那么下列命题正确的是（ ） A ．若α、β是第一象限角，则cos cos , αβ> 图１

长治数学全等三角形易错题(Word版 含答案)

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使 △BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【答案】（1）①△BPD≌△CQP，理由见解析；②V7.5 Q （厘米/秒）；（2）点P、Q 在AB边上相遇，即经过了80 3 秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇． 【解析】 【分析】 （1）①先求出t=1时BP=BQ=6，再求出PC=10=BD，再根据∠B＝∠C证得 △BPD≌△CQP； ②根据V P≠V Q，使△BPD与△CQP全等，所以CQ＝BD＝10，再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度； （2）根据V Q＞V P，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，设运动x 秒，即可列出方程15 6220 2 x x，解方程即可得到结果. 【详解】 （1）①因为t＝1（秒）， 所以BP＝CQ＝6（厘米） ∵AB＝20，D为AB中点， ∴BD＝10（厘米） 又∵PC＝BC﹣BP＝16﹣6＝10（厘米）∴PC＝BD ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD与△CQP中，

BP CQ B C PC BD =?? ∠=∠??=? , ∴△BPD ≌△CQP （SAS ）， ②因为V P ≠V Q ， 所以BP ≠CQ ， 又因为∠B ＝∠C ， 要使△BPD 与△CQP 全等，只能BP ＝CP ＝8，即△BPD ≌△CPQ ， 故CQ ＝BD ＝10． 所以点P 、Q 的运动时间84 663 BP t （秒）， 此时 107.5 43 Q CQ V t （厘米/秒）． （2）因为V Q ＞V P ，只能是点Q 追上点P ，即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇，依题意得15 62202 x x ， 解得x= 803 (秒) 此时P 运动了 80 61603 （厘米） 又因为△ABC 的周长为56厘米，160＝56×2+48， 所以点P 、Q 在AB 边上相遇，即经过了80 3 秒，点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇． 【点睛】 此题考查三角形全等的证明，三角形与动点相结合的解题方法，再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键. 2．已知OP 平分∠AOB ，∠DCE 的顶点C 在射线OP 上，射线CD 交射线OA 于点F ，射线CE 交射线OB 于点G ． （1）如图1，若CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，请直接写出线段CF 与CG 的数量关系； （2）如图2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC ，试判断线段CF 与CG 的数量关系，并说明理由．

三角函数及解三角形经典题型 (1)

10．在ABC △中，90ABC ∠=?，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=?，则BD = ___________，cos ABD ∠=___________． 11．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-． （1）求A ；（22b c +=，求sin C ． 12．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2 A C a b A +=． （1）求 B ；（2）若△AB C 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围． 13．在△ABC 中，a =3，b ?c =2，cos B =12 -． （1）求b ，c 的值；（2）求sin （B –C ）的值． 14．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =．（1） 求cos B 的值；（2）求sin 26B π??+ ?? ?的值． 15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ． （1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值；（2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2 B π+的值． 18．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则c o s2=α A B ．13C ．13-D ． 22．在ABC △中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC △的面积为S ，且 ()2 2a b c =+-，则πsin 4C ??+= ???A ．1 B ．2C ．4 D ．4 23．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =， cos )cos 0A C C b A ++=，则角A =A ．2π3 B ．π3C ．π6D ．5π6 24．在ABC △中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 的对边，cos sin (cos cos )A A a C c A =+. （1）求角A 的大小（2）若a =ABC △，求ABC △的周长． 如图，在ABC ?中，BC 边上的中线AD 长为3，且cos B =，1cos 4ADC ∠=-．

高中数学 考前归纳总结 解三角形易错题剖析

例题1、在△ABC 中，已知2a =，b ＝22，C ＝15°，求A 。 错解：由余弦定理，得ca ba b 222215=+-c o s ° 48228=+-=-×× ∴c =-62 。 又由正弦定理，得s i n s i n A a C c = =12 而0000018030150A A A <<=，∴＝或。 分析：由题意b a >，∴B A >。因此A ＝150°是不可能的。错因是没有认真审题， 未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细 致 地分析问题，避免错误发生。 正解：同上c A b a =-=>6212 ，，∵s i n ， 000018030B A A A ><<=∴，且，∴。 例题2、在△ABC 中，若a b A B 22=ta n ta n ，试判断△ABC 的形状。 错解：由正弦定理，得s i n s i n t a n t a n 22A B A B = 即s i n s i n s i n c o s c o s s i n s i n s i n 2200A B A A B B A B =>>·，∵， ∴，即s i n c o s s i n c o s s i n s i n A A B B A B ==22。 ∴2A ＝2B ，即A ＝B 。故△ABC 是等腰三角形。 分析：由s i n s i n 22A B =，得2A ＝2B 。这是三角变换中常见的错误，原因是不熟悉 三角函数的性质，三角变换生疏。 正解：同上得s i n s i n 22A B =，∴2A ＝22k B π+ 或222A k B k Z =+-∈ππ ()。 ∵000<<<<==A b k A B ππ，，∴，则或A B =-π 2 。 故△ABC 为等腰三角形或直角三角形。

高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》难题汇编附答案

【高中数学】数学《三角函数与解三角形》高考知识点(1) 一、选择题 1．已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3 π +），则f （x ）的最小值为（ ） A ． 12 B ． 14 C ． 3 D ． 2 【答案】A 【解析】 【分析】 先通过降幂公式和辅助角法将函数转化为()11cos 223f x x π? ?=-+ ?? ?，再求最值. 【详解】 已知函数f （x ）＝sin 2x +sin 2（x 3 π + ）， =21cos 21cos 2322 x x π? ? -+ ?-?? + ， =1cos 23sin 2111cos 22223x x x π??? ?--=-+ ? ? ????? ， 因为[]cos 21,13x π?? + ∈- ?? ? ， 所以f （x ）的最小值为12 . 故选：A 【点睛】 本题主要考查倍角公式及两角和与差的三角函数的逆用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 2．如图，直三棱柱ABC A B C '''-的侧棱长为3，AB BC ⊥，3AB BC ==，点E ，F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，则异面直线A F '与AC 所成的角为（ ） A ． 2 π B ． 3 π C ． 4 π D ． 6 π

【答案】C 【解析】 【分析】 设AE BF a ==，1 3 B EBF EBF V S B B '-'= ??V ，利用基本不等式，确定点 E ，F 的位置，然后根据//EF AC ，得到A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角， 再利用余弦定理求解. 【详解】 设AE BF a ==，则()()2 3119333288B EBF a a V a a '-+-?? =???-?≤=???? ，当且仅当3a a =-，即3 2 a = 时等号成立， 即当三棱锥B EBF '-的体积取得最大值时，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点， 方法一：连接A E '，AF ，则352A E '= ，352AF =，2292 A F AA AF ''=+=，132 2EF AC = = ， 因为//EF AC ，所以A FE '∠即为异面直线A F '与AC 所成的角， 由余弦定理得2 2 2 81945 2424cos 93222222 A F EF A E A FE A F EF +- ''+-'∠= =='????， ∴4 A FE π '∠=． 方法二：以B 为坐标原点，以BC 、BA 、BB '分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 则()0,3,0A ，()3,0,0C ，()0,3,3A '，3,0,02F ?? ??? ， ∴3,3,32A F ?? '=-- ??? u u u u r ，()3,3,0AC =-u u u r ， 所以9922cos ,9322 A F AC A F AC A F AC +'?'==='??u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r

专题复习解三角形与平面向量

1．三角形的有关公式： (1)在△ABC 中：sin(A ＋B )＝ ，sin A ＋B 2 ＝ (2)正弦定理： (3)余弦定理： _____________________________________________________________________ (4)面积公式：S ＝12ah a ＝12ab sin C ＝1 2r (a ＋b ＋c )(其中r 为三角形内切圆半径)． 2．平面向量的数量积 a · b ＝ ．特别地，a 2＝a·a ＝|a|2，|a|＝a 2.当θ为锐角时，a ·b >0，且a·b >0是θ为锐 角的必要非充分条件；当θ为钝角时，a·b <0，且a·b <0是θ为钝角的必要非充分条件． 3．b 在a 上的射影为|b |cos_θ． 4．平面向量坐标运算 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a≠0，b≠0，则：(1)a·b ＝ ；(2)|a |＝ ，a 2 ＝|a |2 ＝ ； (3)a ∥b ?a ＝λb ? ＝0；(4)a ⊥b ?a ·b ＝0?|a ＋b |＝|a －b |? ＝0. (5)若a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝ ＝ ． 5．△ABC 中向量常用结论 (1)PA →＋PB →＋PC →＝0?P 为△ABC 的 ； (2)PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA → ?P 为△ABC 的 ； (3)向量λ? ?????AB →|AB → |＋AC →|AC →|(λ≠0)所在直线过△ABC 的 ；(4)|PA →|＝|PB →|＝|PC →|?P 为△ABC 的 ． 考点一 解三角形 例 1－1设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝2，B ＝π3，C ＝π 4，则△ABC 的面积为( )A ．1 ＋ 33 ＋1 C ．1－3 3 －1 例 1－2△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，角A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等边三角形 D ．等腰直角三角形 例 1－3若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( ) A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形 D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 变式训练【1－1】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝ 3 2 ，且b

初中解三角形易错题集锦组卷

初中解三角形易错题集锦 初中解三角形易错题集锦组卷 一．选择题（共7小题） 1．一个直角三角形有两条边长为3和4，则较小锐角的正切值是（ ） A ． B ． C ． D ． 或 2．将一副直角三角板中的两块按如图摆放，连AD ，则tan ∠DAC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．正方形网格中，∠AOB 如图放置，则cos ∠AOB 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 4．等腰三角形，边长分别是6，8，则底角的余弦是（ ） A ． B ． C ． D ． 或 5．正比例函数y=kx 的图象经过点（3，2），则它与x 轴所夹锐角的正切 值是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．在Rt △ABC 中，锐角A 的正弦值为，那么这个三角形的两条直角边长不可能是（ ） A ． 5和2 B ． 5和7 C ． 10和4 D ． 和 7．△ABC 中，若AB=6，BC=8，∠B=120°，则△ABC 的面积为（ ） A ． B ． 12 C ． D ． 二．填空题（共1 小题） 8 ．若等腰三角形两边为4，9，则底角余弦值是 _________ ． 三．解答填空题（共3小题） 9．如图，△ABC 是等腰三角形，∠ACB=90°，过BC 的中点D 作 DE ⊥AB ，垂足为E ，连接CE ，则sin ∠ACE= _________ ． 10．如图，电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面 CD 和地面BC 上，若CD 与地面成45°，∠A=60°，CD=4m ， ，则电线杆AB 的长为 _________ 米． 11．在一个含30°角的三角形中，一条边的长为1，另一条边的长为 2．那么这个三角形的面积有 _________ 种结果．

2020-2021学年高三数学一轮复习易错题05 三角函数与解三角形

易错点05 三角函数与解三角形 —备战2021年高考数学一轮复习易错题 【典例分析】 例1 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ） A. πsin(3x +） B. π sin( 2)3x - C. π cos(26 x +） D. 5π cos(2)6 x - 【答案】BC 【解析】 【分析】 首先利用周期确定ω的值，然后确定?的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知： 22362T ππ π=-=，则222T ππωπ ===，所以不选A, 当2536212 x π ππ+ ==时，1y =-∴()5322122 k k Z ππ?π?+=+∈， 解得：()2 23 k k ?ππ=+ ∈Z ，

即函数的解析式为： 2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ???????? =++=++=+=- ? ? ? ????????? . 而5cos 2cos(2)66x x ππ? ?+=-- ? ? ? 故选：BC. 【点睛】已知f (x )＝Asin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝ 2T π 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 例2 （2020年普通高等学校招生全国统一考试数学） 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心，A 是圆弧AB 与直线AG 的切点，B 是圆弧AB 与直线BC 的切点，四边形DEFG 为矩形，BC ⊥DG ，垂足为C ，tan ∠ODC = 3 5 ，BH DG ∥，EF =12 cm ，DE=2 cm ，A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ，圆孔半径为1 cm ，则图中阴影部分的面积为________cm 2． 【答案】542 π+

三角函数与解三角形专题复习(新课标)

1.为了得到函数的图象,可以将函数的图象 （ ） A ．向右平移 个单位长度 B ．向右平移 个单位长度 C ．向左平移个单位长度 D ．向左平移个单位长度 2.若，则( ) A ． B C ． D 3.如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( ) A ． B ． C ． D ． 4.函数cos 2y x =在下列哪个区间上是减函数 （ ） A ．[,]44ππ - B ．3[,]44ππ C ．[0,]2π D ．[,]2 π π 5.已知函数和的图象的对称中心完全相 同,若,则的最小值是 （ ） A ． B ．C ． D ．1 6.在中,角的对边分别为,若则的面积为___________________________. 7.在中,角所对边长分别为,,.则的面积为____________________________ 8．已知A ，B ，C 为三内角，其对边分别为a 、b 、c ，若. (Ⅰ）求A ； (Ⅱ）若，求的面积． )6 2sin(π - =x y x y 2cos =6π 3π 6 π 3 π 3sin ,,052a πα??=- ∈- ???5cos 4απ? ?+= ?? ? 105,45=∠=∠CAB ACB m 250m 350m 225m 2 2 25()sin()(0)3 f x x π ωω=- >()cos(2)g x x ?=+0,2x π?? ∈? ??? ()f x 12- -1-ABC ?,,A B C ,,a b c ,2,cos cos 4 A a b C c B π = =-=ABC ?ABC ?,,A B C ,,a b c sin 2A C += 6BA BC ?= ABC ?ABC ?1 cos cos sin sin 2 B C B C -=4a b c =+=ABC ?