高中数学圆锥曲线的知识点总结
高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C (看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程
(,)0f x y =的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标
的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.
点与曲线的关系：若曲线C 的方程是(,)0f x y =，则点000(,)P x y 在曲线C 上?00(,)0f x y =；点000(,)P x y 不在曲线C 上?00(,)0f x y ≠.
两条曲线的交点：若曲线1C ，2C 的方程分别为1(,)0f x y =，2(,)0f x y =，则点000(,)P x y 是1C ，2C 的交点
?{
),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没
有交点. 二、圆：
1、定义：点集{|}M OM r =，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在(,)C a b ，半径为r 的圆方程是2
2
2
()()x a y b r -+-= 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是2
2
2x y r +=
(2)一般方程：①当22
40D E F +->时，一元二次方程2
20x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程，圆心为
)2
,2(E D --
半径是2. 配方，将方程22
0x y Dx Ey F ++++=化为
22224()()224
D E D E F
x y +-+++=
②当2
2
40D E F +-=时，方程表示一个点)2
,2(E
D --
③当2
2
40D E F +-<时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心(,)C a b ，半径为r ，点M 的坐标为00(,)x y ，则||MC r < ?点M 在圆C 内，||MC r =?点M 在圆C 上，||MC r >?点M 在圆C
外，其中||MC = （4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点.
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心(,)C a b 到直线0Ax By C ++=的距离
2
2
B
A C Bb Aa d +++=
与半径r 的大小关系来判定.
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点(,)P x y 到一个定点(,0)F c 的距离与到不通过这个定点的一条定直线l 的距离之比是一个常数(0)e e >，
则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点(,0)F c 称为焦点，定直线l 称为准线，正常数e 称为离心率. 当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线.
四、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆
双曲线
抛物线
定义
1．到两定点1F ，2F 的距离之和为定值122(2||)a a F F >的点的
轨迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e 的点的轨迹. (01)e <<
1．到两定点1F ，2F 的距离之
差的绝对值为定值
122(02||)a a F F <<的点的轨
迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e 的点的轨迹. (1)e >
与定点和直线的距离相等的点的轨迹.
轨迹条件
点集：
1212{|||||2,
||2}
M MF MF a F F a +=<
点集：
1212{|||||2,
||2}
M MF MF a F F a -=±>
点集：
{|||}
M MF M l =点到直线的距离
图形
x
y M
x=
a 2c
x=-a 2c
c
a b
F 2F 1
B 2
B 1A 2
A 1
方
程
标准
方程
122
22=+b y a x (b a >>0) 122
22=-b
y a x (0,0)a b >> px y 22=
【备注1】双曲线：
（1）等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e . （2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.
λ=-22
22b y a x 与λ-=-2222b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b
y a x . （3）共渐近线的双曲线系方程：
)0(2
22
2
≠=-
λλb y a x 的渐近线方程为
02
22
2=-
b y a x ；
如果双曲线的渐近线为0=±b
y
a x 时，它的双曲线方程可设为)0(2
22
2≠=-
λλb
y a
x .
【备注2】抛物线：
（1）抛物线2
2(0)y px p =>的焦点坐标是(
2p ，0)，准线方程2
p x =- ，开口向右；抛物线2
2(0)y px p =<的焦点坐标是(
2p ，0)，准线方程2
p x =-，开口向左；抛物线2
2(0)x py p =>的焦点坐标是(0，2p )，准线方程2p y =-
，开口向上；抛物线2
2(0)x py p =<的焦点坐标是(0，2p )，准线方程2
p y =-，开口向下.
（2）抛物线2
2(0)y px p =>上的点00(,)M x y 与焦点M 的距离2
0p
x MF +
=； （3）设抛物线的标准方程为2
2(0)y px p =>，则抛物线的焦点到其顶点的距离为2p ，顶点到准线的距离2
p ，焦点到准线的距离为p . 五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换. 实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴.
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M ，它在原坐标系xOy 中的坐标是(,)x y ，在新坐标系'
''
x O y 中的
坐标是),('
'
y x . 设新坐标系的原点'
O 在原坐标系xOy 中的坐标是(,)h k ，则 ''x x h
y y k
=+??
=+?
叫做平移(或移轴)公式. 六、椭圆的常用结论：
1. 点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点P 处的外角.
证明：如图，设1(,0)F c -，2(,0)F c ，00(,)P x y .
对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，'
22220x yy a b +=
2'
2b x y a y ∴=-，002'
0(,)20
PT x y b x k k y a y ===-
又12001200,PF PF y y
k k k k x c x c
==
==+- 2
221220()tan 2tan()1k k b PF F PTF kk cy ---∴∠=∠-∠==
+ 同理2
tan 4b cy ∴∠=
故24∠=∠
总结：角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率，多利用几何方法 补充角平分线定理
2. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y
a b
+=. （和圆上点的切线做比较）
解析：对椭圆方程22221x y a b +=两边求导得，'
22220x yy a b +=
2'
2b x y a y ∴=-，002'
0(,)20
PT x y b x k k y a y ===-
故直线方程为
00221x x y y
a b
+= 总结：常见的求切线的方法
3. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b
+=外，则过0P 作椭圆的两条切线切点为12P P 、，则切点弦12P
P 的直线方程是00221x x y y
a b
+=. 补充圆的切线公式：2
00()()()()x a x a y b y b r --+--= 圆的切点弦公式：2
00()()()()x a x a y b y b r --+--=
总结：知识点的对比性记忆
4. 椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的左右焦点分别为12F F 、，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦
点角形的面积为122
tan
2
F PF S b γ
?=.
证明：设12,PF m PF n ==，则由余弦定理可得
22242cos c m n mn θ=+- 224()2(cos 1)c m n mn θ=+-+
2
21cos b mn θ
=+
12221sin sin tan 21cos 2
PF F S mn b b θθ
θθ?==?=+
5. 椭圆22
221x y a b
+=(0)a b >>的焦半径公式10||MF a ex =+，，其中
(1(,0)F c - ，2(,0)F c ，00(,)M x y ).
解析：2222
2
2
2
2
2
2
0010000022
()||()2b x cx a MF c x y x cx x b a a
+=++=+++-= 10||MF a ex ∴=+
同理10||MF a ex =+
6. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则2
2OM AB b k k a
?=-，即
20
2y a x b K AB
-=.
解析：设直线方程为00()y k x x y =-+，联立可得22200120222222a k x ka y x x x b a k -+=
=+，20
20
b x k a y =- 7. 若000(,)P x y 在椭圆22
221x y a b +=内，则被0P 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+；
8、已知椭圆22
221x y a b +=(0)a b >>，O 为坐标原点，P Q 、为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥. （1）
22
221111||||OP OQ a b
+=+;（2）22
||||OP OQ +的最小值为22224a b a b +;（3）OPQ S ?的最小值是2222a b a b +. 解析: 设直线方程为y kx m =+，联立可得2
2
2
2
2
2
2
22
()20a k b x kma x a m a b +++-=
可得222222
12121212222
,()a m a b x x y y k x x km x x m a k b
-==++++
由222
1212222
01m a b x x y y k a b
+=?=++
22222222222222211||||||11
||||||||||OP OQ PQ a b OP OQ OP OQ PQ d a b a b
+++====+ （2）222
2
22
222221111||||||||()(||||)()(
)2
OP OQ OP OQ OP OQ a b a b ++=+≤+ 222
2
224||||a b OP OQ a b +≥+（3）同理可求22
22
OPQ a b S a b
?≥+ 七、双曲线的常用结论：
1、点P 处的切线PT 平分12PF F ?在点P 处的内角.
2、若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y y
a b -=.
3、若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>外 ，则过0P 作双曲线的两条切线切点为12P P 、，则切点弦
12P P 的直线方程是
00221x x y y
a b
-=. 4、双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>的左右焦点分别为12F F 、，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲
线的焦点角形的面积为122
t
2
F PF S b co γ
?=.
5、双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的焦半径公式：(1(,0)F c -，2(,0)F c ）当00(,)M x y 在右支上时，
10||MF ex a =+，20||MF ex a =-；当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+，20||MF ex a =--.
6、AB 是双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>的不平行于对称轴的弦，00(,)M x y 为AB 的中点，则0
202y a x b K AB =.
7、若000(,)P x y 在双曲线22
221x y a b -=(0,0)a b >>内，则被0P 所平分的中点弦的方程2200002222x x y y x y a b a b -=-.
8、已知双曲线22
221x y a b
-=(0)b a >>，O 为坐标原点，P Q 、为双曲线上两动点，且OP OQ ⊥.
（1）22
221111||||OP OQ a b
+=-;（2）22||||OP OQ +的最小值为22224a b b a -;（3）OPQ S ?的最小值是2222a b b a -. 八、抛物线的常用结论：
1、x c by ay =++2
顶点)244(2a
b
a b ac --.
2、设AB 是过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的弦，1122(,),(,)A x y B x y ，则
（1）2
21212,4
p x x y y p ==- （2）弦长122
2||()sin p
AB x x p AB αα
=++=
为弦的倾斜角 解析：（一）设直线为()2
p
y k x =-
，代入抛物线方程可得： 222224(48)0k x pk p x p k -++=
则1212...,...x x x x +==
22
2(1)
||p k AB k
+== （二）利用定义12||()()22
p p AB x x =--
+-- （3）
112
||||FA FB p
+= 解析：
12212
121211112
||||()2224
x x p p p
p p FA FB p x x x x x x +++=+==+++++
（4）以弦AB 为直径的圆与准线相切
（5）A O 、与B 在准线上的射影'
B 三点共线，,B O 与A 点在准线上的射影'
A 三点共线 （6）通径长度为2p
3、)0(22≠=p px y 则焦点半径2
P x PF +=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2
P y PF +=.
(完整版)高中数学圆锥曲线知识点总结
高中数学知识点大全—圆锥曲线 一、考点（限考）概要： 1、椭圆： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之和等于定长的点的轨迹是椭圆，两定点是焦点，两定点间距离是焦距，且定长2a大于焦距2c。用集合表示为： ； ②定义二：在平面内到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做椭圆。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数是离心 率用集合表示为： ； （2）标准方程和性质：
注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。 （3）参数方程：（θ为参数）； 3、双曲线： （1）轨迹定义： ①定义一：在平面内到两定点的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹是双曲线，两定点是焦点，两定点间距离是焦距。用集合表示为： ②定义二：到定点的距离和它到一条定直线的距离之比是个常数e，那么这个点的轨迹叫做双曲线。其中定点叫焦点，定直线叫准线，常数e是离心率。 用集合表示为：
（2）标准方程和性质： 注意：当没有明确焦点在个坐标轴上时，所求的标准方程应有两个。
4、抛物线： （1）轨迹定义：在平面内到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线，定点是焦点，定直线是准线，定点与定直线间的距离叫焦参数p。用集合表示为 ： （2）标准方程和性质： ①焦点坐标的符号与方程符号一致，与准线方程的符号相反；②标准方程中一次项的字母与对称轴和准线方程的字母一致;③标准方程的顶点在原点，对称轴是坐标轴，有别于一元二次函数的图像；
二、复习点睛： 1、平面解析几何的知识结构： 2、椭圆各参数间的关系请记熟“六点六线，一个三角形”，即六点：四个顶点，两个焦点；六线：两条准线，长轴短轴，焦点线和垂线PQ；三角形：焦点三角形。则椭圆的各性质（除切线外）均可在这个图中找到。
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
(新)高中数学圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程 1. 椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于定长（定长通常等于2a ，且2a >F 1F 2） 的点的轨迹叫椭圆。 为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2,2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ （1）①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 22 2 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . 注：A.以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； B.在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和 2y 的分母的大小。 ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：12 22 2=+ b y a x 的参数方程为???==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵椭圆的性质 ①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e = .【∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为2 2 2 x y a +=。】 ⑦焦（点）半径： i. 设),(00y x P 为椭圆)0(12222 b a b y a x =+上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆 )0(12 22 2 b a a y b x =+上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 ?-=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结
圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)
高中数学圆锥曲线小结论
椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.
高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结7558
圆锥曲线 1、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。 在椭圆122 22=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0 202y a x b ； 在双曲线22 221x y a b -=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 202y a x b ；在抛物线 22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 2．了解下列结论 （1）双曲线1222 2=-b y a x 的渐近线方程为02222 =-b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λλ(2222 =-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为22 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线 的距离）为2 b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ，1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 3、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）在ABC ?中，给出() 12 AD AB AC =+u u u r u u u r u u u r ,等于已知AD 是ABC ?中BC 边的中线; （2）在ABC ?中，给出2 22OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ?的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （3）在ABC ?中，给出=++，等于已知O 是ABC ?的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （4）在ABC ?中，给出?=?=?，等于已知O 是ABC ?的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=r r 使；③若存在实数 ,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+u u u r u u u r u u u r 且使,等于已知C B A ,,三点共线. （6） 给出0=?,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=?m ,等于已 知AMB ∠是钝角, 给出0>=?m ,等于已知AMB ∠是锐角,
高考的数学中圆锥曲线重要结论地最全的总结
高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 高考数学常用公式及结论 圆锥曲线 1.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?. 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(2 2x c a e PF -=. 3．椭圆的的内外部 （1）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00221x y a b ?+<. （2）点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部22 00221x y a b ?+>. 4. 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. （2）过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程 是 00221x x y y a b +=. （3）椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是 22222A a B b c +=. 5.双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，2 2|()|a PF e x c =-. 6.双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22 00221x y a b ?-<. 7.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22 22 b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦 点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. 8. 双曲线的切线方程 (1)双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是 00221x x y y a b -=. （2）过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦 方程是 00221x x y y a b -=. 直线和圆锥曲线常考题型 运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22 x x y y x ++= =，其中,x y 是点 1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 2、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上， 则 1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB === = 或者 AB === = 3、两条直线111222: ,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =- 两条直线垂直，则直线所在的向量120v v = 4、韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则1212,b c x x x x a a +=-=。 常见的一些题型： 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22 : 14x y C m +=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22 : 14x y C m +=过动点04m ±≠（，且，如果直线 :1l y kx =+和椭圆22 :14x y C m + =14m ≥≠，且，即14m m ≤≠且。 规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+?过定点（，） :(1)1l y k x =+?-过定点（，0） :2(1)1l y k x -=+?-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题 例题2、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2 y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在， 求出0x ；若不存在，请说明理由。 解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 《圆锥曲线》知识点小结 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2 3．常用结论：（1）椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、双曲线： （1）双曲线的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的差的绝对值等于常数（小于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：a PF PF 2|||| 21=-与a PF PF 2||||12=-（||221F F a <）表示双曲线的一支。 ||221F F a =表示两条射线；||221F F a >没有轨迹； （2）双曲线的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0,0(122 22>>=-b a b y a x )0,0(122 22>>=-b a x a y 图 形 顶 点 )0,(),0,(21a A a A - ),0(),,0(21a B a B - 对称轴 x 轴，y 轴；虚轴为b 2，实轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222 b a c += 离心率 )1(>= e a c e （离心率越大，开口越大） 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 通 径 22b a （3）双曲线的渐近线： ①求双曲线12 2 22=-b y a x 的渐近线，可令其右边的1为0，即得02222=-b y a x ，因式分解得到0x y a b ±=。 ②与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-222 2y x ； （4）等轴双曲线为222 t y x =-，其离心率为2 （4）常用结论：（1）双曲线)0,0(1222 2 >>=-b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交双曲线的同一支于 B A ,两点，则2ABF ?的周长= 有关解析几何的经典结论 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 高中数学2-1圆锥曲线知识点总结 一、椭圆 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 22 x y 22 y x 二、双曲线 1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。 这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距． 2、双曲线的几何性质： 22 22 3、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线 1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线． 2、抛物线的几何性质： 3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =． 4、设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、 ，直线AB 的倾斜角为θ，则 ⑴221212,;4p x x y y p ==-⑵22;sin p AB θ = ⑶以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2 π ； ⑸ 112 .||||FA FB P += 四、直线与圆锥曲线的位置关系 ??? ?? ? ??? ????繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有 )位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。 ①. 若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。 ②.若0≠a ，设ac b 42-=?。a .0>?时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.0=?时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.0 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上 ?f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两条 曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2 ,2 (E D --半径是2 422F E D -+。配方，将方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+ 2D )2+(y+2 E )2=4 4F -E D 22+ ②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(- 2D ,-2 E ); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ?点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ?点M 在圆C 上，｜MC ｜ 高中数学圆锥曲线知识 点总结 TYYGROUP system office room 【TYYUA16H-TYY-TYYYUA8Q8- 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理 一、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。 点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上?f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上?f(x 0,y 0)≠0。 两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点?{ ),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n 个不同的实数解，两 条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。 二、圆： 1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径. 2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2 (2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2 ,2 (E D --半径是2 422F E D -+。配方，将方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+ 2D )2+(y+2 E )2=4 4F -E D 22+ ②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(- 2D ,-2 E ); ③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形. （3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为 圆锥曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为：22221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴 上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中2 2 2 b a c =-； ②在22221x y a b +=和22221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位置，只要看2 x 和2y 的分 母的大小。例如椭圆 22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -， 2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长 标准文档 江苏高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=. 标准文档 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、 N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.高考数学圆锥曲线的常用公式及结论(非常推荐)
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