高等数学上册复习第五章

高等数学上册复习（2011秋）

第五章 定积分

复习要点：

1. 定积分的背景、定义；

2. 会用定积分的定义计算和式的极限；

3. 与不定积分对应的方法计算定积分！只是注意上下限的变化！

4. 变动上限函数的求导；

5. 简单的广义积分的敛散性判别。

四、求极限： n k n n k n πsin 1lim 0

∑=∞→

解：令]1,0[,πsin )(∈=x x x f 。易知)(x f 在[0,1]上连续，从而??

=1

1

d πsin d )(x x x x f 存

在，于是由定积分的定义有：

π2

01ππcos d πsin πsin 1lim 100

=-===?∑=∞→x x x n k n n k n

二、利用积分的性质证明不等式： ?≤

≤2π

4π2

2

d sin 21x x x 解：令]2π,4π[,sin )(∈=x x x x g ，则2

sin cos )(x x x x x g -='，而当]2π

,0[∈x ， 有x x tan ≤，从而0)(≤'x g ，所以]2

π

,4π[,sin )(∈=x x x x g 是单调减， 故

π

4

22sin π2?≤≤x x ， 所以 ???=

?≤≤=2π

4π2π

4

π2π

4π22

d π422d sin d π221x x x x x

六、设0)(0,>>x f b a 且)(x f 在],[b a 上可积，又.0d )(=?

-b

a

x x xf

求证

??

--≤b

a

b

a

x x f ab x x f x d )(d )(2

证明：当],[b a x -∈时，0))((≤-+b x a x ，又0)(>x f ，

故 0)())((≤-+x f b x a x ，即.0)()()()(2≤-+-x xf b a x abf x f x 所以 .0d )()(d )(d )(2

≤-+-?

?

?

---x x xf b a x x f ab x x f x b

a

b

a b

a

又

.0d )(=?

-b

a

x x xf 从而??--≤b a

b

a

x x f ab x x f x d )(d )(2。

七、设)(x f 在]1,0[可导且)1(d )(2

2

10

f x x xf =?

。试证)1,0(∈?ξ使得ξ

ξξ)

()(f f =

'

证明：令)()(x xf x =?，易知)(x ?在]1,0[上可导，由第一积分中值定理

得],2

1,0[∈?η),()(d )(22

1

0η?ηη==?f x x xf ),1()1()(?η?==∴f 易知)(x ?在

]1,[η上满足罗尔中值定理

得)1,0()1,(?∈?ηξ 使得 0)(='ξ?

即 0)()(=+'ξξξf f ，

故 ξ

ξξ)

()(f f ='.

一、求由

0d )c o s (d e 02

2

=+??

-x

y

t t t t 所确定隐函数y 对x 的导数

dx

dy

； 解：由0d )cos(d e 02

02

=+??-x

y

t t t t 得：

??=+-y x

t t t x t x 020

0)d cos (d d )d e (d d 2， 故 0cos d d e 22=+--x x y y ，所以

2cos e d d 2

x x

y y -=。 二、当x 为何值时，函数t t x I x

t ?

-=0

d e )(2

有极值。

解：[]

()+∞∞-∈-=-==

---?,,e 12

1e 21d e )(22200

x t t x I x x t x

t ,易知2

e 1)(x x I --= 在()+∞∞-,上为偶函数，在),0[+∞上单调递增，于是 0=x 时，有极小值0， 无极大值。

方法2：,e )(2

x x x I -='0)(='x I 得0=x ，而0)(,0,0)(,0>'><'

三、在)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(≤'x f ， ?-=

x

a

t t f a x x F ,d )(1)( 证明在),(b a 内有0)(≤'x F 。

证明：2

)

(d )())(()(a x t

t f a x x f x F x

a ---=

'? ……①

而由积分中值定理有?

-=∈?x

a

a x f t t f x a ))((d )(],

,[ξξ ……②

又)(,0)(x f x f ∴≤'在],[b a 上单调减，故)()(x f f ≥ξ，

又0>-a x , 所以 ))(())((a x f a x a f -≤-ξ ……③ 联合①、②、③有0)(,),(≤'∈x F b a x 时。 6．

?

π

20

d sin x x

解：原式4cos 2d sin 2d sin d sin π

0π

2π

π0

=-==-=

??

?x x x x x x x

7．????

???

>≤+=1,2

1

,1)(2

x x x x x f ，求?20

d )(x x f ；

解：原式???

+==

2

1

10

2

d )(d )(d )(x x f x x f x x f

3

86

1)2(d 2d )1(2

1

3

1022

1

21

=

++=++=

?

?

x x x x x x x 8．

?

-2π0

d cos sin x x x 。

解：原式=

??

-+-2π4

π4π0

d )cos (sin d )sin (cos x x x x x x

)12(2)

sin cos (0

)cos (sin 4

π2π4

π-=--++=x x x x

四、设???∈∈=]

2,1[,]

1,0[,)(2x x x x x f 求?=x t t f x 0

d )()(Φ在[]2,0上的表达式，并讨论)(x Φ

在)2,0(内的连续性。

解：依题意①当[]1,0∈x 时，?==x x t t x 03

2

3

d )(Φ

②当[]2,1∈x 时，?

??

-+=+==

x

x

x t t t t t t f x 0

1

21

2

2

1

231d d d )()(Φ

故综上有?????

??∈-∈=]2,1[,6

1

2]1,0[,3

)(23

x x x x x Φ,显然，函数612,323-x x 在),(+∞-∞连续，于是 对于)(x Φ只需进一步考虑，1=x 时的连续性，显然

)1(31

3lim )(lim ,31)1(311ΦΦΦ====-+→→x x x x 而 )1(3

1)612(lim )(lim

211ΦΦ==-=→→+x x x x ， 故)(x Φ在1=x 处连续，从而)(x Φ在)2,0(内连续。 2、

?

-2

2

2d },max{x x x

解：??

???∈∈-∈=]2,1(,]1,0[,)

0,2[,},max{222

x x x x x x x x

原式2

1131382138d d d 2

1

210

2

2=-++=

++=

???

-x x x x x x 二、计算： ?

-=→h

h h

I 0

2

0d ]cot 1

[

1

lim θθθ

解：运罗必达法则可得sinh

2cosh sinh lim 2coth

1

lim 200h h h h I h h -=-=→→ 6

1sinh)2cosh (2sinh lim

0=+=→h h

三、设

)(x f 在],0[a 上可积且

),0(0)(>?>x x f 又满足方程

),0(,d )()(0

a x t t f x f x

≤≤=

?

试求)(x f 。

解：由已知可得,d )()(0

2

?

=

x

t t f x f 两边求导得：),()()(2x f x f x f ='

又 )0(0)(>?>x x f

所以21)(=

'x f ，从而,2d 21)(C x

x x f +==?其中C 为待定常数， 又由),0(,d )()(0a x t t f x f x ≤≤=?得.2

)(,0)0(x

x f f =∴=

四、设)(x f 在]1,0[上有一阶连续导数且,1)0()1(=-f f 试证.1d )]([1

2

≥'?

x x f

证明：令,1)(=x g 则由柯西-许瓦兹不等式有： ???

?'≤'1

21

2

2

1

d )(d )]([]d )()([

x x g x x f x x g x f ，

即 ??

'≤',

10

221

d )]([]d )([

x x f x x f

?'≤

-10

22

d )]([)]0()1([x x f f f ，故.1d )]([1

2

≥'?x x f

二、利用函数的奇偶性计算下列积分： 1

()?--1

1

2

d sin x x x x

解 因0d sin 1

1

2=?

-x x x 原式=??-=

=11

1

322

1d 2d x x x x x 2

()?

--+

1

1

22

d 1x x

x

解 原式=???

----=

-+-+1

1

2111

12

2

2

d 12d d )121x x x

x x x x x x ＋（=2

四、证明：若函数)(x f 于闭区间],[b a 内连续，则

??

-+-=1

d ])([)()(x x a b a f b a dx x f b

a

证：令1,,0,,)(====-+=t b x t a x t a b a x

?

?--+=b

a

t a b t a b a f dx x f 1

)(d ])([)(

??-+-=-+-1

1

d ])([)(d ])([)(x x a b a f a b t t a b a f a b

3 计算下列定积分： ⑴

x x

x d ln 2

2

e e ?

-

解 原式=?

?

?-=-=

-2

2

2

e 1

e 1

e 1

1

e

)d 1ln (2d ln d ln x x

x x x x x x

x x

=?----=-1

e

11e 2

2

)e 1(8d 1ln (2x x

x

x

⑵

?

π

2d )sin (x x x

解 原式=

???

+=-=-π

π032π

32d 2sin 216πd 2cos 216πd 2)2cos 1(x x x x x x x x x

4

π6π3-=

⑶

x x

x

d 1arcsin

3

?

+ 解 原式33π

41πd 12111arcsin 30302230-=+-=+-+=??t

t x x x x x 4 若?=

1

d )(ln x x x

I n m

n ,求n I 之值。(其中1-≠m ，n 为正整数)

解： ??-++-+=+=1010110

11]d )(ln )[(ln 11)(d )(ln 11x x x n x x m x x m I m n m n m n n 11011d )(ln 1--?+-=+-

=n m

n I m n x x x m n 211

1

--+--=n n I m n I

……

1

0221)

1(!

)1()1(!)1()1()1(1+--+-=+-==+-+-=n n n n n n n m n I m n I m n n I m n I 5 求

x x

n

d )1(1

2

?-

解：令2

π

,1,0,0,sin =

====t x t x x x 原式=??

-++==

20

12220

2

21

2d cos sin 2cos sin d cos

π

π

π

t t n t t t t n n

n

?

?++-=20

20

121

2d cos 2d cos

2π

π

t t n t t n

n n

令?

++=

2π0

1212d cos t t I n n

!

)!12(!

)!2(1)1(2)1(2*212212222212121

21212+==+--+=+=

-=--++-+n n I n n n n I n n I nI nI I n n n n n n 6、设 )(x f 在]1,0[上连续，求证 ??

?-=100

1

d )()1(d ]d )([

x

x x f x x t t f

证明：??

????-=-==10

10

1

1

1

d )()1(d )()1(d )d )((d )d )((x

t

x x f x t t f t t x d t f x t t f

2、讨论广义积分

0)( d )

1(1

2

1

>-?

a x x a

的敛散性，若收敛，试求其值. 解: 1=x 为据点

α-∞→∞→-=-p x x x x x )1(lim 1

)11lim 2

2（ (1) 当1,0><-p p α,即1>α时,积分发散; (2) 当1=α时, ?

-2

1

1

d x x

不存在,即积分发散; (3) 当1,0<>-p p α,即10<<α时,积分收敛.

ααα

ξαα

-=

+-=--+--∞→?

121lim d )1(112112

1

x z x x 。

高等数学上册知识点

高等数学上册 第一章 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限

εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 δδε-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = )()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷 大量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无 穷小 Th1 )(~ααββαo +=?;

高等数学(同济第六版)上册-期末复习题(含答案)

※高等数学上册期末复习 一.填空题 1.=-→x x e x x 2sin 2cos lim 30 2 3 2.曲线x xe y -=的拐点是 )2,2(2 -e 3．设)(x f 在0=x 处可导且,0)0(=f 则=→x x f x ) (lim 0 )0(f ' 4.曲线x x y +-= 22cos 1在)2 1,2(π π+处的切线方程为 1y x =+ 5．曲线1 22 -=x x y 有垂直渐近线 1±=x 和水平渐近线 1=y 6.设)(u f 可导，)]([sin 2x e f y =,则=dy dx e e f e f x x x ?'?)()]([2sin #7.=?dx e x 4 )1(22 +e 8．若3)(0-='x f ,则=--+→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 12- 9.若 dx x p ? +∞ 1 收敛,则p 的范围是 1-

=0 ,0,)(2x x x x x f ，则?-=11)(dx x f 61 - #14．过点)3,1(且切线斜率为x 2的曲线方程为 12 +=x y 15.已知函数?????=≠=0 ,0 ,sin )(x a x x x x f ，则当→x ∞时,函数)(x f 是无穷小；当 =a 1时,函数)(x f 在0=x 处连续，否则0=x 为函数的第 (一）类间断 点。 １6.已知 ?+=c x F dx x f )()(，则? =-dx x f x )(arcsin 112 c x F +)(arcsin

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理 公式，用法合集 极限与连续 一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数: (3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤?=?>?; *0 ()(), x x f x F x x x a ≠?=?=?;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ?== (5)隐式(方程): (,)0F x y = (6)参式(数一,二): () ()x x t y y t =??=? (7)变限积分函数: ()(,)x a F x f x t dt = ? (8)级数和函数(数一,三): 0 (),n n n S x a x x ∞ ==∈Ω∑ 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ??--定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 1 1()()()y f x x f y y f x --=?=?= 二. 极限性质: 1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞ (含x →±∞); *0 lim ()x x f x →(含0x x ± →) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 000,,1,,0,0,0∞ ∞∞-∞?∞∞∞ 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性 三. 常用结论: 11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)n n n n a b c a b c ++→, ()00! n a a n >→

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

高等数学上册复习要点及解题技巧

高等数学上册复习要点及解题技巧 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法 2、分部积分法（注意加C ） 定积分： 1、定义 2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程） 3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。

线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。 ●第四句话：若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。 ●第五句话：若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理 ●第六句话：若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。 ●第七句话：若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。 ●第八句话：若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。 概率解题的九种思维定势 ●第一句话：如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式 ●第二句话：若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式 ●第三句话：若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发 生概率是用全概率公式计算。关键：寻找完备事件组 ●第四句话：若题设中给出随机变量X ~ N 则马上联想到标准化 ~ N(0,1)来处理有关问题。 ●第五句话：求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使 联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。 ●第六句话：欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g(X)或(Y≤g(X))的概率，应该马上联 想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g(X)或(Y≤g(X))的 区域的公共部分。 ●第七句话：涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作 （0－1）分解。即令

大一上学期高数知识点电子教案

第二章 导数与微分 一、主要内容小结 1. 定义·定理·公式 （1）导数，左导数，右导数，微分以及导数和微分的几何意义 （2） 定理与运算法则 定理1 )(0x f '存在?='- )(0x f )(0x f +' . 定理2 若)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f y =在点x 0处连续；反之不真. 定理3 函数)(x f 在0x 处可微?)(x f 在0x 处可导. 导数与微分的运算法则：设)(,)(x v v x u u ==均可导，则 v u v u '±'='±)(, dv du v u d ±=±)( u v v u uv '+'=')(, vdu udv uv d +=)( )0()(2≠'-'='v v v u u v v u ， )0()(2≠-=v v udv vdu v u d （3）基本求导公式 2. 各类函数导数的求法 （1）复合函数微分法 （2）反函数的微分法 （3）由参数方程确定函数的微分法 （4）隐函数微分法 （5）幂指函数微分法 （6）函数表达式为若干因子连乘积、乘方、开方或商形式的微分法. 方法：对数求导法（即先对式子的两边取自然对数，然后在等式的两端再对x 求导）. （7）分段函数微分法 3. 高阶导数 （1）定义与基本公式

高阶导数公式：a a a n x n x ln )()(= )0(>a x n x e e =)()( )2sin()(sin )(π?+=n kx k kx n n )2cos()(cos )(π ?+=n kx k kx n n n m n m x n m m m x -+-???-=)1()1()()( !)()(n x n n = n n n x n x )! 1()1()(ln 1)(--=- 莱布尼兹公式： （2）高阶导数的求法 ① 直接法② 间接法 4. 导数的简单应用 (1) 求曲线的切线、法线 (2) 求变化率——相关变化率 二、 例题解析 例2.1 设?? ???=≠?=0,00,1sin )(x x x x x f K , （K 为整数）.问： （1）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处不可导； （2）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处可导，但导函数不连续； （3）当K 为何值时，)(x f 在0=x 处导函数连续？ 解 函数)(x f 在x=0点的导数： 0lim →x =--0 )0()(x f x f 0lim →x x f x f )0()(-=0lim →x x x x K 1sin )(? = 0lim →x x x K 1sin )(1?-= ? ??>≤101 K K 当，，当发散 即 ? ??>≤='1,01)0(K K f 不存在， 当1>K 时, )(x f 的导函数为： ?????=≠?-?='--0,00,1cos 1sin )(21x x x x x Kx x f K K

《高等数学(一)》复习资料-姜作廉

一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断） （一）、单项选择部分 1．函数x x x f )321 ()321 ()(-++=为（）。 （A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）幂函数；（D ）偶函数 ★考核知识点:函数的性质，参见P4-7 附1.1.1（考核知识点解释及答案）： 函数的基本特性： 有界性：设函数f (x )的定义域为D ，如果有0>M ，使得对D x ∈?，都有M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有界。 如果对D x ∈?，使得M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有上界。 单调性：设函数f (x )的定义域为D ，如果对D x x ∈?21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f ≤ ，就称上在D x f )(为单调递增函数。同理， 可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。 奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对 D x ∈? ，如果 (i))()(x f x f =-，则称该函数为奇函数； (ii)) ()(x f x f -=-，则称该函数为偶函数． 周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈?，总有 则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期 计算过程如下：----(-)===f(x)x x x x x x f x =+++ 答案：（D ）偶函数。 2．函数()ln(1sin ) (0)f x x x =+→为（）。

（A ）无穷小量；（B ）无穷大量；（C ）零函数；（D ）常数函数 ★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27 附1.1.2（考核知识点解释及答案）： 当0x x →时，如果函数)(x f 的绝对值大于任意预先给定的正数M ，则我们称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，记为∞=→)(lim 0 x f x x 。 若0)(lim 0 =→x f x x ，则称函数)(x f 在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。 答案：（A ）无穷小量。 3．函数sin 0x y x x ==在点处（）。 （A ）可导；（B ）间断；（C ）可微；（D ）连续 ★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46 附1.1.3（考核知识点解释及答案】）： 函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 答案：（B ）间断。 4．若()ln(2sin ),(0)f x x f '=+=则（）。 （A ）-1；（B ）0；（C ） 12 ；（D ）1 ★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63 附1.1.4（考核知识点解释及答案）： 下述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。

【精品】高等数学(上册)复习总结

高等数学（上册）复习总结 第一章函数、极限与连续 主要知识点：函数的概念；函数的奇偶性、有界性；复合函数；初等函数;极限的概念;极限的性质（唯一性、有界性、保号性)；夹逼准则、单调有界原理、两个重要极限;无穷小的概念、无穷小阶的比较；等价无穷小代换性质、无穷小与有界函数乘积仍为无穷小之性质；函数的双侧极限与单侧极限（即左右极限)之关系；函数连续的概念及定义；判别间断点的类型；闭区间上连续函数的性质(零点定理、最值定理）。 主要技能测试点： 1．对极限概念的理解,并能灵活运用计算极限的各种方法计算极限； 对连续概念的理解，会讨论函数的连续、间断情形，并能判别间断点的类型。 主要题型： 1．函数复合； 2．计算各种类型的极限；

3．确定极限式中所含的参数；3．无穷小阶的比较；

4．函数连续性的讨论及确定函数式中的参数（已知函数连续）； 5．判别间断点的类型； 6．利用零点定理讨论方程根的存在。 第二讲导数与微分 主要知识点: 导数定义；左右导数的定义及左右导数与导数的关系;可导与连续的关系；导数作为函数变化率的几何意义、物理意义;曲线的切线与法线方程；导数公式;求导法则（四则运算、复合函数、反函数);微分的概念；高阶导数. 主要技能测试点： 1、对导数定义的理解,运用导数定义求导数及求具有导数结构的极限; 2、掌握计算导数的各种方法，会求各类函数的导数. 2．运用导数的几何、物理意义解决有关曲线的斜率、瞬时速度等实际问题。 主要题型： 1、利用导数定义求导数及求具有导数结构的极限；

2、讨论函数在一点的连续性与可导性的; 3、求复合函数的导数（包括抽象复合函数的求导）；

高等数学上册知识点

高等数学上册知识点 Prepared on 24 November 2020

高等数学上册 第一章 函数与极限 （一）函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函 数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续)()00 x f x = 第一类：左右极限均存在。 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在。 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定 理、介值定理及其推论。 （二）极限 1、 定义 1） 数列极限 2） 函数极限 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+ = 2、 极限存在准则

1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限。 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α 则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大 量。 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b)e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x e x ~1- （a x a x ln ~1-） b) x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） 第二章 导数与微分

高等数学大一上学期知识要点

高数总复习(上) 一、求极限的方法： 1、利用运算法则与基本初等函数的极限； ①、定理 若lim (),lim ()f x A g x B ==, 则 (加减运算) lim[()()]f x g x A B +=+ (乘法运算) lim ()()f x g x AB = (除法运算) ()0,lim ()f x A B g x B ≠=若 推论1: lim (),lim[()][lim ()]n n n f x A f x f x A === (n 为正整数) 推论2: lim ()[lim ()]cf x c f x =

②结论m n a x b x --+++++11结论2: ()f x 是基本初等函数，其定义区间为D ，若0x D ∈，则 2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质； ①定义1: 若0 lim ()0x x f x →=或（lim ()0x f x →∞ =） 则称 ()f x 是当0x x → (或x →∞)时的无穷小. 定义2: ,αβ是自变量在同一变化过程中的无穷小: 若lim 1β α =, 则称α与β是等价无穷小, 记为αβ. ②性质1：有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小.

推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理) 设~,~ααββ'', 且lim βα'' 存在, 则 (因式替换原则) 常用等价无穷小: 3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则； ①准则I(夹逼准则)若数列,,n n n x y z (n=1,2,…)满足下列条件: (1)(,,,)n n n y x z n ≤≤=123; (2)lim lim n n n n y z a →∞ →∞ ==, 则数列n x 的极限存在, 且lim n n x a →∞ =.

高等数学上册,必背的知识点,期末考试备考的重点知识

高等数学上册,必背的 知识点,期末考试备考 的重点知识 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识 东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。 (14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan (17)C x xdx +=?|sin |ln cot (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc (20)C a x a dx x a +=+?arctan 112 2 (21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 2112 2 (22)C a x dx x a +=-?arcsin 12 2 (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(222 2 (24)C a x x a x dx +-+=-?||ln 222 2 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2 tan x 的函数然后作变换2 tan x u = 2 22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+== =? 2 2 2222112 sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=? 变换后原积分变成了有理函数的积分 二 泰勒多项式 若)(x f 在点x 0处N 阶可导，称

高等数学上册总复习

高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函 数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00时，当

左极限：)(lim )(00x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000+-→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1） )(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ）a z y n n n n ==→∞→∞lim lim a x n n =∞ →lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' '=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 10 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~

高数知识点总结(上册)

高数知识点总结（上册） 函数： 绝对值得性质： (1)|a+b|≤|a|+|b| (2)|a-b|≥|a|-|b| (3)|ab|=|a||b| (4)|b a |=)0(||||≠b b a 函数的表示方法： （1）表格法 （2）图示法 （3）公式法（解析法） 函数的几种性质： （1）函数的有界性 （2）函数的单调性 （3）函数的奇偶性 （4）函数的周期性 反函数： 定理：如果函数)(x f y =在区间[a,b]上是单调的，则它的反函数)(1 x f y -=存在，且是单 值、单调的。 基本初等函数： （1）幂函数 （2）指数函数 （3）对数函数 （4）三角函数 （5）反三角函数 复合函数的应用 极限与连续性： 数列的极限： 定义：设 {}n x 是一个数列，a 是一个定数。如果对于任意给定的正数ε（不管它多么小） ， 总存在正整数N ，使得对于n>N 的一切n x ，不等式 ε <-a x n 都成立，则称数a 是数列 {}n x 的 极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记做a x n n =∞ →lim ，或 a x n →（∞→n ） 收敛数列的有界性： 定理：如果数列 {}n x 收敛，则数列{}n x 一定有界 推论：（1）无界一定发散（2）收敛一定有界 （3）有界命题不一定收敛 函数的极限： 定义及几何定义 函数极限的性质： （1）同号性定理：如果A x f x x =→)(lim 0 ，而且A>0(或A<0),则必存在0x 的某一邻域，当x 在该邻域内（点0 x 可除外），有0)(>x f （或0)(

高等数学上册,必背的知识点,期末考试备考的重点知识

1 / 2 高等数学上册，必背的知识点，期末考试备考的重点知识 东西不多，但都是经典，多了也记不住，是吧。 (14)C x dx x +-=?csc cot csc (15)C x xdx x +=?sec tan sec (16)C x xdx +-=?|cos |ln tan , (17)C x xdx +=?|sin |ln cot , (18)C x x xdx ++=?|tan sec |ln sec , (19)C x x xdx +-=?|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+?arctan 112 2 , (21)C a x a x a dx a x ++-=-?||ln 2112 2 , (22)C a x dx x a +=-?arcsin 12 2, (23)C a x x a x dx +++=+? )ln(222 2, (24)C a x x a x dx +-+=-? ||ln 222 2. 用于三角函数有理式积分的变换: 把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =: 2 22122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x x x x x x x +=+== =, 2 2 2222112 sec 2tan 12sin 2cos cos u u x x x x x +-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分. 二 3.1泰勒多项式 若在点处N 阶可导，称 x ~ 1-) 1(αα x +)(x f x ) ()()(! 1....)(! 21))(()()(0) (2 0// 0/ 0x x x f x x x f x x f x p o n o x f x n n o n --+ ++ -+ =

高等数学B(上)复习资料

华南理工大学网络教育学院 《高等数学（上）》辅导 一、 求函数值 例题： 1、若2()f x x =，()x x e ?=，则(())f x ?= ． 解：() 2 2(())()x x x f x f e e e ?=== 2、若(1)21f x x -=+，则()f x = ． 解：令1x t -=，则1x t =+ 所以()2(1)123f t t t =++=+ 即 ()23f x x =+ 二、 常见的等价无穷小及等价无穷小替换原理 常见的等价无穷小： 0~sin ~tan ~arcsin ~arctan x x x x x x →时, ~ln(1)~x x x e +-1 211cos ~,2x x -1 1~2 x -

无穷小替换原理：在求极限过程中，无穷小的因子可以用 相应的等价无穷小替换 例题： 1、320sin 3lim x x x →=？ 解：当0sin3~3x x x →，， 原式=3 200(3)lim lim 270x x x x x →→== 2、0sin3lim x x x →=？ 解：原式=03lim 3x x x →= 3、201-cos lim x x x →=？ 解：当2 10cos ~2x x x →，1- 原式=220112lim 2x x x →=

4、0ln(13) lim x x x →+=？ 解：当03)~3x x x →，ln(1+ 原式=.03lim 3x x x →=. 5、201 lim x x e x →-=？ 解：当201~2x x e x →-， 原式=.02lim 2x x x →=. 三、 多项式之比的极限 2lim 03x x x x →∞=+，22 11lim 33x x x x →∞-=+，23lim x x x x →∞+=∞ 四、 导数的几何意义（填空题） 0()f x '：表示曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的切线斜率 曲线..()y f x =..在点00(,())M x f x 处的切线方程为： 000()()()y f x f x x x '-=- 曲线()y f x =在点00(,())M x f x 处的法线方程为：

高等数学(上)重要知识点归纳

高等数学（上）重要知识点归纳 第一章 函数、极限与连续 一、极限的定义与性质 1、定义（以数列为例） ,,0lim N a x n n ?>??=∞ →ε当N n >时，ε<-||a x n 2、性质 (1) )()()(lim 0 x A x f A x f x x α+=?=→，其中)(x α为某一个无穷小。 (2)(保号性）若0)(lim 0 >=→A x f x x ，则,0>?δ当),(0δx U x o ∈时，0)(>x f 。 (3)*无穷小乘以有界函数仍为无穷小。 二、求极限的主要方法与工具 1、*两个重要极限公式 (1)1sin lim =??→? (2)e =? +?∞ →?)1 1(lim 2、两个准则 (1) *夹逼准则 (2)单调有界准则 3、*等价无穷小替换法 常用替换：当0→?时 （1)??~sin （2）??~tan （3）??~arcsin （4)??~arctan （5）??+~)1ln( （6）?-?~1e （7）22 1 ~cos 1??- （8）n n ?-?+~11

4、分子或分母有理化法 5、分解因式法 6用定积分定义 三、无穷小阶的比较* 高阶、同阶、等价 四、连续与间断点的分类 1、连续的定义* )(x f 在a 点连续 )()()()()(lim 0lim 0 a f a f a f a f x f y a x x ==?=?=??-+→→? 2、间断点的分类?? ?? ? ? ?????????? ?其他震荡型（来回波动） ） 无穷型（极限为无穷大第二类但不相等）跳跃型（左右极限存在可去型（极限存在） 第一类 3、曲线的渐近线* a x x f A y A x f a x x =∞===→∞→则存在渐近线：铅直渐近线：若则存在渐近线：水平渐近线：若,)(lim )2(,)(lim )1( 五、闭区间连续函数性质 1、最大值与最小值定理 2、介值定理和零点定理

文科高数大一复习重点

高数（上册）期末复习要点 第一章：1、极限（夹逼准则） 2、连续（学会用定义证明一个函数连续，判断间断点类型） 第二章：1、导数（学会用定义证明一个函数是否可导）注：连续不一定可导，可导一定连续 2、求导法则（背） 3、求导公式也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并灵活运用--第一节） 2、洛必达法则 3、泰勒公式拉格朗日中值定理 4、曲线凹凸性、极值（高中学过，不需要过多复习） 5、曲率公式曲率半径 第四章、第五章：积分 不定积分：1、两类换元法2、分部积分法（注意加C ） 定积分：1、定义2、反常积分 第六章：定积分的应用 主要有几类：极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长 第七章：向量问题不会有很难 1、方向余弦 2、向量积 3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）3、空间平面 4、空间旋转面（柱面） 高数解题技巧。（高等数学、考研数学通用） 高数解题的四种思维定势 ●第一句话：在题设条件中给出一个函数f(x)二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f(x)在指定点展成泰勒公式再说。 ●第二句话：在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。 ●第三句话：在题设条件中函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=0或f(b)=0或f(a)＝f(b)=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。 ●第四句话：对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f(u)再说。 线性代数解题的八种思维定势 ●第一句话：题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行(列)展开定理以及AA*=A*A=|A|E。 ●第二句话：若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。 ●第三句话：若题设n阶方阵A满足f(A)=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。

高数上册知识点

高等数学上册知识点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数、反双曲函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数 )(x f 在0x 连续 ) ()(lim 00 x f x f x x =→ 间断点 第一类：左右极限均存在. ( 可去间断点、跳跃间断点) 第二类：左右极限、至少有一个不存在. (无穷间断点、振荡间断点) 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 : εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 :εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+= )()( )(lim 000 +-→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2）a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n =∞ → 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' '=''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1)单调有界准则； 2)夹逼准则； 3)极限运算准则及函数连续性； 4) 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)1 1(lim )1(lim 1 5）无穷小代换：（0→x ） a)x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 221 ~cos 1x x - c) x e x ~1-,（a x a x ln ~1-） d)x x ~)1ln(+ （a x x a ln ~ )1(log +） e) x x αα ~1)1(-+ 二、 导数与微分

高数重要知识点汇总

高等数学上册重要知识点 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1 两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x )是比g (x )高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x )与g (x )是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x )与g (x )是等价无穷小，记以f (x ) ~ g (x ) 2 常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二 求极限的方法 1．两个准则 准则1．单调有界数列极限一定存在 准则2．（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 放缩求极限 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．★用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-=