高中数学数形结合思想在解题中的应用
高中数学数形结合思想在解题中的应用
一、知识整合
1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。
2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式()()x y -+-=21422
3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。 二、例题分析
例1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于k k kx x x 310322
-=++ 分析：0)(32)(2
=++=x f x k kx x x f 程轴交点的横坐标就是方，其图象与令
()13(1)0y f x f =-->的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f >，
()()02b
f f k a
-
=-<10(10)k k -<<∈-同时成立，解得，故，
例2. 解不等式x x +>2 解：法一、常规解法：
原不等式等价于或()()I x x x x II x x ≥+≥+>???
?
?<+≥???
020
20202
解，得；解，得()()I x II x 0220≤<-≤<
综上可知，原不等式的解集为或{|}{|}x x x x x -≤<≤<=-≤<200222
法二、数形结合解法： 令，，则不等式的解，就是使的图象y x y x x x y x 121222=
+=+>=
+
在的上方的那段对应的横坐标，y x 2=如下图，不等式的解集为{|}x x x x A B ≤<
而可由，解得，，，x x x x x B B A +===-222故不等式的解集为。{|}x x -≤<22
例3. 已知，则方程的实根个数为01<<=a a x x a ||
|log |(
)
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 1个或2个或3个
分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画y a y x x a ==||
|log | 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B ）。
例4. 如果实数、满足，则的最大值为x y x y y
x
()()-+=232
2
A B C D .
.
.
.12
33
32
3
分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()x y -+=232
2
圆心为，，半径，如图，而
则表示圆上的点，与坐()()()20300
r y x y x x y ==-- 标原点，的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A 在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA
可见，当∠在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最A OA 大值为°tg 603=
例5. 已知，满足
，求的最大值与最小值x y x y y x 22
1625
13+=- 分析：对于二元函数在限定条件
下求最值问题，常采用y x x y -+=31625
122
构造直线的截距的方法来求之。 令，则，y x b y x b -==+33
原问题转化为：在椭圆
上求一点，使过该点的直线斜率为，x y 22
1625
13+= 且在轴上的截距最大或最小，y
由图形知，当直线与椭圆
相切时，有最大截距与最小y x b x y =++=31625
122
截距。
y x b x y x bx b =++=????
??++-=3162511699616400022
22 由，得±，故的最大值为，最小值为。?==--01331313b y x
例6. 若集合，，集合，M x y x y N x y y x b ===??
?<
?
?==+()cos sin (){()|}330θθθπ 且≠，则的取值范围为
。M N b ?
分析：M x y x y y M =+=<≤{()|}()，，，显然，表示以，为圆心，2
2
90100 以3为半径的圆在x 轴上方的部分，（如图），而N 则表示一条直线，其斜率k=1，纵截
距为，由图形易知，欲使≠，即是使直线与半圆有公共点，b M N y x b ?=+ 显然的最小逼近值为，最大值为，即b b --<≤332332
例7. 点是椭圆
上一点，它到其中一个焦点的距离为，为M x y F N 22
12516
12+= MF 1的中点，O 表示原点，则|ON|=（ ） A B C D .
(32)
248
分析：①设椭圆另一焦点为F 2，（如图）， 则，而||||MF MF a a 1225+==
||||MF MF 1228==，∴ 又注意到N 、O 各为MF 1、F 1F 2的中点， ∴ON 是△MF 1F 2的中位线， ∴×||||ON MF =
==121
2
842 ②若联想到第二定义，可以确定点M 的坐标，进而求MF 1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。
例8. 已知复数满足，求的模的最大值、最小值的范围。z z i z ||--=
222
分析：由于，有明显的几何意义，它表示复数对应的|||()|z i z i z --=-+2222
点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数对应点2+2i |()|z i z -+=222
Z z z ，在以，为圆心，半径为的圆上，如下图，而表示复数对应的()()||222 点到原点的距离，显然，当点、圆心、点三点共线时，取得最值，Z O Z C O z || ||||min max z z ==232，，
∴的取值范围为，||[]z 232
例9. 求函数的值域。y x x =
+-sin cos 2
2
解法一（代数法）：则得y x x y x y x =
+--=+sin cos cos sin 2
2
22， sin cos sin()x y x y y x y -=--++=--221222，? ∴，而sin()|sin()|x y y x +=
--++≤??221
12
∴，解不等式得
|
|--+≤--≤≤-+221
147347
3
2y y y ∴函数的值域为，[
]---+473473
解法二（几何法）：y x x y y y x x =+-=--sin cos 2
22121
的形式类似于斜率公式
y x x P P x x =
+--sin cos ()(cos sin )2
2
220表示过两点，，，的直线斜率
22
1P x y +=由于点在单位圆上，如图, 显然，k y k P A P B 00≤≤
设过的圆的切线方程为P y k x 022+=-() 则有
，解得±||221
1473
2k k k ++==
-即，k k P A P B 0047347
3
=
--=-+ ∴
--≤≤-+473473y ∴函数值域为，[]---+47347
3
例10. 求函数的最值。u t t =
++-246
分析：由于等号右端根号内同为的一次式，故作简单换元，无法t t t m 24+= 转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。 解：设，，则x t y t u x y =
+=-=+246
且，x y x y 22
21604022+=≤≤≤≤()
所给函数化为以为参数的直线方程，它与椭圆在u y x u x y =-++=22
216 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）
u min =22
相切于第一象限时，u 取最大值
y x u x y x ux u =-++=????-+-=2
2
22
216
342160 解，得±，取?=0==u u 2626 ∴u max =26
三、总结提炼
数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。
四、强化训练
见优化设计。 【模拟试题】 一、选择题：
1. 方程lg sin x x =的实根的个数为（ ） A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 函数y a x y x a ==+||与的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1，+∞
B. ()-11，
C. (][)-∞-+∞，，11
D. ()()-∞-+∞，，11
3. 设命题甲：03< D. 不充分也不必要条件 4. 适合||z -=11且arg z =π 4 的复数z 的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 4个 5. 若不等式x a x a +≥>()0的解集为{|}||x m x n m n a ≤≤-=，且，2则a 的值为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知复数z i z z z 121232=-=+，，则||||的最大值为（ ） A. 102- B. 5 C. 210+ D. 222+ 7. 若x ∈()12，时，不等式()log x x a -<12 恒成立，则a 的取值范围为（ ） A. （0，1） B. （1，2） C. （1，2] D. [1，2] 8. 定义在R 上的函数y f x =-∞()()在，2上为增函数，且函数y f x =+()2的图象的对称轴为x =0，则（ ） A. f f ()()-<13 B. f f ()()03> C. f f ()()-=-13 D. f f ()()23< 二、填空题： 9. 若复数z 满足||z =2，则||z i +-1的最大值为___________。 10. 若f x x bx c ()=++2 对任意实数t ，都有f t f t ()()22+=-，则f f ()()13、-、f ()4由小到大依次为___________。 11. 若关于x 的方程x x m 2 45-+=||有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为___________。 12. 函数y x x x x = -++-+2222613的最小值为___________。 13. 若直线y x m =-与曲线y x =-12有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是___________。 三、解答题： 14. 若方程lg()lg()[]-+-=-x x m x 2 3303在，上有唯一解， 求m 的取值范围。 15. 若不等式412x x a x ->-()的解集为A ，且A x x ?<<{|}02，求a 的取值范围。 16. 设a a >01且≠，试求下述方程有解时k 的取值范围。 log ()log ()a a x ak x a -=-222 【试题答案】 一、选择题 1. C 提示：画出y x y x ==sin lg ，在同一坐标系中的图象，即可。 2. D 提示：画出y a x y x a ==+||与的图象 情形1：a a a >>?? ??>0 1 1 情形2：a a a <<-????<-0 1 1 3. A 4. C 提示：|Z －1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z 对应的复数满足条件arg z =π 4 ， 另外，点O 对应的复数O ，因其辐角是多值，它也满足arg z = π 4 ，故满足条件的z 有两个。 5. B 提示：画出y x a y x = +=的图象，依题意，m a n a =-=，，从而 a a a a +=?=02或。 6. C 提示：由||z 22=可知，z 2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上， 而|||()||()|z z z z z i 122123+=--=--+ 表示复数z i 23与-+对应的点的距离， 结合图形，易知，此距离的最大值为： ||PO r +=--+-+=+()()3010210222 7. C 提示：令y x y x a 12 21=-=()log ，， 若a>1，两函数图象如下图所示，显然当x ∈()12，时， 要使y y 12<，只需使log ()a a 22122 ≥-≤，即，综上可知 当12<≤a 时，不等式()log x x a -<12 对x ∈()12，恒成立。