人教版高一数学必修5--第二章数列总结
人教版高一数学必修5第二章数列总结
1、数列的基本概念
(1)定义：按照一定的次序排列的一列数叫做数列．
(2)通项公式：如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的函数关系可以用一个公式表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式．
(3)递推公式：如果已知数列{a n }的第一项(或前几项)，且任何一项a n 与它前一项a n －1(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 通项公式与递推公式，是给出一个数列的两种主要方法．
2、主要公式
(1)通项公式a n 与前n 项和公式S n 间的关系： "
a n ＝?
??
??
S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2.
(2)等差数列
a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d . S n ＝12n (a 1＋a n )，S n ＝na 1＋1
2n (n －1)d . A ＝a ＋b
2(等差中项)． （3）等比数列
a n ＝a 1q n －1，a n ＝a m ·q n －
m . S n ＝????
?
na 1 q ＝1a 1－a n q 1－q ＝a 11－q n
1－q q ≠1
.
G ＝±ab (等比中项)．
)
3．主要性质
(1)若m ＋n ＝p ＋q (m 、n 、p 、q ∈N *)， 在等差数列{a n }中有：a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 在等比数列{a n }中有：a m ·a n ＝a p ·a q .
(2)等差(比)数列依次k 项之和仍然成等差(比)．
专题一 数列的通项公式的求法
1．观察法 根据下面数列的前几项，写出数列的一个通项公式． (1)1,1，57，715，9
31，…； 2．定义法 ?
等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且 a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的
通项公式．
3．前n 项和法
(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋3n ＋1，求通项 a n ； (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2，求通项 a n . 4．累加法
已知{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝3n (n ∈N *)，求通项 a n . 5．累乘法
已知数列{a n }，a 1＝1
3，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求通项a n . 6．辅助数列法
已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)．求数列{a n }的通项公式． '
7．倒数法
已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝
a n
a n ＋1
(n ∈N *)．求通项a n . 专题二 数列的前n 项和的求法 1．分组转化求和法
如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解． 求和：S n ＝112＋214＋318＋…＋(n ＋1
2n )．
2．裂项求和法
对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行拆项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项，常见的拆项公式有：
(1)1n n ＋k ＝1k ·(1n －1
n ＋k )； (2)若{a n }为等差数列，公差为d ， ！
则1a n ·a n ＋1＝1d (1a n －1a n ＋1)；
(3)
1
n ＋1＋n
＝n ＋1－n 等．
3．错位相减法
若数列{a n }为等差数列，数列{b n }是等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为{a n b n }，当求该数列的前n 项的和时，常常采用将{a n b n }的各项乘以等比数列{b n }的公比q ，然后错位一项与{a n b n }的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．
已知数列{a n }中，a 1＝3，点(a n ，a n ＋1)在直线y ＝x ＋2上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝a n ·3n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 4．分段求和法
如果一个数列是由各自具有不同特点的两段构成，则可考虑利用分段求和． 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＋S n ＝1(n ∈N *)． `
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足b n＝3＋log4a n，设T n＝|b1|＋|b2|＋…＋|b n|，求T n. 附注：常用结论
1）1+2+3+...+n =
2）1+3+5+...+(2n-1) =
3）
三、等差、等比数列的对比
:
（1）判断数列的常用方法
看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①
②2()
③(为常数).
看数列是不是等比数列有以下四种方法：
①
②(，)
③(为非零常数).
④正数列{}成等比的充要条件是数列{}（）成等比数列. :
等差数列等比数列
定义
1．
1．
公式
/
2．
2．
性质1．，
称为与的等差中项
2．若（、、、
），则
3．，，成等差数
列
4.
1．，
称为与的等比中项
2．若（、、、
），则
3．，，成等比数列
4. ，
（3）在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：
1），时，有最大值；，时，有最小值；
2）最值的求法：①若已知，可用二次函数最值的求法（）；②若已知，则最值时的值（）可如下确定或。