误差理论与测量平差基础习题集1

第一章绪论

§1-1观测误差

1.1.01为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？

1.1.02观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？

1.1.03测量误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测成果有何影响？试举例说明。

1.1.04用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：

（1）长不准确；

（2）尺尺不水平；

（3）估读小数不准确；

（4）尺垂曲；

（5）尺端偏离直线方向。

1.1.05在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的性质及符号：

（1）视准轴与水准轴不平行；

（2）仪器下沉；

（3）读数不准确；

（4）水准尺下沆。

§1-2测量平差学科的研究对象

1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？

1.2.07 测量平差的基本任务是什么？

§1-3测量平差的简史和发展

1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？

1.3.09 自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？

§1-4 本课程的任务和内容

5

1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么？

第二章误差分析与精度指标

§2-1 正态分布

2.1.01 为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。

6

§2-2 偶然误差的规律性

2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？

2.2.03 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？

2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？

§2-3 衡量精度的指标

2.3.05 何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？

2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？

2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？

2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：

45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04”

45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58”

44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03”

设α没有误差，试求观测值的中误差。

2.3.09 有一段距离，其观测值及其中误差为345.67m+_15mm。试估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差。

2.3.10 已知两段距离的长度及其中误差分别为300.465m+_4.5cm及660.894m+_4.5cm，试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的精度是否等？

§2-4 精度、准确度与精确度

2.4.11 试写出协方差的定义式，并说明它是怎样描述这两个观测值之间的相互关系的。

2.4.12 两个独立观测值是否可称为不相关观测值？而两个观测值是否就是不独立观测值呢？

中各个元素的含2.4.13 相关测量值向量X的协方差阵是怎样定义的？试说明D

XX

7

8 义。当向量X 中的各个分量两两相互独立式，其协方差阵有什么特点？ 2.4.14 试写出描写两个观测值向量X 和Y 之间相互关系的互协方差阵的定义式，并说明D XY 中各个元素的含义。

2.4.15 何谓准确度？何谓精确度？当观测值中不存在系 统误差时，精确度就是精度吗？

§2-5 测量不确定度

2.5.16 测量数据的不确定性和不确定度是怎样定义的？不确定度评定的标准是什么？

§2-6 综合练习题

2.6.17 社队某量进行了两组观测，它们的真误差分别为： 第一组：3，-3,2,4，-2，-1,0，-4,3，-2 第二组：0，-1，-7,2,1，-1,8,0，-3,1

试求两组观测值的平均误差1?θ、2?θ和中误差1?σ、2?σ，并比较两组观测值的精度。

设有观测值向量21

X =【L 1 L 2】T ，已知σt1=2秒，σt2=3秒，σ

t1t2

=-2秒2，试写出

其协方差阵D XX 。

2.6.19 设有观测值向量31

X =【L 1 L 2 L 3】T 的协方差阵xx 33

D ={}，试写出观测值L 1、

L 2及L 3的中误差以及协方差σL1L2

、σ

L1L3

和σ

L2L3

。

第三章协方差传播律及权

§3-1数学期望的传播

3. 1.01数学期望是怎祥定义的？何谓数学期望的传播？试写出数学期望传播的运算公式.例如.已知同精度观测值=x i (i=1,2,```,n)的数学期望均为μ，问

其算术平均值x=

1n

n

1

i =∑

x i 的数学期望等于多少？

§3-2协方差传播律

3.2.02什么是协方差传播律？其主要用来解决什么问题？

3.2.03协方差传播律主要包含哪几个公式？试写出这些公式的推导过程。

3.2.04能否说协方差传播律就是误差传播律？为什么？

3.2.05当观测值的函数是非线性形式时，应用协方差传播律应注意哪些问題？试举

例说明之。

3. 2. 06试简述应用协方差传播律的计算步骤。

3.2.07下列各式中的L

i

(i = l，2，3)均为等精度独立观测值，其中误差为σ,试求X的

中误差：

（1）X=1/2(L

1+L

2

)+L

3

（2）X=L

1L

2

/L

3

3.2.08 巳知观测值的中误差σ

1=σ

2

=σ, σ

12

=0，设X=2L

2

+5,Y =L

1

-2L

2

,

Z=L

1L

2

,t=X+Y,试求X,Y,Z和t的中误差。

3. 2. 09 已知独立观測值L

1,L

2

的中误差为σ

1

和σ

2

,试求下列函数的中误

差：

(1) X=L

1-2L

2

;

(2) Y=0.5L

12+L

1

L

2

;

(3) Z=sinL

1/sin(L

1

+L

2

).

3.2. 10设有观测值向量L = [L

1 L

2

L

3

]T，其协方差阵为

D LL =

400

030

002

?? ? ? ???

,

试分别求下列函数的方差：

⑴ F

1-L

1

-3L

3

；

(2)F

2 =3L

2

L

3

。

(3)3.2.11设有观测值向量L = [L

l L

2

L

3

]T,其协方差阵为D

LL

=

612

141

212

--

??

?

-

?

?

-??

,

试分别求下列函数的方差：

(1)F

1=L

1

+3L

2

-2L

3

;

9

1

0 (2)F 2=L 12

+L 2 +123

L 。

3. 2. 12已知观测值向量L 及其协方差阵D LL ，组成函数X=AL,Y=BX,试求协方差

阵 D XL ，D YL 和D XY.

3. 2. 13 设有观测值向量31

L =[L 1 L 2 L 3]T ,其协方差阵为

D LL =3

010

41112-??

?

? ?-??

3. 2. 14已知观测值向量11

n L 1，21

n L 2和31

n L 3及其协方差阵为

11121321222331

32

33D D D D D D D D D ?? ? ? ???

, 现组成函数

X=AL 1+A 0

Y=BL 2+B 0

Z=CL 3+C 0

式中,A,B,C 为系数阵,A 0,B 0,C 0为常数阵.令W=[X Y Z]T

,试求协方差阵D WW 。 3. 2. 15 已知边长S 及坐标方位角α的中误差各位σs 和σα，试求坐标增量ΔX=S 2cos α和ΔY=S 2sin α的中误差。

3 2. 16设有同精度独立观测值向量31

L =[L 1 L 2 L 3]T 的函数为

Y 1=S AB

1

3

sin sin L L ，Y 2=αAB -L 2 式中，aAB 和SAB 为无误差的已知值，测角中误差σ =1"，试求函数的方差

21y σ，2

2y σ及协方差12y y σ。

3. 2. 17 在图 3-1 的ΔABC 中，由直接观测得 b = 106. 00m ±0.06m，β= 29°39'土1'和γ=120°07' ±2'，试计算边长c 及其中误差σ

c

3.2. 18在图3-2的ΔABC 中测得∠A±σA ,边长b ±σb ，a ±σc ,试求三角形面积的中误差σs 。

3.2.19由已知点A(无误差）引出支点P,如图3-3所示。a 。为起算方位角，其中σ0,观测角β和边长S 的中误差分别为σ

β

和σS ，试求P 点坐标X ，Y 的

11

协方差阵。

3．2. 20为了确定图3-4中测站A 上B 、C 、D 方向间的关系，同精度观测了三个角，其值为L 1=45°02'，L 2 =85°00，'L 3=40°01'。设测角中误差σ = 1"，试求：

(1)观测角平差值的协方差阵；

(2)观测角平差值L ∧

1关于L ∧

3的协方差。

§3-3协方差传播律的应用

3- 3. 21水准测量中两种计算高差中误差的公式为σhAB

站

和σ

hAB

σ

公里，它们各在什么前提条件下使用？

3. 3. 22试简述同精度独立观测值的算术平均值中误差的计算公式σx

的推导过程，并说明此式使用的前提条件。

3.3.23怎样计算交会定点的点位方差？纵向方差及横向方差各是由什么因素引起的误差？

3.3.24在巳知水准点A 、B(其髙程无误差）间布设水准路线，如图3-5所示。路线长 为S 1 =2km,S 2 =6km,S 3 =4km,设每千米观测高差中误差a = 1. 0mm,

试求：

12 （1）将闭合差按距离分配之后P 1,P 2两点间高差的中误差；

（2）分配闭合差后P 1点高程的中误差。

3.3.25在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm ，今要求从已知点推算待定点的髙程中误差不大于5cm,问可以设多少站？

3.3.26若要在两已知髙程点间布设一条附合水准路线（图3-6)，已知每千米观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点C 点髙程中误差不大于lOmm ，问该线路长度最多可达几千米？（提示：c H '=H A +h1,c H "=H B -h2，H C =(c H '+c H ")/2)

3. 3. 27在图3-7中，由已知点A 丈量距离S 并测量坐标方位角α，借以计算P 点的坐标。观测值及其中误差为S = 127.00mm ±0.03m,α=30°00'±2.5'，设A 点坐标无误差，试求待定点P 的点位中误差σP 。 3. 28有一角度测4测回，得中误差0.42'问再增加多少测回其中误差为0. 28"？ 3,3.29在图3-8的梯形稻田中，测量得上底边长为a=50. 746m ，下底边长为b = 86. 767m,髙为h = 67.420m ，其中误差分别为σa =0.030m ，σb =0.040m ，σh =0.034m,试求该梯形的面积S 及其中误差σS

3.3.30设图3-9的△ABC 为等边三角形，观测边长和角度得观测值为b ± σb =1000m ± 0. 015m,α=β=60°00'00"，且为使算得的边长a 具有中误差σa =0. 02m ，试问角α和β的观測精度应为多少？ §3-4杈与定权的常用方法

3.4.31权是怎样定义的？权与中误差有何关系？有了中误差为什么还要讨论权？

3.4.32在公式中P i =202i

σσ中，2

0σ表示什么？2i σ能否是不同量的观测值的方

差？

3.4.33什么叫做单位权、单位权观测值及单位权中误差？对于某一个平差问题,它们的值是惟一的吗？为什么？

3, 4. 34水准测量中的两种常用定权公式P i =i

C N 和P i =i C S 各在什么前提条

件下使用？

试说明两式中C 的含义。

3. 4. 35设某角的三个观测值及其中误差分别为

30°41'20"±2.0" 30°41'26"±4.0" 30°41'16"±1.0"

现分别取2.0"、4. 0〃及1.0"作为单位权中误差.试按权的定义计算出三组不同

的观测值的

权，再按各组权分别计箅这个角的加权平均值X ∧

及其中误差x

∧σ

3. 4. 36在相同观测条件下，应用水准测量測定了三角点A,B,C 之间的髙差，

设该三角形边长分别为S 1 =10km ，S 2 =8km,S 3=4km,令40km 的髙差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。

3.4.37设n 个同精度观测值的权为P ，其算术平均值的权为P -

，问P 与P -

的关系

如 何？

3. 4. 38设一长度为d 的直线之丈量结果的权为1，求长为D 的直线之丈量结果

的权。

3. 4. 39在图3-10中，设巳知点A ，B 之间的附合水准路线长为80km,令每千米

观测髙差的权等于1，求平差后线路中点（最弱点）C 点高程的权及该点平差前的权。

3.4.40以相同精度观测∠A和∠B,其权分别为P

A =

1

4

,P

B

=

1

2

，已知σ

B

=8"试

求单

位权中误差σ

0和∠A的中误差σ

A

。

3.4.41设对∠A进行4欢同精度独立观测，一次

测角中误差为2. 4"已知4次算术平均值的权为2。试问：

（1)单位权观測是什么？

（2)单位权中误差等于多少？（3)欲使∠A的权等于6,应观测几次？

3.4.42设对A角观测4次,取平均得α值，每次观测中误差为3",对B角观测9

次,取平均得β值，每次观测中误差为4"试确定α，β的,权各是多少？[解]令C' = l，则由定权公式

P

i =i N C

得

P

α=4，Pβ=9。

试问以上这样定权对吗？为什么？

3.4.43设对某一长度进行同精度独立观测，已知一次观测中误差σ=2mm,设4次观测值平均值的权为3。试求：（1)单位权中误差σ。；（2)—次观测值的权；（3)欲使平均值的权等于9，应观测几次？

3.4.44在相同条件下丈量两段距离S

1=100m，S

2

=900m，设对S

1

丈量3次平均

值的权P

S1=2mm，试求对S

2

丈量5次平均值的权P

S2

。

3.4.45由已知水准点A,B和C向待定点D进行水准测量，以测定D点髙程

（图 3-11）。各线路长度为S

1 =2km，S

2

=S

3

=4km,S

4

=1km，设2km线路观测高差

为单位权观测值，其中误差σ

=2mm.试求：（1)D点高程最或是值（加权平均值）

的中误差σ

D ;(2)A、D两点间髙差最或是值的中误差σ

AD

。

3.4.46设有水准网如图3-12所示。网中A,B和C为已知水准点，P

1 =P

3

=P

5

=2， P

2=P

4

=5，单位权中误差σ

=2mm试求：（1）D点高程最或是值（加权平均

值）之中误差;

(2)C、D两点间高差最或是值之中误差σ

CD

。

14

15

§3-5协因数和协因数传播律

3.5.47什么叫做协因数？卄么叫做相关权倒数？它们与观侧值的方差或协方差有何关系？

3.5.48观测值向量的协因数阵和权阵各是怎样定义的？它们之间有什么关系？

3 5.49设观测值向量1

n L 的协因数阵为nn

Q LL ，权阵为nn

P LL ，试问(1)协因数阵的

对角元

素Q ii 是观测值L i 的权倒数吗？（2）权阵的对P ii 是观测值L i 的权吗？为什么？

3. 5. 50何谓协因数传播律？其主要用来解决什么问题? 3-5.51协因数传播律主要包含哪几个公式？试写出其推导过程。

3.5.52什么是权倒数传播律？试写出其公式并说明应用该公式的前提条件。 3. 5. 53巳知观測值向量L 的协因数阵为L LL

Q LL =3112-?? ?-??

，试求观测值的权P L1和P L2。

3.5.54 已知观测值向量21

L 的权阵为

P LL =5224-??

?-??

，

试求观测值的权P L1和P L2。

3.5.55设有观测值向量21

L =[L 1 L 2]T 的权阵为

P LL =6

35

53955??

? ? ? ???

，

16 单位权方差20σ=3.试求2

1σ，22σ，σ

12

以及P L1和P L2。

3.5.56 已知观测值向量21

L 的协方差阵为

D LL =2

11

3-??

?-??

以及L 1的协因数Q 11=

25

，试求单位权方差20σ，权阵P LL 和P L1，P L2。 3.5.57 已知观测值向量31

L 的协方差阵为 D LL =602041212-??

? ? ?-??

，

单位权方差2

0σ=2，现有函数F=L 1+3L 2-2L 3，试求：（1）函数F 的方差D F 和协因数Q F ；

（2）函数F 关于观测值向量31

L 的协方差阵D FL 和协因数阵Q FL

3.5.58 已知观测值向量31Z =2111X Y ??

??????

的权阵为

ＰＺＺ＝201021112-??

?- ? ?--??

，

试求ＰＸＸ，ＰＹＹ以及Ｐｘ１，Ｐｘ２和Ｐｙ。 ３．５．５９ 已知观测值向量21

L 的协方差阵为

ＤＬＬ＝4

112-??

?-??

， 观测值Ｌ１的权ＰＬ１＝１，现有函数Ｆ１＝Ｌ１＋３Ｌ２－４，Ｆ２＝５Ｌ１－Ｌ２＋

１，试求：（１）Ｆ１与Ｆ２是否统计相关？为什么？（２）Ｆ１与Ｆ２的权ＰＦ１和ＰＦ２。

３．５．６０ 设有一系列不等精度的独立观测值Ｌ１，Ｌ２和Ｌ３，它们的权分别为Ｐ１，Ｐ２和Ｐ３，试求下列各函数的权倒数（协因数）：

１； （２）Ｙ＝

1

2

（Ｌ１＋Ｌ２）＋Ｌ３；

17

（３）Z =2

1L －33L

3. 5. 61已知观测值a 、b 、c 的权分别为P ａ=Ｐｂ＝２，Ｐｃ＝３，ｘ＝３０°，ｙ=60。（无误差)，试

求函数 Ａ＝a 2 sinx + b – cos ｘ + 2c 2 sinx 2cosy 的权P A 。 3．5. 62设有函数Ｆ＝ｆ１ｘ＋ｆ２ｙ，其中 ｘ＝α１Ｌ１＋α２Ｌ２＋ ＋αｎＬｎ， ｙ＝β１Ｌ１＋β２Ｌ２＋ ＋βｎＬｎ，

αｉ，βｉ（ｉ＝１，２， ，ｎ）为无误差的常数，而Ｌ１，Ｌ２， ，Ｌｎ，

的权分别为Ｐ１，Ｐ２， ，Ｐｎ，试求函数Ｆ的权倒数1

F

P 。

３．５．６３ 已知观测值向量21

L 的协因数阵为

ＱＬＬ＝2112??

???

，

试求向量Ｙ＝12Y Y ??????＝1121?? ??

?＝12L L ??

???? 的协因数阵Ｑｙｙ。

３．５．６４ 已知观测值向量21

L 的协因数阵为

ＱＬＬ＝1221?? ???

，

设有函数

Ｙ＝1121??

???Ｌ，

Ｚ＝2111??

???

Ｌ，

Ｗ＝２Ｙ＋Ｚ．

试求协因数阵Ｑｙｙ，Ｑｙｚ，Ｑｘｚ，Ｑｙｗ，Ｑｚｗ和Ｑｗｗ。

３．５．６５ 在途３－１３中，令方向观测值ｌｉ（ｉ＝１，２， ，１０）的协因数阵Ｑｕ＝Ｉ，试求角度观测值向量61

L 的协因数阵ＱＬＬ。

３．５．６６ 在图３－１４中，令方向观测值ｌｉ（ｉ＝１，２， ，１２）的协因数阵Ｑｕ＝Ｉ，试求角度观测值向量81

L 的协因数阵ＱＬＬ。

３．５．６７ 已知独立观测值向量31

L 的协因数阵的单位阵，组成方程

1

n V ＝nt

B 1

t X －1

n L

ＢＴＢＸ－ＢＴＬ＝０

式中，ＢＴＢ为可逆阵。由上式得解向量 Ｘ＝（ＢＴＢ）－１ＢＴＬ

1

8 后，即可计算改正数向量Ｖ和平差值向量

L ∧

＝Ｌ＋Ｖ。

（１）试求协因数阵ＱＸＸ和LL

Q ∧∧

（２）改正数向量Ｖ与Ｘ，Ｖ与L ∧

是否相关？试证明之。

§3-6由真误差计算中误差及其实际应用

3.6.68在菲列罗公式∧

βσ

Ｗｉ代表什么量？ n 是观测值的个数

吗？计算

得到的σ

β

是什么量的中误差？

3.6.69 —个观测对的差数ｄ是双观测差的什么误差？为什么？

3.6. 70在公式0∧

σ

中，Ｐｉ是什么量的权? ｎ等于什么？求得的

单位权中

误差0∧

σ代表什么量的中误差？

３．6. 71某一距离分三段各往返丈量一次,其结果如表3-1所示。令1km 量距的权为单位权，试求：

(１)该距离的最或是值S;. （２）单位权中误差； （３）全长一次测量中误差；

19

（４)全长平均值的中误差； （５）第二段一次测量中误差。 表3-1

3．6．72 有一水准路线分三段进行测量，每段均作往返观测，观测值见表3－2.

表3-2

令2km 观测高差的权为单位权，试求： （１）单位权中误差；

（２）各段一次观拥高差的中误差; (３)各段髙差平均值的中误差； （４）全长一次观测高差的中误差； （５）全长髙差平均值的中误差

§3-7系统误差的传播

3．7. 73何谓观测值的综合误差？它包括哪些误差？观测值的综合方差是怎样定义的？

3.7.74试写出系统误差的传播公式及系统误差与偶然误差的联合传播公式。 3.7.75用钢尺童距，共测量12个尺段，设量一尺段的偶然中误差（如照准误差等）为σ＝０．００１ｍ，钢尺的检定中误差为ε＝０．０００２ｍ,试求全长综合中误差σ全。

3.7.76设有相关观测值1

n L 的两组线性函数

2

0 1

t z ＝tn K 1

n L 01

t K

1

s Y ＝sn F 1

n L ＋01

s F

已知L 的综合误差为1

n ?=1

n Δ＋1n ε，式中1n Δ和1

n ε分别为观测值L 的偶然误差与系统误

差,L 的 协方差阵为

ＤＬＬ＝11121221221

2n n n n nn σσσ?? ?

σσσ

? ? ?σσσ?? ， 试求Z 的综合方差阵ＤＺZ ＝Ｅ（ΩＺΩＺＴ）及Ｚ与Ｙ的综合协方差阵ＤＺＹ＝Ｅ（ΩＺΩｙＴ）。

§3-8综合练习题

3.8. 77在图3-15的ΔA ＢP 中，Ａ，Ｂ为已知点，L l 、Ｌ2和Ｌ３为同精度独立观测值，其中

误差σ = 1"，试求平差后P 点坐标x 、y 的协方差阵。

3.8.78有一水准路线如图3-16所示。图中Ａ，Ｂ点为已知点，观测髙差ｈ１和ｈ2以求 P 点的高程。设h １和h 2的中误差分别为σ１和σ２，且已知σ１=2σ２，单位权中误差σ０＝σ２,若要求P 点高程的中误差σｐ=2m ｍ，那么，观测精度σ１和σ２的值各应是多少？

图 3-15

3．8.79巳知观测值向量21

L ＝［Ｌ１ Ｌ２］Ｔ

的协方差阵为ＤＬＬ＝3112-?? ?-??

，设有观测值函

数Ｙ１＝２Ｌ１Ｌ２ 和 Ｙ２＝Ｌ１＋Ｌ２，试求协方差σ

Ｙ１Ｙ２

σ

Ｙ１Ｌ

和σ

Ｙ２Ｌ１

。

3.8.80 已知距离ＡＢ=100m ，丈量一次的权为2，丈量4次平均值的中误差为2cm ，若 以同样的精度丈量距离ＣＤ16次，C Ｄ=40０Ｍ，求两距离丈量结果的相对中误差。

21

3．8. 81在图3－１7的附合导线中;同精度观测了β１、β２、β３和β4４角度，测角中误差σβ＝３"，边长Ｓ１，Ｓ２和Ｓ３的中误差分别为σｓ１

＝６

ｍｍ，σ

ｓ２

＝９ｍｍ，σ

ｓ３

＝１２ｍｍ，试分别以 角度观测值和边长观测值为

单位权观测值,计算P βｉ和Ｐｓｊ。

3. 8．82知观测值向量21

L 的权阵为

ＰＬＬ＝213

31233?? ?

? ? ???

， 现有函数Ｘ＝Ｌ１＋Ｌ２，Ｙ＝３Ｌ１ ，试求ＱＸＹ，ＱＸＬ、ＱＹＬ以及观测

值的权ＰＬ１和P Ｌ２。

3．8. 83已知观测值向量31

L

的协方差

22 ＤＬＬ＝301041112-?? ?

? ?-??

单位权方差2

0σ＝２.现有函数φ１＝Ｌ１2Ｌ２，φ２＝２Ｌ１－Ｌ３，试求

Ｄφ１，Ｄφ２，Ｄφ１φ２以及Ｑφ１，Ｑφ２，Ｑφ１φ２。

3．8．84 设有观测值向量31

L ＝［Ｌ１ Ｌ２ Ｌ３］Ｔ，其权阵为

ＰＬＬ＝185********-??

?

-- ? ?-??

试问：（１）31

L 中各观测值是否相互独立？

(2)设 L'=［Ｌ１ Ｌ２］T ，求ＰＬ'Ｌ'

3．8. 85单一三角形的三个观测角Ｌ１ Ｌ２和L 3的协因数阵ＱＬＬ =Ｉ，现

将三角形闭合差平均分配到各角，得i L ∧

＝Ｌｉ－3

W

,式中W ＝Ｌ１+Ｌ２＋Ｌ

3

-180°，

（１）试求Ｗ，1L ∧，2

L ∧，3L ∧

的权； （２）Ｗ与31

∧

L ＝［1L ∧

，2L ∧

，3L ∧

］Ｔ是否相关？试证明之。 3．8. 86在图3－１８中，为了确定测站Ａ上Ｂ，C ，D 方向间的关系，同

精度观测了三个角度，其值为L1=45°02'，L2=85°00'，L3=40°01'.设单位权中误差σ0等于测角中误差σ，即σ0=σ=1"，试求：（1）观测角平差值的协因数阵；（2）∠BAC 与∠CAD 平差值的协因数。

图 3-18

23

第四章 平差数学模型与最小二乘原理

§4-1 测量平差概述

4.1.01 误差发现的必要条件是什么

4.1.02 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数是必要观测数码？为什么?

4.1.03 必要观测值得特征性是什么？在进行平差前，我们首先要确定哪些量？如何确定几何模型中的必要元素？试举例说明。

§4-2 函数模型

4.2.04 四种基本平差方法的函数模型是按照什么来区分的？ 4.2.05 平差的好书模型中的未知量是什么？已知量是什么？

4.2.06 在平差的函数模型中n 、t 、r 、u 、s 、c 等字母各代表什么量？它们之间有何几何关系？

4.2.07 是确定图4-1所示的图形中条件方程的个数。

（a ）已知点：A 、B （b ）已知点：A 、B 观测值：h1~h8 观测值：h1~h12

（c ）已知点：XA 、YA 、XB 、YB （d ）已知点：XA 、YA 、XB 、YB 、αAC 、αBD

观测值：L1~L19 观测值：β1 ～β6、S1~S5

2

4 （a ）已知点：A 、B （b ）已知点：A 、B

观测值：h1h4 观测值：β1β3、S1、S2

图4-2

4.2.09 试按条件平差法列出图4-3所示图形的函数模型。 （a ）已知点：A 、B （b ）已知点：A 、B

观测值：L1L6 观测值：L1L8（方向） 图4-3

4.2.10 试按间接平差法列出图4-3所示图形的函数模型。

误差理论与测量平差基础

《误差理论与测量平差基础》授课教案 2006～2007第一学期 测绘工程系 2006年9月

课程名称:误差理论与测量平差基础 英文名称: 课程编号：?? 适用专业：测绘工程 总学时数: 56学时其中理论课教学56学时，实验教学学时 总学分：4学分 ◆内容简介 《测量平差》是测绘工程等专业的技术基础课，测量平差的任务是利用含有观测误差的观测值求得观测量及其函数的平差值，并评定其精度。 本课程的主要内容包括误差理论﹑误差分布与精度指标﹑协方差传播律及权﹑平差数学模型与最小二乘原理﹑条件平差﹑附有参数的条件平差﹑间接平差﹑附有限制条件的间接平差﹑线性方程组解算方法﹑误差椭圆﹑平差系统的统计假设检验和近代平差概论等。 ◆教学目的、课程性质任务，与其他课程的关系，所需先修课程 本课程的教学目的是使学生掌握误差理论和测量平差的基本知识、基本方法和基本技能，为后续专业课程的学习和毕业后从事测绘生产打下专业基础。 课程性质为必修课、考试课。 本课程的内容将在测绘工程和地理信息系统专业的专业课程的测量数据处理内容讲授中得到应用，所需先修课程为《高等数学》、《概率与数理统计》、《线性代数》和《测量学》等。 ◆主要内容重点及深度 考虑到专业基础理论课教学应掌握“必须和够用”的原则，结合测绘专业建设的指导思想，教学内容以最小二乘理论为基础，误差理论及其应用、平差基本方法与计算方法，以及平差程序设计及其应用为主线。 测量误差理论，以分析解决工程测量中精度分析和工程设计的技术问题为着眼点，在掌握适当深度的前提下，有针对性的加强基本理论，并与实践结合，突出知识的应用。 平差方法，以条件平差和参数平差的介绍为主，以适应电算平差的参数平差为重点。 计算方法，以介绍适应电子计算机计算的理论、方法为主，建立新的手工计算与计算机求解线性方程组过程相对照的计算方法和计算格式。 平差程序设计及其应用，通过课程设计要求学生利用所学程序设计的知识和平差数学模型编制简单的平差程序，熟练掌握已有平差程序的使用方法。

误差理论与数据处理》答案

《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝0.001mm ， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－0.001＝49.999（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa ） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 1-9、解： 由2122 4()h h g T π+=，得 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o

测量误差理论的基本知识习题参考答案

5 测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为112.329m，则相对误差为1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次,由观测结果算得观测值中误差为± 20″, 则该角的算术平均值中误差为___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200, 则该线段中误差为__9.4 mm___。 12、设观测一个角度的中误差为± 8″，则三角形内角和的中误差应为±13.856 ″。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为± 3mm，若1km观测了15 个测站，则1km的高差观测中误差为11.6mm，1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面 综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K 是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测是指观测条件不同的各次观测。 5、权是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性 3、衡量精度高低的标准有（ABC）。 A、中误差 B、相对误差 C、容许误差 D、绝对误差

误差理论第一章课后答案

《误差理论与数据处理》 第1章 习题解答 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为 100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】：真值＝100.5Pa ，测得值＝100.2Pa 绝对误差＝测得值—理论真值＝100.2-100.5＝-0.3Pa 1-8在测量某一长度时,读数值为m 31.2,其最大绝对误差为m 20,试求其最大相对误 差。 【解】：最大相对误差≈（最大绝对误差）/测得值，所以：

最大相对误差%1066.8%1002.31 10204-6 -?=??≈ 1-9 使用凯特摆时，由公式由公式()22124T h h g +=π给定。今测出长度()21h h +为()m 00005.004230.1±，振动周期T 为()s 0005.00480.2±。试求g 及其最大相对误差。如果()21h h +测出为()m 0005.00422.1±，为了使g 的误差能小于2/001.0s m ，T 的测量必须精确到多少？ 解：由 ()2 2124T h h g +=π 令 ()21h h h += 得 222/81053.90480 .204230.14s m g =?=π 取对数并全微分得：T T h h g g ?-?=?2 g 的最大相对误差为： % 103625.50480 .20005.0204230.100005.024max max max -?=?+=?-?=?T T h h g g 因为 04790.281053 .90422.114159.34422=??== g h T π 可由 22 T g g h h T g g h h T T ????? ???-?

测量误差理论的基本知识习题答案.doc

5测量误差的基本知识 一、填空题： 1、真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原 因产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差 ___来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为误差传播定律。 7、权等于 1 的观测量称单位权观测。 8、权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m，返测为 112.329m，则相对误差为 1/7488 。 10、用经纬仪对某角观测 4 次, 由观测结果算得观测值中误差为±20″, 则该角的算术平均值中误差为 ___10″__． 11、某线段长度为300m,相对误差为 1/3200, 则该线段中误差为 __9.4 mm ___。 12、设观测一个角度的中误差为±8″，则三角形内角和的中误差应为±″ 。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为±3mm，若1km观测 15 个测站，则1km 了 的高差观测中误差为11.6mm，1 公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件 ----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏， 通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差 K---- 是误差 m的绝对值与相应观测值 D 的比值。它是一个不名数， 常用分子为 1 的分式表示。 3、等精度观测 ----是指观测条件(仪器、人、外界条件)相同的各次观测。 4、非等精度观测 ----是指观测条件不同的各次观测。

《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)

《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案) 一、名词解释（每题2分，共10分） 1、偶然误差 ——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。这种误差称为偶然误差。 2、函数模型线性化 ——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。这一转换过程，称之为函数模型的线性化。 3、点位误差椭圆 ——以点位差的极大值方向为横轴X 轴方向，以位差的极值F E 、分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。 4、协方差传播律 ——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。如 0K KL Z +=，若观测向量的协方差阵为LL D ，则按协方差传播律，应有T LL ZZ K KD D =。 5、权 ——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征，220 i i P σσ=。 二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分） 参考答案：X √X √X X X √√X 三、选择题（每题3分，共15分） 参考答案：CCDCC 四．填空题（每空3分，共15分） 参考答案：1. 6个 2. 13个 3.1/n 4. 0.4 5. 0) () () () (432 00 2 0=''+?+?+-''+ -''- W y S X X x S Y Y C AC A C C AC A C ρρ,其中 AB A C A C X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan 五、问答题（每题4分，共12分） 1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？ 答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分） ⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，

《误差理论与数据处理(第6版)费业泰》课后习题答案

《误差理论与数据处理》练习题 第一章 绪论 1-7 用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa ，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa ，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 【解】在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。故二等标准活塞压力计测量值的 绝对误差＝测得值－实际值＝100.2－100.5＝－0.3（ Pa ）。 相对误差=0.3 100%0.3%100.5-?≈- 1-9 使用凯特摆时，g 由公式g=4π2 （h 1 +h 2 ）/T 2 给定。今测出长度（h 1 +h 2 ）为（1.04230 ±0.00005）m ，振动时间T 为（2.0480±0.0005）s 。试求g 及其最大相对误差。如果（h 1 +h 2 ）测出为（1.04220±0.0005）m ，为了使g 的误差能小于0.001m/s 2 ，T 的测量必须精确到多少？ 【解】测得（h 1 +h 2 ）的平均值为1.04230（m ），T 的平均值为2.0480（s ）。 由2 1224()g h h T π=+,得： 22 2 4 1.042309.81053(/)2.0480 g m s π=?= 当12()h h +有微小变化12()h h ?+、T 有T ?变化时，令12h h h =+ g 的变化量为： 22 12121223122 1212248()()()()42[()()]g g g h h T h h h h T h h T T T T h h h h T T πππ???=?++?=?+-+??+??= ?+-+ 22 23224842()g g g h T h h T h T T T T h h T T πππ???=?+?=?-????=?- g 的最大相对误差为：

《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)

《误差理论与测量平差基础》试卷A(答案)

《误差理论与测量平差基础》期末考试试题A(参考答案) 一、名词解释（每题2分，共10分） 1、偶然误差 ——在相同的观测条件系作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性。即从单个误差看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律。这种误差称为偶然误差。 2、函数模型线性化 ——在各种平差模型中，所列出的条件方程或观测方程，有的是线性形式，有的是非线性形式。在进行平差计算时，必须首先把非线性形式的函数方程按台劳公式展开，取至一次项，转换成线性方程。这一转换过程，称之为函数模型的线性化。 3、点位误差椭圆 ——以点位差的极大值方向为横轴X 轴方向，以位差的极值F E 、分别为椭圆的长、短半轴，这样形成的一条椭圆曲线，即为点位误差椭圆。 4、协方差传播律 ——用来阐述观测值的函数的中误差与观测值的中误差之间的运算规律的数学公式。如0 K KL Z +=， 若观测向量的协方差阵为LL D ，则按协方差传播律， 应有T LL ZZ K KD D =。 5、权

——表示各观测值方差之间比例关系的数字特征， 2 20 i i P σσ=。 二、判断正误（只判断）（每题1分，共10分） 参考答案：X √X √X X X √√X 三、选择题（每题3分，共15分） 参考答案：CCDCC 四．填空题（每空3分，共15分） 参考答案：1. 6个 2. 13个 3.1/n 4. 0.4 5. ) () () () (432 2 0=''+?+?+-''+ -''- W y S X X x S Y Y C AC A C C AC A C ρρ,其中 AB A C A C X X Y Y W αββ-++--=''4300arctan 五、问答题（每题4分，共12分） 1. 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数就是必要观测数吗？为什么？ 答：⑴几何模型的必要元素与决定该模型的内在几何规律有关；（1分） ⑵必要元素数就是必要观测数；（1分） ⑶几何模型的内在规律决定了要确定该模型，所必须具备的几何要素，称为必要元素，必要元素的个数，称为必要元素数。实际工程中为了确定该几何模型，所必须观测的要素个数，称为必要观测数，其类型是由必要元素所决定的，其数量，必须等于必要元素的个数。（2分） 2. 简述偶然误差的特性 答：⑴在一定条件下，误差绝对值有一定限值。或者说，

测量误差理论的基本知识

测量误差理论的基本知识 1.研究测量误差的目的是什么？ 2.系统误差与偶然误差有什么区别？在测量工作中，对这二种误差如何进行处理？ 3.偶然误差有哪些特征？ 4.我们用什么标准来衡量一组观测结果的精度？中误差与真误差有何区别？ 5.什么是极限误差？什么是相对误差？ 6.说明下列原因产生的误差的性质和削弱方法 钢尺尺长不准，定线不准，温度变化，尺不抬平、拉力不均匀、读数误差、锤球落地不准、水准测量时气泡居中不准、望远镜的误差、水准仪视准轴与水准管轴不平行、水准尺立得不直、水准仪下沉、尺垫下沉、经纬仪上主要轴线不满足理想关系、经纬仪对中不准、目标偏心、度盘分划误差、照准误差。 7.什么是误差传播定律？试述任意函数应用误差传播定律的步骤。 8.什么是观测量的最或是值？ 9.什么是等精度观测和不等精度观测？举例说明。 10.什么是多余观测？多余观测有什么实际意义？ 11.用同一把钢尺丈量二直线，一条为1500米，另一条350米，中误差均为±20毫米，问 两丈量之精度是否相同？如果不同，应采取何种标准来衡量其精度？ 12.用同一架仪器测两个角度，A=10°20.5′±0.2′,B=81°30′±0.2′哪个角精度高？ 为什么？ 13.在三角形ABC中，已测出A=30°00′±2′,B=60°00′±3′，求C及其中误差。 14.两个等精度的角度之和的中误差为±10″，问每一个角的中误差为多少？ 15.水准测量中已知后视读数为a=1.734,中误差为m a＝±0.002米，前视读数b=0.476米， 中误差为m b＝±0.003米，试求二点间的高差及其中误差。 16.一段距离分为三段丈量，分别量得S1=42.74米，S2＝148.36米，S3=84.75米，它们的中 误差分别为，m1=±2厘米，m2=±5厘米，m3=±4厘米试求该段距离总长及其中误差m s。 17.在比例尺为1：500的地形图上，量得两点的长度为L=23.4毫米，其中误差为m1=±0.2mm， 求该二点的实地距离L及其中误差m L。 18.在斜坡上丈量距离，其斜距为：S＝247.50米，中误差m s＝±0.5厘米，用测斜器测得 倾斜角a=10°30′，其中误差m a＝±3″，求水平距离d及其中误差m d＝？ 19.对一角度以同精度观测五次，其观测值为：45°29′54″，45°29′55″，45°29′ 55.7″，45°29′55.7″，45°29′55.4″，试列表计算该观测值的最或然值及其中误 差。 20.对某段距离进行了六次同精度观测，观测值如下：346.535m,346.548，346.520，346.546， 346.550，346.573，试列表计算该距离的算术平均值，观测值中误差及算术平均值中误差。 21.一距离观测四次，其平均值的中误差为±10厘米，若想使其精度提高一倍，问还应观测 多少次？ 22.什么叫观测值的权？观测值的权与其中误差有什么关系？ 23.用尺长为L的钢尺量距，测得某段距离S为四个整尺长，若已知丈量一尺段的中误差为 ±5毫米，问全长之中误差为多少？ 24.仍用23题，已知该尺尺长的鉴定误差为±5毫米，问全长S由钢尺尺长鉴定误差引起的 中误差是多少？两题的结论是否相同？为什么？

误差理论与测量平差基础期末考试试卷样题

误差理论与测量平差基础期末考试试卷样题 一、填空题（15分） 1、误差的来源主要分为、、。 2、中误差是衡量精度的主要指标之一，中误差越，精度越。极限误差是指。 3、在平坦地区相同观测条件下测得两段观测高差及水准路线的长分别为： h 1=10.125米，s 1 =3.8公里，h 2 =-8.375米，s 2 =4.5公里，那么h 1 的精度比h 2 的精 度______，h 2的权比h 1 的权______。 4、间接平差中误差方程的个数等于________________,所选参数的个数等于 _______________。 5、在条件平差中，条件方程的个数等于。 6、平面控制网按间接平差法平差时通常选择________________为未知参数，高程控制网按间接平差法平差时通常选择________________为未知参数。 7、点位方差与坐标系，总是等于。

二、 水准测量中若要求每公里观测高差中误差不超过10mm ，水准路线全长高差 中误差不超过20mm,则该水准路线长度不应超过多少公里？（5分） 三、已知观测向量()L L L T =1 2的协方差阵为D L =--?? ?? ?3112,若有观测值函数 Y 1=2L 1，Y 2=L 1+L 2，则σy y 12等于？（5分）

四、观测向量L L L T =()1 2的权阵为P L =--()31 14 ，若有函数X L L =+12, 则函数X 与观测向量L 的互协因数阵Q XL 等于什么? （5分） 五、对某长度进行同精度独立观测，已知一次观测中误差为2mm ，设4次观测值平均值的权为2。试求：（1）单位权中误差0σ；（2）一次观测值的权；（3）若使平均值的权等于8，应观测多少次？ （9分）

误差理论与测量平差基础试卷

长沙理工大学考试试卷 …………………………………………………………………………………………………………………………… 试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 范志勇 系主任签名 …………………………………………………………………………………………………………………………… 课程名称（含档次） 误差理论与测量平差基础 课程代号 0809021 专 业 测绘工程 层次（本、专） 本 考试方式（开、闭卷） 闭 一、 正误判断（正确“T ”，错误“F ”每题1分，共10 分）。 1．已知两段距离的长度及中误差分别为128.286m ±4.5cm 与218.268m ±4.5cm ，则其真误差与精度均相同（ ）。 2．如果X 与Y 的协方差0xy σ=，则其不相关（ ）。 3．水准测量中，按公式i i c p s = （i s 为水准路线长）来定权，要求每公里高差精度相同（ ）。 4．可用误差椭圆来确定待定点与待定点之间的某些精度指标（ ）。 5．在某一平差问题中，观测数为n ，必要观测数为t ，参数个数u ＜t 且不独立，则该平差问题可采用附有参数的条件平差的函数模型。（ ）。 6．由于同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果不同，因此为了得到最佳平差结果，必须谨慎选择平差方法（ ）。 7．根据公式() 222220 cos sin 0360E F θσθθθ=+≤≤得到的曲线就是误差椭圆（ ）。 8．对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，则误差方程的个数是一定的（ ）。 9．对于同一个观测值来说,若选定一定权常数0σ，则权愈小，其方差愈小，其精度愈高（ ）。 10．设观测值向量,1 n L 彼此不独立，其权为() 1,2 ,,i P i n = ，12(,,,)n Z f L L L = ，则有 2 221122111 1Z n n f f f P L P L P L P ?????????=+++ ? ? ?????????? （ ）。 二、填空题（每空2分，共24分）。 1、设对某三角网进行同精度观测，得三角形角度闭合差分别为：3秒，-3秒，2秒，4秒，-2秒，-1秒，0秒，-4秒，3秒，-2秒，则测角中误差为 秒。 2、某平差问题函数模型)(I Q =为?? ?????=-=--=+-+=--0?0306051 54431 2 1x v v v v v v v v ，则该函数模型为 平差方法的模型；=n ，=t ，=r ，=c ，=u 。

误差理论与数据处理--课后答案

《误差理论与数据处理》练习题参-考-答-案

第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1－10 检定2.5级（即引用误差为2.5％）的全量程为l00V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电表是否合格? 解： 依题意，该电压表的示值误差为 2V 由此求出该电表的引用相对误差为 2/100＝2％ 因为 2％＜2.5％ 所以，该电表合格。 1-12用两种方法分别测量L 1=50mm ，L 2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-=I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射击精度高? 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o

测量平差题目及答案

《误差理论与测量平差基础》课程试卷A 2010-06-27 11:30:49 来源：《误差理论与测量平差基础》课程网站浏览：4次 武汉大学测绘学院 2007-2008学年度第二学期期末考试 《误差理论与测量平差基础》课程试卷A 出题者课程小组审核人 班级学号姓名成绩 一、填空题（本题共20个空格，每个空格1.5分，共30分） 1、引起观测误差的主要原因有（1）、（2）、（3）三个方面的因素，我们称这些因素为（4）。 2、根据对观测结果的影响性质，观测误差分为（5）、（6）、（7）三类，观测误差通过由于（8）引起的闭合差反映出来。 3、观测值的精度是指观测误差分布的（9）。若已知正态分布的观测误差落在区间的概率为95.5%，则误差的方差为（10），中误差为（11）。 4、观测值的权的定义式为（12）。若两条水准路线的长度为、，对应的权为2、1，则单位权观测高差为（13）。 5、某平差问题的必要观测数为，多余观测数为，独立的参数个数为。若，则平差的函数模型为（14）。若（15），则平差的函数模型为附有参数的条件平差。 6、观测值的权阵为，的方差为3，则的方差为（16）、 的权为（17）。 7、某点的方差阵为，则的点位方差为（18）、误差曲线的最大值为（19）、误差椭圆的短半轴的方位角为（20）。 二、简答题（本题共2小题，每题5分，共10分）

1、简述观测值的精度与精确度含义及指标。 在什么情况下二者相同？ 2、如图1所示，A、B、C、D为已知点，由A、C分别观测位于直线AC上的点。观测边长、及角度、。问此问题的多余观测数等于几？若采用条件平差法计算，试列出条件方程式（非线性方程不必线性化）。 图1 三、（10分）其它条件如上题（简答题中第2小题）。设方位角，观测边长，中误差均为，角度、的观测中误差为 。求平差后点横坐标的方差（取）。 四、（10分）采用间接平差法对某水准网进行平差，得到误差方程及权阵（取 ） （1）试画出该水准网的图形。 （2）若已知误差方程常数项，求每公里观测

误差理论与数据处理第六课后习题第一章答案

《误差理论与数据处理》 第一章 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答：研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm，已知其最大绝对误差为 1μm，试问该被测件的真实长度为多少？ 解：绝对误差＝测得值－真值，即：△L＝L－L0已知：L＝50，△L＝1μm＝0.001mm，测件的真实长度Ｌ0＝L－△L＝50－0.001＝49.999（mm） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： 100.2－100.5＝－0.3（ Pa） 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。1-9、解： 由 2 12 2 4() h h g T π+ =，得 对 2 12 2 4() h h g T π+ =进行全微分，令 12 h h h =+，并令g，h，T代替dg，dh，dT得 2 180 20 00 180'' = -'' 'o o % 000031 .0 1 0000030864 .0 64800 2 06 60 180 2 180 2 ≈ = '' '' '' ? ? '' = '' ＝ o

《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案

《误差理论与数据处理》(第七版) 习题及参考答案

第一章 绪论 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-8在测量某一长度时，读数值为2.31m ，其最大绝对误差为20m μ，试求其最大相对误差。 % 108.66 % 1002.31 1020 100% max max 4-6 -?=??=?= 测得值 绝对误差相对误差 1-10检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V 的电压表，发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差，问该电压表是否合格？ %5.22%100%100 2 100% <=?= ?= 测量范围上限 某量程最大示值误差 最大引用误差 该电压表合格 1-12用两种方法分别测量L1=50mm ，L2=80mm 。测得值各为50.004mm ，80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差 L 1:50mm 0.008%100%5050 004.501=?-= I L 2:80mm 0.0075%100%80 80 006.802=?-= I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。 1－13 多级弹导火箭的射程为10000km 时，其射击偏离预定点不超过0.lkm ，优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心，试评述哪一个射 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈=' '' '''??''=''＝o

误差理论与数据处理第一章答案

《误差理论与数据处理》 《误差理论与数据处理》 习题答案 习题答案
主讲：王雅琳 wyllesson@https://www.wendangku.net/doc/4b12427802.html,

第一章 绪 论
1-1测得某三角块的三个角度之和为180°00′02″， 试求测量的绝对误差和相对误差。 绝对误差=02″ 相对误差≈3.1×10-4% 1-3用二等活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力 用更准确的办法测得为100.5Pa，问二等标准活塞压力 计测量值的误差为多少。 绝对误差=-0.3Pa
2

第一章 绪 论
1-4 在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最 大绝对误差为20um，试求其最大相对误差。
绝对误差max ×100% 相对误差 max = 测得值 20 ×10 = × 100% 2.31 -4 = 8.66 × 10 %
-6
3

给定。今测出长度 ( h1 + h 2 ) 为
2 4π（h1 + h2） 1-5 使用凯特摆时，由公式 g = 2 T
(1.04230 ± 0.00005)m , 振动时间 T 为
(2.0480 ± 0.0005)s 。试求 g 及最大相对
误差。如果 ( h1 + h2 ) 测出为
(1.04220 ± 0.0005)m，为了使g的误差 2 能小于 0.001m / s ，T 的 测量必须精确
到多少？ ,
4

解：由
4π 2 ( h1 + h 2 ) g = T2
2
得
4π × 1.04230 g = ＝9.81053 m / s 2 , 2.0480
4π 2 (h1 + h2 ) 进行全微分，令 对 g= 2 T
h = h1 + h2
5

测量误差理论的基本知识习题答案(2)

5 测量误差的基本知识 一、填空题: 1真误差为观测值减去真值。 2、观测误差按性质可分为粗差、和系统误差、和偶然误差三类。 3、测量误差是由于仪器误差、观测者（人的因素）、外界条件（或环境）三方面的原因 产生的。 4、距离测量的精度高低是用_相对中误差_来衡量的。 5、衡量观测值精度的指标是中误差、相对误差和极限误差和容许误差。 6、独立观测值的中误差和函数的中误差之间的关系，称为_误差传播定律。 7、权等于1的观测量称单位权观测。 8权与中误差的平方成反比。 9、用钢尺丈量某段距离，往测为112.314m,返测为112.329m,则相对误差为1/7488。 10、用经纬仪对某角观测4次,由观测结果算得观测值中误差为土20〃,则该角的算术 平均值中误差为10〃? 11、某线段长度为300m,相对误差为1/3200,则该线段中误差为9.4 mm 。 12、设观测一个角度的中误差为土8〃，则三角形内角和的中误差应为土13.856 〃。 13、水准测量时，设每站高差观测中误差为土3mm若1km观测了15个测站，则1km 的高差观测中误差为11.6mm 1公里的高差中误差为11.6 mm 二、名词解释： 1、观测条件----测量是观测者使用某种仪器、工具，在一定的外界条件下进行的。 观测者视觉鉴别能力和技术水平；仪器、工具的精密程度；观测时外界条件的好坏，通常我们把这三个方面综合起来，称为观测条件。 2、相对误差K----是误差m的绝对值与相应观测值D的比值。它是一个不名数，常用分子为1的分式表示。 3、等精度观测----是指观测条件（仪器、人、外界条件）相同的各次观测。 4、非等精度观测----是指观测条件不同的各次观测。 5、权----是非等精度观测时衡量观测结果可靠程度的相对数值，权越大，观测结果越可靠。 三、选择题： 1、产生测量误差的原因有（ABC ）。 A、人的原因 B、仪器原因 C、外界条件原因 D、以上都不是 2、系统误差具有的性质是（ABCD ）。 A、积累性 B、抵消性 C、可消除或减弱性 D、规律性

测量误差理论的基本知识答案.

测量误差理论的基本知识答案 第13题答案：90°±3.6″ 第15题答案： 1.258±0.0036 第16题答案： S S1S2S342.74148.3684.75275.85 m mS mS1mS2mS3254 6.7 cm 第17题答案： 该二点间的实地距离为L：L=500×I=500×0.0234=11.70 m L的中误差为：mL5000.2100 mm0.1 m 实地距离最后结果为：11.70.1 m 第18题答案： 水平距离为：d=S×cosa=247.50×cos(10o34)=243.303 m 水平距离的中误差为： 222222 m2md(cosa)2mS(S sina)2a3438 2223[cos(1034)]0.005[247.50sin(1034)]3438 4.0 cm22 第19题答案： 该角度的最或然值为： [L]452954.0452955.0452955.7452955.4 452955.02 x n4 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=1.02, v2=x-L2=0.02, v3=x-L3=-0.68, v4=x-L4=-0.38 角度观测中误差为：m[vv]0.74 n 1 m0.37 n该角度最或然值的中误差为：mx 第20题答案： 该距离的算术平均值（最或然值）为： x[L]346.535346.548346.520346.546346.550346.573346.545 m n6 各观测值的最或然误差（改正数）为： v1=x-L1=+0.0103, v2=x-L2=-0.0027, v3=x-L3=+0.0253, v4=x-L4=-0.0007 v5=x-L5=-0.0047, v6=x-L6=-0.0277 距离观测中误差为：m[vv] 1.8 cm n 1 m n7.3 mm 该距离最或然值的中误差为：mx 第23题答案：10mm 第24题答案：20mm

误差理论与测量平差基础习题集

第五章条件平差 §5-1条件平差原理 条件平差中求解的未知量是什么?能否由条件方程直接求得 5. 1. 02 设某一平差问题的观测个数为n.必要观测数为t，若按条件平差法进行平差，其条件方程、法方程及改正数方程的个数各为多少? 5. 1.03 试用符号写出按条件平差法平差时，单一附合水准路线中(如图5-1所示)各观测值平差值的表达式。 图5-1 5. 1. 04 在图5-2中，已知A ,B的高程为H a= 12.123 m , H b=11. 123m,观测高差和线路长度为: 图5-2 S1=2km,S2=Ikm,S3=0.5krn,h1 =-2.003m,h2=-1.005 m,h3=-0.501 m，求改正 数条件方程和各段离差的平差值。 在图5-3的水准网中，A为已知点B、C、D为待定点，已知点高程H A=10.000m,观测了5条路线的高差: h1=1.628m， h2=0. 821 m， h3=0.715m， h4=1.502m， h5=-2.331 m。 各观测路线长度相等，试求:（1）改正数条件方程;(2)各段高差改正数及平差 值。 有水准网如图5-4所示，其中A、B、C三点高程未知，现在其间进行了水准测 量，测得高差及水准路线长度为 h1 =1 .335 m，S1=2 km; h2=1.055 m，S2=2 km; h3=-2.396 m，S3=3km。试按条件平差法求各高差的平差值。 如图5-5 所示，L1=63°19′40″，=30″；L2=58°25′20″,=20″； L3=301°45′42″，=10″. (1)列出改正数条件方程; (2)试用条件平差法求∠C的平差值(注:∠C是指内角)。 5-2条件方程 5. 2.08 对某一平差问题，其条件方程的个数和形式是否惟一? 列立条件方程时要注意哪些问题?如何使得一组条件方程彼此线性无关? 5.2. 10 指出图5-6中各水准网条件方程的个数(水准网中P i表示待定高程点，h i表 示观测高差)。 (a) (b) 图5-6

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《误差理论与数据处理》 第一章 绪论 1-1．研究误差的意义是什么？简述误差理论的主要内容。 答： 研究误差的意义为： (1)正确认识误差的性质，分析误差产生的原因，以消除或减小误差； (2)正确处理测量和实验数据，合理计算所得结果，以便在一定条件下得到更接近于真值的数据； (3)正确组织实验过程，合理设计仪器或选用仪器和测量方法，以便在最经济条件下，得到理想的结果。 误差理论的主要内容：误差定义、误差来源及误差分类等。 1-2．试述测量误差的定义及分类，不同种类误差的特点是什么？ 答：测量误差就是测的值与被测量的真值之间的差；按照误差的特点和性质，可分为系统误差、随机误差、粗大误差。 系统误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号保持恒定，或遵循一定的规律变化（大小和符号都按一定规律变化）； 随机误差的特点是在所处测量条件下，误差的绝对值和符号以不可预定方式变化； 粗大误差的特点是可取性。 1-3．试述误差的绝对值和绝对误差有何异同，并举例说明。 答：(1)误差的绝对值都是正数，只是说实际尺寸和标准尺寸差别的大小数量，不反映是“大了”还是“小了”，只是差别量； 绝对误差即可能是正值也可能是负值，指的是实际尺寸和标准尺寸的差值。+多少表明大了多少，-多少表示小了多少。 (2)就测量而言,前者是指系统的误差未定但标准值确定的，后者是指系统本身标准值未定 1－5 测得某三角块的三个角度之和为180o 00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解： 绝对误差等于： 相对误差等于： 1-6．在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为 50mm ，已知其最大绝对误差为 1μm ，试问该被测件的真实长度为多少？ 解： 绝对误差＝测得值－真值，即： △L ＝L －L 0 已知：L ＝50，△L ＝1μm ＝， 测件的真实长度Ｌ0＝L －△L ＝50－＝（mm ） 1-7．用二等标准活塞压力计测量某压力得 ，该压力用更准确的办法测得为，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？ 解：在实际检定中，常把高一等级精度的仪器所测得的量值当作实际值。 故二等标准活塞压力计测量值的误差＝测得值－实际值， 即： －＝－（ Pa ） 21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00 648002066018021802≈=''' '''??''=''＝o