浙江省杭州高级中学2016年保送生数学能力测试题(含答案)

杭高2016保送生素质测试数学试卷

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

1. 已知y y x x -=-1

1，且0≠+y x ，则xy 的值为 ( )

A. 1-

B. 0

C. 1

D. 2

2．若下列运算正确的是 ( )

Ａ．y x y y x y --=-- Ｂ．32

32=++y x y x

Ｃ．y x y x y x +=++22 Ｄ．y

x y x x y --=--12

2 3．在△ABC 中，∠C ＝90°，5

3

sin =A ，D 是AB 的中点，则=∠+∠ACD BCD tan tan ( )

A ．1225

B ．2

C ．34

D ．3

8

4.

已知关于x 的方程0112)21(2=-+--x k x k 有实数根，则k 的取值范围是 ( )

A. 2≥k

B. 2≤k

C. 21≤≤-k

D. 21≤≤-k 且2

1

≠k

5．有一颗正方体骰子，六个面上分别写有H 、E 、O 、P 、S 、S 六个英文字母，如图是从3种不同的角度看同一颗骰子的情形．则H 反面的字母是 ( )

A. E

B. S

C. P

D. O

第5题图 第6题图

6. 如图，已知?=∠=∠=∠90CDP PBC DAP ，4==PB AP ，3=AD ，则=BC ( )

A. 332

B. 16

C. 341

D. 2

41

7．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为 （ ）

A ．

101 B ．103 C ．21 D ．10

7

8. 若函数m x x y -+-=2||22

的图象与x 轴恰好有三个公共点，则实数m 的值是 ( )

A. 2-

B. 1-

C. 1

D. 2

二、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)：

9．反比例函数x

k

y =错误！未找到引用源。的图像经过)4,1(--和),2(m 错误！未找到引用

源。两点，那么=m ______

10. 不等式组???

??+<--≤+1131112x x x x 的整数解是______.

11. 已知21,x x 是方程04232=--x x 的两个实根，则=+22

123x x

A B

P

D

C

第13题

G

12．如图，在一方形ABCD 中．E 为对角线AC 上一点，连接EB 、ED ，延长BE 交AD 于

点F ，若∠DEB=140°，则∠AFE ＝ 21世纪教育网版权所

有

第12题

13. 如图，点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）都在双曲线(0)k

y x x

=

>上，且x 2-x 1=4，y 1-y 2=2，分别过点A 、B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C 、D 、E 、F ，AC 与BF 相交于G 点，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，那么双曲线的解析式为 ． 21

教育网

14. 对于实数b a ,，定义运算“*”：?????<-≥-=)

()

(*2

2b a b ab b a ab a b a ，若x 1，x 2(21x x <)是一元二次方程x 2－5x +6=0的两个根，则x 1*x 2=________https://www.wendangku.net/doc/4a5027141.html,

15. 我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的每一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的每一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 21·cn ·jy ·com

16. 若2014=x ，则=++÷-+++x x x x x x x 2221

)111(

17．若2

111-=a ，1211a a -=，231

1a a -=，… ；则2014a 的值为 ．

18. 若0>x ，0>y ，且02=--y xy x ，则

xy

y xy x 22+-的值是 .

三、解答题(本大题共3题，共36分)：

19. (本题满分12分)设方程02=++b ax x 与02=++a bx x ),0,0(b a b a ≠<<有一个公共根，

设它们另两个根分别为1x ，2x (1) 求21x x +的值； (2) 求21x x 的最大值.

20. (本题满分12分)在直角三角形ABC 中，CD 、CE 分别是斜边AB 上的高、中线，a BC =，

b AC =

(1) 若3=a ，4=b ，求DE 的长.

(2) 若3

1

tan =∠DCE ，求b a 的值 C

A

B

E

D

21．（本题满分12分）已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为

直线x =4. 设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B . https://www.wendangku.net/doc/4a5027141.html, （1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；

（2）如图，在直线 y=2x 上是否存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形？若存在，求出

点D 的坐标；若不存在，请说明理由；2·1·c ·n ·j ·y

O P C

B A

x

y

杭州高级中学2016年保送生数学能力测试卷参考答案

一、选择题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案

C

D

A

C

B

C

B

D

二、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)：

9. 2 10. 2- 11. 316 12. ?65 13. x

y 6

=

14. 3- 15. 21 16. 20132014

17. 211- 18. 56

三、解答题(本大题共3题，共36分)：

19. 解：(1) 设0x 是方程的公共根，则?????=++=++0

020020a bx x b ax x ，相减得0)()(0=-+-a b x b a

得10=x ，且01=++b a

同时???-=+-=+b x a

x 112

1，则1221-=---=+b a x x

(2) 4

1

41)21()1()1)(1(2221≤++-=--=--=----=a a a a a b a x x

则当2

1

-=a 时，21x x 的最大值为41

20. 解：(1) 5

12

543sin =?=?=B a BD

则10

1

51225=-=DE

(2) 易知22b a ab

CD +=，2222b a a BA BC BD +=

= 2

2

222b

a a

b BD BE DE +-=

-=，

31

2tan 2

2222

2=++-==∠b a ab b a a b CD DE DCE

从而得

3

10

1+-=

b a 21. 解：（1）设二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c

由题意得?

??

????=++==-0241242c b a c a b 解得???

??=-==1281c b a

∴二次函数的解析式为y = x 2－8x +12 点P 的坐标为（4，－4）

图1 图2 D x

A

O B

C

P

y

（2）存在点D ，使四边形OPBD 为等腰梯形. 理由如下：

当y =0时，x 2-8x +12=0 ∴x 1=2 ， x 2=6 ∴点B 的坐标为（6，0） 设直线BP 的解析式为y =kx +m 则??

?-=+=+4406m k m k 解得?

??-==122

m k

∴直线BP 的解析式为y =2x －12

∴直线OD ∥BP

∵顶点坐标P （4， －4） ∴ OP =42 设D (x ，2x ) 则BD 2=（2x ）2+(6－x )2

当BD =OP 时，（2x ）2+(6－x )2=32 解得：x 1=

5

2

，x 2=2 当x 2=2时，OD =BP =52，四边形OPBD 为平行四边形，舍去

∴当x =52

时四边形OPBD 为等腰梯形 ∴当D (52，5

4

)时，四边形OPBD 为等腰梯形