自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.

第一章函数与极限

一、选择题：

1．函数的定义域是（）

(A； (B； (C；

(D.

2.函数的定义域是（）

(A；(B;(C;

(D.

3、函数是（）

(A偶函数； (B奇函数；

(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.

4、函数的最小正周期是（）

(A2； (B； (C 4 ； (D .

5、函数在定义域为（）

(A有上界无下界； (B有下界无上界；

(C有界，且；

(D有界，且.

6、与等价的函数是（）

(A ； (B ； (C ； (D .

7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）

（A）；（B）；

（C）；（D）.

8、设则当（）时有

.

(A； (B；

(C； (D任意取 .

9、设,则(

(A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .

10、（）

(A1； (B-1；(C0； (D不存在.

二、求下列函数的定义域：

2、 .

三、设

（1）试确定的值使

；

（2）求的表达式 .

四、求的反函数.

五、求极限：

1、；

2、；

3、；

4、；

5、当时，；

6、 .

六、设有函数试确定的值使在连续 .

七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .

八、证明奇次多项式：

至少存在一个实根 .

第二章导数与微分

一、选择题：

1、函数在点的导数定义为（）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）；

2、若函数在点处的导数，则

曲线在点(处的法线（）

（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；

（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：

3、若函数在点不连续，则在 (

（A）必不可导；（B）必定可导；

（C）不一定可导；（D）必无定义.

4、如果=（），那么.

(A ；

(B ；

(C ；

(D .

5、如果处处可导，那末（）

（A）；（B）；

（C）；（D）.

6、已知函数具有任意阶导数，且

,则当为大于2的正整数时，

的n阶导数是（）

（A）；（B）；

（C）；（D）.

7、若函数,对可导且,又

的反函数存在且可导，则=（）

（A）；（B）；

（C）；（D）.

8、若函数为可微函数，则（）

（A）与无关；

（B）为的线性函数；

（C）当时为的高阶无穷小；

（D）与为等价无穷小.

9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）

（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.

10、设函数在点处可导，且，

则等于（）.

（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .

二、求下列函数的导数：

1、；

2、（）；

3、；

4、；

5、设为的函数是由方程确定的；

6、设，，求.

三、证明，满足方程

.

四、已知其中有二阶连续导数，且，

1、确定的值，使在点连续；

2、求

五、设求.

六、计算的近似值 .

七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？

第三章微分中值定理

一、选择题：

1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）

（A）它们都给出了ξ点的求法 .

（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

（C）它们都先肯定了点一定存在，而且如果满足定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ的值 .

（D）它们只肯定了ξ的存在，却没有说出ξ的值是什么，也没有给出求ξ的方法 . 2、若在可导且,则（）

（A）至少存在一点，使；

（B）一定不存在点，使；

（C）恰存在一点，使；

（D）对任意的，不一定能使 . 3．已知在可导，且方程f(x=0在有两个不同的根与，那么在（）

.

（A）必有；

（B）可能有；

（C）没有；

（D）无法确定.

4、如果在连续，在可导，为介于

之间的任一点，那么在（）找到两点

，使成立.（A）必能；（B）可能；

（C）不能；（D）无法确定能 .

5、若在上连续，在内可导，且

时，，又,则（）.

（A）在上单调增加，且；

（B）在上单调增加，且；

（C）在上单调减少，且；

（D）在上单调增加，但的

正负号无法确定.

6、是可导函数在点处有极值的（）.

（A）充分条件；

（B）必要条件

（C）充要条件；

（D）既非必要又非充分条件.

7、若连续函数在闭区间上有唯一的极大值和极小

值，则（）.

（A）极大值一定是最大值，且极小值一定是最小值；

（B）极大值一定是最大值，或极小值一定是最小值；

（C）极大值不一定是最大值，极小值也不一定是

最小值；

（D）极大值必大于极小值 .

8、若在内，函数的一阶导数，

二阶导数,则函数在此区间内( .

（A）单调减少，曲线是凹的；

（B）单调减少，曲线是凸的；

（C）单调增加，曲线是凹的；

（D）单调增加，曲线是凸的.

9、设，且在点的某

邻域中（点可除外），及都存在，

且,则存在是

存在的（）.

（A）充分条件；（B）必要条件；

（C）充分必要条件；（D）既非充分也非必要条件 .

10、（）.

（A）0；（B）；（C）1；（D）.

二、求极限：

1、（）；

2、；

三、一个半径为的球内有一个内接正圆锥体，问圆锥

体的高和底半径成何比例时，圆锥体的体积最大？

四、若,试证.

五、设有拐点（1，2），并在该点有水平切线，交轴于点（3，0），求.

六、确定的值，使抛物线与正弦曲线在点相切，并有相同的曲率.

七、绘出函数的图形.

八、设在上连续，在(0,1内可导，且,试证：对任意给定的正数在内存在不同的，使

第四章不定积分

一、选择题：

1、设是区间内连续函数的两个不同的原函数，且,则在区间内必有（）

（A）；

（B）；

（C）；

（D）.

2、若则=（）

（A）；（B）；

（C）；（D）.

3、在某区间内具备了条件（）就可保证它的原函数一定存在（A）有极限存在；（B）连续；

（B）有界；（D）有有限个间断点

4、下列结论正确的是（）

（A）初等函数必存在原函数；

（B）每个不定积分都可以表示为初等函数；

（C）初等函数的原函数必定是初等函数；

（D）都不对 .

5、函数的一个原函数(

（A）; （B）;

（C; （D） .

6、已知一个函数的导数为，,这个函数是（）（A）（B）

（C）; （D）

7、下列积分能用初等函数表出的是（）

（A）；（B）；

（C）；（D）.

8、且则

（）

（A）；（B）;

（C）; （D） .

9、（）

（A）; （B）;（C）；（D）.

10、（）

（A）；（B）；

（C）；（D）.

二、求下列不定积分：

1、;

2、;

3、;

4、;

5、;

6、;

7、; 8、;

9、; 10、.

三、设，求.

四、设,(为不同时为零的常数，求.

五、时，连续，求

.

第五章定积分

一、选择题：

1、 (

（A）；（B）；（C）；（D） .

2、=（）

（A）；（B）；（C）；（D） .

3、 =(

（A）；（B）；（C）；（D） .

4.、定积分的值是（）

（A）；（B）；（C）；（D） .

5、下列积分中，使用变换正确的是（）

（A）令；

（B），令；

（C），令；

（D），令 .

6、下列积分中，值为零的是（）

（A）； (B）；

（C）；（D） .

7、已知,

则（）

（A）12；（B）8；

（C）7；（D）6.

8、设，则定积分

（）

（A）；（B）；（C）; （D）.

9、广义积分=（）

（A）；（B）；（C）；（D）发散. 10、广义积分（）

（A）；（B）；（C）；（D）发散.

二、证明不等式: .

三、求下列函数的导数：

1、;

2.、由方程，函数，求.

四、求下列定积分：

1、；

2、；

3、；

4、；

5、；

6、；

7、； 8、.

五、设上有连续导数，

且,试证：

.

六、设在[0，1]上有二阶连续导数，证明：

.

第六章定积分的应用

一、选择题：

1、曲线与直线，及所围成的区域的面积（）；（A）；（B）；

（C）；（D） .

2、曲线与所围图形公共部分

的面积（）；

（A）；（B）；

（C）；（D） .

3、曲线所围图形的面积

（）；

（A）；（B）；（C）；（D）.

4、由球面与旋转锥面之间包含轴的部分的体积( ；

（A）；（B）；（C）；（D）

5、用一平面截半的球，设截得的部分球体高

为体，则（）；

（A）；（B）；

（C）；（D）.

6、曲线上点处的切线

与曲线所围图形的面积（）；

（A）（B）；（C）；（D）.

7、抛物线自点至点

的一段曲线弧长=（）；

(A；

(B；

(C；

(D .

二、在区间内求，使

及所围成两块面积之和为最小 .

三、设曲边梯形是由连续曲线，与两直线所围成的，求证：存在

直线将曲边梯形的面积平分 .

四、求摆线，

1、旋转一周所成曲面的面积；

2、旋转一周所成曲面的面积 .

五、有一旋转体，它由曲线，，

以及直线所围成的平面图形旋转而成，已知其上任一点的体密度等于该点到旋转轴

的距离，求它的质量 .

六、以的流量往半的半球形水池内注水

1、求在水池中水深时水面上升的速

度；

2、若再将满池水全部抽出，至少需作功多少？

第七章微分方程

一、选择题:

1、一阶线性非齐次微分方程的通解是( . (A；

(B；

(C；

(D.

2、方程是( .

(A齐次方程； (B一阶线性方程；

(C可分离变量方程 .

3、的特解是( .

(A； (B；

(C； (D.

4、方程的通解是( .

(A；

(B；

(C； (D.

5、方程的通解是( .

(A；

(B；

(C；(D.

6、若和是二阶齐次线性方程

的两个特解,则

(其中为任意常数(

(A是该方程的通解； (B是该方程的解；

(C是该方程的特解； (D不一定是该方程的解.

7、求方程的通解时,可令( .

(A； (B；(C； (D.

8、已知方程的一个特解为,于是方程的通解为( .

(A； (B；

(C； (D.

9、已知方程的一个特,

则另一个与它线性无关的特解为( .

(A ；

(B ；

(C ；

(D .

10、方程的一个特解形式是 ( .

(A ；

(B ；

(C ；

(D .

二、求下列一阶微分方程的通解:

1、；

2、；

3、.

三、求下列高阶微分方程的通解:

1、；

2、.

四、求下列微分方程满足所给初始条件的特解:

1、,；

2、,.

五、已知某曲线经过点,它的切线在纵轴上的截

距等于切点的横坐标,求它的方程 .

六、设可导函数满足

高等数学专科复习题及答案

高等数学期末试卷 一、填空题（每题2分，共30分） 1．函数1 1 42-+ -= x x y 的定义域是 . 解. ),2[]2,(∞+--∞Y 。 2．若函数52)1(2 -+=+x x x f ，则=)(x f ． 解. 62 -x 3．________________sin lim =-∞→x x x x 答案：1 正确解法：101sin lim 1lim )sin 1(lim sin lim =-=-=-=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x 4.已知22 lim 2 22=--++→x x b ax x x ，则=a _____, =b _____。 由所给极限存在知, 024=++b a , 得42--=a b , 又由23 4 12lim 2lim 22 22=+=+++=--++→→a x a x x x b ax x x x , 知8,2-==b a 5.已知∞=---→) 1)((lim 0x a x b e x x ，则=a _____, =b _____。 ∞=---→)1)((lim 0x a x b e x x Θ, 即01)1)((lim 0=-=---→b a b e x a x x x , 1,0≠=∴b a 6．函数????? ≥+<=0 1 01sin )(x x x x x x f 的间断点是x = 。 解：由)(x f 是分段函数，0=x 是)(x f 的分段点，考虑函数在0=x 处的连续性。 因为 1)0(1)1(lim 01 sin lim 00 ==+=+-→→f x x x x x 所以函数)(x f 在0=x 处是间断的， 又)(x f 在)0,(-∞和),0(+∞都是连续的，故函数)(x f 的间断点是0=x 。 7. 设()()()n x x x x y -??--=Λ21, 则() =+1n y (1)!n + 8．2 )(x x f =，则__________)1)((=+'x f f 。

高等数学第七章微分方程习题

第七章 微分方程与差分方程 习题7－1（A ） 1． 说出下列微分方程的阶数： ;02)()1(2=+'-'x y y y x ;0)2(2=+'+'''y y x y x .0)32()67()3(=++-dy y x dx y x 2． 下列函数是否为该微分方程的解： x e x y y y y 2; 02)1(==+'-'' )(2; 0)()2(2为任意常数C x x C y xdy dx y x -==++ ),(cos sin ; 0) 3(212122 2为任意常数C C ax C ax C y y a dx y d +==+ )(ln ; 02)()4(2xy y y y y y x y x xy =='-'+'+''+ 3． 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5, )1(0 22==-=x y C y x ;1,0,)()2(0 221=' =+===x x x y y e x C C y . 0,1, )(sin )3(21='=-===ππx x y y C x C y 4． 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 点横坐标的平方。 处的切线的斜率等于该曲线在点),()1(y x 轴平分。被，且线段轴的交点为处的法线与曲线上点y PQ Q x y x P ),()2( 习题7－1（B ） 1．在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C 1, C 2, C 3 都是任意常数）求出相应的微分方程： ; 1)()1(22=+-y C x . )2(21x x e C e C xy -+= 2．用微分方程表示下列物理问题： 平方成反比。温度的成正比，与的变化率与气压对于温度某种气体的气压P T P )1( 。 速度成反比（比例系数同时阻力与， 成正比（比例系数与时间用在它上面的一个力的质点作直线运动，作一质量为)))2(11k k t m 习题7－2（A ） 1．求下列微分方程的通解： ;0ln )1(=-'y y y x ;0553)2(2='-+y x x ; )()3(2y y a y x y '+='-'

大学高等数学第一章函数(习题精讲)

第1章 函 数 §1.1 函数的概念与性质 1. 绝对值与不等式（0>a ，0b >） （1）x x x -≤≤；x y x y x y -≤±≤+ （2 ）2 112 a b a b +≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值） 一般地，1212111n n x x x n n x x x +++≤≤ +++ （3）{}max ,22a b a b a b -+=+；{}min ,22 a b a b a b -+=- 2. 函数概念与性质 对变量D x ∈的每一个确定值，变量y 按某确定规则f ，都有且只有一确定值与之对应，则称变量y 是变量x 的函数，记为()y f x =，D x ∈。 注意：定义域D 和对应规则f 是函数相等的两要素。 （1）无关性 ()()y f x f t == D t x ∈, （2）单调性 1212,,x x I x x ?∈< 1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ≤???≥? ?单调递增单调递减；1212()()()()()()f x f x f x f x f x f x ??严格单增严格单减 （3）奇偶性 ()() ()()()()f x f x f x y f x f x f x -=???-=-??为偶函数，对称于轴为奇函数，对称于原点 注意：函数的奇偶性是相对于对称区间而言，若定义域关于原点不对称，则不是奇/偶函数。 （4）周期性 若()()f x T f x +=，0T >，则称为)(x f 的周期。 （5）有界性 若D x ∈?，M x f ≤)(，()0>M ，则称)(x f 在D 上有界。 常用有界函数：sin 1x ≤，cos 1x ≤，(,)-∞+∞；

(完整word版)大一高数练习题

1.填空题 1、当0→x 时，x cos 1-与2x 相比较是 同阶 无穷小。 2、=→2 203sin lim x x x 1/3 3、曲线(1cos ),sin x t t y t =-=在t π=处的切线斜率为 -1/2 4、当k 满足条件__x>2_________时，积分?+∞-1 1k x dx 收敛 5、曲线||x y =的极值点是 x=0 6 、设函数y =则dy = 2xdx 7、若()lim(1)x x t f t x →∞ =+，则=')(t f e t 8、?-=22 35sin cos π πxdx x 0 9、若?=t xdx t f 12ln )(，则=')(t f ln 2 t 10、微分方程0cos 2=-y dx x dy 的通解为siny=x 2__________ 1、当0→x 时，x cos 1-与22x 相比较是 无穷小. 2、设函数?????=≠=0001sin )(3x x x x x f 当当，则=')0(f . 3、设)4)(2)(3)(5()(--++=x x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根. 4、当k 满足条件___________时，积分1 2k dx x +∞+?收敛. 5、设函数21x y -=，则dy = . 6、函数)2(-=x x y 的极值点是 . 7、=≠∞→)0(sin lim a x a x x . 8、若?=t x dx e t f 02 )(，则=')(t f .

9、?-=π πxdx x 32sin . 10、微分方程 0cos 2=-x dy y dx 的通解为___________. 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、函数x x y -=3ln 的定义域为（B ） A ),0(+∞ B ]3,(-∞ C )3,0( D ]3,0( 2、函数()f x 在0x 处)0()0(00+=-x f x f 是()f x 在0x 处连续的( B ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件 3、函数93)(+=x x f 在0=x 处（C ） A 不连续 ； B 可导； C 连续但不可导； D 无定义 4、下列式子中，正确的是（B ） A. ()()f x dx f x '=? B. 22()()d f x dx f x dx =? C. ()()f x dx f x =? D.?=)()(x f dx x f d 5、设()x f x e -=，则(ln )f x dx x =? _C______. A ． 1C x + B. ln x C + C. 1C x -+ D. ln x C -+ 二、单项选择题（每小题2分，共10分） 1．函数241)(x x x f -+=的定义域为（ C ）. A ．]2,2[-； B. )2,2(-； C. ]2,0()0,2[ -； D. ),2[+∞． 2、若)(x f 在0x 的邻域内有定义，且)0()0(00+=-x f x f ，则（B ）. A )(x f 在0x 处有极限，但不连续； B )(x f 在0x 处有极限，但不一定连续;

高等数学第七章测试题(第7版)

第七章测试题 一、填空（20分） 1、5322x y x y x y x =+'+'''是 阶微分方程； 2、与积分方程?=x x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题 是 ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2= （填“是”或“不是”）该微分方程的解； 4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解， 21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 （填“通解”或“解”）； 5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该 方程的通解为： ； 6、方程054=+'-''y y y 的通解为 . 7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为 ； 8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： ； 9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为： ； 10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解： 。 二、（10分）求x x y y =+'的通解. 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y . 四、（15分）曲线的方程为)(x f y =，已知在曲线上任意点),(y x 处满足x y 6=''，且在曲线上的)2,0(-点处的曲线的切线方程为632=-y x ，求此曲线方程。 五、（15分）求齐次方程0)1(2)21(=-++dy y x e dx e y x y x 的通解.

六、（15分）求解初值问题：?????='==+''==0,10 1311 x x y y y y . 七、（15分）求方程x y y y 2344-=+'+''的通解.

大学高等数学阶段测验卷

第一章函数与极限阶段测验卷 学号 班级 成绩 考试说明：1、请将客观题答案全部填涂在答题卡上，写在试卷上一律无效。 2、请在答题卡上填涂好、班级、课程、考试日期、试卷类型和考号。试卷类型 划A;考号为学号的后九个数，请填涂在“考号”的九个空格并划线。 3、答题卡填涂不符合规者，一切后果自负。 一．是非判断题(本大题共10题，每题2分，共20分) 1. x y 2cos 1-=与x y sin =是相同的函数. ( ) A 、正确 B 、错误 2. 函数ln(1)y x x =-+在区间(,1)-∞-单调递增.（ ） A 、正确 B 、错误 3. 函数x y e =在(0,)+∞有界. ( ) A. 正确 B. 错误 4. 设()f x 在[,](0)a a a ->上有定义，则函数1 ()[()()]2 g x f x f x =--是奇函数.（ ） A. 正确 B. 错误 5. 函数2sin y x =是当0x →时的无穷小.（ ） A. 正确 B. 错误 6.函数y = 是初等函数.（ ） A 、正确 B 、错误 7. 当x →∞时，函数22135x y x +=+趋向于1 3 .（ ） A 、正确 B 、错误 8. 当0x →时，函数2 12 y x = 与1cos y x =-是等价无穷小.（ ） A 、正确 B 、错误 9. 211lim cos 2 x x x →∞=-（ ） A 、正确 B 、错误

10. 函数1 (12),0;, 0x x x y e x ?? +≠=??=? 在0x =处连续. ( ) A 、正确 B 、错误 二．单项选择题(本大题共12个，每题3分，共36分) 11.函数)5)(2ln(+-=x x y 的定义域为( ). A. 25≤≤-x ; B. 2>x ; C. 2>x 或5-

高等数学练习题(附答案)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则

高等数学第七章自测题解答

高等数学第七章自测题解答 一、试解下列各题 1. 已知向量)1,2,2(),4,1,1(-=-=b a ，求（1）b a ?；（2）b j a Pr ；（3）b a ?. ;4-=?b a ;184) 4(114Pr 222-=-++-=?=a b a b j a ).4,9,7(1 2241 1---=--=?k j i b a 2. 说出下列曲面方程的名称，若有旋转曲面，指出它是由什么平面上的哪条曲线绕哪个轴旋转而产生的,并画出曲面的图形. (1) )0(222>=+a az y x ； 旋转抛物面，由曲线 ? ??==022x az y ，绕z 轴旋转而产生的. (2) )0(222>=+-a az y x ; 双曲抛物面. (3) 14 422 2=-+z y x . 单叶旋转双曲面,由曲线 ?? ???==-01422 x z y ，绕z 轴旋转而产生的. 3. 求与x 轴的距离为3，与y 轴距离为2的一切点所确定的曲线的方程，并确定它是一条什么样的曲线且画出图形. ?????=+=+2222222 3z x z y ，两个圆柱面的交线. 4. 求由曲面222y x z +=及32 22=++z y x 所围成的立体在xOy 面的投影区域. .2, 2(3,132322222222222≤+=+∴-=?=+??????=+++=y x xoy y x z z z z y x y x z 面的投影为立体在投影柱面为舍去） 二、已知平面0=+++D Cz By Ax ，指出下列各平面的特殊位置.

1. 0=A ; 平行于x 轴； 2. 0=D ; 过原点； 3. 0==D A ; 过x 轴； 4. 0==B A ; 平行于xoy 面； 5. 0===D B A . xoy 面. 三、设直线1 21:-==-z y x l ，平面022:1=+++z y x π，0:2=++z y x π， 01:3=+++z y x π.试判断l 与321,,πππ的关系. .6 1arcsin ), 2,4,2()000(,0,0),1,1,1(),1,1,1(),1,1,2(),1,2,1(:22222333321=--∴=?∴=?===--=?ππππππ的夹角为与交，其交点为既不平行也不垂直，相与上；在，故，，有公共点与平行，且与平行；与l l l O l l n s l n s n n n s l 四、求过点)2,1,1(-P 且与直线?? ?=-=+00:1z x z x l 及直线552432:2+=--=-z y x l 平行的平面方程. .01135,0)2(3)1(5), 3,0,5(5 23010)5,2,3()0,1,0(), 5,2,3(),0,2,0(1 0110121=+-=--+-=-=-?=-==-=z x z x k j i n s k j i s 即程为 由点法式得所求平面方取 五、求过点)4,2,0(A 且与012:1=-+z x π，23:2=-z y π平行的直线方程. .1 4322), 1,3,2(31020121-=-=--=-=?=z y x k j i n n s 程为 由点向式得所求直线方取

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

高等数学第七版课后练习题

1、已知函数2,02 ()2,24x f x x ≤≤?=?-<≤? ，试求函数g()(2)(5)x f x f x =+-的定义域。 2、设函数()y f x =的定义域是[]0,8，试求3 ()f x 的定义域。 3、已知函数[]()12f x 的定义域，，试求下列函数的定义域。 (1)(1)f x + (2)()(0)f ax a ≠ (3)(sin )f x (4)(sin 1)f x + 4、要使下列式子有意义，函数()f x 应满足什么条件？ 1 (1)() y f x = (2)y = (3)log ()(0a 1)a y f x a =>≠且 (4)arccos ()y f x = 5、求下列函数的定义域。 22(1)16x y x = +- 2 (2)arcsin 3x y -= (3)y =+ 6、在下列各对函数中，哪对函数是相同的函数。 211(1)()ln ;()2ln f x x g x x ==g 2222(2)()1;()sin cos f x g x x x ==+ 33(2)(3) (3)()3;()2 x x f x x g x x -+=+= - 44(4)()()1f x g x x ==- 7、设函数()2,()55x f x g x x ==+，求1(1),(),(()),(())f x g f g x g f x x x +-的表达式。 8、设2 ()23,()45f x x g x x =+=-，求(()),(()),(())f g x g f x f f x 的表达式。 9、设2 2 11 (),()f x x f x x x +=+ 求。 10、设(1)(1),()f x x x f x -=-求。 11、下列函数中，那哪些是奇函数，哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数。 (1)()sin f x x x =g (2)()sin f x x tgx =+ (3)()f x = (4)()ln(f x x = 2(5)()f x x x =- 12、判断下列函数的奇偶性。 3(1)()f x x x =+ (2)()cos f x x x =? (3)()(0)tgx f x x x = ≠ (4)()ln(f x x x =- 13、求下列函数的周期。

高等数学第七章测试题答案(第7版)

第七章测试题答案 一、填空（20分） 1、5322x y x y x y x =+'+'''是 3 阶微分方程； 2、与积分方程?=x x dx y x f y 0),(等价的微分方程初值问题是?????=='=0),(0 x x y y x f y ； 3、已知微分方程02=+'-''y y y ，则函数x e x y 2=不是 （填“是”或“不是”）该微分方程的解； 4、设1y 和2y 是二阶齐次线性方程0)()(=+'+''y x q y x p y 的两个特解， 21,C C 为任意常数，则2211y C y C y +=一定是该方程的 解 （填“通解”或“解”）； 5、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该 方程的通解为：1)1()1(221+-+-=x C x C y ； 6、方程054=+'-''y y y 的通解为)sin cos (212x C x C e y x +=. 7、微分方程x y y cos 4=+''的特解可设为x B x A y sin cos *+=； 8、以221==x x 为特征值的阶数最低的常系数线性齐次微分方程是： 044=+'-''y y y ； 9、微分方程1+=-''x e y y 的特解*y 形式为：b axe y x += ； 10、微分方程044=-'+''-'''y y y y 的通解：x C x C C x 2sin 2cos e 221++。 二、（10分）求x x y y =+'的通解. 解：由一阶线性微分方程的求解公式 )(11C xdx e e y x dx x +??=?-， x C x C dx x x +=+=?2231)(1 三、（10分）求解初值问题2)0(,0==+'y xy y .

高等数学第七章微分方程试题及答案

第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。

大学理科一类高等数学(上)参考答案

理科一类《高等数学》（上）习题参考答案 第一章 函数与极限 习题一 一、1.．224>-<<-x x 或；2．[]a a -1,； 3．1525++?x x ； 4．奇函数； 5．0，1，1，0； 6．4231,,,--e e e e ． 二(略) 三、1．1； 2．0； 3．2 1 ； 4．4． 四、1,1,1,-不存在． 五、1,1-==b a 六、都不存在． 七、;3 2 . 4; 2 21. 3; 1. 2; 0.1 5．-2； 1.8; 3.7;. 6e ． 八、2.6, 0.5, 2.4,3 2. 3,2 1. 2,2.1-. 九(略) 习题二 一、()()[] 1,0. 5,1,1.4, ,22,1. 3,2.2,.1-+∞?e 第一 二、4 1= a ． 三、361.ln 2, 2., 3.1, 4., 5.1, 6.1e e . 四、1．为可去间断点1=x ，为无穷间断点2=x ；2．为跳跃间断点1=x ． 五、()()+∞?∞-,00,. 六、左不连续；右连续. 七、八、 (略) 九、为跳跃间断点0=x ；为无穷间断点1=x . 第一章 测验题 一、1., 2., 3., 4., 5.D A C A B . 二、[]2.5, 22.4, 2,0.3, 2.2, 2.12+-x x .

三、112 2 1 1., 2.1, 3., 4.3, 6.6 e e - . 四、x x x x p ++=232)(. 五、1 1,2,12 x x x x =-===处连续为无穷间断点，为可去间断点． 六、.3,2 1 ==b a 七、(略) . 八、lim n n x a →∞ = 第二章 导数与微分 习题一 一、)0(.2,)(,)(2,)(.1000f x f x f x f ''''；)(),(1 .300000 0x x x y y x x x y y --=--= - 二、,0 ()2,0,0x e x f x x x x ?>? '=>. 习题二 一、1．3622ln 2-++x x x ； 2．1； 3． 2 ln 1x x -； )2 (4 2 ,)2 (42. 42 2 π ππ π ππ- = - - - =- x y x y ；)(4)(2.5222x f x x f ''+'． 二、2 )1() sin 3(cos sin cos 2.1x x e x x e x x +-+-； x x x x x x x x c o s s i n l n c o s 2s i n .2+-+； 211 arcsin 2.3x x -?；12ln (ln )4.n x n x x --；a a x x x ax a a a 21 211sec ln .5+?+-； 21sec 222116.3ln3ln ;8.sec tan x x y y y e x x x -?'''===?? 三、()[]{}()[]()x f x f f x f f f '?'?'. 1, )()(2.22 2 x x x x x e f e e e f xe '+

《高等数学》练习题库完整

华中师大学网络教育 《高等数学》练习测试题库 一．选择题 1.函数y=1 12+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin 2 x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 2 3．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，5 4 C ．{f(n)},其中f(n)=?????-+为偶数，为奇数n n n n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ） A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ） A ．发散数列必无界 B ．两无界数列之和必无界 C ．两发散数列之和必发散 D ．两收敛数列之和必收敛 6．=--→1 )1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x x k )1(lim e 6 则k=( )

A.1 B.2 C.6 D.1/6 8.当x 1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（） A.x2-1 B. x3-1 C.(x-1)2 D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的（） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （） A、是连续的 B、无界函数 C、有最大值与最小值 D、无最小值 11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（） A、B、e C、-e D、-e-1 12、下列有跳跃间断点x=0的函数为（） A、xarctan1/x B、arctan1/x C、tan1/x D、cos1/x 13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x0不连续，则下列结论成立是（） A、f(x)+g(x)在点x0必不连续 B、f(x)×g(x)在点x0必不连续须有 C、复合函数f[g(x)]在点x0必不连续

(完整版)高等数学自测题第13章自测题1答案

第13章自测题1答案 一、选择题（每小题4分） 1、 答：(A). 2、 答：(B). 3、设C为分段光滑的任意闭曲线，?(x)及ψ(y)为连续函数，则的值 (A)与C有关(B)等于0 (C)与?(x)、ψ(x)形式有关(D)2π 答( ) 答：（B）

4、曲线积分的值 (A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关 (C)与起点、终点无关(D)等于零 答( ) 答：（B） 二、填空题（每小题4分） 1、 L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转 动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。 答： 2、 设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 _______. 答： 0 3、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m=________. 答：1 4、设是某二元函数的全微分，则m=______. 答：2 三、解答题（每小题6分） 1、 求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).

2、 设曲线L 为摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为1，求L 的形心坐标( ). 3、 求质点M (x ,y )受作用力 沿路径L 所作的功W L 是从A (2，3) 沿直线到B (1，1)的直线段. 解：L 的直线方程：12-=x y 从2=x 到1=x ? ?=L s F w d ??

?-++= AB y x y x x y d )2(d )3 ( ? -=1 2 d )115(x x 223- = 4、 质线L 为 其上任意点(x ,y )处的密度为 ，求此质线 对于原点处的单位质点的引力 . 5、 设质线L 的方程为 L 上任意点(x ,y )处的线密度为 求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η). 解：L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2π θ θθd 2 sin 2d 'd 22a r r s =+= θ θ θμπ ? ? ? -=+= = 20 22d 2 sin )cos 1(2d 1d a s y x a s M L L

高等数学自测题

高等数学自测题 （第十章） 一、填空题（共20分） 1．C 为由x 2+y 2=R 2，y =x 及y =0在第一象限所围区域的边界，则?+C y x ds e 22 ＝ . 2．∑为z =2-x 2- y 2 （1≤ z ≤ 2）外侧，则 ??∑ -+-+-dxdy z x dzdx y z dydz x y )()()(222= . 3．L ：| x |+| y |=4的正向，则?+-L y x ydx xdy 2 2= . 4．L 是以点)0,1(为中心，R 为半径的圆周，R >1，取逆时针方向，则 ?+-L y x ydx xdy 224= . 5. L 为2x =πy 2从点)0,0(O 到点)1,2(π B 的一段弧，则 =+-+-?L dy y x x y dx x y xy )3sin 21()cos 2(2223 . 二、计算题（共60分） 1．∑为)(2 122y x z +=介于z =0，z =2之间部分的上侧，计算??∑-+zdxdy dydz x z )(2. 2．L 为x 2+y 2=ax 从点)0,(a A 经点)2/,2/(a a M 到点)0,0(O 的上半圆周，计算?-+-L x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (. 3．L 为平面 x +y+z =2与柱面 | x |+| y |=1的交线，从z 轴正向看去L 为逆时针方向，计算?-+-+-L dz y x dy x z dx z y )3()2()(222222. 4．设曲线积分 ?+L dy x yf dx xy )(2与路径无关，其中f 具有连续导数，且 f (0)=0，计算?+=)2,2()0,0(2)(dy x yf dx xy I 的值. 5．设L 是不过点)0,2(的分段光滑简单闭曲线，计算?+--+=L y x dy x ydx I 22)2()2(. 6．L 为顺时针方向椭圆14 22 =+y x ，周长为1，计算?++L ds y x xy )4(22。 7. 设S 为上半球面222y x a z --=的上侧，计算 ??+-++-++-S dxdy z x z z z dxd y z y y dydz x y x x )2()2()2(222. 8. L 为球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线，计算?L dS x 2. 9. S 是2222a z y x =++外侧，cos α，cos β，cos γ 是外法线方向余弦，计算 dS z y x z y x S ??++++23)(cos cos cos 222γβα.

高等数学第七章定积分的应用

第七章 定积分的应用 一、本章提要 1. 基本概念 微元法，面积微元，体积微元，弧微元，功微元，转动惯量微元，总量函数． 2． 基本公式 平面曲线弧微元分式． 3. 基本方法 (1) 用定积分的微元法求平面图形的面积， (2) 求平行截面面积已知的立体的体积， (3) 求曲线的弧长， (4) 求变力所作的功， (5) 求液体的侧压力， (6) 求转动惯量， (7) 求连续函数f (x )在[]b a ,区间上的平均值， (8) 求平面薄片的质心，也称重心． 二、要点解析 问题1 什么样的量可以考虑用定积分求解？应用微元法解决这些问题的具体步骤如何？ 解析 具有可加性的几何量或物理量可以考虑用定分求解，即所求量Q 必须满足条件： （1）Q 与变量x 和x 的变化区间[]b a ,以及定义在该区间上某一函数f (x )有关；（2） Q 在[]b a ,上具有可加性，微元法是“从分割取近似，求和取极限”的定积分基本思想方法中概括出来的，具体步骤如下： （1）选变量定区间：根据实际问题的具体情况先作草图，然后选取适当的坐标系及适当的变量（如x ），并确定积分变量的变化区间[]b a ,； （2）取近似找微分：在[]b a ,内任取一代表性区间[]x x x d ,+，当x d 很小时运用“以 直代曲，以不变代变”的辩证思想，获取微元表达式d =()d Q f x x ≈Q ?（Q ?为量Q 在小区间[]x x x d ,+上所分布的部分量的近似值）；

（3）对微元进行积分得 =d ()d b b a a Q Q f x x =??． 下面举例说明． 例1 用定积分求半径为R 的圆的面积． 解一 选取如图所示的坐标系，取x 为积分变量，其变化区间为[]R R ,-，分割区间 []R R ,-成若干个小区间，其代表性小区间[]x x x d ,+所对应的面积微元 x x R x x R x R A d 2d ))((d 222222-=----=， 于是 ? ?---==R R R R x x R A A d 2d 22=2πR ． 解二 选取如图所示的坐标系， 取θ 为积分变量，其变化区间为[]π2,0．分割区间[]π2,0成若干个小区间，其代表性小区 间[]θθθd ,+所对应的面积微元θd 2 1d 2 R A = ，于是 22π 20 2π 20 ππ22 1 d 21d R R R A A =?===? ?θ． 解三 选取r 为积分变量， 其变化区间为[]R ,0，如图，分割[]R ,0成若干个小区间，

高等数学(上下册)自测题及参考答案

高等数学标准化作业参考答案（内部使用）山东交通学院土木工程学院，山东济南 SHANDONG JIAOTONG UNIVERSITY

第一章 自测题 一、填空题（每小题3分，共18分） 1. () 3lim sin tan ln 12x x x x →=-+ . 2. 2 1 lim 2 x x x →=+- . 3.已知212lim 31 x x ax b x →-++=+，其中为b a ,常数，则a = ，b = . 4. 若()2sin 2e 1 ,0,0ax x x f x x a x ?+-≠? =??=? 在()+∞∞-,上连续，则a = . 5. 曲线21 ()43 x f x x x -= -+的水平渐近线是 ，铅直渐近线是 . 6. 曲线() 121e x y x =-的斜渐近线方程为 . 二、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. “对任意给定的()1,0∈ε，总存在整数N ，当N n ≥时，恒有ε2≤-a x n ”是数列{}n x 收敛于a 的 . A. 充分条件但非必要条件 B. 必要条件但非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 2. 设()2,0 2,0x x g x x x -≤?=?+>?，()2,0 , x x f x x x ?<=? -≥?则()g f x =???? . A. 22,02,0x x x x ?+