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3.1.1复数引入及复数概念

3.1.1复数引入及复数概念
3.1.1复数引入及复数概念

第三章 复数 3.1.1数系的扩充和复数的概念

科目 高二数学 班级 姓名 时间 2015-2-10

一、学习目标:

1.了解引入虚数单位的必要性和数系的扩充过程。

2.理解掌握复数及相关的概念。

3.掌握复数的代数形式、复数相等的充要条件。

二、学习过程:

(一)自主学习:请同学们阅读课本102-103页,完成基本知识填写:

1.复数的有关概念

(1)数系扩充的原则(虚数单位i 的两个规定)

① ;②实数可以与它进行 ,进行运算时,原有的 仍然成立.

(2)复数概念

①定义:形如 的数叫做复数,其中a 、b 是______,i 叫做____________,

a 叫做复数的______,

b 叫做复数的_______.

②表示方法:复数通常用 表示,即z = (a 、b ∈R).

(3)复数集

①定义:由________所构成的集合叫做复数集.②表示:通常用大写字母____表示. 想一想:复数m +ni 的实部是m ,虚部是n 吗?

2.复数的分类及包含关系

复数(a +bi ,a 、b ∈R)???≠=0

_________0_________b b

想一想:复数a i 一定是纯虚数吗?

3.复数相等的充要条件

设a 、b 、c 、d 都是实数,则a +bi =c +di ? _____________;a +bi =0?__________. 想一想:任意两个复数都能比较大小吗?

题型一 复数的概念

例1.给出下列三个命题:(1)若z ∈C ,则z 2≥0;(2)2i -1虚部是2i ;(3)2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )

A .0

B .1

C .2

D .3

训练1.下列命题中:

①两个虚数不能比较大小;②若a ∈R ,则(a +1)i 是纯虚数;③若a +bi =0(a ,b ∈R),则a =b =0,其中正确命题的个数为( )

A .0

B .1

C .2

D .3

题型二 复数的分类

例2.实数m取什么值时,复数(m2-3m+2)+(m2-4)i是:(1)实数(2)虚数(3)纯虚数

2.实数a取何值时,复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i分别为(1)非零实数(2)虚数(3)纯虚数.

题型三复数相等的充要条件

例3.已知x,y均是实数,且满足(2x-1)+i=-y-(3-y)i,求x与y.

训练3.已知M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i},同时满足M∩N M,M∩N≠?,求整数a、b.

【附】例4.已知复数z=a2-7a+6

a2-1

+(a2-5a-6)i(a∈R),试求实数a分别取什

么值时,z分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

训练4.实数x分别取什么值时,复数z=x2-x-6

x+3

+(x2-2x-15)i是(1)实数;

(2)虚数;(3)纯虚数?

高考数学新版一轮复习教程学案:第58课复数的概念及其运算

高考数学新版一轮复习教程学案 第58课 复数的概念及其运算 1. 了解数系的扩充过程;理解复数的基本概念、代数表示法以及复数相等的充要条件. 2. 理解复数代数形式的四则运算法则,能进行复数代数形式的四则运算. 1. 阅读:选修 22 第109~117页. 2. 解悟:①数系的扩充;②复数的四则运算与共轭复数;③与加法一样,复数的乘法也是一种规定.课本114页例2还可以让学生先计算后两个复数的积,再与第一个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律;④根据复数相等的充要条件,应用待定系数法求复数,是常用的方法之一. 3. 践习:在教材空白处,完成第118~119页习题第2、3、6、12题. 基础诊断 1. 若复数z =(1+m i )(2-i )(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数m 的值为 -2 . 解析:由题意得,z =(1+m i )(2-i )=2+m +(2m -1)i .因为复数z 是纯虚数,所以2+m =0,且2m -1≠0,解得m =-2. 2. 设复数z =m +3i 1+m i (m>0,i 为虚数单位),若z =z ,则m 解析:z =m +3i 1+m i =(m +3i )(1-m i )(1+m i )(1-m i )=4m +(3-m 2)i 1+m 2.因为z =z ,所以3-m 2=0,解得m =±3.因为m>0,所以m = 3. 3. 已知复数z = 11+i ,其中i 是虚数单位,则|z|= 2 . 解析:z =11+i =1-i (1+i )(1-i )=12-1 2i ,所以|z|= ????122+????122 =22 . 4. 设复数z 满足(1+2i )·z =3(i 为虚数单位),则复数z 的实部为 3 5 . 解析:因为(1+2i )·z =3,所以z =3 1+2i =3(1-2i )(1+2i )(1-2i )=3-6i 5,所以复数z 的实 数为3 5 . 范例导航 考向? 复数的基本运算 例1 (1) (-1+i )(2+i ) i 3 ; (2) 1-i (1+i )2+1+i (1-i )2 ; (3) (-1+3i )3;

复数的概念与几何意义

1 第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么? 方程x 2 +1=0有实数解吗?联系从自然数系到实数系的扩充过程,你能 设想一种方法,使这个方程有解吗? 问题2.复数的概念是什么? 问题3.若复数a+bi=c+di ,则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件? 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗?并举出相应例子。 练习题: (一)完成课本104页1,2,3 (二)1.实数m 取何值时,复数z=m+1+(m-1)i 是实数?虚数?纯虚数? 2.已知i 是虚数单位,复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ,当m 取何实数时,Z 是:(1)实数 (2)纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-,则,x y 的值是? 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等,且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根,试求:,,a b k 的值。 [思考]:你能得出判断一个数是实数、虚数,纯虚数的方法吗? 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义,从中体会数形结合的思想; 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中,有序实数对与点一一对应,类比此种对应,复数能与什么建立一一对应? 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈( 可以与复平面的向量对应吗?复数的几何意义是什么? 问题3.怎样求一个复数的模? 练习题: (一)完成课本105页1,2,3;106页A 组全做 (二) 1.若复数12z i =+,求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上,求实数m 的取值,并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+,223z i =,332z i =,42z i =-+对应的点1Z ,2Z ,3Z ,4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论. 第三章第三节 复数代数形式的加减运算及其几何意义 1.会进行复数的代数形式的加、减运算,了解其几何意义; 2.通过复数加法几何意义的探究渗透数形结合、类比的数学思想。 自学探究 问题1.复数与复平面内的向量有一一对应的关系,类比向量加法,你能得出复数的加法运算法则吗? 复数加法的几何意义呢? 问题2.复数的加法满足交换律、结合律吗?请结合复数加法运算法则证明。 问题3.若复数z 1+z 2=z 3,你能否用z 2和z 3表示出z 1 ?请画图说明。 你能因此得出复数减法法则及其几何意义吗? 练习题: (一)完成课本109页1,2 (二)计算 (1)(56)(2)(34)i i i -+---+ (2)5i -(-2+3i )+(4-7i ) 2 . 已知平行四边形OABC 的三个顶点O 、A 、C 对应的复数分别为0,32i +,24i -+,试求: (1)AO 表示的复数; (2)CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数. 3.ABCD 是复平面内的平行四边形,A ,B ,C 三点对应的复数分别是13,,2i i i +-+,求点D 对应的复数. 4. 当2 13 m <<时,复数(3)(2)m i i +-+在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 第三章第四节 复数代数形式的乘除运算 学习目标 1. 理解共轭复数的概念; 2. 能进行复数的代数形式的乘、除运算,从中体会类比数学思想。 自学探究 问题1.类比(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd,你能得出(a+bi)(c+di)=? 问题2.复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律?请举例说明。 问题3.复数34i +与3-4i 有何关系?a bi +的共轭复数是什么?bi 的共轭复数是什么? 思考:若12,z z 是共轭复数,那么(1)在复平面内,它们所对应的点的位置关系如何? (2)12z z ?是一个怎样的数?有何特征? 问题4.类比实数的除法是乘法的逆运算,请探究(1+2i )Z =4+3i 中的复数Z =? 你能得出复数除法运算法则吗? 练习题: (一)完成课本111页1,2,3;112页A 组1至6题;116页A 组全做,B 组1,2题。 (二)1. 复数5 2 i -的共轭复数是( ) A .2i + B .2i - C .2i -- D .2i - 2.如果复数212bi i -+的实部和虚部互为相反数,那么实数b 的值为( ) A 2 B .-2 C .23- D .2 3 3. 若12z i =,则22z z -的值为 4. 计算 (1)13()(1)2i -+; (2)3113 ()()22-- 5. 若复数z 满足11z i z -=+,则|1|z +的值为 第三章 数系的扩充与复数的引入(复习课) 1. 设134z i =-,223z i =-+,则12z z +在复平面内对应的点( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 2. 2(1)i i -?等于( ) A .22i - B .22i + C .2- D .2 3. 复数21 (1)i +的值是( ) A .2i B .2i - C .2 D .2-

复数的概念及运算 知识点+例题 全面分类

[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-,则.______=z i 51+ [巩固1] 复数 i i a 212+-是纯虚数,则实数a 的值为________.4 [巩固2] 如果 )(112R m mi i ∈+=-,那么._____=m 1 [例3] 已知i z 34+-=,则._______2=-z i 36+ [巩固1] 已知复数i z 211+=,i z 322-=,则21z z +的共轭复数是___________.i +3 [巩固2] 已知i 是虚数单位,R n m ∈,,且ni i m -=+22,则 ni m ni m -+的共轭复数为_________.i [例4] 计算:(1)3)2)(1(i i i ++-(2)22)1(1)1(1i i i i -+++- [巩固] 计算: (1))1()2()23(i i i +---++;(2))2)(1(2013i i i -+?;(3)i i 4321-+

1.复平面:我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的模:22b a bi a z +=+= 3.bi a z +=1,di c z +=2,则2221)()(d b c a z z -+-= - 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. [例1] 已知复数i i z -+= 12,则._____=z 210 [巩固1] 复数)0(21<+= a i ai z ,其中i 为虚数单位, 5=z ,则a 的值为__________.-5 [巩固2] 若2=z ,求i z 43-+取最大值时的. ______=z i 5 856- [例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--= (1)若z z =,求z ; (2)若在复平面内复数z 对应的点在第一象限,求a 的范围. 知识模块3复数的模 精典例题透析

复数的定义

第十四章 复数 一 、复数的概念 1. 虚数单位:i 规定:(1)21i =-;(2)虚数单位i ,可以与实数进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法,乘法运算律仍然成立。 2. 复数:形如a bi +,,a R b R ∈∈的数叫做复数,a 叫实部,b 叫虚部。 3. 复数集:所有复数构成的集合,复数集{},,C x x a bi a R b R ==+∈∈. 4. 分类:0b =时为实数;0b ≠时为虚数,0,0a b =≠时为纯虚数,且R üC . 5. 两个复数相等:a bi c di a c +=+?=且(,,,)b d a b c d R =∈ 例1 下面五个命题 ①34i +比24i +大; ②复数32i -的实部为3,虚部为2i -; ③1Z ,2Z 为复数,120Z Z ->,那么12Z Z >;④两个复数互为共轭复数,则其和为实数; ⑤两个复数相等:a bi c di a c +=+?=且(,,,)b d a b c d R =∈. 例2 已知:(1)(1),Z m m i m R =++-∈求Z 为(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数时,求m 的值。 例3 已知2226()x y i y x i +-=+-,求实数,x y 的值。 二 、复数的几何意义:,,,Z a bi a R b R =+∈∈与点(,)a b 一一对应。 1.复平面:x 轴叫实轴;y 轴叫虚轴。x 轴上点为实数,y 轴上除原点外的点为纯虚数。 2.Z a bi =+;连接点(,)a b 与原点,得到向量OZ ,点(,)Z a b ,向量OZ ,Z a bi =+之间一一对应。 3.模:2Z a bi OZ a =+== 注:Z 的几何意义:令(,)Z x yi x y R =+∈,则Z =Z 的点到原点的距离就是Z 的几何意义;12Z Z -的几何意义是复平面内表示复数1Z ,2Z 的两点之间的距离。

最新数系的扩充和复数的概念教案

§3.1.1数系的扩充和复数的概念 教案 李 志 文 【教学目标】 知识与技能:1.了解数系的扩充过程;2.理解复数的基本概念 过程与方法:1.通过回顾数系扩充的历史,让学生体会数系扩充的一般性方法. 2.类比前几次数系的扩充,让学生了解数系扩充后,实数运算律均可应用于 新数系中,在此基础上,理解复数的基本概念. 情感态度与价值观: 1、虚数单位的引入,产生复数集,让学生体会在这个过程中蕴含的创 新精神和实践能力,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系; 2、初步学会运用矛盾转化,分与合,实与虚等辩证唯物主义观点看待和 处理问题。 【重点难点】 重点: 理解虚数单位i 的引进的必要性及复数的有关概念. 难点:复数的有关概念及应用. 【学法指导】 1、回顾以前学习数的范围扩充过程,体会数系扩充的必要性及现实意义; 2、思考数系扩充后需考虑的因素,譬如运算法则、运算律、符号表示等问题,为本节学习奠定方法基础. 【知识链接】 前两个学段学习的数系的扩充: 但是,数集扩到实数集R 以后,像x 2=-1这样的方程还是无解的,因为在实数范围内,没有一个实数的平方等于负数.联系从自然数到实数系的扩充过程,你能设想一种方法,使这个方程有解吗? Q N Z R 人们在狩猎、采集果实等劳动中,由于计数的需要,就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数 的全体构成自然数集N 为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要,人们又引进了负整,将数系扩充至整数集Z. 为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题, 人们引进了分数,将数系扩充至有理数集Q. 用方形的边长去度量它的对角线所得的结果,无法用有 理数表示,为了解决这个矛盾,人们又引进了无理数.有 理数集与无理数集合并在一起,构成实数集R . N x 2=-1,x =?

数系的扩充和复数的概念

《数系的扩充和复数的概念》教学设计 1.了解解方程等实际需要也是数系发展的一个主要原因,数集的扩展过程以及复数的 分类表; 2.理解复数的有关概念以及符号表示; 3.掌握复数的代数表示形式及其有关概念; 4.在问题情境中了解数系得扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念. 【教学难点】复数概念的理解. 【教学过程】 1.对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括(教师引导学生进行简 明扼要的概括和总结) 自然数整数有理数无理数实数 2.提出问题 我们知道,对于实系数一元二次方程,没有实数根.我们能否将实数集进行扩充,使 得在新的数集中,该问题能得到圆满解决呢? 3.组织讨论,研究问题 我们说,实系数一元二次方程没有实数根.实际上,就是在实数范围内,没有一个实数的平方会等于负数.解决这一问题,其本质就是解决一个什么问题呢? 组织学生讨论,引导学生研究,最后得出结论:最根本的问题是要解决-1的开平方问 题.即一个什么样的数,它的平方会等于-1. 4.引入新数,并给出它的两条性质 根据前面讨论结果,我们引入一个新数,叫做虚数单位,并规定: (1); (2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘运算律仍然成立.有了前面的讨论,引入新数,可以说是水到渠成的事.这样,就可以解决前面提出的问题(-1可以开平方,而且-1的平方根是). 5.提出复数的概念 根据虚数单位的第(2)条性质,可以与实数b相乘,再与实数a相加.由于满足乘法交换律及加法交换律,从而可以把结果写成这样,数的范围又扩充了,出现了形如的数, 我们把它们叫做复数. 全体复数所形成的集合叫做复数集,一般用字母C表示,显然有: N* N Z Q R C. 【巩固练习】 下列数中,哪些是复数,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复 数的实部与虚部各是什么? 例1.实数m分别取什么值时,复数z=m+1+(m-1)i是 (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数? 分析:因为m∈R,所以m+1,m-1都是实数,由复数z=a+bi是实、虚数、纯虚数与 零的条件可以确定实数m的值.

(完整word版)复数的概念及其几何意义练习题

一.选择题(共10小题) 1.(2015?遵义校级一模)已知i是虚数单位,则复数z=i2015的虚部是() A.0 B.﹣1 C.1 D.﹣i 2.(2015?安庆校级三模)设i是虚数单位,则复数1﹣2i+3i2﹣4i3等于() A.﹣2﹣6i B.﹣2+2i C.4+2i D.4﹣6i 3.(2015?广西校级学业考试)实数x,y满足(1+i)x+(1﹣i)y=2,则xy的值是() A.2 B.1 C.﹣1 D.﹣2 4.(2015?泉州校级模拟)如果复数z=a2+a﹣2+(a2﹣3a+2)i为纯虚数,那么实数a的值为()A.﹣2 B.1 C.2 D.1或﹣2 5.(2015?潍坊模拟)设复数z=1+bi(b∈R)且|z|=2,则复数的虚部为() A.B.C.±1 D. 6.(2015?浠水县校级模拟)已知复数z与(z+2)2﹣8i是纯虚数,则z=() A.﹣2i B.2i C.﹣i或i D.2i或﹣2i 7.(2015?新课标II)若a为实数,且(2+ai)(a﹣2i)=﹣4i,则a=() A.﹣1 B.0 C.1 D.2 8.(2015?南平模拟)已知x,y∈R,i为虚数单位,且yi﹣x=﹣1+i,则(1﹣i)x+y的值为()A.2 B.﹣2i C.﹣4 D.2i 9.(2015?宜宾模拟)在复平面内,复数3﹣4i,i(2+i)对应的点分别为A、B,则线段AB的中点C对应的复数为() A.﹣2+2i B.2﹣2i C.﹣1+i D.1﹣i 10.(2015?上饶校级一模)已知i为虚数单位,a∈R,若a2﹣1+(a+1)i为纯虚数,则复数z=a+(a﹣2)i 在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 二.填空题(共5小题) 11.(2015?岳阳二模)已知z=x+yi,x,y∈R,i为虚数单位,且z=(1+i)2,则ix+y=.12.(2015春?常州期中)计算i+i2+…+i2015的值为. 13.(2015春?肇庆期末)从{0,1,2,3,4,5} 中任取2个互不相等的数a,b组成a+bi,其中虚数有个. 14.(2015?泸州模拟)设复数z满足(1﹣i)z=2i,则z=. 15.(2014?奎文区校级模拟)设O是原点,向量、对应的复数分别为2﹣3i,﹣3+2i,那么,向量 对应的复数是. 三.解答题(共8小题) 17.(2015?赫章县校级模拟)已知复平面内平行四边形ABCD,A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3﹣i. (1)求点C,D对应的复数; (2)求平行四边形ABCD的面积. 18.(2015春?蠡县校级期末)实数m取什么数值时,复数z=m2﹣1+(m2﹣m﹣2)i分别是:

3-1-2 复数的几何意义

基础巩固强化 一、选择题 1.若OZ →=(0,-3),则OZ →对应的复数为( ) A .0 B .-3 C .-3i D .3 [答案] C [解析] 由OZ →=(0,-3),得点Z 的坐标为(0,-3), ∴OZ →对应的复数为0-3i =-3i.故选C. 2.复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A .z 为纯虚数 B .z 是实数 C .z 是正实数 D .z 是非负实数 [答案] D [解析] ∵z =|z |,∴z 为实数且z ≥0. 3.已知复数z =a +i(其中a ∈R ,i 为虚数单位)的模为|z |=2,则a 等于( ) A .1 B .±1 C. 3 D .±3 [答案] D [解析] ∵|z |=2,∴a 2+1=4,∴a =±3. 4.在复平面内,复数6+5i ,-2+3i 对应的点分别为A 、B .若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( ) A .4+8i B .8+2i

C .2+4i D .4+i [答案] C [解析] 由题意,得点A (6,5),B (-2,3).由C 为线段AB 的中点,得点C (2,4), ∴点C 对应的复数为2+4i. 5.复数z =(a 2-2a )+(a 2-a -2)i 对应的点在虚轴上,则( ) A .a ≠2或a ≠1 B .a ≠2或a ≠-1 C .a =2或a =0 D .a =0 [答案] C [解析] 由题意知a 2-2a =0, 解得a =0或2. 6.当2 30,m -1<0. 二、填空题 7.已知复数x 2-6x +5+(x -2)i 在复平面内的对应点在第三象限,则实数x 的取值范围是________. [答案] (1,2) [解析] 由已知,得? ???? x 2-6x +5<0 x -2<0,

复数的基本概念与基本运算

复数的基本概念与基本运算 一、《考试说明》中复数的考试内容(1)数的概念的发展,复数的有关概念(实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数、模);(2)复数的代数表示与向量表示;(3)复数的加法与减法,复数的乘法与除法,复数的三角形式,复数三角形式的乘法与乘方,复数三角形式的除法与开方;(4)复数集中解实系数方程(包括一元二次方程、二项方程)。二、考试要求(1)使学生了解扩充实数集的必要性,正确理解复数的有关概念.掌握复数的代数、几何、三角表示及其转换;(2)掌握复数的运算法则,能正确地进行复数的运算,并理解复数运算的几何意义;(3)掌握在复数集中解实数系数一元二次方程和二项方程的方法.(4)通过内容的阐述,带综合性的例题和习题的训练,继续提高学生灵活运用数学知识解题的能力.(5)通过数的概念的发展,复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的复习教学,继续对学生进行辩证观点的教育.三、学习目标(1)联系实数的性质与运算等内容,加强对复数概念的认识;?(2)理顺复数的三种表示形式及相互转换:z = r(cosθ+isinθ) , OZ(Z(a,b)) , z=a+bi (3)正确区分复数的有关概念;(4)掌握复数几何意义,注意复数与三角、解几等内容的综合;复(5)正确掌握复数的运算:复数代数形式的加、减、乘、除;三

角数实数集集形式的乘、除、乘方、开方及几何意义;虚数单位i及1的立方虚根纯虚数集ω的性质;模及共轭复数的性质;(6)掌握化归思想——将复数问题实数化(三角化、几何化);(7)掌握方程思想——利用复数及其相等的有关充要条件,建立相应的方程,转化复数问题。四、本章知识结构与复习要点1.知识体系表解 1 1/16页2.复数的有关概念和性质:(1)i称为虚数单位,规定2i,,1,形如a+bi的数称为复数,其中a,b?R.(2)复数的分类(下面的a,b均为实数) (3)复数的相等设复数,那么的充要zz,zabizabiababR,,,,,,(,,,)121112221122条件是:.abab,,且1122 (4)复数的几何表示复数z=a+bi(a,b?R)可用平面直角坐标系内点Z(a,b)来表示.这时称此平面为复平面,x轴称为实轴,y轴除去原点称为虚轴.这样,全体复数集C与复平面上全体点集是一一对应的. 2 2/16页复数 z=a+bi.在复平面内还可以用以原点O为起点,以点Z(a,b) abR,,,,向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O,看成零向量).(7)复数与实数不同处?任意两个实数可以比较大小,而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小.?实数对于四则运算是通行无阻的,但不是任何实数都可以开偶次方.而复数对四则运算和开方均通行无阻.3.有关计算:?**n4k,rrkNrN,,,nN,ii,i怎样计算?(先求n被4除所得的余数,),,,,1313?,,,,i、,,,,i

新人教版高中数学必修第二册 第7章 复数 7.1.2 复数的几何意义

7.1.2 复数的几何意义 考点 学习目标 核心素养 复平面 了解复平面的概念 数学抽象 复数的几何意义 理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系 直观想象 复数的模 掌握复数的模的概念,会求复数的模 数学运算 共轭复数 掌握共轭复数的概念,并会求一个复数的共轭复数 数学运算 问题导学 预习教材P70-P72的内容,思考以下问题: 1.复平面是如何定义的? 2.复数与复平面内的点及向量的关系如何?复数的模是实数还是虚数? 3.复数z =a +b i 的共轭复数是什么? 1.复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 2.复数的两种几何意义 (1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )←――→一一对应 复平面内的点Z (a ,b ). (2)复数z =a +b i(a ,b ∈R ) ←――→一一对应平面向量OZ →. ■名师点拨 (1)复平面内的点Z 的坐标是(a ,b ),而不是(a ,b i).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i. (2)当a =0,b ≠0时,a +b i =0+b i =b i 是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b )(b ≠0)都表示纯虚数. (3)复数z =a +b i(a ,b ∈R )中的z ,书写时应小写;复平面内的点Z (a ,b )中的Z ,书写时应大写. 3.复数的模

复数z =a +b i(a ,b ∈R )对应的向量为OZ →,则OZ → 的模叫做复数z 的模或绝对值,记作|z |或|a +b i|,即|z |=|a +b i|=a 2+b 2. ■名师点拨 如果b =0,那么z =a +b i 是一个实数a ,它的模等于|a |(a 的绝对值). 4.共轭复数 (1)一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数. (2)虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. (3)复数z 的共轭复数用z -表示,即如果z =a +b i ,那么z - =a -b i . ■名师点拨 复数z =a +b i 在复平面内对应的点为(a ,b ),复数z - =a -b i 在复平面内对应的点为(a ,-b ),所以两个互为共轭复数的复数,它们所对应的点关于x 轴对称. 判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)原点是实轴和虚轴的交点.( ) (2)实轴上的点表示实数,虚轴上的点表示纯虚数.( ) (3)若|z 1|=|z 2|,则z 1=z 2.( ) (4)若z 1与z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)√ 复数1-2i 在复平面内对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 答案:D 复数z =1+3i 的模等于( ) A .2 B .4 C.10 D .2 2 答案:C 复数z =-2+5i 的共轭复数z - =________. 答案:-2-5i

复数的概念、几何意义及运算

高考数学一轮复习专题训练(40) 复数的概念、几何意义及运算 班级________姓名____________学号______成绩______日期____月____日 一、填空题 1. 复数z= 1 1-i 的虚部是________. 2. 设z=(2-i)2(i为虚数单位),则复数z的模为________. 3. 若复数a+i 1+i 为纯虚数,则实数a的值是________. 4. 若复数z=2-i 3-4i ,则z的共轭复数为z=________. 5. 在复平面内,复数1-i 2+i +i2 019对应的点位于第 ________象限. 6. 若复数z= 1 a-2 +(a2-4)i(a∈R)是实数,则a= ________.

7. 已知i是虚数单位,则满足z-i=|3+4i|的复数z在复平面上对应点在第________象限. 8. 满足条件|z-i|=|z+3|的复数z在复平面上对应点的轨迹是________. 9. 已知i是虚数单位,a、b∈R,则“a=b=1”是“(a +b i)2=2i”的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 10. 若复数(m2-3m-4)+(m2-5m+6)i表示的点在虚轴上,则实数m的值为________. 11. 设a∈R,若复数a+i 1+i (i为虚数单位)的实部和虚部相 等,则a=________. 12. 已知方程x2+(4+i)x+4+a i=0(a∈R)有实根b,且z=a+b i,则复数z=________. 13. 若复数(x-2)+y i(x,y∈R)的模为3,则y x的最大值

复数的概念与运算

复数的概念与运算 【知识点精讲】 1. 虚数单位i :i 2=–1,实数可以与它进行四则运算,原有的加、乘运算律仍成立;i 就是-1的一个平方根,即方程x 2=-1的一个根,方程x 2=-1的另一个根是-i ;I 具有周期性:i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1(n ∈N ). 2. 复数的代数形式:z=a+bi (a,b ∈R ), a 叫实部,b 叫虚部.掌握复数(集C )的分类: ()?? ??????+=≠==+=≠====∈+=为非纯虚数的虚数时为纯虚数时为虚数时为实数时其中为实数时复数bi a z a bi z a bi a z b ,z b a a z b R b a bi a z 000000),( NZQRC 3.复数相等:设a,b,c,d ∈R ,则a+bi=c+di ?a=c,b=d ;a+bi=0?a=b=0;利用复数相等的条件转化为实数问题是解决复数问题的常用方法; 4.共轭复数:实部相等,虚部互为相反数的两个复数.如:a+bi 和a –bi (a,b ∈R ); 5.复数的模:2||||||z a bi OZ a =+==,两个复数不能比较大小,但它们的模可以比较大小; 6.复平面、实轴、虚轴:点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ,b )表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外,因为原点对应的有序实数对为(0,0), 它所确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 7.掌握复数的和、差、积、商运算法则:z 1±z 2=(a +bi ) ±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i ;(a +bi )(c +di )=(ac -bd )+(bc +ad )i ;(a +bi )÷(c +di )= 2222d c ad bc d c bd ac +-+++ i (实际上是分子分母同乘以分母的共轭复数,并化简). 复数运算满足加、乘的交换律、结合律、分配律. 【例题选讲】 例1 计算:(1)i i -22;(2)i i 3232-+. 解:(1)i 5 452+- ;(2)i 56251+-. 例2 已知z 是复数,z+2i 、 i z -2均为实数,且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围. 优化设计P222典例剖析例1,解答略。

(完整word版)复数的概念与几何意义

第三章第一节 数系的扩充与复数的概念 学习目标 1.在问题情境中了解数系的扩充过程,体会数与现实世界的联系。 2.理解复数基本概念以及复数相等的充要条件。 自学探究 问题1. 在实数集中方程x 2-1=0是什么? 方程x 2 +1=0有实数解吗?联系从自然数系到实数系的扩充过程,你能 设想一种方法,使这个方程有解吗? 问题2.复数的概念是什么? 问题3.若复数a+bi=c+di ,则实数a 、b 、c 、d 满足什么条件? 问题4.你能对复数集进行恰当地分类吗?并举出相应例子。 练习题: (一)完成课本104页1,2,3 (二)1.实数m 取何值时,复数z=m+1+(m-1)i 是实数?虚数?纯虚数? 2.已知i 是虚数单位,复数Z=(m 2 -4)+(m+2)i ,当m 取何实数时,Z 是:(1)实数 (2)纯虚数 3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,求实数a 的值。 4.若(32)(5)172x y x y i i ++-=-,则,x y 的值是? 5.已知复数a bi +与3(4)k i +-相等,且a bi +的实部、虚部分别是方程x 2 -4x+3=0的两根,试求:,,a b k 的值。 [思考]:你能得出判断一个数是实数、虚数,纯虚数的方法吗? 第三章第二节 复数的几何意义 学习目标 1.通过复数与从原点出发的向量的对应关系了解复数的几何意义,从中体会数形结合的思想; 2.从复数几何意义的引入过程中体会用几何研究代数问题的方法。 自学探究 问题1.在直角坐标系中,有序实数对与点一一对应,类比此种对应,复数能与什么建立一一对应? 问题2.复数Z= (,)a bi a b R +∈( 可以与复平面的向量对应吗?复数的几何意义是什么? 问题3.怎样求一个复数的模? 练习题: (一)完成课本105页1,2,3;106页A 组全做 (二) 1. 若复数1z =,求z 的模。 2.若复数22(34)(56)Z m m m m i =--+--表示的点在虚轴上,求实数m 的取值,并求z 的模。 3.在复平面内指出与复数112z i =+ ,2z = ,3z =,42z i =-+对应的点1Z ,2Z ,3Z ,4Z . 试 判断这4个点是否在同一个圆上?并证明你的结论.

1.1 数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入 本章概览 教材分析 复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用,复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系,也是进一步学习数学的基础. 本章内容分为两节:3.1数系的扩充和复数的概念,3.2复数代数形式的四则运算. 教材通过问题情境:“方程x2+1=0在实数集中无解,如何设想一种方法使该方程有解?”引出扩充数系的必要性,从而引入虚数、复数的概念.复数实际上是一对有序数对,即a+bi (a,b),类比实数可以用数轴上的点表示,复数就可以在直角坐标系中用点或向量表示,从而有了复数的几何意义,使数和形得到了有机的结合. 复数代数形式的四则运算可以类比代数式运算中的“合并同类项”“分母有理化”等,利用i2=-1,将复数代数形式的四则运算归结为实数的四则运算,体现了化虚为实的化归思想. 复数的加法、减法运算还可以通过向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来进行,这不仅又一次看到了向量这一工具的功能,也把复数及其加、减运算与向量及其加、减运算完美地统一起来. 教材每节设置了“思考”“探究”,让学生通过类比思想,并借助于具体实例对数系进行了扩充,研究了复数代数形式的几何意义和复数加、减法的运算及几何意义,体现了《课标》以学生为主体的教学理念,有利于培养学生的思想素质和激发学习数学的兴趣和欲望.本章的重点是复数的概念及复数代数形式的四则运算,本章的难点是复数的引入和复数加、减法的几何意义. 课标要求 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系. (2)理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件. (3)了解复数的代数表示法及其几何意义. (4)能进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 教学建议 (1)数的概念的发展与数系的扩充是数学发展的一条重要线索.数系扩充的过程体现了数学的发现和创造过程,也体现了数学发生、发展的客观需求.建议教学时详细介绍从自然数系逐步扩充到实数系的过程,使数系的扩充与复数的引入更为自然,让学生充分领略数系扩充过程中所蕴涵的数学思想和科学发展思想. (2)在讲解复数的相关概念时,在“复数相等”环节,可以类比“相反数”的概念. (3)学习复数代数形式时的加、减、乘等运算时,可设置研究问题:用第二章“类比推理”思想,将多项式的运算法则与之进行类比. (4)删减的内容不必再补.对于弱化的部分,建议也只是在其出现的地方作适当延伸,不必重点讲解. 课时分配 本章教学时间大约需5课时,具体分配如下(仅供参考)

复数的概念及复数的四则运算

第一节复数一、复数 例1:求 X2 + 1 = 0的根

例2:求 X 2 + 9 = 0的根 例3:求 X 2 - 2X + 5 = 0的根 结论结论:j =1-称为虚数的单位,j b 称为虚数。 由实数和虚数的代数和组成的数称为复数A = a + j b 二、复数的表示形式 1.代数形式 A = a + j b 2.极坐标形式 A = r ∠ α 式中,r -复数A 的模;α-复数A 的辐角。 3.指数形式 A = r e j α 4.三角形式 A = r cos α + j r sin α 三、各种表示形式之间的相互转换 1.代数形式→其它形式 r =22b a +;α = arctan a b 2.其它形式→代数形式 a = r cos α ; b = r sin α 例:例3、例4 四、共轭复数和复数的相等 1.若A = a + j b = r ∠ α,则它的共轭复数A * = a - j b = r ∠ -α。 2.若两复数实部与实部相等,虚部与虚部相等(在代数表示式中)或两复数的模和辐角分别都相等(在极坐标或指数表示式中)则两个复数就相等。 第二节 复数的四则运算 一、加减法 1. 原则:一定要用代数形式进行加减,其它形式不能进行加减运算。 2. 方法:先将复数化成代数表示式,然后实部和实部相加或相减,虚部和虚部相加或 相减。 例:例1 二、乘除法 1.原则:一定要在同一表示形式中才能进行运算,用极坐标形式进 行运算比较简单。 2.方法: 乘法:将两复数的模相乘作为乘积的模,两辐角相加作为乘积的辐角; 除法:将两复数的模相除作为商的模,两辐角相减作为商的辐角。 三、举例 例:例2、例3、例4、例5、例6 练习:(1)将下列复数分别化成另一种形式 3 + j 3;3 - j 3;-3 + j 3;- 3 - j 3;6∠30?;6∠120?; 6∠- 120? 小结:1、虚数、复数的概念。 2、复数的几种表示方法。

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复数 一、考点、热点回顾 1.复数的有关概念 (1)复数 ①定义:形如a +b i (a ,b ∈R )的数叫做复数,其中i 叫做虚数单位,满足i 2=-1. ②表示方法:复数通常用字母z 表示,即z =a +b i (a ,b ∈R ),这一表示形式叫做复数的代数形式.a 叫做复数z 的实部,b 叫做复数z 的虚部. 注意:复数m +n i 的实部、虚部不一定是m 、n ,只有当m ∈R ,n ∈R 时,m 、n 才是该复数的实部、虚部. (2)复数集 ①定义:全体复数所成的集合叫做复数集. ②表示:通常用大写字母C 表示. 2.复数的分类 (1)复数z =a +b i (a ,b ∈R )???? ?实数(b =0) 虚数(b ≠0)?????纯虚数a =0非纯虚数a ≠0 (2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3.复数相等的充要条件 设a 、b 、c 、d 都是实数,则a +b i =c +d i ?a =c 且b =d ,a +b i =0?a =b =0. 注意:(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为z =a +b i (a ,b ∈R )的形式,即分离实部和虚部. (2)只有当a =c 且b =d 的时候才有a +b i =c +d i ,a =c 和b =d 有一个不成立时,就有a +b i ≠c +d i. (3)由a +b i =0,a ,b ∈R ,可得a =0且b =0. 4.复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 5.复数的两种几何意义 (1)复数z =a +b i (a ,b ∈R )←――→一一对应 复平面内的点Z (a ,b ). (2)复数z =a +b i (a ,b ∈R )←――→一一对应平面向量OZ → . 6.复数的模 复数z =a +b i (a ,b ∈R )对应的向量为OZ →,则OZ → 的模叫做复数z 的模,记作|z |,且|z |= a 2+b 2. 注意:复数a +b i (a ,b ∈R )的模|a +b i|=a 2+b 2,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实数,可以比较大小. 二、典型例题 考点一、复数的概念 例1、下列命题: ①若a ∈R ,则(a +1)i 是纯虚数; ②若a ,b ∈R ,且a >b ,则a +i>b +i ; ③若(x 2-4)+(x 2+3x +2)i 是纯虚数,则实数x =±2; ④实数集是复数集的真子集.

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一、考点、热点回顾 1. 复数的有关概念 (1)复数 ① 定义:形如 a + bi ( a , b ∈ R )的数叫做复数,其中 i 叫做虚数单位,满足 i 2=- 1. ② 表示方法:复数通常用字母 z 表示,即 z = a +bi ( a ,b ∈ R ),这一表示形式叫做复数的代数形式 .a 叫做复 数 z 的实部, b 叫做复数 z 的虚部 . 注意:复数 m +ni 的实部、虚部不一定是 m 、 n ,只有当 m ∈R ,n ∈R 时,m 、n 才是该复数的实部、虚部 . ( 2)复数集 ①定义:全体复数所成的集合叫做复数集 . ②表示:通常用大写字母 C 表示 . 2. 复数的分类 实数( b =0) 2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 3. 复数相等的充要条件 设 a 、 b 、 c 、 d 都是实数,则 a +bi =c +di? a =c 且 b =d ,a +bi =0?a =b =0. 注意:(1)应用复数相等的充要条件时注意要先将复数化为 z =a +bi (a , b ∈R )的形式,即分离实部和虚 部. 2)只有当 a =c 且 b =d 的时候才有 a +bi =c +di ,a = c 和 b =d 有一个不成立时,就有 a +bi ≠c + di. 3)由 a + bi = 0,a ,b ∈R ,可得 a =0 且 b = 0. 4. 复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面, x 轴叫做实轴, y 轴叫做虚轴 .实轴上的点都表示实 数;除了 原点外,虚轴上的点都表示纯虚数 . 6.复数的模 复数 z =a +bi (a ,b ∈R )对应的向量为 O →Z ,则O →Z 的模叫做复数 z 的模,记作 |z|,且 |z|= a 2+b 2. 注意:复数 a +bi (a , b ∈R )的模 |a + bi|= a 2+b 2,两个虚数不能比较大小,但它们的模表示实数,可以 比较大小 . 考点一、复数的概念 例 1、下列命题: ①若 a ∈ R ,则( a +1)i 是纯虚数; ②若 a ,b ∈R ,且 a>b ,则 a +i>b + i ; 复数 1)复数 z =a +bi (a , b ∈R ) 虚数( b ≠0) 纯虚数 a = 0 非纯虚数 5.复数的两种几何意义 ( 1)复数 z =a +bi (a , b ∈R ) 一一对应 ←一 ―一对 ―应 →复平面内的点 Z (a ,b ) 一一对应 ←― 平面向量 O →Z. 典型例题

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