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2015-2016自贡 八数上学试题及解答

自贡市2015-2016学年八年级上期末统考 数学试题考点分析及解答 一、选择题(本题有8个小题,每题3分,满分24分,每小题只有一个选项符合题意)

1.下列计算正确的是

( )

A.()2

22a b a b +=+ B.2a 3b 5ab += C.325a a a ?= D.632a a a ÷=

2.若分式

2

3x

-有意义,则x 的取值范围是 ( ) A.x 3≠ B.x 3= C.x 3< D.x 3> 3.下列各式是完全平方式的是 ( ) A.2x 2x 1+- B.22x y + C.2x 2xy 1++ D.24x 4x 1++ 4.一个多边形的内角和是1260°,则这个多边形的边数是 ( ) A.9 B. 8 C.7 D.6

5.在以下永结环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中,是轴对称图形的是 ( )

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6.下列长度的各种线段,可以组成三角形的是 ( ) A.123,, B.155,, C.336,, D.351,,

7.如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D E 、分别在AB AC 、上,将△ABC 沿DE 折叠压平,A 与'A 重合,若A 75∠= .则12∠+∠=

2015-2016自贡 八数上学试题及解答

A.105°

B.210°

C.150°

D.75°

8.如图,在四边形ABCD 中,BA BC =,AC 是DAE ∠的平分线,AD ∥EC ,AEB 110∠=,α

的度数是 )

2015-2016自贡 八数上学试题及解答

A.20°

B.30°

C.35°

D.40°

二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共计18分) 9.分解因式:22am 16an -= .

10.若分式3x

x 3

-+的值为零,则x 的值为 .

11.等腰三角形的周长为13cm ,其中一边长为4cm ,则该等腰三角形的底边为 .

12.若,a b 3ab 2-=-=,则22a b +的值为 .

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13.如图,已知方形格子中是4个相同的正方形,则123∠+∠+∠= .

14.如图,直角坐标系中,点()(),,A 22B 01-、,点P 在x 轴上,且

△PAB 是等腰三角形,则满足条件的点P 共 个.

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三、解答题(本题有5个小题,每小题5分,共计25分)

15.计算:()(

)

2

352a b 3a b -÷-.

16.如图,线段AD 和BC 相交于点O ,AB ∥BC ,D 55B 45∠=∠= ,A B C D

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18.雨伞的中截图如图所示,伞背AB AC =,支撑杆,,11

OE OF AE AB AF AC 44

==

=,当O 沿AD 滑动时,雨伞开闭;问雨伞开闭过程中,BEO ∠与CFO ∠有何关系?说明理由.

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19.先化简:5x 4x 2x x 1x 1--?

?-÷

?++?

?,再任选一个你喜欢的数x 代入求值.

四、解答题(本题有3个小题,每小题6分,共计18分)

20.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为()()(),,,,A 23B 31C 22--,

. ⑴.请在图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△DEF ( A B C 、、的对称点分别是D E F 、、),并

直接写出D E F 、、的坐标;

⑵.求△ABC 的面积.

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21.如图,已知AOB ∠,一块30度角的直角三角形(有刻度).请只用这块三角板作出AOB ∠的平分线(保留作图痕迹),简要写出作图步骤.

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22.如图,在△ABC 中,CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E , CD BE =,BE 与CD 相交于点O .连结OA ,试判断直线OA BC 、的位置关系,并说明理由.

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五、解答下列各题(本题共有2个小题,第23题7分,第24题8分,共计15分)

23. 某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支,第二次又用1000元购进该款铅笔,但这次每支的

进价是是第一次进价的5

4

倍,购进数量比第一次多了50支.

⑴.求第一次每支铅笔的进价是多少元?

⑵.若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于500元,问每只售价值至少是多少元?

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24.⑴.已知△ABC 中,.A 90B 675∠=∠= ,,请画出一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来,只需画图不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)

⑵.已知钝角△ABC 中,C ∠是其最小的内角.....

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,B ∠是钝角,过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求ABC ∠与C ∠之间的关系.

自贡市2015-2016学年八年级上期末统考 数学试题考点分析及解答

一、选择题(本题有8个小题,每题3分,满分24分,每小题只有一个选项符合题意)

1.下列计算正确的是

( )

A.()2

22a b a b +=+ B.2a 3b 5ab += C.325a a a ?= D.632a a a ÷=

备用图⑴

备用图⑵

备用图⑶

备用图⑸

备用图⑹

备用图⑷

考点:整式的运算、乘法公式等.

分析:根据整式的加减乘除、幂的运算法则和乘法公式可知:A 应()2

22a b a 2ab b +=++;B 的2a 3b +不能合并;C.32325a a a a +?==; D 应63633a a a a -÷== .故选C .

2.若分式2

3x

-有意义,则x 的取值范围是 ( )

A.x 3≠

B.x 3=

C.x 3<

D.x 3> 考点:分式的概念.

分析:根据分式的概念可知:要使2

3x

-有意义,则3x 0-≠,则x 3≠.故选A .

3.下列各式是完全平方式的是 ( ) A.2x 2x 1+- B.22x y + C.2x 2xy 1++ D.24x 4x 1++ 考点:乘法公式、因式分解.

分析:完全平方式关键是多项式要要满足“两数的平方和加上(或减去)这两数积的2倍”,题中A 、B 、C 均不满足此特点,而D 满足.故选D .

4.一个多边形的内角和是1260°,则这个多边形的边数是 ( ) A.9 B. 8 C.7 D.6 考点:多边形的内角和.

分析:根据多边形的内角和定理,可设此多边形的边数为n ,根据题意则有:()n 21801260-?= ,解得n 9=.故选A .

5.在以下永结环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中,是轴对称图形的是 ( )

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考点:轴对称图形概念.

分析:轴对称图形是指一个图形沿某一直线对折后能够与原来的图形重合.图形A 、C 、D 不符合,而B 符合.故选B .

6.下列长度的各种线段,可以组成三角形的是 ( )

A.123,,

B.155,,

C.336,,

D.351,, 考点:三角形三边之间的关系.

分析:三角形“两边之和大于第三边,两边之差小于第第三边”,而A.123+=不符合;C.336+=不符合;D.135+<不符合; B 符合.故选B .

7.如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC 纸片,点D E 、分别在AB AC 、上,将△ABC 沿DE

折叠压平,A 与'A 重合,若A 75∠= .则12∠+∠=

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A.105°

B.210°

C.150°

D.75°

考点:分析:

本题的方法方法比较多.方法1:可以在四边形'ADA E 中,若能求出''A EA ADA ∠=∠的和,问题便可解决;因为根据平角或邻补角的定义,有''12A EA ADA 360∠+∠+∠+∠= ,12∠+∠便可求得.方法2:可以在四边形DBCE 中有''12DEA EDA B C 360∠+∠+∠+∠+∠+∠= ,若能求出

A B C D

''DEA EDA B C ∠+∠+∠+∠的和,问题便可解决;其实利用三角形的内角和在△ABC 和△AED 中有

''DEA EDA B C 180A ∠+∠=∠+∠=-∠ ,问题便可以解决.方法3:连结'AA ,利用三角形的外角与不相邻内角的关系,有()()'''''12EAA EA A DAA DA A A A 2A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠.方法3最简

单. 略解:

连结'AA .在△'EAA 和△'ADE 中分别有,''1EAA EA A ∠=∠+∠和''2D AA D A A ∠=∠+∠.

∴()()'''''12EAA EA A DAA DA A A A 2A ∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠. ∵根据轴对称的性质可知:△

'EAA ≌△'ADE . ∴'A A ∠=∠ ∵A 75∠= ∴ 122A 275150∠+∠=∠=?= .故选C .

8.如图,在四边形ABCD 中,BA BC =,AC 是DAE ∠的平分线,AD ∥EC ,AEB 110∠= ,α 的度数是

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A.20°

B.30°

C.35°

D.40°

考点:角平分线的定义、平行线的性质、三角形全等的判定、全等三角形的性质、三角形的内角和定理. 分析:本题要求的α的度数可以根据平行线的性质转化到△AEC 的ACE ∠中来求,容易证明△AEC 是等腰三角形,所以只需求出AEC ∠的度数即可,AEC 360AEB CEB ∠=-∠-∠ ;由已有的条件可证△ABE ≌△BCE ,所以CEB AEB 110∠=∠= . 略解:

∵AC 是DAE ∠的平分线 ∴DAC EAC ∠=∠ ∵AD ∥EC ∴DAC ECA ∠=∠ ∴EAC ECA ∠=∠ ∴EC EA = 又∵,BA BC BE BE == ∴△ABE ≌△BCE

∴CEB AEB 110∠=∠= ∵AEC AEB CEB 360∠+∠+∠= ∴AEC 360110110140∠=--=

∴EAC ACE 18014040∠+∠=-= ;又EAC ECA ∠=∠ ∴1

EAC ECA 40202

∠=∠=?=

∴DAC ECA 20∠=∠= .即α的度数为20°.故选A .

二、填空题(本题有6个小题,每小题3分,共计18分)

9.分解因式:22am 16an -= . 考点:分解因式.

分析:本题用提公因式法和平方差公式分解因式.

略解:()

()()2222am 16an a m 16n a m 4n m 4n -=-=+-. 故应填:()()a m 4n m 4n +-. 10.若分式

3x

x 3

-+的值为零,则x 的值为 . 考点:分式的概念、绝对值的意义.

分析:本题分式值为0的前提是分式有意义,也就是首先是其分母不为0.

略解:根据题意可知x 30

3x 0+≠??-=?

,解得:x 3=. 故应填:3.

11.等腰三角形的周长为13cm ,其中一边长为4cm ,则该等腰三角形的底边为 .

考点:等腰三角形的性质、分类讨论.

分析:本题抓住一边长为4cm 的边可能为底边,也可能为一腰长.

略解:⑴.4cm 的边为此等腰三角形的底边时,则一腰长为().11

13494522

?-=?=,因为

..45454+>,所以此时等腰三角形的底边长为4cm ;⑵. 4cm 的边为此等腰三角形的一腰时,则此等腰三角形的底边为()13445-+=,因为445+>,所以此时等腰三角形的底边长为5cm . 故应填:4cm 或 5cm .

12.若,a b 3ab 2-=-=,则22a b +的值为 . 考点:恒等变形、乘法公式、配方乘方、整体代入等.

分析:本题从结论出发配方:()=+2

2222a b a 2ab b 2ab a b 2ab ++-=+-,然后整体代入可求的值;本题也可以从已知出发“a b 3-=-”两边同时平方,然后展开整体代入可求值. 略解:∵a b 3-=- ∴()()2

2

a b 3-=- ∴22a 2ab b 9-+= ∵ab 2= ∴22a 22b 9-?+= ∴22a b 13+=.故应填: 13 .

13.如图,已知方形格子中是4个相同的正方形,则123∠+∠+∠= . 考点:轴对称的性质、.

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分析:

根据轴对称图形及轴对称的性质可知沿正方形对角线对折两边能完全重合,则

1

290452

∠=?= ,3∠与1∠的邻余角相等,所以1390∠+∠= .1234590135∠+∠+∠=+=

故应填: 135° .

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14.如图,直角坐标系中,点()(),,A 22B 01-、,点P 在x 轴上,且 △PAB 是等腰三角形,则满足条件的点P 共 个.

考点:点的坐标的实质、等腰三角形的性质、分类讨论.

分析:本题抓住△PAB 的边AB 已定,顶点P 的位置有多种情况,但由于点P 在x 轴上,所以要分类讨论:可以分为分别以P A B 、、为顶角的顶点和顶角为钝角和锐角进行分析. 略解:右面是点P 在x 轴上能否使△PAB 是等腰三角形解析图

⑴.以点P 为顶角顶点时:如图33

P A P B =(成立).此时P 的坐标为

7??

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⑵.以点A 为顶角顶点时: ①.1AP AB = (成立);此时P 的坐标为(),30-. ②.4AP AB = (成立);此时P 的坐标为(),10-. ⑶.以点B 为顶角顶点时:

①.2BP AB = (成立).此时P 的坐标为(),20-.

②.5BP AB = (不成立,因为5P A B 、、三点共线). 故应填: 4 三、解答题(本题有5个小题,每小题5分,共计25分)

15.计算:()()2

352

a b

3a b -÷-.

考点:幂的运算法则、整式的乘除法.

分析:本题实际上是整式的乘除法和乘方的混合运算.应先算乘方,再算乘除

略解:原式=()

=6252a b 3a b ÷- .............................................. 2分

1

a 3

=- ....................................................... 5分

16.如图,线段AD 和BC 相交于点O ,AB ∥BC ,D 55B 45∠=∠= ,.求AOC ∠的度数. 考点:平行线的性质、三角形的内角和及推论.

分析:利用三角形的内角和的推论可知:AOC C D A B ∠=∠+∠=∠+∠,再利用平行线的性质问题可以获得解决.

略解:∵AB ∥BC

∴C B ∠=∠ ............................................... 2分

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∵AOC C D ∠=∠+∠, D 55B 45∠=∠= , .................... 4分 ∴AOC 4555100∠=+= .................................. 5分 17.解方程:2

x 15

1x 3x

9

-=-- 考点:解分式方程.

分析:去分母 → 去括号 → 移项 → 合并 → 系数化为1 → 验根.

略解:去分母得:()()

2x x 3x 915+--= ...................................... 1分 去括号得:22x 3x x 915+-+= 移项、合并得:3x 6= 系数化为1:x 2= ................................................... 3.5分 把x 2=代入2x 94950-=-=-≠ ...................................... 4.5分 故原方程的解为x 2= ................................................ 5分

18.雨伞的中截图如图所示,伞背AB AC =,支撑杆,,11

OE OF AE AB AF AC 44

==

=,当O 沿AD 滑动时,雨伞开闭;问雨伞开闭过程中,BEO ∠与CFO ∠有何关系?说明理由.

考点:三角形全等的判定、全等三角形的性质等.

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分析: BEO ∠与CFO ∠分别是△AEO 和△AFO 的外角,可以通过证明 △AEO ≌△AFO 后对应角相等,再利用“等角的补角相等”或“三角形 内角和定理”的推论从而使问题得以解决. 略解:BEO ∠=CFO ∠. 理由:∵AB AC =,,11

AE AB AF AC 44

=

= ∴AE AF = ...................... 1分 又∵,OE OF AO AO == ∴△AEO ≌△AFO ∴AEO AFO ∠=∠ .......... 3分

又∵BEO AEO 180CFO AFO 180∠+∠=∠+∠= , ∴BEO ∠=CFO ∠ .................................................... 5分

19.先化简:5x 4x 2x x 1x 1--?

?-÷

?++?

?,再任选一个你喜欢的数x 代入求值. 考点:分式的混合运算、化简求值.

分析:先将代数式进行化简,然后代入求值.这里特别要注意.x 的取值要使分式原式的各分母和除式x 2

x 1

-+的分子、分母均要有意义, 这里的x 不能随便“喜欢”某一个值!. 略解: ()x x 15x 4x 2x 1x 1x 1+??--=-÷??

+++??

2x 4x 4x 2x 1x 1-+-=÷++()2

x 2x 1

x 1x 2-+=?+- x 2=- .....3分 当x 7= 原式x 2725=-=-=(答案不唯一,但x 不能取1-和2). ..........5分

四、解答题(本题有3个小题,每小题6分,共计18分)

20.如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别为()()(),,,,A 23B 31C 22--,

.⑴.请在图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△DEF ( A B C 、、的对称点分别是D E F 、、),并直

接写出D E F 、、的坐标;

⑵.求△ABC 的面积.

考点:点的坐标、轴对称的性质、点关于坐标轴对称点的坐标规律等

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分析: 本题的⑴抓住△ABC 的三个顶点关于

y 轴对称点的坐标规

律,算出坐标、描点和连线.⑵.由于△ABC 和△DEF 在平面直角

坐标系中没有特殊性。所以采用“割补”来解决此问题,本题采用

“补”的办法.

⑴.关于y 轴对称点的坐标根据轴对称的性质可知:横坐标互为相反数,纵坐标相等; 因为△ABC 的三个顶点的坐标分别为()()(),,,,A 23B 31C 22-

-,,所以△DEF 的三个顶点的坐标为:()()(),,,D 23E 31F 22---、、 ............................ 3分

⑵.如图把△ABC

的面积放置于如图的梯形CMNA 中(顶点均在格点上)来计 算,容易得到:

S △ABC = S 梯形CMNA -S △CMB -S △BNA

()..=?+?-??-??=--=11115553121575165222

.. 6分 注:本题△ABC 的面积也可以放置于一个矩形来计算;方法不唯一.

21.如图,已知AOB ∠,一块30度角的直角三角形(有刻度).请只用这块三角板作出AOB ∠的平分线(保留作图痕迹),简要写出作图步骤.

考点:角平分的定义、三角形全等的判定、全等三

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角形的性质等.

分析:可以利用三角板构建两个三角形全等的到的对应角 相等切入从而使问题得以解决.主要是量取线段相等和量取

角相等来构建全等三角形.

略解:(见操作示意图)

⑴.先用三角板有刻度的一边沿在AOB ∠的边OA OB 、上量

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分两次量取出OE OD =;(量取的长度自定). ⑵.再用直角三角板的直角分两次分别以点D E 、为顶点,一 边沿和AOB ∠的边和OA OB 、对齐,沿另一边沿在AOB ∠内 部画射线(量取PEO PDO 90∠=∠= 或量取30°或量取60°的 的相等角均可),两次画的射线交于点P ; ⑶.过点O P 、作射线OP . 此时OP 便是AOB ∠的射线.理由:△PEO ≌△PDO .

注:1.本题操作步骤(简要书写即可)和作图(不必画操作图,只需线条表示)评分时各3分.

2.本题的方法有多种,根据解答按步骤合理给分.

点评:对于八年级的数学来说,凡涉及到要用相等关系角和线段才能解决问题的,我们应自然想到通过构建三角形全等来解决问题.本题不但要找到破题的切入点,还要知道如何操作?本题构建两个三角形全等的方法不止一种,是一道能充分激发同学们想象力的好题.

22.如图,在△ABC 中,CD AB ⊥于点D ,BE AC ⊥于点E , CD BE =,BE 与CD 相交于点O .连结OA ,试判断直线OA BC 、的位置关系,并说明理由.

考点:三角形全等的判定、全等三角形的性质,等腰三角形的性质等.

分析:两直线的位置关系主要从相交和平行两个大的方面去探讨,相交有斜交和垂直两种,从本题提供的条件来看比较容易想到从垂直方面去思考.其实根据题中的条件可以证明△PDC ≌△PEB 和

F 操作示意图

O

作图

△PDO ≌△PEO ,在此基础上得出的结论利用等腰三角形的“三线和一”便可使位置关系得以确定. 略解:直线OA BC ⊥. .......................................... 2分 理由:∵CD AB ⊥,BE AC ⊥ ∴ADC AEB 90∠=∠=

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又∵BAE CAD ∠=∠,CD BE = ∴△PDC ≌△PEB (AAS ) ............................ 3分

∴,AD AE AB AC == 又∵AO AO =

∴△PDO ≌△PEO (SSS ) .............................. 4分 ∴BAO CAO ∠=∠ 又∵AB AC = ∴OA BC ⊥(“三线合一”) .即直线OA BC ⊥. ............. 6分

点评:本题是一道综合性几何题,串联了两个三角形全等的判定、全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识点.值得注意的是等腰三角形的“三线合一”的这一性质又给我们提供一种证明两直线垂直的方法.

五、解答下列各题(本题共有2个小题,第23题7分,第24题8分,共计15分)

23. 某商店第一次用600元购进2B 铅笔若干支,第二次又用1000元购进该款铅笔,但这次每支的

进价是是第一次进价的5

4

倍,购进数量比第一次多了50支.

⑴.求第一次每支铅笔的进价是多少元?

⑵.若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于500元,问每只售价值至少是多少元?

考点:列方程解应用题、解可以化为一元一次方程的分式方程.

分析:本题的⑴问关键是抓住购进2B 铅笔数量的关系来建立相等关系:第二次2B 铅笔的数量=第一次2B 铅笔的数量=50.以此建立方程来使问题得以解决.本题的⑵问题主要是建立以“同一销售价”为未知数的不等式来使问题得以解决. 略解:

⑴.设第一次每支铅笔的进价为x 元,则第二次每支铅笔的进价为5

x 4

元,根据题意列方程:

..........................................................................0.5分 1000600505x x 4

-=,去分母:250

1000750x 4-= 解得:x 4=. .............. 3.5分 经检验:x 4=是方程的解并符合题意......................................... 4分

⑵.根据⑴问可得第一次的进价为4元,第二次的进价为55

x 4544

=?=元;所以第一次购进2B 铅笔

为6001504=支,第一次购进2B 铅笔为10002005

=支,两次共购进150200350+=(支).

若设同一销售价为y 元,根据题意列: ....................................... 4.5分 350y 6001000500--≥,解得:y 6≥. ....................................... 6分 故每只售价值至少6元. ................................................... 6.5分 答:⑴.求第一次每支铅笔的进价是4元;⑵.每只售价值至少是6元. ............ 7分

点评:本题是一道综合性的应用题:⑴问是分式方程的应用,⑵问是不等式的应用.本题比较巧妙的是第⑵要建立不等式的关键是需要按“同一销售价”的两次购进2B 铅笔的数量,而这需要第⑴问的结论来进行计算.

2015-2016自贡 八数上学试题及解答

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24.⑴.已知△ABC 中,.A 90B 675∠=∠= ,,请画出一条直线,把这个三角形分割成两个等腰三角形.(请你选用下面给出的备用图,把所有不同的分割方法都画出来,只需画图不必说明理由,但要在图中标出相等两角的度数)

⑵.已知钝角△ABC 中,C ∠是其最小的内角.....

,B ∠是钝角,过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形,请探求ABC ∠与C ∠之间的关系.

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考点:等腰三角形的判定、三角形的内角和、分类讨论.

分析:

本题的⑴问要分为过顶点A 、过顶点B 、过顶点C 三种情况进行讨论:过顶点A 画直线时只有把AB 其中一个等腰三角形底边时才符合题意的直线. 根据三角形内角和和定理及等腰三角形的性质可知A 90∠= 不能作为等腰三角形的底角,所以过顶点B 符合条件的直线也只有一种情况. 过顶点C 没有符合题意的直线.所以第⑴有两种不同的分割方法. 本题的⑵问由于C ∠是△ABC 的最小的内角.....,B ∠是钝角;所以把C ∠分为:C ∠是顶角和C ∠为底角来讨论顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形可能存在情况.这里要充分考虑到等腰三角形和三角形内角和等于180°的前提,情况比较多,一一讨论下来符合条件只有几种这里不详述,见后面的解答. 略解:

⑴.如图(共有2种不同的分割法). ......................................... 3分

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⑵.设,ABC y C x ∠=∠=,过点B 的直线交边AC 于D .在△DBC 中:

①.若C ∠是顶角:见备用图(4),则,1

CBD CDB 90x A 180x y 2

∠=∠=-∠=-- ,而ADB 90∠> ,

此时只能有A ABD ∠=∠,即1180x y y 90x 2?

?--=-- ??? ,即3x 4y 540+= .

即(C ∠是△ABC 最小的内角.....)..3

ABC 135C 4∠=-∠ . .......................... 4分

②.若C ∠是底角:

第一种情况

备用图⑴

备用图⑵

备用图⑶

备用图⑸

备用图⑹

备用图⑷

见备用图(5),当DB DC =时,则DBC x ∠=,△ABD 中,,ADB 2x ABD y x ∠=∠=-.在此基础上分为三个方面讨论△ABD 是等腰三角形时的ABC ∠与C ∠之间的关系:

由AB AD =,得2x y x =-,此时有y 3x =即ABC 3C ∠=∠.(因为C ∠是△ABC 最小的内角.....,B ∠是钝角;结合本结论和三角形的内角和定理,此时30C 45<∠< ).

由AB BD =,得180x y 2x --= ,此时3x y 180+= ,即ABC 1803C ∠=-∠ .(因为C ∠是△ABC 最小的内角.....,B ∠是钝角;结合本结论和三角形的内角和定理,此时0C 30<∠< ).

由AD BD =,得180x y y x --=- ,此时y 90= ,即ABC 90∠= ,C ∠为小于45 的任意锐角;这与题中的“B ∠是钝角”相矛盾,不符合题意.当若C ∠是底角时,AD BD =不成立. ......................................................................... 6分 第二种情况

见备用图(6),当BD BC =时,,BDC x ADB 180x 90∠=∠=-> ,此时只能有AD BD =,从而

1

A ABD C C 2∠=∠=∠<∠,这与题设“C ∠是其最小的内角.....”相矛盾. 故当若C ∠是底角时,BD BC =不成立. ................................................................. 7分

综上所述,ABC ∠与C ∠之间的关系:3

ABC 135C 4∠=-∠ (C ∠是△ABC 最小的内角.....). 或ABC 3C ∠=∠ (此时的30C 45<∠< )或ABC 1803C ∠=-∠ (此时的0C 30<∠< ). ......................................................................... 8分

点评:

作为一道探究性的几何题,本题主要考查动手操作能力、知识综合应用能力以及在分类讨论时思维的严密性.

本题的⑴问的难点在于并没有限制画线位置,所以要注意过顶点A 、过顶点B 、过顶点C 三种情况进行讨论.本题的第⑵问虽然限制了“过顶点B 画一条直线”,但要考虑“C ∠是其最小的内角.....,B ∠是钝角”的角度大小的条件,比起⑴问难度增加了;因为画线不只是要得到两个等腰三角形,而且要在此基础上探求ABC ∠与C ∠之间的关系.第⑵问要关键是要注意把ABC ∠与C ∠看成两个变量,主要去探寻它们之间存在不变的关系,这就是“等腰三角形的两个底角相等”和“三角形的三个内角之和为180°”,以“不变”应“万变”,问题可迎刃而解.

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