热力学统计物理试题
1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。
一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。
一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。
一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。
由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献
不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4
5
K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略
因为双原子分子的振动特征温度3
K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 略。 7. 能量均分定理。 对于处在平衡态的经典系统，当系统的温度为T 时，粒子能量ε 的表达式中的每一个独立平方项的平均值为1k T 2 。 8等概率原理。 对于处在平衡态的孤立系统，系统的各种可能的微观状态出现的概率是相等的。 9. 概率密度(,,)q p t ρ的物理意义、代表点密度(,,)D q p t 的物理意义及两者的关系。 (,,):q p t ρ 在t 时刻，系统的微观运动状态代表点出现在相点(,)q p 邻域，单位相空间体积 内的概率。 (,,):D q p t 在t 时刻，在相点(,)q p 邻域单位相空间体积内，系统的微观运动状态代表点数。 它们的关系是：(,,) (,,)D q p t q p t ρ=。 其中， 是系综中系统总数 填空题 1. 玻色分布表为 1a e αβεω += - ；费米分布表为 1a e αβε ω += + ；玻耳兹曼 分布表为 a e αβε ω--= 。当满足条件 e 1α -<< 时，玻色分布和费米分布 均过渡到玻耳兹曼分布。 2 玻色系统和费米系统粒子配分函数用Ξ表示，系统平均粒子数为 ln N α?Ξ=- ? ， 内能表为 ln U β?Ξ =- ? ，广义力表为 1ln Y y Ξβ?=- ? ， 熵表为 ln ln (ln )S k ΞΞ Ξα βαβ??=--?? 。 3. 均匀系的平衡条件是 0T T = 且 P P = ；平衡稳定性条件是 V C > 且 ()0 T P V ? 4. 均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程： dU TdS pdV dn μ=-+ ， dH TdS Vdp dn μ=++ ， dG SdT Vdp dn μ=-++ ， dF SdT pdV dn μ=--+ 。 5. 对于含N 个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热容量 无贡献 ；温度大大于振动特征温度时， 72 V C Nk = ；温度小小于转动特征温度时， 3 2 V C Nk = 。温度大大于转动特征温度而小小于动特征温度时， 5 2 V C Nk = 。 6 准静态过程是指 过程进行中的每一个中间态均可视为平衡态 的过程；无摩擦准静态过程的特点是 外界对系综的作用力，可用系统的状态参量表示出来。 7 绝热过程是指，系统状态的改变，完全是机械或电磁作用的结果，而没有受到其他任何影响 的过程。在绝热过程中，外界对系统所做的功 与具体的过程 无关，仅由 初终两态 决定。 8. 费米分布是指，处在 平衡态 、 孤立 的费米系统，粒子在 能级上 的 最概然 分布。 9. 弱简并理想玻色气体分子间存在 统计吸引作用 ；弱简并理想费米气体分子间存在 统计排斥作用 。 10 玻色分布是指，处在 平衡态 、 孤立 的玻色系统，粒子在 能级上 的 最概然 分布。 11. 对于一单元复相系，未达到热平衡时，热量从 高温相 传至 低温相 ；未达到相变平衡时，物质从 高化学势相向低化学势相 作宏观迁移。 12. 微正则系综是 大量的结构完全相同的且处于平衡态的故里系统的集合 ； 微正则分布是指 在微正则系综中，系统按可能的微观态的分布 ； 微正则分布是 平衡态统计物理学 的基本假设，它与 等概率原理 等价。 13. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用1Z 表示，内能统计表达式为 1 ln Z U N β?=-? ， 广义力统计表达式为 1ln Z N Y y β?=- ? ，熵的统计表达式为 1 1ln (ln ) Z S Nk Z β β?=-? ，自由能的统计表达式为 1ln F NkT Z =- 。 14. 与分布{}a 相应的，玻色系统微观状态数为 ()()1! !1!.B E a a ωω+-Ω=-∏ ；费米 系统的微观状态数 ()! !! .B E a a ωωΩ= -∏ ；玻耳兹曼系统微观状态数为 ! ! .B E a N a ω Ω= ∏∏ 。当满足条件经典近似条件时，三种微观状态数之间 的关系为 1!...B E F D M E N Ω=Ω=Ω 。 15. 热力学系统的四个状态量V P T S 、、、所满足的麦克斯韦关系为 ()()T V S P V T ????= , ()()P S V T S P ????= , () ()T P S V P T ????=- , () () V S P T S V ????=- 。 16. 设一多元复相系有个?相，每相有个k 组元，组元之间不起化学反应。此系统平 衡时必同时满足条件： T T T α β ?== = 、 P P P αβ ? == = 、 (, )i i i 1,2i k αβ ? μμμ==== 。 选择题 1.系综理论所涉及三种系综有：微正则系综、正则系综、巨正则系综，它们分别适合的系统是 （A ）孤立系、闭系、开系 （B ）闭系、孤立系、开系 （C ）孤立系、开系、闭系 （D ）开系、孤立系、闭系 2.封闭系统指 （A ）与外界无物质和能量交换的系统 （B ）能量守衡的系统 （C ）与外界无物质交换但可能有能量交换的系统 （D ）孤立的系统 3.有关系统与系综关系的表述是正确的是 （A ）系综是大量的结构相同，外界条件相同，且彼此独立的系统的集合。 （B ）系综是大量的结构不同，外界条件相同，且彼此独立的系统的集合。 （C ）系综是大量的结构相同，外界条件不同，且彼此独立的系统的集合。 （D ）系综是大量的结构不同，外界也条件不同的系统的集合。 4.气体的非简并条件是 （A ）气体分子平均动能远远大于kT （B ）气体分子间平均距离远远大于分子德布罗意波的平均热波长 （C ）气体分子数密度远远小于1 （D ）气体分子间平均距离极大于它的尺度 5.由热力学基本方程dG SdT Vdp =-+可得麦克斯韦关系 （A ）V T p S T V ?????? = ? ??????? （B ）p S T V p S ??????= ? ???? ??? （C ）S V T p V S ??????=- ? ??????? （D ）p T V S T p ?????? =- ? ??????? 6.孤立系统指 （A ）与外界有能量交换但无物质交换的系统 （B ）与外界既无物质交换也无能量交换的系统 （C ）能量守恒的系统 （D ）温度和体积均保持不变的任意系统 7.吉布斯函数作为特性函数应选取的独立态参量是 （A ）温度和体积 （B ）温度和压强 （C ）熵和体积 （D ）熵和压强 8.自由能作为特性函数应选取的独立态参量是 （A ）温度和体积 （B ）温度和压强 （C ）熵和体积 （D ）熵和压强 9.下列各式中不正确的是 （A ）,S P H n μ???= ???? （B ）,T V F n μ??? = ???? （C ）,P V U n μ???= ???? （D ）,T P G n μ??? = ???? 10.当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布均过渡到 （A ）麦克斯韦分布 （B ）微正则分布 （C ）正则分布 （D ）玻尔兹曼分布 11.下列说法正确的是 （A ）一切与热现象有关的实际宏观物理过程都是不可逆的。 （B ）热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法。 （C ）第一类永动机违背热力学第二定律。 （D ）第二类永动机不违背热力学第二定律。 12.由热力学方程dF SdT pdV =--可得麦克斯韦关系 （A ）V S S p V T ??? ????-=??? ???? （B ）p S S V p T ??? ????=???? ???? （C ）T p p S T V ???? ????-=??? ???? （D ）T V V S T p ??? ????=??? ???? 13.已知粒子能量表达式为 bx ax p p p m z y x ++++= 22 22)(21ε 其中a 、b 为常量，则依据能量均分定理粒子的平均能量为 （A ）kT 23 （B ）kT 2 （C ）a b kT 422- （D ）kT 2 5 14.具有确定的粒子数、确定的体积、确定的能量的系统满足 （A ）微正则分布 （B ）正则分布 （C ）巨正则分布 （D ）以上都不对 15.玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z 1表示的内能是 （A ）11ln Z U Z β?=-? （B ）1 ln Z U N β ?=-? （C ）1ln 1Z U ββ?=- ? （D ）1 ln Z N U ββ ?=-? 16.不考虑粒子自旋，在长度L 内，动量处在~x x x p p dp +范围的一维自由粒子的可能的量子态数为 （A ） L dp h （B ）x L dp h （C ）2L dp h （D ）x 2L dp h 17.均匀开系的热力学基本方程是 （A ）dF SdT pdV dn μ=--+ （B ）dG SdT Vdp dn μ=-++ （C ）dU TdS pdV dn μ=-+ （D ）dH TdS Vdp dn μ=++ 推导与证明 1. 证明: P V V P P V C C T T T ?????? -= ? ??????? 证：P V P V S S C C T T T T ??????-=- ? ??????? （1） ∵ (,)(,(,))S T p S T V T p = P V T P S S S V T T V T ????????????=+ ? ? ? ????????????? （2） （2）代入（1） P V V P S V C C T V T ?????? -= ? ??????? （3） 将麦氏关系：T V S P V T ?????? = ? ? ?????? 代入（3）得 P V V P P V C C T T T ?????? -= ? ??????? 2.证明，0K 时电子气体中电子的平均速率为3 4F P m v = (F P 为费米动量 )。 证明：∵ 0K 时，(0)(0)1()0() f εμεμ 在单位体积内，动量在~p p dp + 范围内的电子的量子态数为:238p dp h π 在此范围内的电子数为: 23 8p dN f p dp h π=? 33023 881 34 F F P p P F p dp h p p dN P N p dp h π π===??? 3v 4F p P m ∴= = 3.一容积为V 的巨大容器，器壁上开有一个极小的孔与外界大气相通，其余部分与外界绝热。 开始时，内部空气的温度、压强与外界相同为00,P T 。假定空气可视为理想气体，且定压摩尔热容量p c 为常量。给容器内的空气以极其缓慢的速率均匀加热，使其温度升至T 。证明，所需热量为 0ln T T R c V P Q P = 。 证明：系统经历准静态过程，每一中间态均可视为平衡态 对于容器内的气体，初态 ：00P V n RT =，任一中间态 ：0()T P V RT n = 0()T T T n n = ∴， 000000 ()ln T T T T p p p T dT T Q dT T T T T n c n c n c ?===? ? 即： 00 ln p PV T Q R T c = 4.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，光子是能量为ω的玻色子，由玻色分布，每个量 子态上平均光子数/1 1 kT f e ω= -，试导出普朗克黑体辐射公式： 3 23 /(,)1 kT V U T d d c e ωωωωωπ=- 解：在体积V 内，动量在p ~p+dp 范围的光子的量子态数为：2 38V p dp h π 由圆频率与波矢关系：=c k ω及德布罗意关系，可得：==p c c εω 故，在体积V 内，能量在~+d ωωω范围内的光子的量子态数为： 3 2 23 323 ()8V V D d d d h c c πωωωωωωπ=?=? 在此范围内的光子数为： 2 23/()1 kT V N d f D d d c e ωωωωωωωπ=?=?- 故，在此范围内的辐射能量为： 3 23 /(,)1 kT V U T d N d d c e ωωω ωωωωωπ= ?=?- 5.证明焓态方程：p T H V V T p T ?????? =- ? ??????? 证：选T 、p 作为状态参量时，有 p T H H dH dT dp T p ??????=+ ? ??????? （1） p T S S dS dT dp T p ?????? =+ ? ? ??????（2） 而， dH TdS Vdp =+ （3） （2）代入（3）得： p T S S dH T dT V T dp T p ???????? =++?? ? ???????? ? （4） 比较（1）、（4）得：p p H S T T T ??????= ? ??????? （5） T T H S V T V p ?????? =+ ? ? ??????（6） 将麦氏关系p T S V p T ?????? =- ? ???????代入（6） ，即得 T p H V V T V T ?????? =- ? ? ?????? 6.证明能态方程：T V U p T p V T ??????=- ? ??????? 证：选T 、V 作为状态参量时，有 V T U U dU dT dV T V ??????=+ ? ??????? （1） V T S S dS dT dV T V ??????=+ ? ???????（2） 而， dU TdS pdV =- （3） （2）代入（3）得： V T S S dU T dT T p dV T V ?????? ??=+- ? ??????????? （4） 比较（1）、（4）得：V V U S T T T ?????? = ? ??????? （5） T T U S T p V V ?????? =- ? ???????（6） 将麦氏关系T V S p V T ?????? = ? ???????代入（6） ，即得 T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? 7.证明，对于一维自由粒子，在长度L 内，能量在ε~εd ε+的范围内，可能的量子态数为 ()1/21/2(2)m L D d h d εεεε-= 。 证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于一维自由粒子，在相空间体积元x dxdp 内的可能的量子态数为 x dxdp h 。 因此，在长度L 内，动量大小在~p p dp +范围内粒子的可能的量子态数为 2L dp h 而，2 12p m ε= ，dp ε= 故，在长度L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为 ()1/21/2(2)m L D d h d εεεε-= 。 8.证明，对于二维自由粒子，在面积2 L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为 ()2 2 2mL D d d h πεεε=。 证：由量子态与相空间体积元之间的对应关系，对于二维自由粒子，在相空间体积元 x y dxdydp dp 内的可能的量子态数为 2 x y dxdydp dp h 。 因此，在面积2 L 内，动量大小在~p p dp +范围内粒子的可能的量子态数为 2 2 2L pdp h π 而，2 12p m ε= ，pdp md ε= 故，在面积2L 内，能量在ε~εd ε+范围内，可能的量子态数为 ()2 2 2mL D d d h πεεε=。 9．导出含有N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式： 33 21 N U N e βωωω=+- ， () 2 /2/31E E T E V T e C Nk T e θθθ??= ???- 解：按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为：(1/2)(0,1,2)n n εω=+= 则，振子的配分函数为：/2 (1/2) /2 10 ()1n n n n e Z e e e e βωβωβωβωβω -∞ ∞ -+---====?=-∑∑ ∵11 ln ln(1)2 Z e βωβω-=- -- ∴1ln 333332121 Z N e N U N N N e e βωβωβωωω ωωβ--?=-=+=+?-- 2 22 13(1)V V V U U e C Nk T kT kT e βωβωωβ???????? ==-= ? ? ???-?????? 引入爱因斯坦特征温度E θ：E k ωθ=，即得：() 2 /2/31 E E T E V T e C Nk T e θθθ??= ???- 10．.对于给定系统，若已知 v p R =T v -b ??? ????，()3 p 2a v -b T T =v v -b Rv ??? - ????，求此系统的物态方程。 解：设物态方程为(,)p p T v =，则 v T p p dp dT dv T v ?????? =+ ? ??????? （1） ∵1v p T p T V T v p ?????????=- ? ? ?????????? ∴T v p p p T v T v ?????????=- ? ? ?????????? （2） 将v p R =T v -b ??? ????和()3 p 2a v -b T T =v v -b Rv ???- ????代入（2）得 ()()233 T v p 2a v -b p p T R T 2a RT v T v v -b v -b Rv v v -b ??????????? =-=--=-?? ? ? ???????????? （3） 将v p R =T v -b ??? ????和（3）代入（1）得 () 22 23R RT 2a RT a RT a dp dT dv dv d d d v -b v v -b v v -b v v -b ?? = -+=-=- ??? 积分得： 2RT a p v -b v = -，即：()2a p v -b RT v ? ?+= ?? ? 11.将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，导出普朗克黑体辐射公式： 3 23 /(,)1 kT V U T d d c e ωωωωωπ=- 解：在体积V 内，动量在p ~p+dp 范围的光子的量子态数为 238V p dp h π 因为，光子气体是玻色系统遵从玻色分布，由于系统的光子数不守恒，每个量子态上平均光子数为 /1 1kT f e ω= - 又 == p c c εω 所以，在体积V 内，圆频率在~+d ωωω范围内的光子的量子态数为 32 23323 ()8V V D d d d h c c πωωωωωωπ=?=? 在此范围内的光子数为 2 23/()1 kT V N d f D d d c e ωωωωωωωπ=?=?- 故，在此范围内的辐射能量为： 3 23 /(,)1 kT V U T d N d d c e ωωω ωωωωω π= ?=?- 12.单原子分子理想气体孤立系统的可能的微观运动状态数为： 3()2N E E E ∑?Ω= ??， 其中3/2 3(2) !(3/2)! N N V mE h N N π∑E ??()= ???。由此导出系统熵的表达式： 3/2245 ln 32 V mE S Nk Nk N h π????=+?? ??????? 解： 3/2 3 33ln ln ln ln(2)ln(!)ln !22N E V N N N mE N E h π??????Ω=++-- ? ????? ∵1N >>，∴ ln(!)ln N N N N =-，3333ln !ln 2222N N N N ??=- ??? ∴3/22345ln ln ln 232N E V mE N N E N Nh π?????? ??Ω=++?? ? ????????? ∵~E h ?，23~10N ，21~10kT -，2~10E ，133ln ~1002N E E -??≈ ∴3/2245ln ln 32V mE N N N Nh π????Ω=+?? ? ????? ? 由玻耳兹曼关系：ln S k =Ω，得： 3/2245 ln 32 V mE S Nk Nk N Nh π????=+?? ? ?????? 13.试用麦克斯韦关系，导出方程V V p TdS C dT T dV T ??? =+ ????，假定V C 可视为常量，由此导出理想气体的绝热过程方程1TV C γ-=（常量）。 解：∵V T S S dS dT dV T V ?????? =+ ? ???????， ∴V V T T S S S TdS T dT T dV C dT T dV T V V ????????? =+=+ ? ? ?????????? 由麦氏关系T V S p V T ??????= ? ???????，V V p TdS C dT T dV T ??? =+ ???? 绝热过程0dS =，理想气体nR p T V = ，V p nR T V ??? = ???? 0V dT dV C nR T V +=积分得ln ln V C T nR V C'+=（常量） ∵/p V C C γ=，(1)p V V nR C C C γ=-=- 故：1 ln TV C'γ-=，即：1TV C γ-=（常量） 14. 证明，理想气体的摩尔自由能为： 证明：选T, V 为独立变量，则 () () ,V V V V c p p du c dT T p dv ds dT dv T T T ????=+-= +?? ?? 理想气体的物态方程为：pv RT = () V p R T v ?∴ =? ， V du c dT =，V c dv ds dT R T v =+ 故: 0V u c dT u =+? ，00ln V c s dT R v s T =++? 00ln v v c u Ts c dT T dT RT v u Ts T f =-=--+-∴?? 15. 证明: () ,,T P T n V P n μ??? ?= ????? 证明：选T, V 为独立变量，则 dG SdT Vdp dn μ=-++ () () () ,,,,, T p T n T n T p G G n p n p μμ?????? ∴==???????? 而 (),T n G V p ?=?， 故 () () ,,T p T n V p n μ ??=?? 16. 导出爱因斯坦固体的熵表达式：( )311 ln S Nk e e βω βω βω-??=--??-?? 解：设固体系统含有N 个原子，按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振子 的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为： 0,1,21(),(, )2 n n εω=+= 则，振子的配分函数为： 112 () 2 10 1n n e e e βωβωβω -∞ -+-=Z == -∑ 1111(1), 2 21 ln ln ln e e βωβω ωβωωβ-?Z Z =---=--?- 113()3[(1)]1 ln ln ln S Nk Nk e e βω βωβωβ β-?Z ∴=Z -=--?- 17.已知处在平衡态的孤立的玻耳兹曼系统，其可能的微观运动状态数由麦克斯韦-玻耳兹曼系统计公式给出：! !l l l l l N a a ωΩ= ∏∏。试由玻耳兹曼系统的熵的统计表达式11ln ln S Nk Z Z ββ??? =- ????， 导出玻耳兹曼关系ln S k =Ω 18.平衡态的玻色系统可能的微观运动状态数由玻-爱统计公式(1)! !(1)!l l l l l a a ωω+-Ω= -∏给出：，试由此和玻色系统的熵的统计表达式ln ln ln S k α βαβ???? =Ξ-Ξ-Ξ ????? 导出玻耳兹曼关系ln S k =Ω。 19.平衡态的费米系统可能的微观运动状态数由费-狄统计公式! !()!l l l l l a a ωωΩ= -∏给出：， 试由此和玻色系统的熵的统计表达式ln ln ln S k α βαβ???? =Ξ-Ξ-Ξ ????? 导出玻耳兹曼关系ln S k =Ω。 — 《热力学统计物理》试题参考解答及评分标准 一、1. B, 2. B, 3. A, 4. D, 5. B, 6. A, 7. C, 8. C, 9. A, 10. A. 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。 二、 1. 状态， 2. 态， 系统从外界吸收， 3. p -, 4. ω )21(+ n , ,2,1,0=n , 5. l e a l l βεαω--=, 6. 0, 7. T V F )(??-, 8. 负温度状态, 9. n p T G ,)(??-， 10. n p S H ,)(??。 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。 三、 1. 正确。 理由：pdV SdT dF --=。 2. 错误。 理由：T V F p ??? ????-=。 3. 错误。 理由：自由粒子为不受外力的作用而作自由运动的粒子。 4. 错误。 理由：组成玻色系统和费米系统的粒子是不可分辨的，而组成玻耳兹曼系统的 粒子是可以分辨的。 评分标准：每小题2.5分。其中判断1分，理由1.5分。 四、1．证: 由正则分布Es s e Z βρ-=1，得 s s E Z βρ--=ln ln . （1） 将上式代入广义熵的表示式，得 ]ln [ln ][ln ββ β??-=+=Z Z k U Z k . （2） 上式即正则系综中系统熵的表示式。 或者，由正则分布中熵的表示式出发 ][ln s s s E Z k βρ+=∑, （3） 利用（1）式，由上式得熵的普遍表示式 ∑-=s s s k S ρρln . (4) 评分标准：（1），（2）式各5分。 2. 证明：理想气体的热容量为n C ，则?dT C Q n =。由热力学第一定律得 pdV dT C dT C V n +=, 0)(=--pdV dT C C V n . (1) 将理想气体状态方程RT pV =微分，有 热力学与统计物理试题及 答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020. 一．选择（25分 ） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统 二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。 2.热力学基本微分方程du=（）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态平衡态具有哪些特点 2. 3.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K 参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统 热力学与统计物理学(Thermodynamics and Statistical Physics) 课程内容第0章导论 热力学 第一章热力学的基本规律 第二章均匀物质的热力学性质 *第三章单元系的相变 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 *第五章不可逆过程热力学简介 统计物理学 第六章统计规律性与概率统计分布 第七章近独立粒子系统的最概然分布 第八章玻耳兹曼统计理论 第九章费米统计和玻色统计理论 *第十章系综理论 *第十一章涨落理论 *第十二章非平衡态统计理论初步 教材与参考书 教材： 1. 汪志诚，《热力学·统计物理》(第三版)，高等教育出版社，2003年（兰州大学） 参考书： 1. 汪志诚，《热力学·统计物理（第3版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004年 2. 马本堃，《热力学与统计物理学》(第二版)，高等教育出版社，1995年（北京师范大学） 3. 钟云霄，《热力学与统计物理学》，科学出版社，1988年（北京大学） 4. 苏汝铿，《统计物理学》(第二版)，高等教育出版社，2004年（复旦大学） 5. 龚昌德，热力学与统计物理学，（南京大学） 6. 王诚泰，统计物理学，（清华大学） 7. [美]L.E.雷克，《统计物理现代教程(上)》，北京大学出版社，1983年 8. L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics (2nd Edition), 1998，University of Texas 9. R. K. Pathria, Statistical Mechanics (2nd Edition), 2003, University of Waterloo, Canada 10. 中国科技大学物理班，《美国物理试题与解答第五卷热力学与统计物理学》，中国科技大学出版社，1986年 11. 李湘如、彭匡鼎，《热力学与统计物理学例题和习题(热力学分册)》，高等教育出版社，1988年 12. 彭匡鼎、李湘如，《热力学与统计物理学例题和习题(统计物理学分册)》，高等教育出版社，1988年 热力学·统计物理试题（B 卷） 适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期) 1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关. 2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为 βp c dT dL =-α p c -+T L αβαβv v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ? ??? 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为： α βp p c c dT dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V U V n U n U i i i ??+??=∑ （2）V U v n U u i i i ??+??= 4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 ∑-=s Ps Ps Nk S ln 式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---= =,∑s 对粒子的所有量子态求和。 5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是 2Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2/3T 成正比. 6．（20分） 在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp =ε,其中c 为光速.试求自由电子气体在0K 时的费米能量,内能和简并压. 附标准答案 1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-??? ? ? +2 由式(2.2.7)? T v U ??? ????=T V T p ??? ????-p =T 2 v a p b v R =-- (5分) T v U ??? ????=2v a ?)(),(0T f v a U v T U +-= =V C V T U ??? ????=)(T f ' ；与v 无关。 (5分) 2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =， 在p ～T 相平衡曲线上. ()[]??? ? ??????+??? ?????+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=??? ?????T S () P T S ???? ????β()P T S ???? ????-α =???? ??????dT dp p S [()P T S ???? ????β()P T S ? ??? ????-α]dT dp ? (5分) 又有：T C P =P T S ??? ????；()())(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=???? ????T p S P T V ??? ???? （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得： βp c dT dL =-α p c -+T L αβαβv v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ? ??? (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；() αV ～0；()p T V ???? ???α～0； β相按理想气体处理。pV=RT ?α βp p c c dT dL -= (5分) 3．（10分） 证明：（1） ),,,(),,,(11k k n n V T U n n V T U ΛΛλλλλ= 1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 简述题 1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？ 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？ 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 第一章 概念 1.系统：孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 2.平衡态 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义: 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值 定容热容量: 定压热容量: 6.循环过程和卡诺循环 循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 8.自由能：F和G 定义态函数：自由能F，F＝U－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1 热力学与统计物理学基础 Classical Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：课程属性：学科基础课课时/学分：50/2.5 预修课程：高等数学 教学目的和要求： 本课程为力学学科博士研究生的学科基础课，也可为物理学以及其它应用科学研究生的选修课。 通过本课程的学习，学生不仅能掌握热力学和统计物理学的一般知识并熟练运用，而且还能系统地学习到从宏观上和微观上描述热力学系统热现象和热性质的方法。这些有助于学习和掌握其它课程，并大大开拓学生的研究思路。 内容提要： 引言 第一章热力学的基本规律 热力学系统的平衡状态及其描述，热平衡定律和温度，物态方程，热力学第一定律，热容量、焓、内能，卡诺循环，热力学第二定律，热力学第三定律。 第二章热力学基本微分方程 熵，自由能、吉布斯函数，基本热力学函数的确定，特性函数 第三章单元系的相变 热动平衡判据，开系的热力学基本方程，复相平衡条件，单元复相系的平衡性质，临界点和气液两相的转变。 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 多元系的热力学函数和热力学方程，多元系的复相平衡条件，吉布斯相律，化学平衡条件，混合理想气体的性质，理想气体的化学平衡。 第五章统计物理学基本理论 统计规律性，概率分布，统计平均值，等概率原理，近独立粒子系统的经典统计理论。 第六章平衡态统计物理学 系统微观状态的描述，统计系综，刘维尔定律，微正则系综，正则系综，巨正则系综，正则分布对近独立粒子系统的应用，能量均分定律和理想气体比热容，实际气体的物态方程。 第七章涨落理论 涨落的准热力学方法，涨落的空间关联与时间关联，布朗运动，仪器的灵敏度，电路中的热噪声。 第八章非平衡态热力学与统计物理简介 不可逆过程与偏离平衡态的物质，昂萨格关系，波尔兹曼积分微分方程，H定理与细致平衡原理，气体的黏滞性，输运过程的动理论。 主要参考书： 1. Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics(热力学与统计物 热力学·统计物理练习题 一、填空题. 本大题70个小题，把答案写在横线上。 1.当热力学系统与外界无相互作用时,经过足够长时间,其宏观性质 时间改变，其所处的 为热力学平衡态。 2． 系统，经过足够长时间，其 不随时间改变，其所处的状态为热力学平衡态。 3．均匀物质系统的热力学平衡态可由力学参量、电磁参量、几何参量、化学参量等四类参量描述，但有 是独立的。 4．对于非孤立系统，当其与外界作为一个整体处于热力学平衡态时，此时的系统所处的状态是 。 5．欲描述非平衡系统的状态，需要将系统分成若干个小部分，使每小部分具有 小，但微观上又包含大量粒子，则每小部分都可视为 。 6．描述热力学系统平衡态的独立参量和 之间关系的方程式叫物态方程，其一般表达式为 。 7．均匀物质系统的独立参量有 个，而过程方程独立参量只有 个。 8．定压膨胀系数的意义是在 不变的条件下系统体积随 的相对变化。 9．定容压力系数的意义是在 不变条件下系统的压强随 的相对变化。 10．等温压缩系数的意义是在 不变条件下系统的体积随 的相对变化。 11．循环关系的表达式为 。 12．在无摩擦准静态过程中存在着几种不同形式的功，则系统对外界作的功∑-=δi i dy Y W ，其中i y 是 ，i Y 是与i y 相应的 。 13．W Q U U A B +=-，其中W 是 作的功。 14．?=+=0W Q dU ，-W 是 作的功，且-W 等于 。 15．?δ+δ2L 11W Q ?δ+δ2 L 12W Q （1、2均为热力学平衡态,L 1、L 2为准静态过程）。 16．第一类永动机是指 的永动机。 17．能是 函数，能的改变决定于 和 。 18．焓是 函数，在等压过程中，焓的变化等于 的热量。 19．理想气体能 温度有关，而与体积 。 热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此 也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状 态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝 热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造， 只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公 式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率 211T T -=η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其 他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 V p W d d -= .填空题 1.设一多元复相系有个「相，每相有个k组元，组元之间不起化学反应。此系统平 衡时必同时满足条件：________ 、________ 、__________ 。 2.热力学第三定律的两种表述分别叫做：________ 和______ 。 3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能 的微观态数为：_______ 。 5.均匀系的平衡条件是_______ ;平衡稳定性条件是_______ 。 7.玻色分布表为___ ；费米分布表为______ ;玻耳兹曼分布表为______ 。当满足条 件________ .时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。 8.热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系 为________ ,_________ ,__________ ,_________ 。 9?玻耳兹曼系统粒子配分函数用乙表示，内能统计表达式为____________ ，广义力统计表达式为________ ，熵的统计表达式为________ ，自由能的统计表达式 为________ 。 11.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分 ^是：_____ ， ___ ，_____ ，_____。 12?均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方 程：________ ，________ ，________，_______ 。 13.等温等压条件下系统中发生的自发过程，总是朝着_________ 方向进行，当_______ 时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝 着____ ， ____ 方向进行，当________ 时，系统达到平衡态。 14.对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动 对热容量_______ ;温度大大于振动特征温度时，热容量为__________ ;温度小小于转动特征温度时，热容量为__________ 。温度大大于转动特征温度而小小于振动特征温度时，热容量为__________ 。 15.玻耳兹曼系统的特点是：系统由______ 粒子组成；粒子运动状态用_______ 来描写; 确定______ 即可确定系统的微观态；粒子所处的状态_________ 的约束。 第一章 热力学的基本规律 习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。 解：由得：nRT PV = V nRT P P nRT V ==; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==??=α T PV Rn T P P V /1)(1==??=β P P nRT V P V V T T /111)(12=--=??-=κ 习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:?-=)(ln dp dT V T κα如果1T α= 1T p κ= ,试求物态方程。 解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此, dp p V dT T V dV T p )()(??+??=, 因为T T p p V V T V V )(1,)(1??-=??=κα 所以, dp dT V dV dp V dT V dV T T κακα-=-=, 所以, ?-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα. CT pV p dp T dT V =-=?:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。问（1压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ?;，由定义得： 74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=?=V x T κ 所以，410*07.4,622-=?=V p x n 习题 1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是 热力学·统计物理试题（B 卷） 适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期) 1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关. 2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为 β p c dT dL =-αp c -+T L αβαβ v v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ???? 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为： α βp p c c dT dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V U V n U n U i i i ??+??= ∑ （2）V U v n U u i i i ??+??= 4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 ∑-=s Ps Ps Nk S ln 式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---= =,∑s 对粒子的所有量子态求和。 5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2 Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2 /3T 成正比. 6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为 cp = ε,其中c为光速.试求自 由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压. 附标准答案 1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-?? ? ??+ 2 由式(2.2.7)? T v U ??? ????=T V T p ??? ????-p =T 2 v a p b v R =-- (5分) T v U ??? ????=2v a ?)(),(0T f v a U v T U +-= =V C V T U ??? ????=)(T f ' ；与v 无关。 (5分) 2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =， 在p ～T 相平衡曲线上. ()[]??? ? ??????+??? ?????+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=??? ?????T S ()P T S ???? ????β()P T S ???? ????-α =???? ??????dT dp p S [()P T S ? ??? ? ???β()P T S ???? ????-α]dT dp ? (5分) 又有：T C P =P T S ??? ????；()() )(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=???? ????T p S P T V ??? ???? （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得： β p c dT dL =-αp c -+T L αβαβ v v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ???? (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；() αV ～0；()p T V ???? ???α～0； β相按理想气体处理。pV=RT 贵州大学2010—2011学年第二学期考试试卷 B 热力学与统计物理 注意事项： 1. 请考生按要求在试卷装订线内填写姓名、学号和年级专业。 2. 请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。 3. 不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。 4. 满分100分，考试时间为120分钟。 一、选择题（共18分,每小题3分） 1. 下列关于状态函数的定义正确的是（ ）。 A ．系统的吉布斯函数是：pV TS U G +-= B ．系统的自由能是：TS U F += C ．系统的焓是：pV U H -= D ．系统的熵函数是：T Q S = 2. 以T 、p 为独立变量，特征函数为( )。 A .内能； B .焓； C .自由能； D .吉布斯函数。 3. 下列说法中正确的是（ ）。 A ．不可能把热量从高温物体传给低温物体而不引起其他变化； B ．功不可能全部转化为热而不引起其他变化； C ．不可能制造一部机器，在循环过程中把一重物升高而同时使一热库冷却； D ．可以从一热源吸收热量使它全部变成有用的功而不产生其他影响。 4. 要使一般气体满足经典极限条件，下面措施可行的是（ ）。 A .减小气体分子数密度； B .降低温度； C .选用分子质量小的气体分子； D .减小分子之间的距离。 5. 下列说法中正确的是（ ）。 A ．由费米子组成的费米系统，粒子分布不受泡利不相容原理约束； B ．由玻色子组成的玻色系统，粒子分布遵从泡利不相容原理； C ．系统宏观物理量是相应微观量的统计平均值； D ．系统各个可能的微观运动状态出现的概率是不相等的。 6. 正则分布是具有确定的（ ）的系统的分布函数。 A ．内能、体积、温度； B ．体积、粒子数、温度； C ．内能、体积、粒子数； D ．以上都不对。 二、填空题（共20分,每空2分） 1. 对于理想气体,在温度不变时,内能随体积的变化关系为=??? ????T V U 。 2. 在S 、V 不变的情形下，稳定平衡态的U 。 3. 在可逆准静态绝热过程中，孤立系统的熵变ΔS ＝ 。 4. 连续相变的特点是 。 5. 在等温等压条件下，单相化学反应 0=∑i i i A ν 达到化学平衡的条件为 。 6. 在满足经典极限条件1>>α e 时，玻色系统、费米系统以及玻耳兹曼系统的微观状态数满 足关系 。 7. 玻色－爱因斯坦凝聚现象是指 。 8. 在低温下，如果计及电子和离子振动的话，金属的定容热容量可表为 。 9. 按费米分布，处在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为=s f 。 10．刘维尔定理表明，如果随着一个代表点沿正则方程所确定的轨道在相空间中运动，其邻域的 是不随时间改变的常数。 宝鸡文理学院试题 课程名称中学物理教育理论 适用时间2011年7月与实践研究 试卷类别 A 适用专业、年级、班专升本 一. 填空题（本题共7 题，每空3 分，总共21 分） 1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：，则该物质的物态方程为：。 2. 1 mol 理想气体，保持在室温下（K）等温压缩，其压强从1 准静态变为10 ，则气体在该过程所放出的热量为：焦耳。 3. 计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（K）在完成一次计算后，产生的热量是：焦耳。 4. 已知巨热力学势的定义为，这里是系统的自由能，是系统的粒子数，是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：。 5. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为，其中是常数，则粒子的平均能量为：。 6. 温度时，粒子热运动的热波长可以估算为：。 7. 正则分布给出了具有确定的粒子数、体积、温度的系统的分布函数。假设系统的配分函数为，微观状态的能量为，则处在微观状态上的概率为：。 二. 简答题(本题共3 题，总共30 分) 1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。(10分) 2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。(10分) 3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。(10分) 三. 计算题(本题共4 题，总共49 分) 1. 一均匀杆的长度为L，单位长度的定压热容量为，在初态时左端温度为T1，右端温度为T2，T1 < T2，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。（你可能要用到的积分公式为）(10分) 2. 设一物质的物态方程具有以下形式：，试证明其内能和体积无关。(10分) 3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。请用经典统计理论计算： （1）二维气体分子的速度分布和速率分布。(9分) （2）二维气体分子的最概然速率。(4分) 4. （1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为： 这里，是面积。这个结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是成立的。（8分）（2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为，试求: 0 K 时电子气体的费米能量、内能和简并压强。(8分) 热力学统计物理各章重点总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第一章 概念 1.系统:孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换,但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系; 2.平衡态 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化;2．热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；３．在平衡状态下,系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落;４.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程:进行得非常缓慢的过程,系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程,系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达Ｂ所经历的过程无关； 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义： 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值 定容热容量: 定压热容量： 6.循环过程和卡诺循环 循环过程(简称循环)：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程:如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生 的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后,它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原 状。 8.自由能:F和G 定义态函数:自由能F，Ｆ＝Ｕ－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS＋PV,可得GA-GB－W1 一. 填空题 1. 设一多元复相系有个?相，每相有个k 组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时必同时满足 条件： T T T αβ?===L 、 P P P αβ? ===L 、 (,)i i i 1,2i k αβ? μμμ====L L 2. 热力学第三定律的两种表述分别叫做： 能特斯定律 和 绝对零度不能达到定律 。 3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能的微观态数为：10 。 4.均匀系的平衡条件是 T T = 且 P P = ；平衡稳定性条件是 V C > 且()0 T P V ? 一．选择（25分） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统 二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（ ）。 2.热力学基本微分方程du=（ ）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态？平衡态具有哪些特点？ 2.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K 参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。 特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统 闭系：与外界没有物质交换，但有能量交换的系统， 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统四．证明 《热力学与统计物理》考试大纲 一、考试目的与要求 本课程考试目的是测试学生对“热力学与统计物理”知识的掌握程度。考试分三个层次要求：了解：只要求初步定性认识并了解其含义。 理解：不但能领会，还能解释其含义。 掌握：要求对某些重要概念、物理公式、定理及相关证明、计算作综合运用。 二、考试方式 本课程作为全省统考科目，无论正考与补考均采用闭卷考试方式。 三、考试内容 1、考试范围 汪志诚编《热力学·统计物理》（第三版）所教授内容。 2、考试具体内容 第一章热力学的基本定律 基本概念：平衡态、热力学参量、热平衡定律 温度，三个实验系数（α，β，）转换关系，物态方程、功及其计算，热力学第一定律（数学表述式）热容量（C，C V，C p的概念及定义），理想气体的内能，焦耳定律，绝热过程及特性，热力学第二定律（文字表述、数学表述），可逆过程克劳修斯不等式，热力学基本微分方程表述式，理想气体的熵、熵增加原理及应用。 综合计算：利用实验系数的任意二个求物态方程，熵增（ΔS）的计算。 第二章均匀物质的热力学性质 基本概念：焓（H），自由能F，吉布斯函数G的定义，全微公式，麦克斯韦关系（四个）及应用、能态公式、焓态公式，节流过程的物理性质，焦汤系数定义及热容量（Cp）的关系，绝热膨胀过程及性质，特性函数F、G，空窖辐射场的物态方程，内能、熵，吉布函数的性质。 综合运用：重要热力学关系式的证明，由特性函数F、G求其它热力学函数（如S、U、物态方程） 第三章、第四章单元及多元系的相变理论 该两章主要是掌握物理基本概念： 热动平衡判据（S、F、G判据），单元复相系的平衡条件，多元复相系的平衡条件，多元系的热力学函数及热力学方程，一级相变的特点，吉布斯相律，单相化学反应的化学平衡条件，热力学第三定律标准表述，绝对熵的概念。 统计物理部分 第六章近独立粒子的最概然分布 基本概念：能级的简并度，空间，运动状态，代表点，三维自由粒子的空间，德 布罗意关系（），相格，量子态数。 等概率原理，对应于某种分布的玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数的计算 公式，最概然分布，玻尔兹曼分布律（）配分函数热力学统计物理试题及其完整答案版
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