专题对勾函数
基本不
等式与对勾函数
一、 对勾函数b
y ax x
=+
)0,0(>>b a 的图像与性质 性质： 1. 定义
域：
),0()0,(+∞?-∞
2. 值域：),2()2,(+∞?--∞ab ab
3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，
即0)()(=-+x f x f 4. 图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知
b
y ax x
=+
≥ab 2（当且仅当b x a = 即)(x f 在x=
a
b
时，取最小值ab 2 由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=a
b
-
时，取最大值ab 2- 5. 单调性：增区间为（
∞+,a b ），（a b -∞-,） 减区间是（0，
a
b ），（a b -,0）
一、 对勾函数的变形形式 类型一：函数b
y
ax x
=+
)0,0(<
此函数与对勾函数x
b x a y )
()(-+
-=关于原点对称，故函数图像为 性质：
类型二：斜勾函数b
y
ax x
=+
)0(
性质： ②0,0>
)0()(2>++=ac x
c bx ax x f
此类函数可变形为
b x
c ax x f ++
=)(，则)(x f 可由对勾函数x
c
ax y +=上下平移得到 例1作函数x
x x x f 1
)(2++=的草图
解：11
)(1)(2++=?++=
x
x x f x x x x f 作图如下： 类型四：函数
)0,0()(≠>++
=k a k
x a
x x f 此类函数可变形为k k x a k x x f -+++=)()(，则)(x f 可由对勾函数x
a
x y +=左右平移，
上下平移得到 例2作函数2
1
)(-+
=x x x f 的草图 解：
221
2)(21)(+-+-=?-+
=x x x f x x x f 作图如下： 例3作函数x x x x f +++=
23
)(的作图： 解：12
1
2211212)(23)(-+++=+++=++++=?+++=
x x x x x x x x f x x x x f
练习：1.求函数4
21
)(-+
=x x x f 在),2(+∞上的最低点坐标
2.求函数
1)(-+
=x x
x x f 的单调区间及对称中心 类型五：函数)0,0()(2>≠+=b a b
x ax
x f
此类函数定义域为R ，且可变形为x b x a
x
b
x a x f +
=+=
2
)( a.若0>a ，则)(x f 的单调性和对勾函数x
b
x y +
=的单调性相反，图像如下：性质：
1．定义域：),(+∞-∞
2.值域：)21,21(b
a b
a ?
?
-
3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f
4.图像在一、三象限
当0x >时，由基本不等式知b
a x
b x a x f 22)(=
?
≤
（当且仅当b x =取等号），
即)(x f 在b x =时，取最大值
b
a 2
由奇函数性质知： 当x<0时，)(x f 在x=b -
时，取最小值b
a 2-
5.单调性：减区间为（∞+,b ），（b -∞-,）
增区间是],[b b -
例4作函数
1
)(2+=
x x
x f 的草图 解：x x x
x x f x x
x f 111
1)(1)(2
2+
=+=?+=
b.若0 ，作出函数图像： 例5作函数4 2)(2+-=x x x f 的草图 类型六：函数)0()(2≠+++= a m x c bx ax x f 此类函数可变形为)0()()()()(2>++++=+++++= at s m x t m x a m x t m x s m x a x f ， 则)(x f 可由对勾函数 x t ax y + =左右平移，上下平移得到 例6说明函数11)(2+++=x x x x f 由对勾函数x x y 1 +=如何变换而来 解：11 1 111)1()1()(2-+++=+++-+= x x x x x x f 故此函数)(x f 可由对勾函数x x y 1 + =向（填“左”、“右”）平移单位，向（填“上”、“下”）平移单位.草图如下： 练习：1.已知1->x ，求函数110 7)(2+++=x x x x f 的最小值 2.已知1 10 9)(2--+=x x x x f 的最大值 类型七：函数)0()(2 ≠+++= a c bx ax m x x f 例7求函数2 1 )(2 ++-= x x x x f 在区间),1(+∞上的最大值 解：当1=x 时，0)1(=f 当1≠x 时， 3 1411 1 4 )1(3)1(14)1(3)1(1)(22+-+-=-+-+-=+-+--= x x x x x x x x x f 问：若区间改为),4[+∞则)(x f 的最大值为 练习：1.求函数2 3 2)(22++++=x x x x x f 在区间),0[+∞上的最大值 类型八：函数 a x b x x f ++= )( 此类函数可变形为标准形式：)0()(>-+-+ +=+-++= a b a x a b a x a x a b a x x f 例8求函数1 3)(-+= x x x f 的最小值 解：1 411 41)(-+-=-+-= x x x x x f 练习：1．求函数1 5)(++= x x x f 的值域 2.求函数3 2 )(++= x x x f 的值域 类型九：函数 )0()(2 2>++= a a x b x x f 此类函数可变形为标准形式： )()()(2 22 22o a b a x a b a x a x a b a x x f >-+-+ +=+-++= 例9求函数 4 5)(2 2++= x x x f 的最小值 解：4 5 )(2 2++= x x x f 4 144 14)(2 22 2++ +=+++= ?x x x x x f 练习：1.求函数17 1 )(22++=x x x f 的值域 例10 已知20,a >求函数的最小值。 解：2=令 t ≥则1t t +y= 1≥即1a ≥ 时，min y <即01 1 <<时，2 a y= min