2009年高考试题——数学(全国Ⅱ)(理)

2009年全国卷Ⅱ理科数学试题解析
河北望都中学 汤敏军
一选择题：
1.
A. B. C. D.
解：原式.故选A.
2. 设集合，则=
A. B. C. D.
解：..故选B.
3. 已知中，， 则
A. B. C. D.
解：已知中，，.
故选D.
4.曲线在点处的切线方程为
A. B. C. D.
解：,
故切线方程为,即 故选B.
5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为
A. B. C. D.
解：令则,连∥ 异面直线与所成的角即
与所成的角。在中由余弦定理易得。故选C
6. 已知向量，则
A. B. C. D.
解：。故选C
7. 设，则
A. B. C. D.
解：
.故选A.
8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为
A． B. C. D.
解：
，
又.故选D
9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则
A. B. C. D.
解：设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D
10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门。则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有
A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种
解：用间接法即可.种. 故选C
11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 .
m A． B. C. D.
解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,
由双曲线的第二定义有.
又 故选A
12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北。现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标""的面的方位是
A. 南 B. 北
C. 西 D. 下
解：展、折问题。易判断选B
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。
13. 的展开式中的系数为 6 。
解：，只需求展开式中的含项的系数：
14. 设等差数列的前项和为，若则 9 .
解：为等差数列，
15.设是球的半径，是的中点，过且与成45°角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .
解：设球半径为，圆的半径为，
因为。由得.故球的表面积等于.
16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 。
解：设圆心到的距离分别为,则.
四边形的面积
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17（本小题满分10分）
　

　设的内角、、的对边长分别为、、，，，求。
分析：由，易想到先将代入得。然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去。
也可利用若则从而舍去。不过这种方法学生不易想到。
评析：本小题考生得分易，但得满分难。
18（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面
（I）证明：
（II）设二面角为60°，求与平面所成的角的大小。
（I）分析一：连结BE，为直三棱柱，
为的中点，。又平面，
（射影相等的两条斜线段相等）而平面，
（相等的斜线段的射影相等）。
分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证∥，，得也可。
分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。
（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可。
作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得.
设点到面的距离为，与平面所成的角为。利用，可求得，又可求得
即与平面所成的角为
分析二：作出与平面所成的角再行求解。如图可证得，所以面。由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影。。以下略。
分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。
总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。
19（本小题满分12分）
设数列的前项和为 已知
（I）设，证明数列是等比数列
（II）求数列的通项公式。
解：（I）由及，有
由，．．．① 则当时，有．．．．．②
　②－①得
　又，是首项，公比为２的等比数列．
（II）由（I）可得，
数列是首项为，公差为的等比数列．
，
评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找．
第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以．
总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。
20（

本小题满分12分）
某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。
（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；
（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望。
分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。
（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。
从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率
（III）的可能取值为0，1，2，3
，，
，
分布列及期望略。
评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。
（21）（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为
（I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
解:(I）设，直线，由坐标原点到的距离为
则，解得 .又.
（II）由(I）知椭圆的方程为.设、
由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设
代入椭圆的方程中整理得，显然。
由韦达定理有：．．．．．．．．①
.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：
点，点P在椭圆上，即。
整理得。
又在椭圆上，即.
故．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
将及①代入②解得
,=,即.
当;
当.
评析：处理解析几何题，学生主要是在"算"上的功夫不够。所谓"算"，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。
22.(本小题满分12分)
设函数有两个极值点，且
（I）求的取值范围，并讨论的单调性；
（II）证明：

解: （I）
令，其对称轴为。由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，

得
⑴当时，在内为增函数；
⑵当时，在内为减函数；
⑶当时，在内为增函数；
（II）由（I），

设，
则
⑴当时，在单调递增；
⑵当时，，在单调递减。

故．


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