基于小波变换的图像压缩技术的分析研究
2009年8月湖北第二师范学院学报
Aug .2009第26卷第8期
Journal of Hubei University of Educati on
Vol .26 No 18
基于小波变换的图像压缩技术的分析研究
徐 辉
(湖北第二师范学院物理与电子信息学院,武汉430205)
摘 要:在当代高度信息化的社会中,随着计算机技术和网络通信技术的飞速发展,图形和图像在信息传播中所起的作用越来越大。本文主要介绍了数字图像压缩的基本原理及其发展,重点研究了小波编码。通过对图像进行小波变换后的特点研究,并利用MAT LAB 提供的小波工具箱来实现图像的压缩,并由此提出了自己的见解。关键词:图像压缩;MAT LAB;小波变换;编码;分解
收稿日期:2009206215
中图分类号:T N911 文献标识码:A 文章编号:16742344X (2009)0820072204作者简介:徐辉(1970-),男,湖北武汉人,副教授,工程硕士,研究方向为电子信息与通信工程。 小波变换是一种变分辨率的分析方法。它对高频信号采用小时窗,对低频信号采用大时窗进行分析。这正好与自然界中高频信号一般持续时间短,而低频信号持续时间较长的时频分布特性相吻合,非常适合于图像处理。本文将简单介绍基于小波分析的图像压缩的基本原理,以及利用MAT LAB 提供的小波分析工具箱函数进行小波压缩编码的仿真。在进一步介绍小波压缩编码之前,先简要讨论一下小波变换原理。
1 小波变换原理
小波变换的基本思想类似于Fourier 变换,就是用信号在一簇基函数张成的空间上的投影表征该信号。小波变换在时域和频域同时具有良好的局部化性能,有一个灵活可变的时间-频率窗,这在理论和实际应用中都有重要意义。本节讨论小波变换的基本概念和图像小波变换后特点。
首先我们给出基小波的定义。
定义:Ψ(t )若是一个实值函数,并且它的频谱^Ψ(w )满足:
C Ψ=
∫∞
-∞
|^Ψ(w )|
|w |
dw <∞(1-1)
其中^Ψ(w )表示Ψ(t )的Fourier 变换,称Ψ(t )是一个基小波,称上式为“容许性”条件。对于基小波有:^Ψ(0)=∫
R
Ψ(t )d t =
0。
Ψ(t )通过平移和伸缩而产生一个函数簇{Ψa,b (t )}。Ψa,b (t )=|a |-1/2Ψ(t -b a
)…a ∈R,b ∈R,a ≠0
(1-2)
式中,Ψa,b (t )为分析小波,a 为伸缩的尺度,b 为平移的距离。
小波变换与经典的傅立叶变换不一样,傅立叶变换基是固定的,而函数只要满足容许性条件,就可以成为小波基。因此,在各个学科应用领域中若要采用小波变换,就有一个变换基的选择问题。在具体应用中需要根据具体应用要求和被处理的原函数f (t )的特点来选择小波变换基Ψ(t ),使得小波变换能更好地反映f (t )的特征。下面给出几个小波基的例子。
Haar 正交小波基
Ψ(t )=1 0≤t <0.5
-1 0.5≤t <1
0 其他
(1-3)
二阶墨西哥草帽小波基Ψ2(t )=(1-t 2)
12
πe
-t 2
2
-∞ 三阶墨西哥草帽小波基Ψ3(t )=(3T - t 3) 12 πe -t 2 2 -∞ 图1 几种小波基波形图 目前, 对于小波变换图像压缩的研究主要集中在两个方面:一是小波基的选择;一是小波系数的编码。因为小波变换本身并不能压缩图像,只是提供了减少比特率的一种可能,必须结合其它编码技术对小波系数编码才能实现压缩目的。所以,基于小波变换的图像压缩方法通常分为如下3个步骤:小波变换、量化和编码。如下图所示: 图2 图像小波压缩系统原理图 此类方法首先对图像进行多级小波分解,然后对每层的小波系数进行量化,如零树编码进行量化,矢量量化等,再对量化后的系数进行编码,如算术编码、哈夫曼编码等无失真编码。对于基于小波变换的图像压缩编码方法,对小波变换后系数的量化和编码是实现数据压缩的关键。 2 图像小波变换后的特点 一般情况下,一幅图像的能量大部分都集中在它的低频成份,主要是描述了图像的轮廓;而能量少得多的高频部分主要是描述了图像的一些细节。小波变换将图像分解成具有不同分辨 ? 27? 率和不同方向特性的子带,并使图像信息能量适当集中在变换后图像左上方的某些子带上。 在图像进行了DW T 变换后,图像被分解为低频域LLx (代表图像的轮廓)和高频域(代表图像的细节)两部分,并且,高频域可以分为代表图像水平细节的LHx,代表垂直细节的HLx 和代表图像对角方向细节的HHx 三部分区域。图3为图像经过三次小波变换后的各区域分布示意图。如果对LLx 区域再进一步进行小波变换,则该区域将按照上述原则递归生成更高一级的低频、高频区域 。 图3 图像三层小波分解示意图 下图是一幅lena 图像经小波分解后的系数图像 图4 (a )图像多层小波分解的第一层系数;(b )第二层系数;(c )第三层系数;(d )第四层系数;(e )第五层系数 小波变换后的子带构成了一个金字塔形的结构,如图5。当从子带金字塔的最高层向最低层运动时,子带间的差异就在减小;而且,在同方向子带间存在一个空间的自相似性,小波分解后的金字塔结构具有以下特点: 2.1 形成的各级子图像的总像素数等于原始图像像素数,数据 量没有扩展。但可用形成原始图像的多种精度表示。在信号传输中可以采用逐次浮现方式,与人眼由远及近观察事物的过程相仿。 2.2 在小波变换中变换子图具有空间方向敏感性(与人眼视觉 特性一致)。因此,可根据人眼视觉特性对小波域各子图像进行合理的量化误差分配,获得更高的压缩率。 2.3 小波变换基本上实现了原始图像中平稳成分与非平稳成分 的分离,低频子图为平稳部分,高频子图为非平稳部分。因此可对图像纹理、边缘等非平稳部分进行有效的检测和编码。 2.4 各级子图像与原始图像在空间域与频率域存在对应关系, 如图6,即x 分辨率层的高频域的每一个小波系数与x -1层上相应区域的4个系数有联系。如果第x 分辨率层上的系数小于0,则相同方向的第x -1层的子区域a 2i,2j ,a 2i +1,2j ,a 2i,2j +1,a 2i +1,2j +1有可能也小于0,即b ij 与a 2i,2j ,a 2i +1,2j ,a 2i,2j +1,a 2i +1,2j +1相关 。这种相 关在概率上的解释为:给定一个阈值T,若b ij a 2i,2j +1,a 2i +1,2j +1均小于T 的概率较大。这种结构相关与小波变换 的能量集中及时频局域化有关。这种性质在小波零树编码中有着重大的理论意义,也为矢量量化时的快速搜索奠定了基础。 2.5 高频区域系数的失真对视觉效果的影响小于低频区域。同 时,低级分辨率层上的高频系数对视觉效果的影响也小于高级分辨率层上的高频系数。因而,在编码时,可对低层区域采取较粗的量化,而对高层进行精细量化。 2.6 最初图像小波分解时得到的三个高频区的系数在通过一个 给定阈值二值化为零后的数量非常多(例如对于lena 图,当阈值取100时,零的个数可占90%以上)。因此,有时甚至可以对它们忽略不计。这对进一步降低位码率有帮助。 2.7 图像最终分解后的低频系数对图像的恢复质量影响很大。 因此,要妥善处理,尽量不要采用大的压缩率甚至于不压缩,否则将使恢复后的图像质量下降许多。 3 M AT LAB 对小波压缩的仿真 MAT LAB 的小波工具箱包含丰富的小波分析和处理的功能, 可以实现多种图像操作,如图像的小波除噪,图像的小波压缩。 MAT LAB 提供的小波变换函数有d wt2实现单层的离散二维变换,wavedec2实现多层离散小波分解,appcoef2和detcoef2提取分解后 各子图的系数。前面已经具体介绍过这些函数的用法,这里不再讨论。 值得一提的是图像经过小波分解后各层系数的存储顺序是从高层到底层,同一层中先存储尺度系数,然后分别是水平系数、垂直系数、对角系数。具体见图7所示: 本仿真的思想是采用不同的小波函数、不同的分解级数对图像进行压缩,并采用不同的阈值来恢复图像。并对各种结果进行讨论分析。下面分别就这三方面进行讨论。 3.1 不同的小波函数对图像压缩的影响。本仿真采用了两种小 ? 37? 图7 图像小波分解后的系数读取顺序 波函数以进行比较,分别是’sy m2’(Sy m lets 函数)和’db1’ (Dau 2bechies 函数)。仿真结果如下 : 图8 原始图像 sizex = 256 256 sizec = 1 67831 val_s = 10 10 10 10 18 18 34 34 66 66 129 129 图9 采用’sy m2’函数在不同阈值下的恢复图像 256 256 sizex = 256 256sizec = 1 65536 val_s = 8 8 8 8 16 16 32 32 64 64 128 128 256 256 仿真采用了5级小波分解,原始图像大小为sizex =256× 256,上面的结果第一组是采用’sy m2’分解的结果,分解后的总像 素为sizec =67831,比原始图像的像素增加了,而’db1’分解的结果并不增加原图像的像素。val_s 是两种方法分解后各子图的大小。图9和图10是两种方法在不同的阈值下的恢复图像,从中可以看出采用’db1’方法恢复的图像效果很不好,说明这种函数不适合图像压缩。图11是采用两种函数的压缩比和恢复程度比较,图12是均方误差和峰值信噪比的比较 。从图11和图12中可以看出,采用’db1’函数进行压缩图像的压缩比和恢复程度都没有采用函数’sy m2’得到的图像好,这些差距在用均方误差和峰值信噪比来衡量时就更加明显了。因此,在用小波进行图像压缩时,选择恰当的小波函数是至关重要的。 3.2 不同的阈值对图像恢复的影响。影响图像压缩效果的又一 重要因素是压缩时所选用的阈值,图11和图12分别反映了在不同的阈值下图像的压缩比和恢复程度以及均方误差和峰值信噪 比变化的曲线,从中不难看出,均方误差和峰值信噪比甚至于恢复程度都是一致的,就是说它们都期望有比较低的阈值,然而当阈值选得太低时,就不能很好地压缩图像,达不到压缩图像的目的。在图3.3中可以比较明显地看出,当阈值增大时,恢复的图像越来越模糊。这是比较容易理解的,当阈值低时,图像中被保留下来的像素就多,恢复时自然失真就少;而随着阈值的增加,越来越多的像素在量化的过程中被丢弃,图像的失真就会增大;也就造成了恢复比的下降,误差也随之增大。 如何处理这一对矛盾,要根据实际情况而定,一般的,如果对图像质量要求不高的,可以优先考虑压缩比;对图像质量要求高的就要优先考虑恢复比了。这里不再多做讨论。 3.3 不同的分解级数对图像压缩的影响。不同的分解级数对图 像压缩的影响也是比较明显的,尤其是大图像。图13是在不同的小波分解级数下恢复的图像,从图中我们看不出来有什么变化,这说明不同的分解级数对图像恢复程度的影响比较小。图14是在不同的分解级数下得到的曲线。由图可知,当分解级数很小时,会有很低的均方误差和比较高的峰值信噪比,随着级数的增加,这两项指标在快速变差。然而压缩比却得到了很大的提高,在这里压缩比和均方误差以及峰值信噪比又形成了一对矛盾。反观恢复程度的变化倒不是很大(从99.6变化到将近100),尽管 ? 47? 总的趋势也是在改观。 由图14可以发现一个现象,即当分解级数增大到一定大小之后,均方误差和峰值信噪比就基本上趋于平稳,而压缩比反而有下降的趋势。这是因为本仿真的原始图像大小是256×256像素的,在前面的结果中可以看到,在经过5级分解后,子图像的大小就已经是10×10像素的了,再往下分会更小。所以对图像压缩的压缩比已经起不到大的作用了,极限情况下,即子图像被分解到1×1像素已经没法再往下分的时候,增加分解级数只是徒劳的了。所以在选择分解级数时一定要考虑到图像的大小,选择适当的分解级数,才能得到好的压缩效果 。 3.4 改进的方法。前面讨论的压缩方法都是固定阈值的,即图 像分解后的每一个子层都采用固定的阈值进行数据压缩和恢复,这样选定一个阈值,一幅图像的压缩比和恢复比就基本上决定了。在阈值的选择上,压缩比和恢复比是一对矛盾,仅仅通过改变阈值的大小是没法调和这对矛盾的。所以我们就要寻求新的阈值选择方法,以便获得更好的压缩比和恢复比。 在上一节的分析中我们知道,图像经过小波分解后,低频成份集中在左上角,即最高层的尺度系数分量,而高频成份被逐层分解到各子层,且越低层的频率越高;在一幅图像中,低频成份包含了图像的大部分信息,高频成份只是描述了图像的一些细节;并且人的视觉特性对低频成份比较敏感,而高频成份的变化人眼是不易察觉的。因此,我们可以设想,在图像进行小波分解后,对于相对来说不重要的高频成份采用较高的阈值,进行高压缩;而 对集中了图像大部分能量的低频成分采用较小阈值,以确保图像恢复时的质量。这样就有可能在保证了恢复比的情况下提高压缩比。下面是采用新方法的仿真结果 。 图15 采用新方法恢复的图像 perf0= 92.1889 perf1= 99.2915 MSE = 208.9883 PS NR = 24.9296 采用新方法的压缩比和恢复比分别是perf0=92.1889和 perf1=99.2915。把这一对新结果与图11进行比较,可见在固定 压缩比的情况下,要想达到这样的压缩比,则阈值要在50以上,否则这时恢复程度就达不到90了。所以采用固定阈值是达不到这样的效果的。 4 小结 本文主要实现了MAT LAB 对图像压缩的仿真,论述了小波基本原理以及在图像压缩方面的应用,对不同的参数选择进行了研究,从而给出一种新的方法。目前世界范围内研究小波的人数很多,故有人戏称小波正演变为一场“大波”。小波分析在数据图像压缩方面已取得很好的成绩,人们期待从小波方向实现高压缩比、高重现度的图像压缩,并探索在图像的边缘检测、分类与描述中的应用。参考文献: [1]M ing -H suan Yang,David J.Krieg man,and Narendra Ahuja,Dcac:cting Facca in I m agca:A Survey .I EEE . 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图像压缩的关键技术是图像数据转换,转换后的数据进行数据量化和数据熵编码。基于小波变换的图像压缩是一种常见的图像压缩方法,本篇论文使用小波变换、多分辨率分析及不同规模的量化和编码实现图像压缩。在相同的条件下,本文采用两种不同的方法,第一种方法保留低频和放弃高频,第二种方法是阈值方法来实现图像压缩。 关键词：关键词——小波变换；小波图像系数；量化；编码 1.引言 图像压缩是指损失一部分比特率的技术或无损还原原始图像信息。在信息理论中,它的有效性，源编码的问题,即通过移除冗余即不必要的信息来实现这一目标。压缩的图像信息有两个方法，模拟和数字,因为数字压缩方法有大幅减少比特数量的优势,绝大多数的系统使用数字压缩方法。信号分析及处理的常用方法是傅里叶变换(FT),而且最广泛的分析工具应用于图像处理,但由于傅里叶变换不能满足局部的时间域和频率域的特点,小波变换具有傅立叶变换没有的两个特征,同时小波变换系数相同的空间位置描述在不同的尺度上有相似性,使得小波变换能进行量化编码。近年来,使用基于小波变换的图像压缩已取得了很大的进步,也变换算法充分利用小波系数的特性。 2.图像压缩编码的基本原理 图像编码研究侧重于如何压缩图像数据信息,允许一定程度的失真条件下的还原图像(包括主观视觉效果),称为图像压缩编码。然后使图像信号的信号源通过系统PCM编码器由线性PCM编码,压缩编码器压缩图像数据,然后摆脱码字的冗余数据。图像压缩编码的基本原理是图1。 图1 图像压缩编码的基本框图 因此,图像编码是使用统计特性的固有效果和视觉特征,从原始图像中提取有效信息，信息压缩编码和删除一些无用的冗余信息,从而允许高效传输的数字图像或数字存储。图像恢复时,恢复图像的不完全与原始图像相同,保留有效信息的图像。 3.小波分析的基本理论 小波变换具有良好的定位时间和频域的特征,充分利用非均匀分布的分辨率,对于高频信号,使用时域的小时间窗口,进行低频信号分析,使用一个大的时间窗口。这正值一个时频分布特征,高频信号持续很长时间，不易衰减,低频信号持续很长时间,正好适合图像处理。 4. 基于小波的图像压缩变换 小波变换用于图像压缩的基本思想,小波变换用于图像压缩:首先选择小波对原始图像进行小波变换,得到了一系列小波系数,然后对这些系数量化和编码。使用某些特征相同的相邻元素之间的子频带的小波系数和量化小波系数实现图像数据压缩的目的。二维图像信号多分辨率分析和Matlab算法是关键,需要引入二维多分辨率分析和Matlab算法。二维可分离的多分辨率分析和Matlab算法可以很容易地由一维离散小波变换得到。图3 Matlab分别为二维分解图和重建算法图。 图2二维Matlab分解图 傅里叶变换图像压缩 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： ＤSP实验进度汇报 组员：汪张扬、任艳波、陈雪松、谢聪、沈旭 任务分配：汪张扬由于考Ｇ,上周没有任务,沈旭负责自制二值图像的处理，陈雪松和谢聪负责其他图片的处理,任艳波负责搜集图像压缩评价的相关材料 以下为简要概括: 读入图像进行傅里叶变换和压缩 原始程序： a=imreａd(＇d:\１.jpｇ');b=figｕre;ｉｍshow（ａ);tiｔle（'原始图像'); F=fft2(ａ）; F_mｍ＝abs(Ｆ);fiｇｕrｅ；imshow(F）;tｉtle('原始幅度谱'）； Fshift＝fftｓｈiｆt（F）； Ｆ_m=abs(Fshiｆt);ｆｉguｒe;ｉｍshow(F_ｍ);ｔitle('幅度谱'); F_p＝ａnｇle(Fｓhｉfｔ);ｆｉguｒe;imshow（Ｆ_p）;title(＇相位谱＇）； Ｔ=＠fft2; B1=blkproc（a,[8 ８]，Ｔ);%将图像分块为８×8矩阵进行处理 fｉguｒe; imshｏw(ａ); ｔiｔle(＇原始图像')； mask=[１０0 ００0 00 0 10 0 0 0 0 0 ０0 1 ００0 0 ０ ０0 0 1 ００0 0 ００0 0 ０００0 0 0０0 0 1 0 0 0 0 0 000 1 0 ０0 0 0 ０0 ０1];％与该矩阵相乘去掉中间行,即高频部分 B2＝ｂlkproc(B1,[88］,'P1*x',mask)； fun=@ｉfft２； F3=blkproc(Ｂ2,[88],fun)； F＝mａt2graｙ(F３); fｉgure; iｍshow(F); ｔitｌe('压缩87．５%的图像'); 刚开始的原始图像: 小波变换在图像压缩中的应用 学院精密仪器与光电子工程学院 专业光学工程 年级2014级 学号1014202009 姓名孙学斌 一、图像压缩编码 数字图像 图像是自然界景物的客观反映。自然界的图像无论在亮度、色彩，还是空间分布上都是以模拟函数的形式出现的，无法采用数字计算机进行处理、传输和存储。 在数字图像领域，将图像看成是由许多大小相同、形状一致的像素(Picture Element简称Pixel组成)用二维矩阵表示。图像的数字化包括取样和量化两个主要步骤。在空间将连续坐标离散化的过程为取样，而进一步将图像的幅度值整数化的过程称为量化。 图像编码技术 数据压缩就是以较少的数据量表示信源以原始形式所代表的信息，其目的在于节省存储空间、传输时间、信号频带或发送能量等。其组成系统如图所示。 过程应尽量保证去除冗余量而不会减少或较少减少信息量，即压缩后的数据要能够完全或在一定的容差内近似恢复。完全恢复被压缩信源信息的方法称为无损压缩或无失真压缩，近似恢复的方法称为有损压缩或有失真压缩。 图像压缩编码的必要性与可行性 1．图像压缩编码的必要性 采用数字技术会使信号处理技术性能大为提高，但其数据量的增加也是十分惊人的。图像数据更是多媒体、网络通信等技术重点研究的压缩对象。不加压缩的图像数据是计算机的处理速度、通信信道的容量等所无法承受的。 如果将上述的图像信号压缩几倍、十几倍、甚至上百倍，将十分有利于图像的存储和传输。可见，在现有硬件设施条件下，对图像信号本身进行压缩是解决上述矛盾的主要出路。 2．图像压缩编码的可能性 图像数据量大，同时冗余数据也是客观存在的。在有些图像中可压缩的可能性很大。一般图像中存在着以下数据冗余因素。 (1)编码冗余 编码冗余也称信息熵冗余。去除信源编码中的冗余量可以在对信息无损的前提下减少代表信息的数据量。对图像进行编码时，要建立表达图像信息的一系列符号码本。如果码本不能使每个像素所需的平均比特数最小，则说明存在编码冗余，就存在压缩的可能性。 (2)空间冗余 一、叙述小波分析理论发展的历史和研究现状 答：傅立叶变换能够将信号的时域和特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但不能把二者有机的结合起来。这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息，而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可以看出，它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不能够知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾——时域和频域的局部化矛盾。 在实际的信号处理过程中，尤其是对非常平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征很重要。如柴油机缸盖表明的振动信号就是由撞击或冲击产生的，是一瞬变信号，单从时域或频域上来分析是不够的。这就促使人们去寻找一种新方法，能将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱，这就是所谓的时频分析，亦称为时频局部化方法。 为了分析和处理非平稳信号，人们对傅立叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并开发了一系列新的信号分析理论：短时傅立叶变换、时频分析、Gabor 变换、小波变换Randon-Wigner变换、分数阶傅立叶变换、线形调频小波变换、循环统计量理论和调幅—调频信号分析等。其中，短时傅立叶变换和小波变换也是因传统的傅立叶变换不能够满足信号处理的要求而产生的。 短时傅立叶变换分析的基本思想是：假定非平稳信号在不同的有限时间宽度内是平稳信号，从而计算出各个不同时刻的功率谱。但从本质上讲，短时傅立叶变换是一种单一分辨率的信号分析方法，因为它使用一个固定的短时窗函数，因而短时傅立叶变换在信号分析上还是存在着不可逾越的缺陷。 小波变换是一种信号的时间—尺度（时间—频率）分析方法，具有多分辨 基于小波变换的图像压缩算法研究 袁林张国峰戴树岭 (北京航空航天大学先进仿真技术实验室北京 100083 摘要小波变换是一种对信号的时间 -尺度 (时间 -频率进行分析的方法,它具有多分辨率分析的特点,而且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。本文对基于小波变换的图像数据压缩编码方法进行研究, 首先利用小波变换对图像进行多分辨率分解, 然后对分解后的图像数据进行小波零数编码和自适应算术编码,从而实现图像压缩的目的。 关键词虚拟现实小波变换图像压缩零数编码算术编码 1 引言 在分布式虚拟环境中,随着应用的日益广泛和系统结构的日渐复杂,将有大量的图像、语音等多媒体的数据需要在网络上传输。在带宽资源有限的情况下传输这些多媒体数据时,需要对这些数据进行有效的压缩和解压,以达到快速传输的效果。因此,在虚拟现实系统中进行有关多媒体数据压缩的研究是非常有应用价值的。 近几年,小波变换作为一种新兴的信息处理方法,已经受到广泛重视。具有“数学显微镜”之称的小波变换同时在时域和频域具有分辨率。对高频分量用逐渐精细的时域或空域步长,可以聚焦到分析对象的任意细节,对于剧烈变换的边缘,比常规的傅立叶变换具有更好的适应性。由于小波变换的优良特性与 Mallat 算法的简便易行,使得小波变换图像编码压缩成为图像压缩领域的一个主要研究方向。 2小波变换 [1] 与多分辨率分析 小波变换就是将信号在一个函数族上作分解,该函数族是由一个独立的函数 (小波母函数(t Ψ 经过平移和伸缩而得到的,如式 2-1所: (|| (2/1a b t a t ?Ψ=Ψ? 0, , ≠∈a R b a (2-1 其中,分别为伸缩和平移尺度, (t Ψ的傅立叶变换必须满足容许性条件 : ∞<Ψ=∫ ΨωωωC R 2| (| (2-2 此式隐含了0 (=Ψ∫dt t R ,表明小波具有正负交替的波动性。 图像的多分辨率分析 (MultiResolution analysis采用不同分辨率下处理图像中不同信息的方法, 将图像在各种分辨率下的细节提取出来, 得到一个拥有不同分辨率的图像细节序列再进行分析处理。与 DCT 变换不适合于带宽较宽 (拥有较多边缘轮廓信息的图像信号不同,小波变换是一种不受带宽约束的图像处理方法,即小波变换多分辨率的变换特性提供了利用人眼视觉特性的良好机制,从而使小波变换后图像数据能够保持原图像在各种分辨率下的精细结构。 2.1快速小波变换算法 (Mallat算法 [2] Mallat 首先将多分辨率分析用于图像数据的压缩,他给出了信号分解与合成的快速算法,该算法在小波分析中的地位相当于 FFT 算法在傅立叶分析中的地位。Mallat 算法将数学领域的小波方法、计算机视觉中的多分辨率方法和信号处理中的子带滤波方法完美的统一起来,它的出现使小波分析方法在信号处理领域真正得以实用化。根据多分辨率分析理论,可得出快速分解算法表达式: ((∑∑???=?=m m j k j m m j k j c k m g d c k m h c , 1, , 1, 22 (2-3 其快速重构算法的表达式为 : ∑∑?+?=?k 开题报告 通信工程 基于小波变换的图像压缩方法 一、课题研究意义及现状 随着计算机多媒体技术和通信技术的日益发展以及网络的迅速普及，图像数据信息以其直观、形象的表现效果，在信息交流中的使用越来越广泛。每天都有大量的图像信息通过数字方式进行存储、处理和传输。由于技术上对图像数据的要求，图像的分辨率、谱段的数量在不断增加，由此导致图像数据量急剧增加。这就给图像的传输和存储带来了极大的困难。因此，图像数据压缩势在必行，通过压缩手段将信息的数据量降下来，以压缩的形式存储和传输，既节约了存储空间，又提高了通信干线的传输效率。 小波变换是基于傅里叶变换理论发展起来的一种新型变换方法，其作为一门较新的数学分支，被引入图像信号处理以后，很快引起了人们的空前关注，成为迅速应用到图像处理和语音分析等众多领域的一种数学工具。 图像数据可以压缩,一方面可以利用人眼的视觉特性,在不被主观视觉察觉的容限内,通过降低表示信号的精度,以一定的客观失真换取数据压缩;另一方面是图像数据中存在大量的冗余度可供压缩.图像数据的冗余度存在于结构和统计2 个方面,结构上的冗余度表现为很强的空间和时间相关性,即图像的相邻像素之间、相邻行之间或者相邻帧之间存在着较强的相关性;统计上的冗余度来源于被编码信号概率密度分布的不均匀,若采用变字长编码技术,用较短的代码表示频繁出现的符号,用较长的代码表示不常出现的符号,就可消除符号统计上的冗余,从而实现图像数据的压缩. 由于小波变换具有明显的优点,且存在明显的相关性,有利于获得较高的编码效益.这就是小波图像压缩的近期现状，通过对小波图像压缩的研究，可以更深层次的挖掘图像压缩这方面的技术，为日新月异的科技做一份自己的贡献。 目前已经提出和正在进行研究的小波图像压缩方法择要列举如下： (1)多分辨率编码。最早提出的是金字塔编码，后来是子带编码(SubbandCoding)，最近是用小波变换进行图像编码。 (2)基于表面描述的编码方法(三角形逼近法)。 (3)模型编码。它可以分为物体模型未知的物体基编码和物体模型已知的语义基编码。 (4)利用人工神经网的压缩编码。 傅里叶变换在图像处理中的作用 图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。如：大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设f是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数 傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰 注： 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明： 若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大） 傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 题1：设{},j V j Z ∈是依尺度函数()x φ的多分辨率分析，101()0x x φ≤ 11()3.k k h k p -=为高通分解滤波器,写出个双倍平移正交关系等式 题6：列出二维可分离小波的4个变换基。 题8：要得到“好”的小波，除要求滤波器0()h n 满足规范、双正交平移性、低通等最小条件外，还可以对0()h n 加消失矩条件来得到性能更优良的小波。 （1） 请写出小波函数()t ψ具有p 阶消失矩的定义条件： （2） 小波函数()t ψ具有p 阶消失矩，要求0()h n 满足等式： （3） 在长度为4的滤波器0()h n 设计中，将下面等式补充完整： 222200000000(0)(1)(2)(3)1 (0)(2)(1)(3)0 ,1 2h h h h h h h h n ?+++=???+==??? 规范性低通双平移正交阶消失矩 小波变换及其在图像压缩中的作用 南京信息工程大学 电子与信息工程学院 张志华 20091334030 摘 要:主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩的技术,并运用Matlab 软件对图像进行分解,然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩的目的. 分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩的效果. 关键词:小波变换;多分辨分析;图像分解;图像压缩 小波变换的理论是近年来兴起的新的数学分支,素有“数学显微镜”的美称. 它是继1822 年傅立叶提出傅立叶变换之后又一里程碑式的领域,解决了很多傅立叶变换不能解决的困难问题. 小波变换可以使得信号的低频长时特性和高频短时特性同时得到处理,具有良好的局部化性质,能有效地克服傅氏变换在处理非平稳复杂信号时存在的局限性,具有极强的自适应性,因此在图像处理中具有极好应用价值. 本文主要分析了基于小波变换的图像分解和图像压缩技术,并运用Matlab 软件对图像进行分解,然后提取其中与原图像近似的低频信息,达到对图像进行压缩的目的. 分别作第一层分解和第二层分解,并比较图像压缩的效果. 先引入文中的有关基本理论. 1 基本理论 小波是指函数空间2()L R ) 中满足下述条件的一个函数或者信号()x ψ 3 () R x C d ψψωω = <∞? , 这里, 3R = R - { 0} 表示非零实数全体. 对于任意的函数或者信号f ( x) ,其小波变换定义为 (,)1(,)()()()f a b R R x b w a b f x x dx f x dx a a ??-?? = = ?? ?? ? ? , 因此,对任意的函数f ( x) ,它的小波变换是一个二元函数. 另所谓多分辨分析是指设{ Vj ; j ∈Z} 是2()L R 上的一列闭子空间,其中的一个函数,如果它们满足如下五个条件,即 (1) 单调性:Vj < Vj + 1 , P j ∈Z ; (2) 惟一性: {}0j j z I V ∈= ; (3) 稠密性: 2 ()j Y R V L = ; 数字图像的傅里叶变换 一. 课程设计目的 （1）了解图像变换的意义和手段 （2）熟悉傅里叶变换的基本性质 （3）热练掌握FFT的方法反应用 （4）通过本实验掌握利用MATLAB编程实现数字图像的傅里叶变换 二.课程设计要求 （1）熟悉并掌握傅立叶变换 （2）了解傅立叶变换在图像处理中的应用 （3）通过实验了解二维频谱的分布特点 （4）用MATLAB实现傅立叶变换仿真 三.设计思路 1.相关知识原理 （1）应用傅里叶变换进行数字图像处理 数字图像处理（digital image processing）是用计算机对图像信息进行处理的一门技术，使利用计算机对图像进行各种处理的技术和方法。 20世纪20年代，图像处理首次得到应用。20世纪60年代中期，随电子计算机的发展得到普遍应用。60年代末，图像处理技术不断完善，逐渐成为一个新兴的学科。利用数字图像处理主要是为了修改图形，改善图像质量，或是从图像中提起有效信息，还有利用数字图像处理可以对图像进行体积压缩，便于传输和保存。数字图像处理主要研究以下内容：傅立叶变换、小波变换等各种图像变换；对图像进行编码和压缩；采用各种方法对图像进行复原和增强；对图像进行分割、描述和识别等。随着技术的发展，数字图像处理主要应用于通讯技术、宇宙探索遥感技术和生物工程等领域。 傅里叶变换在数字图像处理中广泛用于频谱分析，傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它使我们能够定量地分析诸如数字化系统，采样点，电子放大器，卷积滤波器，噪声，显示点等地作用（效应）。傅里叶变换（FT）是数字图像处理技术的基础，其通过在时空域和频率域来回切换图像，对图像的信息特 1、小波变换在图像处理中有着广泛的应用，请简述其在图像压缩中的应用原理？ 答：一幅图像经过一次小波变换之后，概貌信息大多集中在低频部分，而其余部分只有微弱的细节信息。为此，如果只保留占总数数量1/4的低频部分，对其余三个部分的系数不存储或传输，在解压时，这三个子块的系数以0来代替，则就可以省略图像部分细节信息，而画面的效果跟原始图像差别不是很大。这样，就可以得到图像压缩的目的。 2、给出GPEG数据压缩的特点。 答：（1）一种有损基本编码系统，这个系统是以DCT为基础的并且足够应付大多数压缩方向应用。 （2）一种扩展的编码系统，这种系统面向的是更大规模的压缩，更高精确性或逐渐递增的重构应用系统。 （3）一种面向可逆压缩的无损独立编码系统。 3、设计雪花检测系统 答：1）获得彩色雪花图像。2）灰度雪花图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判断法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对雪花区域的定位。8）利用hough变换截下雪花区域的图片。 9）雪花图片几何位置调整。 4、用图像处理的原理设计系统，分析木材的年轮结构。 答：1）获得彩色木材年轮图像。2）灰度木材年轮图像。3）灰度拉伸以增加对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以去除噪声。7）用梯度算子对木材年轮圈进行定位。8）图片二值化。9）利用边界描述子对木材的年轮结构进行识别。 5、给出生猪的尺寸和形貌检测系统。 答：1）获得彩色生猪图像。2）灰度生猪图像。3）图像的灰度拉伸，以增强对比度。4）阈值判定法二值化图像。5）图像的梯度锐化。6）对图像进行自定义模板中值滤波以除去噪声。 7）用梯度算子对生猪区域的定位。8）利用hough变换截下生猪区域的图片。9）生猪图片几何位置调整。10）生猪图片二值化。11）利用边界描述子对生猪尺寸和形貌的识别。 第二种答案：（类似牌照检测系统） 1）第一步定位牌照 由图像采集部件采集生猪的外形图像并将图像存储在存储器中，其特征在于：数字处理器由存储器中读入并运行于生猪外形尺寸检测的动态检测软件、从存储器中依次读入两幅车辆外形图像数据、经过对生猪外形图像分析可得到生猪的高度，宽度和长度数据即生猪的外形尺寸。通过高通滤波，得到所有的边对边缘细化（但要保持连通关系），找出所有封闭的边缘，对封闭边缘求多边形逼近，在逼近后的所有四边形中，找出尺寸与牌照大小相同的四边形。生猪形貌被定位。 2）第二步识别 区域中的细化后的图形对象，计算傅里叶描述子，用预先定义好的决策函数，对描述子进行计算，判断到底是数字几。 6、常用的数字图像处理开发工具有哪些？各有什么特点？ 答：目前图像处理系统开发的主流工具为Visual C++(面向对象可视化集成工具)和MATLAB的图像处理工具箱（lmage processing tool box）。两种开发工具各有所长且有相互间的软件接口。 微软公司的VC++是一种具有高度综合性能的面向对象可视化集成工具，用它开发出来 实验五小波变换在图像压缩中应用 一、实验内容 利用MATLAB小波工具箱，基于小波变换进行图像压缩处理。 二、实验目的及说明 所谓图像压缩就是去掉各种冗余，保留重要的信息。图像压缩的过程常称为编码，而图像的恢复则称为解码。图像数据之所以能够进行压缩，其数学机理有以下两点： （1）原始图像数据往往存在各种信息的冗余（如空间冗余、视觉冗余和结果冗余等），数据之间存在相关性，邻近像素的灰度（将其看成随机变量）往往是高度相关的。 （2）在多媒体应用领域中，人眼作为图像信息的接收端，其视觉对边缘的急剧变化敏感，以及人眼存在对图像的亮度信息敏感，而对颜色分辨率弱等，因此在高压缩比的情况下，解压缩后的图像信号仍有满意的主观质量。三、实验原理 小波压缩沿袭了变换编码的基本思想，即去相关性。小波变换、量化和熵编码等是构成小波编码的三个主要部分。其基本原理：将原始图像经小波变换后，转换成小波域上的小波系数，然后对小波系数进行量化编码。采用二维小波变换快速算法，小波变换就是以原始图像为基础，不断将上一级图像分为四个子带的过程。每次分解得到的四个子带图像，分别代表频率平面上不同的区域，他们分别含有上一级图像中的低频信息和垂直、水平及对角线方向的边缘信息，如下图所示： LL为低频子带，HL、LH、HH为高频子带 图像进行小波变换后，并没有实现压缩，是对图像的能量进行了重新分配。 四、核心函数介绍 Wavedec2()函数：多尺度二维小波分解 appcoef2()函数：提取二维小波分解低频系数wcodemat()函数：对矩阵进行量化编码 五、实验结果 实验结果： 表5-1 压缩图像的尺寸和字节数 压缩的图像结果显示： 原图像： 第一次压缩后的图像： 第一章 1.1.1可以用f(x,y)来表示：（ABD） A、一幅2-D数字图像 B、一个在3-D空间中的客观景物的投影； C 2-D空间XY中的一个坐标的点的位置； D、在坐标点（X,Y）的某种性质F的数值。 提示：注意3个符号各自的意义 1.1.2、一幅数字图像是：(B) A、一个观测系统； B、一个有许多像素排列而成的实体； C、一个2-D数组中的元素 D、一个3-D空间的场景。 提示：考虑图像和数字图像的定义 1.2.2、已知如图1.2.2中的2个像素P和Q，下面说法正确的是：(C) A、2个像素P和Q直接的De距离比他们之间的D4距离和D8距离都短： B、2个像素p和q之间的D4距离为5； C、2个像素p和q之间的D8距离为5； D、2个像素p和q之间的De距离为5。 1.4.2、半调输出技术可以：(B) A、改善图像的空间分辨率； B、改善图像的幅度分辨率； C、利用抖动技术实现； D、消除虚假轮廓现象。 提示：半调输出技术牺牲空间分辨率以提高幅度分辨率 1.4.3、抖动技术可以(D) A、改善图像的空间分辨率； B、改善图像的幅度分辨率； C、利用半输出技术实现； D、消除虚假轮廓现象。 提示：抖动技术通过加入随即噪声，增加了图像的幅度输出值的个数 1.5.1、一幅256*256的图像，若灰度级数为16，则存储它所需的比特数是：(A) A、256K B、512K C、1M C、2M 提示：表达图像所需的比特数是图像的长乘宽再乘灰度级数对应的比特数。1.5.2、图像中虚假轮廓的出现就其本质而言是由于：(A)(平滑区域内灰度应缓慢变化，但当图像的灰度级数不够多时会产生阶跃) A、图像的灰度级数不够多造成的； B、图像的空间分辨率不够高造成； C、图像的灰度级数过多造成的 D、图像的空间分辨率过高造成。 提示：图像中的虚假轮廓最易在平滑区域内产生。 1.5.3、数字图像木刻画效果的出现是由于下列原因所产生的：（A） A、图像的幅度分辨率过小； B、图像的幅度分辨率过大； C、图像的空间分辨率过小； D、图像的空间分辨率过大； 二维小波在图像压缩中的应用研究 学院：电气与自动化工程学院 学号：1013203045 姓名：齐亚莉 二维小波在图像压缩中的应用研究 图像压缩是将原来较大的图像用尽量少的字节表示和传输，并要求图像有较好的质量。通过图像压缩，可以减轻图像存储和传输的负担，提高信息传输和处理速度。小波变换已广泛应用到图像的各种处理环节中，这里我结合小波分析和基于小波变换的图像压缩基本原理，用Matlab 实现一个小波图像压缩算法。 1. 小波分析 1.1 一维连续小波变换 定义：设)()(2R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(?ωψ ，当)(?ωψ满足允许条件(完全重构条件或恒等分辨条件) ?=R d C ωωωψψ2 )(?< ∞ (1) 时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得 )(1 )(,a b t a t b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (2) 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为 dt a b t t f a f b a W R b a f )()(,),(2/1,->== ＩＳＳＮ１００９－３０４４ ＣｏｍｐｕｔｅｒＫｎｏｗｌｅｄｇｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ电脑知识与技术Ｖ０１．６，Ｎｏ．３Ｊａｎｕａｒｙ２０１０，ＰＰ．６９８—７００ Ｅ—ｍａｉｌ：ｅｄｕｆ＠ＣＣＣＣ．ｎｅｔ．ｅｉｉ ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｄｎｚｓ．ｎｅｔ．ｃｎＴｅｈ＋８６—５５ｌ一５６９０９６３５６９０９６４ 基于小波变换的图像压缩技术 闫凡勇，张颖，张有志，白红成 （上海海事大学信息工程学院，上海２００１３５） 摘要：小渡分析在图像处理中有很重要的应用，包括图像压缩，图像去噪等。二维小波分析用于图像压缩是小波分析应用的一个重要方面。该论文主要分析了ＥＺＷ算法思想，并通过Ｍａｄａｂ仿真说明小波变换理论在图像处理中所发挥的重要作用。 关键词：小波变换；图像压缩；ＥＺＷ 中图分类号：ＴＰｌ８文献标识码：Ａ 文章编号：１００９－３０４４（２０１０）０３－６９８埘 ＲｅｓｅａｒｃｈｏｆＩｍａｇｅＣｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎＢａｓｅｄｏｎＷａｖｅｌｅｔＴｒａｎｓｆｏｒｍ ＹＡＮＦａｎ—ｙｏｎｇ，ＺＨＡＮＧＹｉｎｇ．ＺＨＡＮＧＹｏｕ—ｚｈｉ．ＢＡＩＨｏｎｇ—ｃｈｅｎｇ （ＳｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎ－．１Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｓｌｌａｒｌ西１ａｉＭａｒｉｔｉｍｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，ｓｈａｎｇｈａｉ２００１３５，ｃｈｉｒ扭） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｗａｖｅｌｅｔａｎａｌｙｓｉｓｈａｓｓｏｍｅｉｍｐｏｒｔａｎｔａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｉｎｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｉｍａｇｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ，ｉｍａｇｅｄｅ—ｎｏｉｓｍｇａｎｄＳＯｏｎ．Ｗａｖｅｌｅｔａｎａｌｙｓｉｓｆｏｒ ｔＶｌ，Ｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｉｎ札ｇｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎｉｓａｋｅｙａｓｐｅｃｔｉｎｔｈｅｆｉｅｌｄｏｆｉｔｓａｐｐｈｃａｄｏｎｓ．ＴｈｅｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆＥＺＷａｌｇｏｒｉｔｈｍ，ａｎｄｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓｔｈｅｂｅｔｔｅｒｒｅｓｕｌｔｓｏｆｔｈｅａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓｏｎｕｓｍｇｗａｖｅｌｅｔｄｉｅｏｒｙｉｎｉｍａｇｅｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇｂａｓｅｄｏｎＭａｔｌａｂｓｉｍｕｌａｔｉｏｍ。 Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｗａｖｅｌｅｔｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ；ｉｍａｇｅｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ；ＥＺＷ 随着科技的飞速发展．图像编解码技术也正朝着高编码效率和低复杂度的方向不断改善和优化。我们知道图像经过抽样、量化、编码后会含有丰富的数据，但是由于存储空间、传输速率等因素的限制，使得我们在对图像进行存储和传输之前旨先要对图像进行压缩。在保证可恢复原始图像的前提下，尽量减少或消除图像中的冗余，达到存储卒间和传输速率的最佳化，在需要时，再对压缩图像进行解码和复原。快速傅立叶变换、离散余弦变换用于图像压缩时会显现出明显的局限性，通过利用这些技术我们只能得到整个信号的整体频域信息，而不能获得任何时间或空间段上的频域特性。一幅图像在编码之前首先要进行特征提取，比如提取图像纹理、边缘等，这是因为它们都是高度局部性的，显然这两种技术用于图像压缩时效果不理想。被称为“数学显微镜”的小波变换具有明显的时域、频域的局部性，小波分析的出现刚好解决了这一难题，其性能和算法的复杂度上都明显优予以上两种技术。在处理低频数据时．通过降低时域分辨率来提高频域分辨率；在处理高频数据时，可以在较高的时域分辨率下处理数据的局部性特征，从而降低频域分辨率。 １小波分析的基本理论 １．１小波图像压缩编码基本原理 小波图像压缩编码原理是基于ＭａＨａｔ塔式算法的基础１－．提出的。Ｍａｌｔａｔ塔式算法的思想是：在选取好小波基的基础七将一幅图像经过小波变换分解为一许多不同尺度、方向、空间域上局部变化的子带图像。按照这种算法思想把一幅图像经过一次小波变换后分解为４个子图像：ＬＬ代表原始图像的特征分量，它包含原始图像的基本内容；ＬＨ、ＨＬ和ＨＨ分别表示垂直向下、水平向右和斜对角线的高频特征分量。它们分别包含了图像数据垂直方向、水平方向与斜对角线方向的边缘、纹理和轮廓等。这里需要说明的是ＬＬ子带包含了图像的大部分数据。随后的小波变换都是在上一级变换产生的低频子带（ＬＬ）的基础上再进行小波变换。 １．２小波变换在图像压缩中的步骤 小波变换实现图像压缩的一般步骤：首先选择一组合适的正交小波基函数，目的是保证多级小波分解时有正交特性，从而有利于图像压缩编码。其次对所要处理的图像进行多级小波分解，把原始图像分解为低频分最和水平向下、垂直向右以及斜对角线的高频分量。第三，根据所得到的不同频率分量分别实施不同的量化和编码操作。通过利用小波变换算法思想就可以把原始图像数据分解为不同频率分量的子带数据，然后分别对不同频率分量的数据实施不同的编码算法，就达到了对原始图像的压缩目的。 ２小波图像压缩算法 目前３个比较经典的小波图像编码分别是嵌入式小波零树图像编码（ＥＺ聊，分层小波树集合分割算法（ＳＰＩＨＴ）和优化截断点的嵌入块编码算法（ＥＢＣＯＴ）。该论文主要研究了ＥＺＷ编码算法。‘。 ＥＺＷ编码算法【１】 Ｌｅｗｉｓ和Ｎｏｗｌｅｓ等首先提出了零树结构［２１．并且第一个实现了零树编码思想，但是Ｌｅｗｉｓ等人提出的算法并不完美。１９９３年，Ｓｈａｐｉｒｏ将这种数据结构与比特平面编码技术结合起来，提出了嵌入式零树小波（ＥＺＷ：ＥｍｂｅｄｅｄｄＺｅｒｏ—ｔｒｅｅＷａｖｅｌｅｔ）编码算法１３】。ＥＺＷ算法中采用的零树结构充分利用了不同尺度问小波系数的相似特性，有效地剔除了对高频小波系数的编码，极大的提高了小波系 收稿日期：２００９—１０—２４ 作者简介：闫凡勇（１９８４－），男，硕士，研究方向为交通通信系统。 ６９８??人工■＿Ｉ及识别技术????－本栏目责任编辑：唐一东 2．计算下列分形维数： （1）康托尔集合（the Cantor set） l o g l o g2 0.631 l o g l o g3 s m D c =-=≈ （2）科赫曲线（Koch） log4 1.262 log3 s D=-≈ （3）谢尔平斯基（Sierpinski）地毯、垫片、海绵 地毯： log log8 1.893 log log3 f D β κ ==≈ 垫片: log log3 1.585 log log2 f D β κ ==≈ 海绵： log log20 2.763 log log3 f D β κ ==≈ （4）阿波罗尼斯垫圆： 解：不在此圆内部的点形成一个面积为零的集合，可以说它多于一条线但少于一个面，因此它的分形维数 （5）皮亚诺曲线： log ln9 2 1ln3 log() s N D β === 1．求按下列各图所示方法生成的分形图的分维 初始元： 生成元： （a）（b）（c） (a) log ln8 1.5 1ln4 log() s N D β ==≈ (b) log ln5 1.465 1ln3 log() s N D β ==≈ (c) log ln5 1.465 1ln3 log() s N D β ==≈ 2、计算康托尔三分集相似维、Hausdorff 维 解：相似维：log ln 2 0.63111log()ln 3s N D β= =≈ Hausdorff 维：log log 20.631log log 3 f D βκ= =≈ 3、计算不规则分形盒维数（只计算右下端） ε=1/10 ()N ε=N(1/10) ()ln ln 54ln 54 1.732 1ln ln10ln 10B N D εε=- =-=≈小波分析考试题(附答案)
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