高中立体几何经典练习
一、 强化训练
（一） 选择题
1．定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有 （ ）
（Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个
2．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是
（ ）
（Ａ）１
（Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４
3．直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面α内的射影为C 1，且C 1?AB ，则△C 1AB 为 （ ）
（Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 4．已知四点，无三点共线，则可以确定( )
A.1个平面
B.4个平面
C.1个或4个平面
D.无法确定 5． 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距
是1，那么这个球的半径是( )
A.4
B.3
C.2
D.5 6．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6
1
，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( ) A.43 B.23 C.2 D. 3
7．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ） A ．
45π B ．87π C ．π D ．4
7π 8．某刺猬有2006根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。 A ．2006 B ．4008 C ．4012 D ．2008
9．命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c ②非零向量，若∥，∥则∥ ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ） A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤
10．在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ）
A 、3
π
π（，） B 、23ππ（
，） C 、（0，2
π） D 、23ππ
（，）
3 11．一正四棱锥的高为22，侧棱与底面所成的角为45°，则这一正四棱锥的斜高等于（ ）
A ．26
B ．23
C ．43
D ．22
P
A
B
C
D
D
A
B
C
第19题
12．以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率为 （ ）
A ．
367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18
385
（二） 填空题
13．在三棱锥P —ABC 中，底面是边长为2 cm 的正三角形，PA ＝PB ＝3 cm ，转动点P 时，三棱锥的最大体积为 ．
14．P 为ABC ?所在平面外一点，PA 、PB 、PC 与平面ABC 所的角均相等，又PA
与BC 垂直，那么ABC ?的形状可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形
15．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ . 16．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，点M 在A 上，且AM=3
1
AB ，点P 在平面ABCD
上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动 点P 的轨迹方程是 . 13—16解答
（三） 解答题 17. 已知
ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量
,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ==== ，
（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．
18. 如图，P ABCD -是正四棱锥,1111ABCD A B C D -是正方体，其
中
2,AB PA ==
（Ⅰ）求证：11PA B D ⊥；
（Ⅱ）求平面PAD 与平面11BDD B 所成的锐二面角θ的大小； （Ⅲ）求1B 到平面PAD 的距离．
19. 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F
分别是AB 、PC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAD ；
（2）当平面PCD 与平面ABCD 成多大二面角时，
E
B
x
M
直线⊥EF 平面PCD ？
20. 已知多面体ABCDE 中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，AC = AD = CD = DE = 2a ，AB = a ，F 为CD 的中点. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CDE ；
（Ⅱ）求异面直线AC ，BE 所成角余弦值； （Ⅲ）求面ACD 和面BCE 所成二面角的大小.
21. 如图，四边形ABCD 是正方形，PB ⊥平面ABCD ，MA//PB ，PB=AB=2MA ， （Ⅰ）证明：AC//平面PMD ；
（Ⅱ）求直线BD 与平面PCD 所成的角的大小；
（Ⅲ）求平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小。
22. 已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=
，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为AC 的中点D ，
又知11BA AC ⊥。
（I ）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （II ）求1CC 到平面1A AB 的距离；
（III ）求二面角1A A B C --的大小。 （四） 创新试题
１．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AA 1=AB =1. （I ）求证：A 1C //平面AB 1D ；
（II ）求二面角B —AB 1—D 的大小；
（III ）求点c 到平面AB 1D 的距离.
２. 如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都为a ，P 为A 1B 上的点。 （1）试确定PB
P A 1的值，使得PC ⊥AB ；
（2）若3
21 PB
P A ，求二面角P —AB —C 的大小；
（3）在（2）条件下，求C 1到平面PAC 的距离。
1—12解答
1．【答案】D 解析： 过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求
2．【答案】A 解析：设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2=17,∴h=1．
3．【答案】C 解析：∵C 1A 2+C 1B 2 ＝AB, ∴∠AC 1B 为钝角，则△C 1AB 为钝角三角形． 4．【答案】C.解析： 因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C. 5．【答案】B 解析： 如图，设球的半径是r ，则πBD 2＝5π，πAC 2 ＝8π， ∴BD 2＝5，AC 2 ＝8.又AB ＝1，设OA ＝x. ∴x 2+8＝r 2,(x+1)2+5＝r 2. 解之，得r ＝3 故选B. 6．【答案】B 解析： 设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr ＝4π,∴r ＝2.如图，设三点A 、B 、C ，O 为球心，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝ 3 π ，又∵OA ＝OB ∴ΔAOB 是等边三角形 同理，ΔBOC 、ΔCOA 都是等边三角形，得ΔABC 为等边三角形. 边长等于球半径R ，r 为ΔABC 的外接圆半径. r ＝ 33AB ＝3 3R R ＝ 3 3 r ＝23 ∴应选B. 7．【答案】A ．解析：S= 41π·12×3+81×4π·12=4 5π。 8．【答案】B ．解析：当有n 根刺时有a n 种支撑法，n = 4，5， 6，… ，则a n+1=a n +3－1=a n +2或a n+1=a n +4－2=a n +2，∴{a n }n = 4，5，6，…， 为等差数列，∵a 4 = 4∴a n =2n －4，A 2006＝4008 。 9．【答案】C ．解析：由传递性知①②正确；由线面垂直性质知⑤正确；由空间直角坐标系中三坐标平面关系否定③；三坐标轴关系否定④。 10．【答案】A ．解析：法一：考察正三棱锥P –ABC ，O 为底面中心，不妨将底面正△ABC 固定，顶点P 运动，相邻两侧面所成二面角为∠AHC. 当PO →0时，面PAB →△OAB ，面PBC →△OBC ，∠AHC →π 当PO →+∞时，∠AHC →∠ABC= 3π. 故3 π <∠AHC <π，选A. 法二：不妨设AB=2，PC= x ，则x > OC =3 3 2. 等腰△PBC 中，S △PBC = 21x ·CH =21·2·?-1x 2CH =2x 112- 等腰△AHC 中，sin 2 x 1 121CH 2AC 2AHC -==∠ 由x> 332得2AHC sin 21∠<<1，∴3 22AHC 6π?π<∠<π＜∠AHC ＜π. 11．【答案】B ．解析：由已知得底面对角线的一半为22，所以底面边长的一半等于2，由勾股定得斜高为 222)22(+. 12．【答案】A 解析：此问题可以分解成五个小问题： （１）由正方体的八个顶点可以组成3 856c =个三角形； （２）正方体八个顶点中四点共面有12个平面； P A B C H O P A B C D D C （３）在上述12个平面中每个四边形中共面的三角形有2 44c =个； （４）从56个三角形中任取两个三角形共面的概率243561218 358 c p c ==； （５）从56个三角形中任取两个三角形不共面的概率，利用对立事件的概率的公式，得18367 1;385385 P =-=故选A ． （二）、填空题： 13.。3 6 2cm 3.解析:点P 到面ABC 距离最大时体积最大，此时面PAB ⊥面ABC ， 高PD=22cm ．V=362224433 1=???3cm . 14．由题意可知ABC ?的外心在BC 边的高线上，故一定有AB=AC 选（1）（2）（4）。 15．37.解析：原四个顶点截去后剩下截面为边长为1的正三角形，而原四面体的四个侧面变为边长为1的正六边形，其表积为 374 364434=??+? . 16．9 1 322-= x y 。解析：过P 点作PQ ⊥AD 于Q ，再过Q 作QH ⊥A 1D 1于H ，连PH ，利用三垂线定理可证PH ⊥A 1D 1. 设P （x ，y ），∵|PH|2 - |PH|2 = 1，∴x 2 +1- [(x 13 -)2+y 2] =1，化简得91 322-=x y . （三）、解答题： 17、解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+ ， ∵EG OG OE =- ， ()() ()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH =?-?=-==+=-+-=-+-=+ ∴,,,E F G H 共面； （2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=? ，又∵EG k AC =? ， ∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ． 18、解：(Ⅰ) 连结AC , 交BD 于点O , 连结PO , 则PO ⊥面ABCD , 又∵ AC BD ⊥ , ∴PA BD ⊥, ∵11//BD B D , ∴11PA B D ⊥ ． （Ⅱ） ∵AO ⊥BD , AO ⊥PO , ∴AO ⊥面PBD , 过点O 作OM ⊥PD 于点M ， 连结AM , 则AM ⊥PD , ∴∠A M O 就是二面角A-PD-O 的平面角, 又∵2,AB PA == ∴AO=2,PO=226=- PO OD OM PD ?= ==, ∴tan AO AMO OM ∠=== , 即二面角的大小为 ． (Ⅲ)用体积法求解：11B PAD A B PD V V --=BPD PAD x S AO S h ?=?? 3 131 解得x h =， 即1B 到平面PAD 19、证：（1）取CD 中点G ，连结EG 、FG ∵E 、F 分别是AB 、PC 的中点，∴EG//AD ，FG//PD ， ∴平面EFG//平面PAD ， ∴ EF//平面PAD ． （2）当平面PCD 与平面ABCD 成45?角时，直线EF ⊥平面PCD. 证明：∵G 为CD 中点，则EG ⊥CD ，∵PA ⊥底面ABCD ∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影。 ∵ CD ?平面ABCD ，且CD ⊥AD ，故CD ⊥PD ．又∵FG ∥PD ∴FG ⊥CD ，故∠EGF 为平面PCD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，即∠EGF=45?，从而得∠ADP=45?， AD=AP.由Rt ?PAE ?Rt ?CBE ，得PE=CE.又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC. 由CD ⊥EG ，CD ⊥FG ，得CD ⊥平面EFG ，∴CD ⊥EF ，即EF ⊥CD ， 故EF ⊥平面PCD ． 20、解：（Ⅰ）∵DE ⊥平面ACD ，AF ?平面ACD ∴DE ⊥AF 。 又∵AC=AD=C ，F 为CD 中点 ∴AF ⊥CD ， ∴AF ⊥面CDE ∴AF ⊥平面CDE 。 （Ⅱ）∵AB DE ACD AB ACD DE //?? ?? ⊥⊥平面平面 取DE 中点M ，连结AM 、CM ，则四边形AMEB 为平行四边形 AM//BE ，则∠CAM 为AC 与BE 所成的角。在△ACM 中，AC=2a a a a DM AD AM 542222=+=+= a a a DM CD CM 542222=+=+= 由余弦定理得：5 5522)5()5()2(cos 2 22= ??-+= ∠a a a a a CAM ∴异面直线AC 、AE 所成的角的余弦值为5 5。 （Ⅲ）延长DA 。EB 交于点G ，连结CG 。 因为AB//DE ，AB= 2 1 DE ，所以A 为GD 中点。又因为F 为CD 中点，所以CG//AF 。 因为AF ⊥平面CDE ，所以CG ⊥平面CDE 。 故∠DCE 为面ACD 和面BCE 所成二面角的平面角易求∠DCE=45°。 21、（Ⅰ）证明：如图1，取PD 的中点E ，连EO ，EM 。 ∵EO//PB ，EO= 21PB ，MA//PB ，MA=2 1 PB ， ∴EO//MA ，且EO=MA ∴四边形MAOE 是平行四边形， ∴ME//AC 。 又∵AC ?平面PMD ，ME ?平面PMD ， ∴AC//平面PMD 。 （Ⅱ）如图1，PB ⊥平面ABCD ， CD ?平面ABCD ， ∴CD ⊥PB 。 又∵CD ⊥BC ， ∴CD ⊥平面PBC 。 ∵CD ?平面PCD ， ∴平面PBC ⊥平面PCD 。 过B 作BF ⊥PC 于F ，则BF ⊥平面PDC ，连DF ， 则DF 为BD 在平面PCD 上的射影。 ∴∠BDF 是直线BD 与平面PDC 所成的角。 不妨设AB=2，则在Rt △BFD 中，BD BF 21=， ∴∠BDF=6 π ∴直线BD 与平面PCD 所成的角是 6 π （Ⅲ）解：如图3，分别延长PM ，BA ，设PM ∩BA=G ，连DG ， 则平面PMD ∩平面=ABCD=DG 过A 作AN ⊥DG 于N ，连MN 。 ∵PB ⊥平面ABCD ， ∴MN ⊥DG ∴∠MNA 是平面PMD 与平面ABCD 所成 的二面角的平面角（锐角） 在Rt △MAN 中，2 2 tan == ∠NA MA MNA ， ∴∠MNA=arctan 2 2 ∴平面PMD 与平面ABCD 所成的二面角（锐角） 大小是arctan 2 2 22、解：（I ）因为1A D ⊥平面ABC ， 所以平面11AAC C ⊥平面ABC ， 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AA C C ， 得1BC AC ⊥，又11BA AC ⊥ 所以1AC ⊥平面1A BC ； （II ）因为11AC AC ⊥，所以四边形11AA C C 为 菱形， 故12AA AC ==，又D 为AC 中点，知160A AC ∠= 。 取1AA 中点F ，则1AA ⊥平面BCF ，从而面1A AB ⊥面BCF ， 过C 作CH BF ⊥于H ，则CH ⊥面1A AB ， 在Rt BCF ?中，2,BC CF ==7 CH = ， 即1CC 到平面1A AB 的距离为CH = 。 （III ）过H 作1HG A B ⊥于G ，连CG ，则1CG A B ⊥， 从而CGH ∠为二面角1A A B C --的平面角， 在1Rt A BC ?中，1 2AC BC ==，所以CG = 在Rt CGH ?中，sin 7 CH CGH CG ∠= =， 故二面角1A A B C --的大小为arcsin 7 。 解法2：（I ）如图，取AB 的中点E ，则//DE BC ，因为BC AC ⊥， 所以DE AC ⊥，又1A D ⊥平面ABC ， 以1,,DE DC DA 为,,x y z 轴建立空间坐标系， 则()0,1,0A -，()0,1,0C ，()2,1,0B ， ()10,0,A t ，()10,2,C t ， ()10,3,AC t = ，()12,1,BA t =-- ， ()2,0,0CB = ，由10AC CB ?= ，知1 AC CB ⊥， 又11BA AC ⊥，从而1AC ⊥平面1A BC ； （II ）由1AC ? 2 130BA t =-+= ，得t =。 设平面1A AB 的法向量为(),,n x y z = ，(1AA = ，()2,2,0AB = ，所以 10 220 n AA y n AB x y ??=+=???=+=?? ，设1z = ，则) n = 所以点1C 到平面1A AB 的距离1AC n d n ?== 7。 （III ）再设平面1A BC 的法向量为(),,m x y z = ，(10,CA =- ，()2,0,0CB = ， 所以 10 20 m CA y m CB x ??=-+=???==?? ，设1z = ，则() m = ， 故cos ,m n m n m n ?<>==? ，根据法向量的方向， 可知二面角1A A B C -- 的大小为arccos 7 。 （四）创新题： 解法一（I ）证明： 连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE. ∵ABC —A 1B 1C 1是正三棱柱，且AA 1 = AB ， ∴四边形A 1ABB 1是正方形， ∴E 是A 1B 的中点， 又D 是BC 的中点， ∴DE ∥A 1C. ∵DE ?平面AB 1D ，A 1C ?平面AB 1D ， ∴A 1C ∥平面AB 1D. （II ）解：在面ABC 内作DF ⊥AB 于点F ，在面A 1ABB 1内作FG ⊥AB 1于点G ，连接DG. ∵平面A 1ABB 1⊥平面ABC ， ∴DF ⊥平面A 1ABB 1， ∴FG 是DG 在平面A 1ABB 1上的射影， ∵FG ⊥AB 1， ∴DG ⊥AB 1 ∴∠FGD 是二面角B —AB 1—D 的平面角 设A 1A = AB = 1，在正△ABC 中，DF= .4 3 在△ABE 中，8 2343=?= BE FG ， 在Rt △DFG 中，3 6 tan == ∠FG DF FGD ， 所以，二面角B —AB 1—D 的大小为.3 6 arctan （III ）解：∵平面B 1BCC 1⊥平面ABC ，且AD ⊥BC ， ∴AD ⊥平面B 1BCC 1，又AD ?平面AB 1D ，∴平面B 1BCC 1⊥平面AB 1D. 在平面B 1BCC 1内作CH ⊥B 1D 交B 1D 的延长线于点H ， 则CH 的长度就是点C 到平面AB 1D 的距离. 由△CDH ∽△B 1DB ，得.5 5 11=?= D B CD BB CH 即点C 到平面AB 1D 的距离是 .5 5 解法二： 建立空间直角坐标系D —xyz ，如图， （I ）证明： 连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1 = E ，连接DE. 设A 1A = AB = 1， 则).0,0,2 1(),21,43,41(),1,23, 0(),0,0,0(1C E A D - ),21 ,43,41(),1,23,21(1-=--=∴A .//,211DE C A DE C A ∴-=∴ D AB C A D AB D E 111,平面平面?? ， .//11D AB C A 平面∴ （II ）解：)1,0,21(),0,23, 0(1-B A ， )1,0,2 1 (),0,23,0(1-==∴D B AD ， 设),,(1r q p n =是平面AB 1D 的法向量，则0,0111=?=?B n n 且， 故)1,0,2(,1.02 1 ,0231===-=- n r r p q 得取； 同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B —AB 1—D 的大小为θ，5 15 ||||cos 2121=?= n n n n θ ， ∴二面角B —AB 1—D 的大小为.5 15arccos （III ）解由（II ）得平面AB 1D 的法向量为)1,0,2(1=n ， 取其单位法向量).0,0,21 (),5 1 , 0,5 2( ==n 又 ∴点C 到平面AB 1D 的距离.5 5||= ?=n d 2、解法一：（1）当 11=PB P A 时，PC ⊥AB 取AB 的中点D ′，连结CD ′、PD ′ ∵△ABC 为正三角形， ∴CD ′⊥AB 。 当P 为A 1B 的中点时，PD ′//A 1A ， ∵A 1A ⊥底面ABC ， ∴PD ′⊥底面ABC ， ∴PC ⊥AB （2）当 3 2 1=PB P A 时，过P 作PD ⊥AB 于D ， 如图所示，则PD ⊥底在ABC 过D 作DE ⊥AC 于E ，连结PE ，则PE ⊥AC ∴∠DEP 为二面角P —AC —B 的平面角。 又∵PD//A 1A ， ∴ 231==PA BP DA BD ， ∴a AD 5 2 = ∴ .53 235260sin a a AD DE =?= ??= 又∵ a PD A A PD 5 3 ,5 3 1= ∴= ∴ 3tan == ∠DE PD PED ∴∠PED=60° 即二面角P —AC —B 的大小为60° （3）设C 1到面PAC 的距离为d ，则11ACC P PAC C V V --= ∵PD//A 1A ∴PD//平面A 1C ∴DE 即为P 点到平面A 1C 的距离。 又PE=a a a DE PD 5 32)53()53(222 2 =+=+2 ∴ DE S d S ACC PAC ?=???131 31 ∴a a d a a 5 3 )21(31)5322 1(312?=?? 解得 2 a d = 即C 1到平面PAC 的距离为 a 2 1 解法二：以A 为原点，AB 为x 轴，过A 点与AB 垂直的直线为y 轴，AA 1为z 轴，建立空间直角坐标系A —x yz ，如图所示，则B （a ，0，0），A 1（0，0，a ），C )0,2 3 ,2 (a a ， 设),0,(z x P （1）由0)0,0,(),2 3,2(0=?--=?a z a a x AB CP ，得 即2 ,0)2 (a x a a x = ∴=?- ， ∴P 为A 1B 的中点。 即 11=PB P A 时，PC ⊥A B 。 （2）当 ),0,(3 2 ),0,(323211z x a a z x PB P A PB P A --=-==，得时，由 即 )5 3,0,52(53522)(3, 233a a P a z a x z a z x a x ∴??? ??? ? ==?? ?-=--= 设平面PAC 的一个法向量n =),,(z y x ''' 则???????=?'''=?'''?????=?=?0)0,23,2(),,(0)53,0,52(),,(00a a z y x a a z y x ，即n n 即???????='+'='+'?0232 ,0535 2 y a x a z a x a 取 ).2,3,3(2 ,33--=∴-='-='='n z y x ，则 又平面ABC 的一个法向量为n 0=（0，0，1） ∴2 1142||||,cos 000-=?-=??>= ∴二面角P —AC —B 的大小为180°－120°=60° （3）设C 1到平面PAC 的距离为d ， 则.2 4|,0,0()2,3,3(||||||,cos ||111a a C C C C C d =-?--=?=> 即C 1到平面PAC 的距离为2 a ． 高中立体几何典型500题及解析(二)(51~100题) 51. 已知空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=DB=AC,M 、N 分别为BC 、AD 的中点。 求：AM 及CN 所成的角的余弦值； 解析：(1)连接DM,过N 作NE∥AM 交DM 于E ，则∠CNE 为AM 及CN 所成的角。 ∵N 为AD 的中点, NE∥AM 省 ∴NE=2 1AM 且E 为MD 的中点。 设正四面体的棱长为1， 则NC=21·23= 4 3且ME=2 1MD= 4 3 在Rt△MEC 中，CE 2=ME 2+CM 2= 163+41=16 7 ∴cos ∠CNE= 324 3 432167)43()43( 2222 22-=??-+=??-+NE CN CE NE CN , 又∵∠CNE ∈(0, 2 π) ∴异面直线AM 及CN 所成角的余弦值为3 2. 注：1、本题的平移点是N ，按定义作出了异面直线中一条的平行线，然后先在△CEN 外计算CE 、CN 、EN 长，再回到△CEN 中求角。 2、作出的角可能是异面直线所成的角，也可能是它的邻补角，在直观图中无法判定，只有通过解三角形后，根据这个角的余弦的正、负值来判定这个角是锐角（也就是异面直线所成的角）或钝角（异面直线所成的角的邻补角）。最后作答时，这个角的余弦值必须为正。 52. .如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、AD 上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 3 1 ==EC BE FD AF 。求异面直线AB 及CD 所成的角。 解析：在BD 上取一点G ，使得3 1 =GD BG ，连结EG 、FG 在ΔBCD 中，GD BG EC BE = ，故EG//CD ，并且4 1==BC BE CD EG ， 所以，EG=5；类似地，可证FG//AB ，且 4 3 ==AD DF AB FG ， 故FG=3，在ΔEFG 中，利用余弦定理可得 cos ∠ FGE= 2 1 5327532222222- =??-+=??-+GF EG EF GF EG ，故∠FGE=120°。 另一方面，由前所得EG//CD ，FG//AB ，所以EG 及FG 所成的锐角等于AB 及CD 所成的角，于是AB 及CD 所成的角等于60°。 53. 在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1=c ，AB=a ，AD=b ，且a ＞b ．求AC 1及BD 所成的角的余弦． A B C D E F G E D 1 C 1 B 1 A 1 A B D C O 必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；高中立体几何典型题及解析
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