荆州中学2020~2021学年度高一年级上学期期中考试
数 学 试 题
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知{}|215A x x =->,{}3,4,5,6B =,则A B =( ) A .[3,)+∞ B .φ C .{}3,4,5,6 D .{}4,5,6
2.下列各组函数中,表示同一函数的是( ) A .
,0
()g x x =
B .()1f x x =-,21
()1
x g x
x -
=+
C .()f x x =,33()g x x =
D .()||f x x =,2()()g x x =
3.已知a b c d ,,,为实数,则“a b c d +>+”是“a c >且b d >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
4.从甲地到乙地通话m 分钟的电话费由() 1.06(1)2
m f m <>=+(元)决定,其中0m >,
m <>是不小于m 的最小整数(如:33, 3.84,<>=<>= 5.1<>6=), 则从甲地到乙地通话时间
为7.3分钟的电话费为( ) A .4.24 元
B .4.77 元
C .5.30 元
D .4.93 元
5.已知函数3
2()=1
x f x x +,则()f x 的大致图象为( )
A B C D
6.已知2
54a -??
= ???,1
3
45b ??= ???,45
2log c =,则,,a b c 的大小关系是( )
A .c a b <<
B .c b a <<
C .b a c <<
D .a b c <<
7.已知函数(43)(32),1
()1log ,1a a x a x f x x x --+=?+≥?
是R 上的增函数,则实数a 的取值范围是( )
A .2(,1)3
B .3
[,1)4
C .23(,]34
D .4(1,)3
8.已知)(x f 为定义在实数集R 上的奇函数,且在(0,)+∞内是增函数,又)2(f =0,则不等式
()10x f x ?-<的解集是( )
A .(,2)(1,0)(2,)-∞--+∞
B .(,2)(2,)-∞-+∞
C .(1,0)(1,3)-
D .(,1)(0,1)(3,)-∞-+∞
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.
9.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,2()f x x x =-,则下列说法正确的有( ) A. (1)0f -=
B. ()f x 在(1,0)-上是增函数
C. ()0f x >的解集为(0,1)
D. ()f x 的最大值为
1
4
10. 定义一种运算,()
min{,},()a a b a b b a b ≤?=?>?
.设2()min{42, ||}f x x x x t =+-- (t 为常数),且
[],3,3x ∈-则使函数()f x 最大值为4的t 值可以是( )
A. 2-
B. 6
C. 4
D. 4-
11.对于实数a ,b ,m ,下列说法正确的是( )
A .若am bm >,则a b >
B .若0b a >>,0m >,则
a m a
b m b
+>+ C .若0a b >>且ln ln a b =,则()23,a b +∈+∞ D .若a b >,则3322a b a b ab +>+ 12.下列说法正确的是( )
A. “ 02
00,2x x R x ?∈> ”的否定是“ 2,2x x R x ?∈≤ ”
B. 函数
()f x =的最小值为6
C. 函数1()(2g x = 1
[, 1]2
-
D.
a b >的充要条件是||||a a b b >.
三、填空题: 本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知53()2f x ax bx =++且(5)16f -=,则(5)f 的值为 .
14.
函数()2x f x =+的定义域为 ,值域为 . (第一个空2分,第二个空3分) 15. 已知函数2()2f x x x a =-++,21
()7log g x x
=
+,若对任意1[0,3]x ∈
,总存在24]x ∈,
使得12()()f x g x ≤成立,则实数a 的取值范围是___________.
16. 已知正实数,a b 满足
223
122
a b a b +=++,则a b +的最大值为 .
四、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (10分) 计算或化简:
(1)
6
3
4
1
3
0.001
16100-??
-
++? .
(2)533
72l 6
og 75424log log 5log log -++? .
18. (12分) 已知集合456{|22}x x A x +=≥,2
{|2150}B x x x =+-≤.
(Ⅰ)求A 和 (
)R
A B ;
(Ⅱ)集合1
{|2}2C x x k =-≤-≤,若C B ?,求实数k 的取值范围:
19. (12分) 已知2()3f x ax bx =++,且{|()0}{1,3}x f x ==. (Ⅰ)求实数a 和b 的值,并求 ()
()(0)f x g x x x
=
> 的最小值; (Ⅱ)若不等式2()(37)0f x mx m -++>对一切实数x 都成立,求实数m 的取值范围.
20. (12分) 已知2()log (1)f x x =-.
(Ⅰ)若00(1)(1)0f x f x ++-=,求0x 的值;
(Ⅱ)记()()(6)g x f x f x =+-,
(1)求()g x 的定义域D ,并求()g x 的最大值m ; (2)已知3
2222
4log 2log 2b a
b
a a
b b
++=++
- ,试比较b 与ma 的大小并说明理由。
21.(12分) 如图所示,河(阴影部分)的两岸分别有生活小区ABC 和DEF ,其中,AB BC ⊥
,EF DF ⊥DF AB ⊥,,,C E F 三点共线,FD 与BA 的延长线交于
点O ,测得3AB FE ==千米,
74OD =千米,
94DF =千米,3
2
EC =千米,若以,OA OD 所在直线分别为,x y 轴建立平面直角坐标系
xOy ,则河岸DE 可看成是函数1b
y x a
=-
-(其中,a b 是常数)图象的一部分,河岸AC 可看成是函数y kx m =+(其中,k m 为常数)图象的一部分.
(Ⅰ)写出点A 和点C 的坐标,并求,,,k m a b 的值.
(Ⅱ)现准备建一座桥MN ,其中M 在曲线段DE 上, N 在AC 上,且MN AC ⊥.记M 的 横坐标为t .
(1)写出桥MN 的长l 关于t 的函数关系式()l f t =,并标明定义域; (注:若点M 的坐标为0(,)t y ,则桥MN 的长l 可用公式0
2
1l k
计算).
(2)当t 为何值时,l 取到最小值?最小值是多少?
22.(12分) 已知函数()x x
f x a k a -=-?(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇.
函数,且3
(1)2
f =. (Ⅰ)求k 的值,并判断()f x 的单调性(不要求证明);
(Ⅱ) 是否存在实数()2,3m m m >≠,使函数()()22(2)log 1x x m g x a a mf x --??=+-+??在[]1, 2
上的最大值为0?如果存在,求出实数m 所有的值;如果不存在,请说明理由.
荆州中学2020—2021学年上学期期中考试
高一年级数学试题 参考答案
一.选择题
1.D
2.C
3.B
4.C
5. B
6.A
7.C
8.D 二.多项选择题
9.AD 10.AC 11.BC 12.ACD 三.填空题
13. 12- 14. [3,)+∞ [8,)+∞ 15. 13
(,]15
-∞- 16. 3 四.解答题
17. (1)原式13
33434213[()]1(2)1001018427125105
-=-++?=-++?=. .........5分 (2)原式3372354lg 2lg 7log 62log 2log 7log 362362112lg 7lg 2
=++?==++?=++=. .........10分
18. (Ⅰ)由45622x x +≥,得456x x +≥,25x ∴≤,52x ≤
,5
{|}2
A x x ∴=≤, 5
{|}2R A x x ∴=>,25{|2150}{|(3)(25)0}{|3}2
B x x x x x x x x =+-≤=+-≤=-≤≤,
()
{|3}R A B x x ∴=≥-. .........6分
(Ⅱ) 11{|2}{|2}22C x x k x k x k =-≤-≤=-≤≤+,C B ? ,23
1522
k k -≥-??
∴?+≤?? ,12k ∴-≤≤,
k 的取值范围为[1,2]-. .........12分
19. (Ⅰ){|()0}{1,3}x f x ==,1,3∴是()0f x =的两个根,13313b a
a ?
+=-??∴???=?? ,1,4a b ∴==-.
2
()43f x x x ∴=-+ ,0x >
时,2()433()444f x x x g x x x x x -+===+-≥=, 当且仅当3
x x
=
即x =
时上式取等号,所以min ()4g x = . .........6分
(Ⅱ)由2
()(37)0f x mx m -++>,得2
(1)4(310)0m x x m --++> (*)
当10m -=即1m = 时,不等式(*)为4130x -+> ,不满足对任意实数x 都成立,
10m ∴-≠,10164(1)(310)0m m m ->?∴??=--+ ,213760m m m ∴?+-,1
233m m ?∴?-<?
,
233m ∴-<<
,m ∴的取值范围为2
(3,)3
-. ........12分
20. (Ⅰ)由已知得,2020log log (2)0x x +-=,200log (2)0x x -=,∴ 00(2)1x x -=,2
00210x x --=,
01x ∴=02x >
,01x ∴=. .........4分
(Ⅱ)(1)22()log (1)log (5)g x x x =-+- ,由10
50x x ->??->?
,得15x << ,(1,5)D ∴=.
由于2
22()log (1)(5)log [(3)4]g x x x x =--=--+,∴ 当3x =时,max 2()log 42m g x ===,
.........8分
(2)由22
3224log 2log 2a b
b a a a b ++=++
-,得222221
4log 2log log 322
a b a b a b +-=+--+, 即22222212
log (2)2log log 3122a
b a b a b +-
=+--++2223
2log log 32
b b b =+-+-,
因为3
2222223
log 3log 2log 3log log 02
-=-=<,
所以2222222322
log (2)2log log 32log 22a
b b a b b a b b
+-
==+-+-<+-,
考虑函数22
()2log x h x x x
=+-
,所以(2)()h a h b <, 因2x ,2log x ,2
x
-都是增函数,所以()h x 为增函数,2a b ∴<,2m =,
故始终有b ma >成立. .........8分
21. (Ⅰ)由题意得:4OF BC ==,OA EC =,∴3,02A ??
???,9,42C ?? ???
, 把3,02A ?? ???,9,42C ?? ???代入y kx m =+得3
02
94
2
k m k m ?+=????+=??,解得4,23k m ==-.
70,4D ?? ???,()3,4E ,把70,4D ??
???
,()3,4E 代入1b y x a =--得433
3
b a b a ?=????=?-?,解得:4,3a b ==.
.........5分
(Ⅱ)(1)由(Ⅰ)得:M 点在314y x =-
-上,∴,1,[0,3]43M t t t ?
?-∈ ?-?
?,
∴ 桥MN 的长l
为34
12
19()(94),[0,3]54l f t t t t t -
-+==
=--∈-;.........7分
(2)由(1)得:1919()(94)[4(4)7]5454
f t t t t t =
--=------ 19
[4(4)7]54
t t =-----, 而940,
04t t -<<-
,∴94(4)124t t ---≥=-, 当且仅当94(4)4t t --=--时即52t =“=”成立,∴min 1
()|127|15
f t =-+=. .........12分
22. (Ⅰ)
函数()x x
f x a k a
-=-?(0a >且1a ≠)是定义域为R 的奇函数,0R ∈,(0)0f ∴=,
10k -=,1k ∴=.
因为3(1)2f =,132a a ∴-=,2
2320a a --=,2a = 或12
a =- , 0a >,2a ∴=,
()22x x f x -=- ,因为2x 为增函数,2x - 为减函数,所以()f x 为R 上的增函数. .........3分
(Ⅱ) ()()22(2)log 1x x
m g x a a mf x --??=+-+??()22(2)log 2
2221x x
x x m m ---=+--+???
?
()()2(2)log 22223x x x x m m ---??=---+????
, .........4分 设22x x t -=-,则()
()2
2222233x x
x x m t mt -----+=-+,
[]1,2x ∈,∴315,24t ??
∈????
,记()23h t t mt =-+,
(1)当021m <-<,即23m << 时,要使()g x 最大值为0,则要min ()1h t =,
22()()(3)24m m h t t =-+- ,312m << ,315,24t ??∈????
,()h t ∴在315,24??
????上单调递增,
min 3213()()242h t h m ∴==- ,由min ()1h t = ,得176m = ,因17(2,3)6∈ ,所以17
6
m =满足题意.
.........7分
(2)当21m ->,即3m > 时,要使()g x 最大值为0,则要max ()1h t =,且min ()0h t >.
3
22
m > , ①若
321228m <≤ ,则max 1522515()()314164h t h m ==-+= ,257
60
m =
,
又2min
()()3024m m h t h ==->,∴3m <<25760>∴257
60
m =
不合题意. .........10分 ②若2128m > ,即214m > ,则max 32132132121
()()02424248
h t h m ==-<-?=-< ,max ()1h t ≠,
综上所述,只存在17
6
m =
满足题意. .........12分