最新第二章 练习题及参考答案
第二章 静电场 练习题及参考答案
1、均匀带电导体球，半径为a ，带电量为Q 。试求 （1） 球内任一点的电场 （2） 球外任一点的电位移矢量 解：（1）
（2）a r e ?r
Q
e
?D D r r >==2
04π
2、放在坐标原点的点电荷在空间任一点r
处产生的电场强度表达式为 r e
r
q E ?42
0πε=
（1）求出电力线方程；（2）画出电力线。 解:（1）
y
C z x C y 21== 式中，21,C C 为任意常数。
（2）电力线图所示。
3、用球坐标表示的场225
?r
e E r = ，求 （1） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的E ； （2） 在直角坐标中点（-3，4，5）处的x E 分量
解：（1）2
1
252==
r E
（2）3
25r x E x =
，2023-=x
E 4、两点电荷C 41-=q ，位于x 轴上4=x 处，C 42=q 位于轴上4=y 处，求空间点()4,0,0
a
r E <=0
图18-2
处的（1）电位；（2）该点处的电场强度矢量。 解：（1）()0400=,,φ
（2）()y x
e
e
r r
q r r
q E ??642440
232
02131
01-=
+
=
πεπεπε 5、一个点电荷q +位于()0,0,a -处，另一个点电荷q 2-位于()0,0,a 处，其中0>a 。求 （1） 求出空间任一点()z y x ,,处电位的表达式； （2） 求出电场强度为零的点。 解：（1）建立如图18-1所示坐标
空间任一点的电位
???
?
??-=
120214r r q πεφ 其中，()2221z y a x r ++-=
，()2
222z y a x r +++=
（2）根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的q +的左侧，设位于x 处，则在此处电场强度的大小为 ()()???
? ??+--=
220214a x a x q E πε 令上式等于零得
()
()
2
2
2
1
a x a x +=
-
求得 ()
a x 223+-=
6、真空中均匀带电球体，其电荷密度为ρ，半径为a ，试求 （1） 球内任一点的电位移矢量 （2） 球外任一点的电场强度 解：（1）r D
3
ρ=
a r <
（2）当a r >时，r r a E
3
033ερ=
7、设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为l ρ，如图所示，求 （1） 空间任一点处的电场强度；
（2） 画出其电力线，并标出其方向。 解（1）
（2）其电力线如图2所示。
8、设0=z 为两种媒质的分界面，0>z 为空气，其介电常数为01εε=，0 025εε=的媒质2。已知空气中的电场强度为z x e e E ??41+= ，求 （1）空气中的电位移矢量。 （2）媒质2中的电场强度。 解：（1）空气中的电位移矢量 101E D ε= z x e e ??400εε+= （2）由边界条件 切向分量 412==x x E E 法向分量 012ε==z z D D 故： 5 1 /222= =εz z D E 得媒质2中的电场强度为： z x e e E ?5 1 ?42+= 9、电偶极子电量为q ，正、负电荷间距为d ，沿z 轴放置，中心位于原点，求出空间任一点P ()z ,y ,x 处的电位表达式。 r e E l r 02?περ= 图2 图1 解：()1 02 044r q r q z ,y ,x πεπεφ- = 其中， () () 2 2 2 222212/2/d z y x r d z y x r +++=-++= 10、同轴线内导体半径为a ，外导体半径为b ，内、外导体间介质为空气，其间电压为U （1）求a r <处的电场强度 （2）求b r a <<处的电位移矢量 解：（1）导体内部没有电荷分布，故内导体内部a r <处 的电场强度处处为零。 （2）设单位长内导体表面电荷密度为l ρ，由电荷的分布对 称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向为沿 柱面径向r e ?，在底面半径为r 长度为L 的柱体表面使用高斯定理得： 002ερπ/L rLE S d E S d E S d E S d E l r s =++=?+ ?+ ?= ?????底面 顶面 侧面 可得b r a <<任一点处的电场强度为： r e ?E l r 02περ= 再由 a b dr r r d E U l b a r l b a r ln 2200περπερ== ?=??== 得b r a <<任一点处的电位移矢量为： () a / b r U e ?E D r ln 00εε== 11、自由空间中一点电荷电量为2C ，位于()1,2,1S 处，设观察点位于()5,4,3P 处，求 （1）观察点处的电位 （2）观察点处的电场强度。 图2 解：（1）任意点()z y x ,,处的电位 ()() ()() 2 2 2 1214,,-+-+-= z y x q z y x πεφ 将观察点代入 ()()()()0 2 220641 15241342 5,4,3πεπεφ= -+-+-= （2）源点位置矢量 z y x s e e e r ??2?++= 场点位置矢量 z y x f e e e r ?5?4?3++= 点电荷到场点的距离矢量 z y x s f e e e r r R ?4?2?2++=-= 62=R ()z y x e e e R R q E ?2??6481 4)5,4,3(0 30++= = πεπε 12、平行板电容器极板长为a 、宽为b ，极板间距为d ，如图所示。设d x =的极板上的自由电荷总量为Q ，求 （1）电容器间电场强度； （2）电容器极板间电压。 解：（1）建立如图所示坐标。 设上极板的电荷密度为σ，则 ab Q = σ 极板上的电荷密度与电场法向分量的关系为 ab Q E n = =0εσ 由于平行板间为均匀电场，故 ab Q e E e E x n x 0??ε-=-= （2） 由： dx e E U x d x ?0?=?= 将上面电场代入得： ab Qd U 0ε= 13、电荷q 均匀分布在内半径为a, 外半径为b 的球壳形区域内，如图示： （1）求?? ? ???????><<<≤b r b r a a r 0各区域内的电场强度； （2）若以∞=r 处为电位参考点， 试计算球心（0=r ）处的电位。 解：（1）电荷体密度为：)(3 433 a b q -= πρ 由高斯定理：??=?v s dV S d E ρε 0 可得， a r <≤0 区域内，01=E b r a << 区域内，q a b a r r e E r 3 33 320241 --=πε b r > 区域内，q r e E r 2 0341 πε = （2）??? ∞?+?+?= b b a a r d E r d E r d E 320 10? 代入各量并计算得， b q b a a a b a b q 032233004)]11()(2 1[)(4πεπε?+----= 14、图示球形电容器的内导体半径， 外导体内径 ，其间充有两种电介质与 ， 它们的分界面的半径为 。 已知 与 的相对介电常数分别为 。 求此球形电容器的电容。（已知） a b 解： 15、图示极板面积为S 、间距为 d 的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S 、厚度为a 、介电常数为ε的介质板。 设左右两极板上的电荷量分别为Q +与 Q -。若忽略端部的边缘效应，试求 (1) 此电容器内电位移与电场强度的分布； (2) 电容器的电容及储存的静电能量。 解：（1）12x Q D D e S == 1 100 x D Q E e S εε==，22x D Q E e S εε== （2) 011()S Q Q C U E d a d a ε===-- 222Q Q S C U E a a ε=== 012 120() S C C C C C a d a εεεε= =++- 22 00 ()1122a d a Q W Q C S εεεε+-== 16、半径为a 的均匀带电无限长圆柱导体，单位长度上的电荷量为τ，求空间电场强度分布。 解：因为电荷分布具有柱对称性，由静电场的高斯定理，可作一个与已知柱体同轴的、高为 l 、半径为r 的柱面为高斯面S ，则分区域讨论： （1）r ＜a 时，由高斯定理得：0=E Q +Q -d a εε εx o 1 E 2 E 1 E Q +Q -d a εε εx o 1 E 2 E 1 E