人教版七年级上有理数知识点总结及易错题

新课标人教版数学七年级（上）知识要点概括

第一章有理数

1.（1）正数：大于零的数；

（2）负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数）；

注意：①0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点；

②对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数；

③字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

④正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。

2.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数；

⑵正分数和负分数统称为分数；

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数；

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数；

③-a不一定是负数，+a也不一定是正数；

3.有理数的分类

⑴按有理数的定义分类⑵按性质符号来分

正整数正整数

整数 0 正有理数

负整数正分数

有理数有理数 0 （0不能忽视）

正分数负整数

分数负有理数

负分数负分数

总结：①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

⑤0是整数不是分数。

4. 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；

⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；

⑶同一数轴上的单位长度要统一。

（4）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。

5.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右侧的点表示，负有理数可用原点左侧的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。（如，数轴上的点π不是有理数）

6.数轴的画法

（1）画一条直线，在这条直线上任取一个点作为原点；

（2）通常规定直线上从原点向右（或左）为正方向，从原点向左（或右）为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1，-2，-3，….

7.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

8.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

9.a可以表示什么数

⑴a>0表示a是正数；反之，a是正数，则a>0；

⑵a<0表示a是负数；反之，a是负数，则a<0；

⑶a=0表示a是0；反之，a是0,，则a=0；

10.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

11.归纳数轴上的点的意义：

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.

12.只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数。

注意：⑴相反数是成对出现的；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；相反数为本身的数是0。

13.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

14.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。 15.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5的相反数是-5）； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；5a+b 的相反数是-（5a+b ）。化简得-5a-b ）；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简(如：-5的相反数是-（-5），化简得5) 16.相反数的表示方法

⑴一般地，数a 的相反数是-a ，其中a 是任意有理数，可以是正数、负数或0。 当a>0时，-a <0（正数的相反数是负数） 当a<0时，-a >0（负数的相反数是正数） 当a=0时，-a =0，（0的相反数是0） 17.多重符号的化简

多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；“-”号的个数决定最后化简结果；即：“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

18.一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作|a|，读作：a 的绝对值.

19.因为数的绝对值是表示两点之间的距离，如：|a-b|表示数轴上a 点到b 点的距离。 所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是非负数（0的绝对值是0） 20. 绝对值的计算规律：

（1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （2） 若b a =，则a=b 或a=-b ； （3） 若0,0,0===+b a b a 则 21.绝对值的代数定义

1）一个正数的绝对值是它本身 2）一个负数的绝对值是它的相反数

3）0的绝对值是0 22.可用字母表示为：

①如果a>0，那么|a|=a ； ②如果a<0，那么|a|=-a ； ③如果a=0，那么|a|=0。 可归纳为①：a ≥0<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。）

②a ≤0<═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。）

23.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以，a 取任何有理数，都有|a|≥0。

⑴0的绝对值是0；绝对值是0的数是0.即：a=0 <═> |a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.即：|a|≥0； ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即：即：|a|≥a ； 0a 1a

a >?= ；

0a 1a

a

0），则x=±a ； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；注意：

|a|·|b|=|a ·b|,

b

a

b

a =

； ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即：|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。（非负数的常用性质：若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0） 24.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

（3）正数的绝对值越大，这个数越大； （4）正数永远比0大，负数永远比0小； （5）正数大于一切负数；

（6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 25.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离。

一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。 26.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与0相加，仍得这个数。 27.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a

⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

28.在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 29.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为：a-b=a+(-b)。 30.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加

法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.

31.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)

原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法）

=-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） Ⅱ.把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)

原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号）

=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合） =4-10+3.8 （运用加法法则进行运算）

=7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.2 （得出结论） Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）

-53-21+43-52+21-8

7 原式=(-53-52)+(-21+21)+(+43-87)=-1+0-81=-18

1

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

(+0.125)-(-3

43)+(-381)-(-1032

)-(+1.25) 原式=(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141)=81+343-381+1032-141

=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361=106

1

Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

-3

51+10116-12221+415

7 原式=(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221)=-1+154+2211=-1+308+3015 =-30

7

Ⅵ.分组结合

2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69

原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0 Ⅶ.先拆项后结合

（1+3+5+7…+99）-（2+4+6+8…+100） 32.有理数的乘法法则

①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；（“同号得正，异号得负”专指

“两数相乘”的情况，如果因数超过两个，就必须运用法则三） ②任何数同0相乘，都得0；

③几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数；

④几个数相乘，如果其中有因数为0,则积等于0.

33.乘积是1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数，用式子表示为a ·a

1=1（a ≠0），就是说a 和

a 1互为倒数，即a 是a 1的倒数，a

1

是a 的倒数。 ①0没有倒数；

②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置；

③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。（求一个数的倒数，不改变这个数的性质）； ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。

⑤若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 34.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：ab=ba

⑵乘法结合律：(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：a(b+c)=ab+ac 35. 有理数的除法法则

（1）除以一个不等0的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0

a

. （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 36..有理数的乘除混合运算

（1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

（2）有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照‘先乘除，后加减’的顺序进行。 37.有理数的乘方

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在 n

a 中，a 叫做底数，n

叫做指数。 （1）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2

+|b|=0 ? a=0,b=0；

（5）据规律 ????

????

???????????===100101101.01.022

2底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位

（6）n )1(-的结果：n 为奇数时，n )1(-=-1；n 为偶数时，n

)1(-=1。

38.乘方的性质

（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n

, 当

n 为正偶数时: (-a)n =a n

.

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

39.有理数的混合运算，应注意以下运算顺序： 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行；

3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。 40. 科学记数法

把一个大于10的数表示成

n

a 10?的形式（其中

10

1<≤a ，

n 是正整数），这种记数法是科学记数法

41.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位. 42.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.

有理数运算中的常见错误示例

一、概念不清

例1 计算:15+(-6)-|-5|. 错解:原式=15-6+5=14.

错解分析：错在没有弄清-(-5)与-|-5|的区别.-(-5)表示-5的相反数,为5;而-|-5|表示-5的绝对值的相反数,-5的绝对值为5,5的相反数是-5.

正解:原式=15-6-5=4. 例2 计算:3

42293??-÷

?- ???

. 错解:原式=926943??

-?

?-= ???

. 错解分析：此解错在混淆了乘方和有理数乘法的概念.需知3

2-表示222-??,其结果为-8,因此,3

2-绝不是指数和底数相乘.

正解:原式=9281243??

-??-= ???

. 二、错用符号

例3 计算:-5-8×(-2). 错解:原式=-5-16=-21.

错解分析：错在先将8前面的“-”当成性质符号,后来又当成运算符号重复使用,切记不可这样重复用.

正解1:若把-8中的“-”当成性质符号,则可得以下过程: 原式=-5+(-8)×(-2)=-5+16=11.

正解2:若把-8中的“-”当成运算符号,则可得以下过程: 原式=-5-(-16)=-5+16=11. 三、项动符号不动

例4 计算:()1312352814.53443????????-+---+--- ? ? ? ?????????

.

错解:原式=12311385

2143

3442??????-++-++ ? ????

?????

=11153

14322?

?+-+ ???=15113+=1163

. 错解分析：在解答本题时,应先观察数字的特点,将小数进行转化,并使分母相同的分数合并计算.在运用加法交换律时一定要记住,项动其符号也一定要随之而动.错解在移动

2

83

-一项时,漏掉了其符号. 正解:原式=12311385

2143

3442??????--+-++ ? ????

?????

=11123

1422?

?

-+-+ ???

=-12+11=-1. 四、对负带分数理解不清 例5 计算:764

88?

?-÷ ???

错解:原式=76488?

?-+

÷ ??

? =()17164888

-?+? =7864-+=7864-. 错解分析：错在把负带分数7648

-理解为7

648-+,而负带分数中的“-”是整个带分

数的性质符号,把7648

-看成7648--才是正确的.与之类似,7864-+也不等于7

864-.

正解:原式=76488?

?--÷ ??? =()17164888??-?+-? ???=7864--=7864

-. 五、考虑不全面

例6 已知|ɑ-1|=5,则ɑ的值为( ). A.6 B.-4 C.6或-4 D.-6或4 错解:由|ɑ-1|=5可得ɑ-1=5,解得ɑ=6.选A.

错解分析：一个数的绝对值等于5,则这个数可能为正,也可能为负,所以ɑ-1=±5,解得

ɑ=6或-4.

正解:选C. 六、错用运算律 例7 计算: 112263973????

-

÷-+ ? ?????

. 错解:原式=111212

639637633

??????-÷--÷+-÷ ? ? ??????? =11171842

-

+-=

1873

126-+-=19-. 错解分析：由于受乘法分配律ɑ(b +c )=ɑb +ɑc 的影响,错误地认为ɑ÷(b +c )=ɑ÷b +ɑ÷c ,这是不正确的.

正解:原式=17184263636363????-

÷-+ ? ?????=163

6331??-? ???

=131-. 七、违背运算顺序

例8 计算:14168??÷-? ???

. 错解:原式=4÷(-2)=-2.

错解分析：本题是乘除运算,应按从左到右的顺序进行,而错解是先计算1168??-? ???

,这样就违背了运算顺序.

正解:原式=4×(-8)×16=-512. 例9 计算:()()2

2

153216

--

?-. 错解:原式=25-(-2)2

=25-4=21. 错解分析：在计算()2

13216

?-时,错误地先进行乘法运算.事实上应该先算乘方,再算乘除.

正解:原式=1

25 1 02416

-

?=25-64=-39. 有理数典型错题示例

一、例1 计算：(1）-19.3＋0.7；(2)3

13)212(?

÷－

错解：（1）-19.3＋0.7＝-20； (2)313)212(?

÷－＝2

111)212(＝－÷． 错解分析：（1）这是没有掌握有理数加法法则的常见错误．对于绝对值不同的异号两数相加，如何定符号和取和的绝对值，初学时要特别小心．(2）混合运算中，同级运算应从左往右依次进行．本题应先除后乘，这里先算了3

1

3?

，是不按法则造成的计算错误． 正解：(1) -19.3十0.7＝-18.6； (2)6

1

3121313123313)212(＝＝＝－???

?÷． 二、例2 计算：(1)2

4－；(2)3

)2.0(－．

错解：（1）24－＝（-4) ?（-4)＝16；(2)3

)2.0(－＝-0.8．

错解分析：（1）24－，表示4的平方的相反数，即24－＝-（4×4），它与2

)4(－不同，两者不能混淆．

(2)3

)2.0(－表示-0.2的三次方．小数乘方运算应注意运算结果的小数点位置． 正解：（l ）2

4－＝-16；(2)3

)2.0(－＝-0.008．

三、例3 计算：(1)3

22

)8

3

1(?－；(2)2

)212(－．

错解：（1)3

2

2)831(?－＝412－；

(2)2)212(－＝4

14)21()2(22

＝＋－．

错解分析：：带分数相乘（或乘方）必须先把带分数化成假分数后再计算．

正解：（1）原式＝32331138811＝－＝－－

?； (2）原式＝4

1

6425)25(2＝＝－．

四、例4 已知：a ＝2，b ＝3，求b a ＋．

错解：因为a ＝2，b ＝3，所以a ＝±2，b ＝±3． 所以b a ＋＝±5． 错解分析：本题错在最后一步，本题应有四个解．错解中只注意同号两数相加，忽略了还有异号两数相加的情况．

正解：前两步同上，所以b a ＋＝±5，或b a ＋＝±1． 五、例5 下列说法正确的是（ ）

(A)0是正整数（B)0是最小的整数

(C)0是最小的有理数（D)0是绝对值最小的有理数

错解：选A

错解分析： 0不是正数，也不是负数，0当然不在正整数之列；再则，在有理数范围之内，没有最小的数．

正解：选D

六、例6按括号中的要求，用四舍五入法取下列各数的近似值：

(l)57.898（精确到O.01)；

(2)0.057988（保留三个有效数字）．

错解：（1)57.898≈57.9； (2)0.057988≈0.058

错解分析：（1)57.898精确到0.01，在百分位应有数字0，不能认为这个小数部分末尾的O是无用的．正确的答案应为57.90．注意57.9和57.90是精确度不同的两个近似数．(2）发生错解的原因是对“有效数字”概念不清．有效数字是指一个由四舍五入得来的近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字为止的所有数字，都叫这个数的有效数字．因此0.057988保留三个有效数字的近似值应为0.0580，而0.058只有两个有效数字．

七、例7选择题：

(l)绝对值大于10而小于50的整数共有（）

(A)39个（B)40个（C)78个（D)80个

(2)不大于10的非负整数共有（）

(A)8个（B)9个（C)10个（D)11个

错解：（1)D (2)C

错解分析： (l)10到50之间的整数（不包括10和50在内）共39个，-50到-10之间的整数也有39个，故共有78个．本题错在考虑不周密．(2)这里有两个概念：一是“不大于”，二是“非负整数”．前一概念不清，会误以为是0至9十个数字；后一概念不清，会误解为是1至10十个数字，都会错选（C)．

正解：(l)C (2)D

八、例8计算：12233489 233445910

?

－＋－＋－＋＋－．

错解：原式＝

12233489 ()()()() 233445910

?

－＋－＋－＋＋－

＝12233489233445910?－＋－＋－＋＋－

＝5

210921＝－－. 错解分析：绝对值符号有括号的功能，但不是括号．绝对值符号的展开必须按绝对值意义进行；特别是绝对值号内是负值时，展开后应取它的相反数．这是一个难点，应格外小心．

正解：因为0322

1

<－

，04332<－，05443<－，…，0109

98<－ 所以原式＝122334()()()233445

－－－－－－－ (89)

()910－－

＝122334233445－＋－＋－＋－…89910－＋＝5

2

10921＝＋－．

有理数的乘方错解示例

一、例1用乘方表示下列各式： （1）(5)(5)(5)(5)-?-?-?-； （2）

22223333

??? 错解：（1）4

(5)(5)(5)(5)5-?-?-?-=-；

（2）4

2222233333

???=.

错解分析：求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.

（1）错在混淆了4

(5)-与45-所表示的意义. 4

(5)-的底数是-5，表示4个-5相乘，即

(5)(5)(5)(5)-?-?-?-，而45-表示5555-???.

（2）错在最后结果没有加上括号.实际上423与4

2()3

的意义是不同的，423表示

22223???，而42()3表示2222

3333

???.

正解：（1）4

(5)(5)(5)(5)(5)-?-?-?-=-； （2）

4

22222()33333

???=. 二、例2计算：（1） 2 008

(1)-；（2）3

(2)-.

错解：（1） 2 008

(1)

2 008-=-；（2）3(2)6-=-.

错解分析：错解（1）（2）的原因都是没有真正理解乘方的意义，把指数与底数相乘了.