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(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结

四、双曲线

一、双曲线及其简单几何性质

（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨

迹叫做双曲线。定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。

● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；

当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）；

② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。

双曲线12222=-b y a x 与122

22=-b

x a y （a>0,b>0）的区别和联系

（二）双曲线的简单性质

1．范围：由标准方程122

22=-b

y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的

方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______

2. 对称性：对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________

特殊点：____________

实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长

虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长

双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点

4．离心率：

双曲线的焦距与实轴长的比

a c

a c e =

22，叫做双曲线的离心率范围：___________________

双曲线形状与e 的关系：1122

222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越

大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

5．双曲线的第二定义：

到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数

)0(>>=

a c a c

e 的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双

曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．准线方程：

对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2

1:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线

c a x l 2

2:=

； 6．渐近线

过双曲线122

2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线

围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0

=±b y

a x ），这两条直线就是双曲线

的渐近线

双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

7．等轴双曲线

定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线

性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e

8．共渐近线的双曲线系

与双曲线122

22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）共渐近线的双曲线方程可表示为λ=-2222b y a x (λ≠0且λ为待定

常数)

●备注：与双曲线122

22=-b y a x (a ＞b ＞0)共焦点的双曲线方程可表示为1-222

2=+-λ

λb y a x (λ＜a 2,且b 2＞ - λ)

例1 求与双曲线 - ＝1有共同渐近线且过点(2，3)的双曲线方程.

9．共轭双曲线

以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴，这样得到的双曲线称为原双曲线的共轭双曲线区别：三个量a,b,c 中a,b 不同（互换）c 相同共用一对渐近线双曲线和它的共轭双曲线的焦点在同一圆上

确定双曲线的共轭双曲线的方法：将1变为-1

10 .双曲线的焦半径

定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径焦半径公式的推导：利用双曲线的第二定义，

设双曲线 )0,0( 12

22>>=-b a b y a x ，21,F F 是其左右焦点则由第二定义：e d MF =11，

∴

e c

x MF =+

01 a x MF +=∴01e 同理 a ex MF -=02

11．通径定义：过焦点且垂直于对称轴的焦点弦

a b d 2

双曲线的简单几何性质总结归纳

双曲线的简单几何性质一．基本概念 1 双曲线定义： ①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． ②动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线 2、双曲线图像中线段的几何特征： ⑴实轴长122A A a =，虚轴长2b,焦距122F F c = ⑵顶点到焦点的距离：11A F =22A F c a =-，12A F =21A F a c =+ ⑶顶点到准线的距离：21122 a A K A K a c ==-；21221 a A K A K a c ==+ ⑷焦点到准线的距离：22 11221221 a a F K F K c F K F K c c c ==-==+或 ⑸两准线间的距离: 2 122a K K c = ⑹21F PF ?中结合定义a PF PF 221=-与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，122 12 cot 2 PF F F PF S b ?∠= ⑺离心率： 121122121122PF PF A F A F c e PM PM A K A K a ======∈（1，+∞） ⑻焦点到渐近线的距离：虚半轴长b ⑼通径的长是a b 22，焦准距2b c ，焦参数2b a （通径长的一半）其中2 22b a c +=a PF PF 221=- 3 双曲线标准方程的两种形式： ①22 a x －22 b y =1， c =22b a +，焦点是F 1（－c ，0），F 2（c ，0） ②22a y －22 b x =1， c =22b a +，焦点是F 1（0，－c ）、F 2（0，c ） 4、双曲线的性质：22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴范围：|x |≥a ，y ∈R ⑵对称性：关于x 、y 轴均对称，关于原点中心对称 ⑶顶点：轴端点A 1（－a ，0），A 2（a ，0） ⑷渐近线： ①若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程?=-02222b y a x x a b y ±= ②若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x ③若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上） ④特别地当?=时b a 离心率2=e ?两渐近线互相垂直，分别为y=x ±，

双曲线知识点复习总结

双曲线知识点总结复习 1.双曲线的定义：（1）双曲线：焦点在x 轴上时1-2222=b y a x （222 c a b =+），焦点在y 轴上时2 222-b x a y ＝1（0a b >>）。双曲线方程也可设为： 22 1(0)x y mn m n -=>这样设的好处是为了计算方便。（2）等轴双曲线：（注：在学了双曲线之后一定不要和椭圆的相关内容混淆了，他们之间有联系，可以类比。）例一：已知双曲线C 和椭圆22 1169 x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。（要分清椭圆和双曲线中的,,a b c 。）思考：定义中若（1）20a =；（2）122a F F =，各表示什么曲线？ 2.双曲线的几何性质：（1）双曲线（以）（0,01-22 22>>=b a b y a x 为例）：①范围：x a x a ≥≤-且；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点 (,0),(0,)a b ±±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =±；⑤离心率：c e a =，双曲线?1e >，e 越大，双曲线开口越大；e 越小，双曲线开口越小。⑥通径22b a （2）渐近线：双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线为：等轴双曲线的渐近线方程为：，离心率为：（注：利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图）例二：方程 1112 2=--+k y k x 表示双曲线，则k 的取值范围是___________________ 例三：双曲线与椭圆 164 162 2=+y x 有相同的焦点，它的一条渐近线为x y -=，则双曲线的方程为__________________ 例四：双曲线142 2=+b y x 的离心率)2,1(∈e ，则b 的取值范围是___________________

双曲线的简单几何性质(教案)(精)

双曲线的简单几何性质山丹一中周相年教学目标: (1 知识目标能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 . (2能力目标通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 . (3 情感目标通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 . 教学难点:双曲线的渐近线 . 教学方法:启发诱导、练讲结合教学用具 :多媒体教学过程: 一、复习回顾,问题引入: 问题 1:双曲线的定义及其标准方程?

问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究? 二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122 22>>=-b a b y a x 研究它的几何性质 1. 范围: 双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 . 2. 对称性: 双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称中心叫双曲线中心 . 3.顶点: (1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0, 它们叫做双曲线的顶点 . (2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .

双曲线知识点归纳总结

双曲线知识点归纳总结标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

第二章 2.3 双曲线

① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a =2c 时，即2121F F MF MF =-,当2 12 1F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2 AB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01 ,01 B A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解.

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北安一中高二数学导学案主备人：陈叔彤审阅人：高二数学组备课日期：2012-10-17 课题：§双曲线简单几何性质知识点总结课时：课时班级：姓名：【学习目标】知识与技能：1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握双曲线的另一种定义及准线的概念3．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念过程与方法：进一步对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育情感态度与价值观：辨证唯物主义世界观。【学习重点】双曲线的几何性质及其应用。【学习难点】双曲线的知识结构的归纳总结。【学法指导】 1.课前依据参考资料，自主完成，有疑问的地方做好标记. 2.课前互相讨论交流，课上积极展示学习成果. 【知识链接】双曲线的定义：_________________________________________________【学习过程】 1．范围：由标准方程，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图 122 22=-b y a x 象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 X 的取值范围________ y 的取值范围______2. 对称性：对称轴________ 对称中心________3．顶点：(如图) 顶点：____________特殊点：____________实轴：长为2a, a 叫做半实轴长21A A 虚轴：长为2b ，b 叫做虚半轴长 21B B 双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比，叫做双曲线的离心率 a c a c e == 22范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：，e 越大，即渐112 222 2-=-=-= =e a c a a c a b k 近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔

双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线

右延伸的一条射线；当2 112 F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 4. 形如)0(12 2πAB By Ax =+的方程可化为11122=+ B y A x 当01 ,01φπB A ，双曲线的焦点在y 轴上；当01 ,01πφB A ，双曲线的焦点在x 轴上； 5.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 6. 离心率与渐近线之间的关系 22 2 22222 1a b a b a a c e +=+== 1）2 1?? ? ??+=a b e 2） 12-=e a b 7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）. (4)与双曲线12222=-b y a x 共渐近线的双曲线系方程是λ=-22 22b y a x 0(≠λ

双曲线知识点归纳总结例题分析

双曲线基本知识点

补充知识点：等轴双曲线的主要性质有：（1）半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b ，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b 这两个字母）；（2）其标准方程为x^2-y^2=C ，其中C≠0；（3）离心率e=√2；（4）渐近线：两条渐近线 y=±x 互相垂直；（5）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项；（6）等轴双曲线上任意一点P 处的切线夹在两条渐近线之间的线段，必被P 所平分；（7）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2；（8）等轴双曲线x^2-y^2=C 绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2，其中C≠0。所以反比例函数y=k/x 的图像一定是等轴双曲线。例题分析：

例1、动点P 与点1(05)F ，与点2(05)F -，满足126PF PF -=，则点P 的轨迹方程为（）Ａ．221916x y -= Ｂ．22 1169 x y -+= Ｃ．221(3)169x y y -+=≥ Ｄ．22 1(3)169 x y y -+=-≤ 同步练习一:如果双曲线的渐近线方程为34 y x =±，则离心率为（）Ａ．5 3 Ｂ．54 Ｃ．53或54 例2、已知双曲线22 14x y k +=的离心率为2e <，则k 的范围为（）Ａ．121k -<< Ｂ．0k < Ｃ．50k -<< Ｄ．120k -<< 同步练习二:双曲线22 221x y a b -=的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为．例3、设P 是双曲线22 219 x y a -=上一点，双曲线的一条渐近线方程为320x y -=，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，若13PF =，则2PF 的值为．同步练习三:若双曲线的两个焦点分别为(02)(02)-，，，，且经过点(2，则双曲线的标准方程为。例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是 (A)x 23-y 2=1和y 29 -x 2 3=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1 (C)y 2- x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -3 2 y =1 同步练习四:已知双曲线的中心在原点，两个焦点 12F F ，分别为和(，点P 在双曲线上且12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为1，则双曲线的方程为（）Ａ．22 123 x y -= Ｂ．22 132 x y -=

双曲线的简单几何性质 (第二课时) 教案 2

课题：8．4双曲线的简单几何性质（二）教学目的： 1．使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质 2．掌握等轴双曲线，共轭双曲线等概念 3．并使学生能利用上述知识进行相关的论证、计算、作双曲线的草图以及解决简单的实际问题 4．通过教学使同学们运用坐标法解决问题的能力得到进一步巩固和提高，“应用数学”的意识等到进一步锻炼的培养教学重点：双曲线的渐近线、离心率教学难点：渐近线几何意义的证明，离心率与双曲线形状的关系授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入： 1．范围、对称性由标准方程122 22=-b y a x ，从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线双曲线不封闭，但仍称其对称中心为双曲线的中心 2．顶点顶点：()0,),0,(21a A a A - 特殊点：()b B b B -,0),,0(21 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点，这是两者的又一差异 3．渐近线过双曲线122 22=-b y a x 的两顶点21,A A ，作Y 轴的平行线a x ±=，经过21,B B 作X 轴的平行线b y ±=，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是x a b y ± =（ 0=±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线 4．等轴双曲线定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，这样的双曲线叫做等轴双曲线等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±=；（2）渐近线互相垂直；（3）离心率2=e x y Q B 1 B 2A 1A 2N M O

双曲线知识点归纳总结

第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程（焦点在x轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b y a x 标准方程（焦点在y轴） )0 ,0 (1 2 2 2 2 > > = -b a b x a y 定义第一定义：平面内与两个定点 1 F， 2 F的距离的差的绝对值是常数（小于 12 F F）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M2 2 1 = -()21 2F F a< 第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离的比是常数e，当1 e>时，动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数 e（1 e>）叫做双曲线的离心率。范围x a ≥，y R ∈y a ≥，x R ∈ 对称轴x轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b 对称中心原点(0,0) O x y P 1 F 2 F x y P x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1 F 2 F x y P

焦点坐标 1 (,0) F c- 2 (,0) F c 1 (0,) F c- 2 (0,) F c 焦点在实轴上，22 c a b =+；焦距： 12 2 F F c = 顶点坐标（a -,0） (a,0) (0, a -,) (0，a) 离心率e a c e( =>1) 准线方程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： c a2 2 顶点到准线的距离顶点 1 A（ 2 A）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a a 2 - 顶点 1 A（ 2 A）到准线 2 l（ 1 l）的距离为a c a + 2 焦点到准线的距离焦点 1 F（ 2 F）到准线 1 l（ 2 l）的距离为 c a c 2 - 焦点 1 F（ 2 F）到准线 2 l（ 1 l）的距离为c c a + 2 渐近线方程 x a b y± =x b a y± = 共渐近线的双曲线系方程 k b y a x = - 2 2 2 2 （0 k≠）k b x a y = - 2 2 2 2 （0 k≠） ①当|MF1|－|MF2|=2a时，则表示点M在双曲线右支上；当a MF MF2 1 2 = -时，则表示点M在双曲线左支上； ②注意定义中的“（小于 12 F F）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a=2c时，即 2 1 2 1 F F MF MF= -,当21 2 1 F F MF MF= -，动点轨迹是以2F为端点向右延伸的一条射线；当 2 1 1 2 F F MF MF= -时，动点轨迹是以1F为端点向左延伸的一条射线；

(完整版)双曲线简单几何性质知识点总结

四、双曲线一、双曲线及其简单几何性质（一）双曲线的定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离差的绝对值等于常数2a （0＜2a ＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫做双曲线。定点叫做双曲线的焦点；|F 1F 2|=2c ，叫做焦距。 ● 备注：① 当|PF 1|-|PF 2|=2a 时，曲线仅表示右焦点F 2所对应的双曲线的一支（即右支）；当|PF 2|-|PF 1|=2a 时，曲线仅表示左焦点F 1所对应的双曲线的一支（即左支）； ② 当2a=|F 1F 2|时，轨迹为以F 1，F 2为端点的2条射线； ③ 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。双曲线12222=-b y a x 与122 22=-b x a y （a>0,b>0）的区别和联系

（二）双曲线的简单性质 1．范围：由标准方程122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0），从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大。 x 的取值范围________ ,y 的取值范围______ 2. 对称性：对称轴________ 对称中心________ 3．顶点：(如图) 顶点：____________ 特殊点：____________ 实轴：21A A 长为2a, a 叫做半实轴长虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做半虚轴长双曲线只有两个顶点，而椭圆则有四个顶点 4．离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 a c a c e = = 22，叫做双曲线的离心率范围：___________________ 双曲线形状与e 的关系：1122 222-=-=-==e a c a a c a b k ，e 越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔 5．双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数 )0(>>= a c a c e 的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e 是双曲线的离心率．准线方程：对于12222=-b y a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 2 1:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线 c a x l 2 2:= ； 6．渐近线过双曲线122 2 2=-b y a x 的两顶点21,A A ，作x 轴的垂线a x ±=，经过21,B B 作y 轴的垂线b y ±=，四条直线围成一个矩形矩形的两条对角线所在直线方程是____________或（0 =±b y a x ），这两条直线就是双曲线的渐近线双曲线无限接近渐近线，但永不相交。

双曲线知识点归纳总结.

第二章 2.3 双曲线双曲线标准方程（焦点在x 轴） )0,0(122 22>>=-b a b y a x 标准方程（焦点在y 轴） )0,0(122 22>>=-b a b x a y 定义第一定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的绝对值是常数（小于12F F ）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 {}a MF MF M 22 1 =-()212F F a < 第二定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离的比是常数e ，当1e >时，动点的轨迹是双曲线。定点F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （1e >）叫做双曲线的离心率。范围 x a ≥，y R ∈ y a ≥，x R ∈ 对称轴 x 轴，y 轴；实轴长为2a ,虚轴长为2b 对称中心原点(0,0)O 焦点坐标 1(,0)F c - 2(,0)F c 1(0,)F c - 2(0,)F c 焦点在实轴上，22c a b =+；焦距：122F F c = 顶点坐标（a -,0） (a ,0) (0, a -,) (0，a ) x y P 1 F 2 F x y P x y P 1F 2F x y x y P 1 F 2 F x y x y P 1F 2F x y P

离心率 e a c e (= >1) 准线方程 c a x 2 ± = c a y 2 ± = 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：c a 2 2 顶点到准线的距离顶点1A （2A ）到准线1l （2l ）的距离为c a a 2 - 顶点1 A （2A ）到准线2l （1l ）的距离为a c a +2 焦点到准线的距离焦点1F （2F ）到准线1l （2l ）的距离为c a c 2 - 焦点1F （2F ）到准线2l （1l ）的距离为c c a +2 渐近线方程 x a b y ±= x b a y ±= 共渐近线的双曲线系方程 k b y a x =-2222（0k ≠） k b x a y =-22 2 2（0k ≠） 1. 双曲线的定义 ① 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，则表示点M 在双曲线右支上；当a MF MF 212=-时，则表示点M 在双曲线左支上； ② 注意定义中的“（小于12F F ）”这一限制条件，其根据是“三角形两边之和之差小于第三边”。若2a =2c 时，即2 12 1F F MF MF =-,当2121F F MF MF =-，动点轨迹是以2F 为端点向右延伸的一条射线；当2112F F MF MF =-时，动点轨迹是以1F 为端点向左延伸的一条射线；若2a ＞2c 时，动点轨迹不存在. 2. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. 对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 3. 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<.

(完整word版)双曲线知识点总结

双曲线知识点知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1F 2 的垂直平分线。标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点

轴长实轴长=，虚轴长= 离心率渐近线方程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长a b 2 2 2.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率 ,两条渐近线互相垂直为 ,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y 轴上） 4.焦点三角形的面积2 cot 2 21θ b S F PF =?，其中21PF F ∠=θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a 根据|MF 1|－|MF 2|=±2a a ＞c ＞0， a 2－c 2= b 2（b ＞0） 0＜a ＜c ， c 2－a 2=b 2（b ＞0），（a ＞b ＞0），（a ＞0，b ＞0，a 不一定大于b ）

2019年高二数学双曲线知识点总结

2019年高二数学双曲线知识点总结双曲线是高二数学中较难的内容，同时也是高中数学的重点。下面给高二同学带来数学双曲线知识点，希望对你有帮助。 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a; 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法

如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y')则a-b=(x-x',y-y'). 3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。当λ>0时，λa与a同方向; 当λ<0时，λa与a反方向; 当λ=0时，λa=0，方向任意。当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。当∣λ∣>1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 当∣λ∣0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。 ②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。 4、向量的的数量积

双曲线知识点总结

双曲线知识点总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

双曲线知识点知识点一：双曲线的定义: 在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意： 1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F 1 、F 2 为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F 1 F 2 的垂直平分线。标准方程图形性质焦点，，焦距范围，，对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴长实轴长=，虚轴长= 离心率

渐近线方程 1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长 a b2 2 2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为 3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上） 4.焦点三角形的面积 2 cot 2 2 1 θ b S F PF = ? ，其中 2 1 PF F ∠ = θ 5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b. 6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0 (1 2 2< = +mn ny mx 7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1 |+|MF 2 |=2a根据|MF 1 |－|MF 2 |=±2a a＞c＞0， a2－c2=b2（b＞0） 0＜a＜c， c2－a2=b2（b＞0），（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）

2-2-2 双曲线的简单几何性质

能力拓展提升一、选择题 11．已知方程ax 2－ay 2＝b ，且a 、b 异号，则方程表示( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D [解析] 方程变形为x 2b a －y 2b a ＝1，由a 、b 异号知b a <0，故方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故答案为D. 12．(2013·新课标Ⅰ文，4)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为5 2，则C 的渐近线方程为( ) A ．y ＝±1 4x B ．y ＝±1 3x C ．y ＝±12x D ．y ＝±x [答案] C [解析] 本题考查双曲线渐近线方程．由题意得c a ＝52，即c ＝52a ，而c 2 ＝a 2 ＋b 2 ，所以a 2 ＋b 2 ＝54a 2，b 2＝14a 2，b 2a 2＝14，所以b a ＝12，渐近线的方程为y ＝±1 2x ，选C.在解答此类问题时，要充分利用a 、b 、c 的关系． 13．(2012～2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆x 2 a 2

＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，则双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3 2x B ．y ＝±1 2x C ．y ＝±2x D ．y ＝±233x [答案] A [解析] 由题意得a 2－b 2a ＝12， ∴3a 2 ＝4b 2 ，∴b a ＝3 2. ∴双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±3 2x . 14．中心在坐标原点，离心率为5 3的双曲线的焦点在y 轴上，则它的渐近线方程为( ) A ．y ＝±5 4x B ．y ＝±4 5x C ．y ＝±43x D ．y ＝±34x [答案] D [解析] ∵c a ＝53，∴c 2a 2＝a 2＋b 2 a 2＝259，∴ b 2a 2＝16 9， ∴b a ＝4 3，又∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴双曲线的渐近线方程为x ＝±b a y ，即x ＝±4 3y ， ∴所求双曲线的渐近线方程为y ＝±34x . 二、填空题

双曲线经典知识点总结-双曲线知识点总结

双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0 且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距. 注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解； 2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支； 3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线（包括端点）； 4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在； 5．若常数，则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。知识点二：双曲线的标准方程 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中； 2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有； 3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为，；当的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为， . 知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成― x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。 ②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。（4）离心率：①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作。 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率。由c2=a2+b2，可得，所以决定双曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴双曲线，所以离心率。（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线叫做双曲线的渐近线。注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。标准方程图形性质焦点，，焦距

高中数学双曲线的简单几何性质(经典)

双曲线的简单几何性质【知识点1】双曲线22a x -2 2b y ＝1的简单几何性质 (1)范围：｜x ｜≥a,y∈R. (2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x 轴、y 轴及原点中心对称. (3)顶点：两个顶点：A 1(-a,0),A 2(a,0)，两顶点间的线段为实轴长为2a ，虚轴长为2b ，且c 2 ＝a 2 +b 2 . (4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y ＝±a b x ，或令双曲线标准方程22a x -2 2b y ＝1中的1为零即得渐近线方程. (5)离心率e ＝a c ＞1，随着e 的增大，双曲线张口逐渐变得开阔. (6)等轴双曲线(等边双曲线)：x 2-y 2＝a 2 (a≠0),它的渐近线方程为y ＝±x,离心率e ＝2. (7)共轭双曲线：方程22a x -22b y ＝1与22a x -2 2b y ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注意方程的表达形式. 注意：（1）与双曲线22a x -22b y ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为22a x -2 2b y ＝λ(λ≠0且λ为待定常数) （2）与椭圆22a x +22b y ＝1(a ＞b ＞0)共焦点的曲线系方程可表示为λ-22a x -λ-22b y ＝1(λ＜a 2,其中b 2 -λ＞0时为椭圆， b 2 ＜λ＜a 2 时为双曲线) （3）双曲线的第二定义：平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l :x ＝c a 2的距离之比等于常数e ＝a c (c ＞a ＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝c b 2 ，与椭圆相同. 1、写出双曲线方程125492 2 -=-y x 的实轴长、虚轴的长，顶点坐标，离心率和渐近线方程 2、已知双曲线的渐近线方程为x y 4 3 ±=，求双曲线的离心率

双曲线方程的知识点总结

双曲线方程的知识点总结双曲线方程的知识点总结双曲线方程 1.双曲线的第一定义： ⑴①双曲线标准方程： .一般方程： ⑵①i.焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或 ii.焦点在轴上：顶点： .焦点： .准线方程： .渐近线方程：或，参数方程：或

②轴为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b，焦距2c.③离心率 .④准线距 (两准线的距离);通径 .⑤参数关系 .⑥焦点半径公式：对于双曲线方程分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则：构成满足 (与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号) ⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率 ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线. 与互为共轭双曲线，它们具有共同的`渐近线： ⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为

例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程? 解：令双曲线的方程为：，代入得 ⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条; 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条; 区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线. 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条. (2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号. ⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m=n，则P到两准线的距离比为m?n.

双曲线简单几何性质知识点总结

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