圆与方程高考历年真题
圆与方程高考真题精选
2009年考题
1.（2009辽宁）已知圆C 与直线x －y=0 及x －y －4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，
则圆C 的方程为（ ）
（A ）2
2
(1)(1)2x y ++-= (B) 2
2
(1)(1)2x y -++=
(C) 2
2
(1)(1)2x y -+-= (D) 2
2
(1)(1)2x y +++=
【解析】选B.圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象,或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可.
2.（2009浙江）已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【解析】选B.由于3，4，5构成直角三角形S ，故其内切圆半径为r=345
12
+-=,当该圆运动时，最多与直角三角形S 的两边也有4个交点。
3.（2009上海）.过圆22
(1)(1)1C x y -+-=：
的圆心，作直线分别交x 、y 正半轴于
点A 、B ，AOB ?被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足|||,S S S S I ∏+=+￥
则直线AB 有（ ）
（A ） 0条 （B ） 1条 （C ） 2条 （D ） 3条
【解析】选B.由已知，得：,IV II III I S S S S -=-，第II ，IV 部分的面积是定值，所以，IV II S S -为定值，即,III I S S -为定值，当直线AB 绕着圆心C 移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB 只有一条，故选B 。
4.（2009湖南）已知圆1C ：2
(1)x ++2
(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ）
（A ）2
(2)x ++2
(2)y -=1 （B ）2
(2)x -+2
(2)y +=1
（C ）2
(2)x ++2
(2)y +=1 （D ）2
(2)x -+2
(2)y -=1
【解析】选B.设圆2C 的圆心为（a ，b ），则依题意，有11
1022111a b b a -+?--=???-?=-?+?
， 解得：2
2
a b =??=-?，对称圆的半径不变，为1，故选B.
5.（2009陕西高考）过原点且倾斜角为60?的直线被圆22
40x y y +-=所截得的弦长为 （A ）3 （B ）2 （C ）6 （D ）23
【解析】选D.过原点且倾斜角为60°的直线方程为
22
22
30,243021,R 24123
31
x y x y d d -=+-=?-=
=-=-=+圆（）的圆心（0，2）到直线的距离为
因此弦长为2
6.（2009重庆高考）直线1y x =+与圆22
1x y +=的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离
【解析】选B.圆心(0,0)为、到直线1y x =+，即10x y -+=的距离
d ==
，而012<<，选B 。
7.（2009重庆高考）圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的方程为（ ）
A ．2
2
(2)1x y +-= B ．2
2
(2)1x y ++=
C ．2
2
(1)(3)1x y -+-=
D ．22
(3)1x y +-=
【解析】选A.方法1（直接法）：设圆心坐标为(0,)b 1=，解得2b =，
故圆的方程为2
2
(2)1x y +-=。
方法2（数形结合法）：由作图根据点(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为（0，2），故圆的方程为
22(2)1x y +-=
方法3（验证法）：将点（1，2）代入四个选择支排除B ，D ，又由于圆心在y 轴上，排除C 。
8.（2009上海高考）过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是 ( )
（A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x .
【解析】选C.点)1,0(P 在圆03222=--+x y x 内，圆心为C （1，0），截得的弦最长时的直线为CP ，方程是111
x y
+=，即01=-+y x 。
9. （2009广东高考）以点（2，1-）为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程是 .
【解析】将直线6x y +=化为60x y +-=,圆的半径112
r ==+,
所以圆的方程2225
(2)(1)2
x y -++=
答案:2225(2)(1)2
x y -++=
10. （2009天津高考）若圆224x y +=与圆22
260x y ay ++-=（a>0）的公共弦的长为3
则=a ___________。
【解析】由知22
260x y ay ++-=的半径为2
6a +，由图可知222)3()1(6=---+a a
解之得1=a 答案:1.
11.（2009全国Ⅱ）已知AC BD 、为圆O :22
4x y +=的两条相互垂直的弦，垂足为(2M ,
则四边形ABCD 的面积的最大值为 。
【解析】设圆心O 到AC BD 、的距离分别为12d d 、,则222
123d d OM ==+.
四边形ABCD 的面积1
||||2
S AC BD =?= 答案:5.
12.（2009全国Ⅱ）已知圆O ：52
2=+y x 和点A （1，2），则过A 且与圆O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
【解析】由题意可直接求出切线方程为y-2=2
1
-(x-1)，即x+2y-5=0,从而求出在两坐标轴上的截距分别是5和25，所以所求面积为4
2552521=??。 答案:25
4
13. （2009湖北高考）过原点O 作圆x 2+y 2－6x －8y ＋20=0的两条切线，设切点分别为P 、Q ，
则线段PQ 的长为 。
【解析】可得圆方程是22
(3)(4)5x y -+-=又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理得4PQ =
答案:4
14.（2009四川高考）若⊙221:5O x y +=与⊙22
2:()20()O x m y m R -+=∈相交于A 、B 两点，
且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 .
【解析】由题知)0,(),0,0(21m O O ，且53||5< 525)52()5(222±=?=+=m m ，∴45 20 52=?? =AB 。 答案:4. 15.（2009福建高考）已知直线l:3x+4y-12=0与圆C:12cos 22sin x y θ θ =-+??=+? (θ为参数 )试判断他们的公共点 个数. 【解析】圆的方程可化为22(1)(2)4x y ++-=. 其圆心为(1,2)C -,半径为2. 圆心到直线的距离 725 d == < 故直线与圆的公共点个数为2. 答案：2 16.（2009海南、宁夏高考）已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+??=+? （t 为参数）， C 2：8cos , 3sin ,x y θθ=??=? （θ为参 数）。 （1）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C 1上的点P 对应的参数为2 t π =，Q 为C 2上的动点，求PQ 的中点M 到直线 332, :2x t C y t =+?? =-+? （t 为参数）距离的最小值。 【解析】（Ⅰ）22 2 2 12:(4)(3)1,: 1.649 x y C x y C ++-=+= 1C 为圆心是（4,3)-，半径是1的圆. 2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. （Ⅱ）当2 t π =时，3 (4,4).(8cos ,3sin ),(24cos ,2sin ).2 P Q M θθθθ--++ 故 3C 为直线35 270,|4cos 3sin 13|.x y M C d θθ--== --到的距离 从而当43 cos ,sin 55 θθ= =-时，85.5d 取得最小值 17.（2009江苏高考）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆22 1:(3)(1)4C x y ++-=和圆 222:(4)(5)4C x y -+-=. （1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为23，求直线l 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。 【解析】本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。 (1)设直线l 的方程为：(4)y k x =-，即40kx y k --= 由垂径定理，得：圆心1C 到直线l 的距离 22 232( )12 d =-=， 结合点到直线距离公式，得：2 |314| 1,1 k k k ---=+ 化简得：272470,024 k k k k +===-或 求直线l 的方程为：0y =或7(4)24 y x =--， 即0y =或724280x y +-= (2) 设点P 坐标为(,)m n ，直线1l 、2l 的方程分别为： 1(),()y n k x m y n x m k -=--=--，即：11 0,0kx y n km x y n m k k -+-=--++= 因为直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，两圆半径相等。 由垂径定理，得圆心1C 到直线1l 与2C 直线2l 的距离相等。 故有：2 241|5| 111n m k k k k --++=++， 化简得：(2)3,(8)5m n k m n m n k m n --=---+=+-或 关于k 的方程有无穷多解，有：20,30m n m n --=???? --=?? m-n+8=0 或m+n-5=0 解之得：点P 坐标为313(,)22-或51(,)22-。 2008年考题 1、（2008山东高考）若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是 （ ） A ．2 2 7 (3)13 x y -+-=（） B ．22 (2)(1)1x y -+-= C ．2 2 (1)(3)1x y -+-= D ．22 3 (1)12 x y -+-=（） 【解析】选B.设圆心为(,1),a 由已知得|43|1 1,2().52 a d a -==∴=-舍 2、（2008广东高考）经过圆2 2 20x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（ ） A ．x ＋y ＋1＝0 B ．x ＋y －1＝0 C ．x －y ＋1＝0 D ．x －y －1＝0 【解析】选C.易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+， 将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=（或由图象 快速排除得正确答案）。 3、（2008山东高考）已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为 （ ） A ．106 B ．206 C ．306 D ．406 【解析】选B 。将方程化成标准方程2 2 (3)(4)25x y -+-=，过点(3,5)的最长弦（直径）为10,AC = 最短弦为BD ==1 2 S AC BD =?= 4、（2008全国Ⅰ）若直线b y a x +＝1与圆122=+y x 有公共点，则（ ） A ．122≤+b a B ．122≥+b a C ．11122≤+b a D ．11 12 2≥+b a 【解析】选D.本题主要考查了直线与圆的位置关系的判断，由相切或相交得：d r ≤， 1d = ≤ 1≥． 5、（2008安徽高考）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取 值范围为（ ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 【解析】选C.方法一：数形结合法（如图） 另外，数形结合画出图象也可以判断C 正确。 方法二：利用距离与半径的关系 点()4,0A 在圆外，因此斜率必存在。设直线方程为(4)y k x =-， 即40kx y k --=，直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点， 圆心到直线的距离小于等于半径 1d =≤， 得222141,3 k k k ≤+≤33k -≤≤. 6、（2008上海高考）如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点C 、D 的定圆所围成区域（含边界），A 、B 、C 、D 是该圆的四等分点，若点(,)P x y 、(,)P x y ''满足x x '≤且y y '≥，则称P 优于P '，如果Ω中的点Q 满足：不存在Ω中的其它点优于Q ，那么所有这样的点Q 组成的集合是劣弧（ ） A ．? AB B ．?AB C ．?AB D ．?AB 【解析】选D.由题意知，若P 优于P '，则P 在P '的左上方， ∴当Q 在 上时，左上的点不在圆上， ∴不存在其它优于Q 的点， ∴Q 组成的集合是劣弧。 7、（2008天津高考）已知圆C 的圆心与点(21)P -，关于直线1y x =+对称．直线34110x y +-=与圆C 相交于A B ，两点，且6AB =，则圆C 的方程为 ． 【解析】本小题主要考查直线方程中的对称．．问题，圆中有关弦长的计算两方面的知识． 由已知可求圆心的坐标为(0,1)-，所以2 2 2 2 (411)3185 r --=+=，圆的方程为22(1)18x y ++=． 答案:2 2 (1)18x y ++= 8、（2008宁夏海南高考）已知,m ∈R 直线m y m mx l 4)1(:2 =+-和圆01648:2 2 =++-+y x y x C . （Ⅰ）求直线l 斜率的取值范围； （Ⅱ）直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为2 1 的两段圆弧？为什么？ 【解析】（Ⅰ）22 ,0()1 m k km m k m = ∴-+=*+Q ， ,m ∈R Q ∴当k ≠0时0?≥，解得11 22 k -≤≤且k ≠0 又当k ＝0时，m ＝0，方程()*有解，所以，综上所述1 122 k -≤≤ （Ⅱ）假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比值为2 1 的两段圆弧．设直线l 与圆C 交于A ，B 两点 则∠ACB ＝120°．∵圆22:(4)(2)4C x y -++=，∴圆心C （4，-2）到l 的距离为1． 1=，整理得423530m m ++=． ∵254330?=-??<，∴423530m m ++=无实数解． 因此直线l 不可能将圆C 分割成弧长的比值为2 1 的两段圆弧． 9、（2008江苏高考）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数2 ()2f x x x b =++（x ∈R ）与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C ． （Ⅰ）求实数b 的取值范围； （Ⅱ）求圆C 的方程； （Ⅲ）圆C 是否经过定点（与b 的取值无关）？证明你的结论． 【解析】（Ⅰ）令x =0，得抛物线于y 轴的交点是（0，b ） 令f (x )=0，得x 2+2x +b =0，由题意b ≠0且△>0，解得b <1且b ≠0 （Ⅱ）设所求圆的一般方程为x 2+ y 2+D x +E y +F=0 令y =0，得x 2+D x +F=0，这与x 2+2x +b =0是同一个方程，故D=2，F=b 令x =0，得y 2+ E y +b =0，此方程有一个根为b ，代入得E=-b -1 所以圆C 的方程为x 2+ y 2+2x -(b +1）y +b =0 （Ⅲ）圆C 必过定点（0，1），（-2，1） 证明如下：将（0，1）代入圆C 的方程，得左边= 02+ 12+2×0-(b +1）×1+b =0，右边=0 所以圆C 必过定点（0，1）； 同理可证圆C 必过定点（-2，1）． 10、（2008北京高考）已知菱形ABCD 的顶点A C ，在椭圆22 34x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． （Ⅰ）当直线BD 过点(01)，时，求直线AC 的方程； （Ⅱ）当60ABC ∠=o 时，求菱形ABCD 面积的最大值． 【解析】（Ⅰ）由题意得直线BD 的方程为1y x =+． 因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥． 于是可设直线AC 的方程为y x n =-+． 由2234x y y x n ?+=?=-+?，得2246340x nx n -+-=． 因为A C ，在椭圆上， 所以212640n ?=-+> ，解得n <<． 设A C ，两点坐标分别为1122()()x y x y ，， ，， 则1232 n x x +=，212344n x x -=，11y x n =-+，22y x n =-+． 所以122 n y y +=． 所以AC 的中点坐标为344n n ?? ?? ?，． 由四边形ABCD 为菱形可知，点344n n ?? ??? ，在直线1y x =+上， 所以3144 n n =+，解得2n =-． 所以直线AC 的方程为2y x =--，即20x y ++=． （Ⅱ）因为四边形ABCD 为菱形，且60ABC ∠=o ， 所以AB BC CA ==． 所以菱形ABCD 的面积2 32 S AC =． 由（Ⅰ）可得22 2 2 1212316 ()()2 n AC x x y y -+=-+-=， 所以234343(316)S n n ?? =-+-<< ? ??? ． 所以当0n =时，菱形ABCD 的面积取得最大值43． 11、（2008湖北高考）如图，在以点O 为圆心，||4AB =为直径的半圆ADB 中， OD AB ⊥，P 是半圆弧上一点，30POB ∠=?，曲线C 是满足||||||MA MB - 为定值的动点M 的轨迹，且曲线C 过点P . （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 若△OEF 的面积不小于．．．22，求直线l 斜率的取值范围. 【解析】（Ⅰ）方法1：以O 为原点，AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，则A （-2，0），B （2，0），D (0,2),P （1,3），依题意得 ｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB AB ｜＝4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ， 则c ＝2，2a ＝22，∴a 2=2,b 2=c 2-a 2=2.∴曲线C 的方程为12 22 2=-y x . 方法2：同方法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA ｜-｜MB ｜=｜PA ｜-｜PB ｜＜｜AB ｜＝4. ∴曲线C 是以原点为中心，A 、B 为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为a b y a x (122 22=-＞0，b ＞0）. 则由?? ? ??=+=-41132222 22 b a b a ）（解得a 2= b 2=2, ∴曲线C 的方程为.12 22 2=-y x 图1 图2 (Ⅱ)方法1：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理得（1-K 2）x 2-4kx-6=0. ① ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴ 2 22 10(4)46(1)0 k k k ?-≠???=-+?->?? ?1k k ≠±???< ∴k ∈（-3,-1）∪（-1，1）∪（1，3）. ② 设E （x 1，y 1），F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=12 22 46 ,11k x x k k =---,于是 ｜EF = ＝.132214)(12 2 2 212 212 k k k x x x x k --?+=-+?+ 而原点O 到直线l 的距离d ＝ 2 12k +， ∴S △OEF =.1322132211221212222 22k k k k k k EF d --=--?+?+?=? 若△OEF 面积不小于22,即S △OEF 22≥，则有 解得.22,022******** 2 ≤≤-≤--?≥--k k k k k ③ 综合②、③知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1)∪(-1,1) ∪(1, 2]. 方法2：依题意，可设直线l 的方程为y ＝kx +2，代入双曲线C 的方程并整理， 得（1-K 2）x 2-4kx -6=0. ∵直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴ 2 22 10(4)46(1)0 k k k ?-≠???=-+?->?? ?1k k ≠±???< ∴k ∈（-3，-1）∪（-1，1）∪（1，3）. 设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),则由①式得 ｜x 1-x 2｜=.132214)(2 2 2 212 21k k k x x x x --= -?=-+ ③ 当E 、F 在同一支上时（如图1所示）， S △OEF ＝;2 1 212121x x OD x x OD S S ODE ODF -?=-?=-?? 当E 、F 在不同支上时（如图2所示）. +=??ODF OEF S S S △ODE = .2 1 )(212121x x OD x x OD -?=+? 综上得S △OEF ＝,2 1 21x x OD -?于是 由｜OD ｜＝2及③式，得S △OEF =.13222 2 k k -- 若△OEF 面积不小于2则有即,22,2≥?OEF S 42 2 20,1k k k k ≥?--≤-≤≤-解得 ④ 综合②、④知，直线l 的斜率的取值范围为[-2，-1）∪（-1，1）∪（1，2]. 2007年考题 1、(2007安徽高考)若圆0422 2 =--+y x y x 的圆心到直线0=+-a y x 的距离为2 2 ,则a 的值为 (A)-2或2 (B) 2 321或 (C)2或0 (D)-2或0 【解析】选C.若圆04222 =--+y x y x 的圆心(1，2)到直线0=+-a y x 的距离为 2 2 ，∴ 2=， ∴ a =2或0，选C 。 2、（2007上海高考）圆0122 2=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．2 1 )2()3(22=-++y x Ｂ．2 1)2()3(22= ++-y x Ｃ．2)2()3(2 2=-++y x Ｄ．2)2()3(2 2=++-y x 【解析】选C.圆2222 210(1)2x y x x y +--=?-+=，圆心（1，0），关于直线0 32=+-y x 对称的圆半径不变，排除A 、B ，两圆圆心连线，线段的中点在直线032=+-y x 上，C 中圆 2)2()3(22=-++y x 的圆心为（－3，2），验证适合，故选C 。 3、（2007湖北高考）已知直线 1x y a b +=（a b ，是非零常数）与圆22100x y +=有公共点，且公共点的 X 横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（ ） A ．60条 B ．66条 C ．72条 D ．78条 【解析】选A.可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点， 而圆2 2 100x y +=上的整数点共有12个，分别为()()()6,8,6,8,8,6±-±±， ()()()8,6,10,0,0,10-±±±，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条；12个点中过任意两点， 构成2 1266C =条直线，其中有4条直线垂直x 轴，有4条直线垂直y 轴，还有6条过原点（圆上点的对称 性），故满足题设的直线有52条。综上可知满足题设的直线共有52860+=条，选A. 4、（2007湖北高考）由直线y=x +1上的一点向圆(x -3)2+y 2=1引切线，则切线长的最小值为 2 C.7 【解析】选C.切线长的最小值是当直线y=x +1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=222 | 103|=+-，圆的半径为1，故切线长的最小值为71822=-=-r d ，选C. 5、（2007重庆高考）若直线1+=kx y 与圆122=+y x 相交于P 、Q 且∠POQ ＝120°（其中O 为原点），则k 的值为 （A ） （B （C ） （D 【解析】选A.如图，直线过定点（0，1）， 习题精选精讲圆标准方程 已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心 ),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题． 一、求圆的方程 例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ) （A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x （C)9)1() 2(22 =++-y x （D)9)1()2(22=-++y x 解 已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ， 故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题 例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ）)12,12( +- （C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解 化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切;? 全国高考数学直线与圆的方程试题汇编 一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为 （ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的 （ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为 （ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则 （ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为 （ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率 的取值范畴为 （ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．． 公共点的充要条件是 （ C ） 第2讲 圆的方程 一、选择题 1．已知点A (1，－1)，B (－1,1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( )． A ．x 2＋y 2＝2 B ．x 2＋y 2＝ 2 C ．x 2＋y 2＝1 D ．x 2＋y 2＝4 解析 AB 的中点坐标为：(0,0)， |AB |＝[1－ － 2 ＋－1－ 2 ＝22， ∴圆的方程为：x 2＋y 2＝2. 答案 A 2．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若00，所以原点在圆外． 答案 B 3．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( ) A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1 解析 只要求出圆心关于直线的对称点，就是对称圆的圆心，两个圆的半径不 变．设圆C 2 的圆心为(a ，b )，则依题意，有??? ?? a －12－ b ＋12－1＝0， b －1a ＋1＝－1， 解得?? ? a ＝2， b ＝－2，对称圆的半径不变，为1. 答案 B 4．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )． A ．(4,6) B ．[4,6) C ．(4,6] D ．[4,6] 解析 因为圆心(3，－5)到直线4x －3y －2＝0的距离为5，所以当半径r ＝4 时，圆上有1个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，当半径r ＝6时，圆上有3个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，所以圆上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1时，4＜r ＜6. 答案 A 5．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 的值为 ( )． A ．8 B ．－4 C ．6 D ．无法确定 解析 圆上存在关于直线x －y ＋3＝0对称的两点，则x －y ＋3＝0过圆心? ???? －m 2，0，即－m 2＋3＝0，∴m ＝6. 答案 C 6．圆心为C ? ???? －12，3的圆与直线l ：x ＋2y －3＝0交于P ，Q 两点，O 为坐标原点， 且满足OP →·OQ →＝0，则圆C 的方程为 ( )． A.? ????x －122 ＋(y －3)2＝52 B.? ????x －122 ＋(y ＋3)2＝52 C.? ?? ??x ＋122 ＋(y －3)2＝254 D.? ?? ??x ＋122 ＋(y ＋3)2＝254 解析 法一 ∵圆心为C ? ???? －12，3， ∴设圆的方程为? ???? x ＋122＋(y －3)2＝r 2. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)． 由圆方程与直线l 的方程联立得：5x 2＋10x ＋10－4r 2＝0， 高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ （数学2必修）第四章 圆与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 １．圆22(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A ．22(2)5x y -+= B ．22(2)5x y +-= C ．22(2)(2)5x y +++= D ．22(2)5x y ++= 2．若)1,2(-P 为圆25)1(22=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A. 03=--y x B. 032=-+y x C. 01=-+y x D. 052=--y x 3．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A ．2 B ．21+ C ．2 21+ D ．221+ 4．将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与 圆22 240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A ．37-或 B ．2-或8 C ．0或10 D ．1或11 5．在坐标平面，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A ．023=-+y x B ．043=-+y x C ．043=+-y x D ．023=+-y x 二、填空题 1．若经过点(1,0)P -的直线与圆03242 2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________. 2．由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0 ,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为 。 3．圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4),(0,2)A B --,则圆C 的方程为 . ４．已知圆()4322 =+-y x 和过原点的直线kx y =的交点为,P Q 则OQ OP ?的值为________________。 第四章 圆方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 2 （1 点00(,)M x y 与圆2 2 2 ()()x a y b r -+-=的位置关系： 当22 00()()x a y b -+->2r ，点在圆外 当22 00()()x a y b -+-=2r ，点在圆上 当22 00()()x a y b -+-<2r ，点在圆内 （2当04>-+F E D 时，方程表示圆，此时圆心为? ? ? ? ?--2,2 E D ，半径为 F E D r 42 122-+= 当0422 =-+F E D 时，表示一个点； 当042 2<-+F E D 时，方程不表示任何图形。 （3）求圆方程的方法： 一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ； 另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况： （1）设直线0:=++C By Ax l ，圆()()222:r b y a x C =-+-，圆心()b a C ,到l 的距离为 相离与C l r d ?>；相切与C l r d ?=；相交与C l r d ?< （2）过圆外一点的切线：①k 不存在，验证是否成立②k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k ，得到方程【一定两解】 程：圆(x-a)2+(y-b)2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，则过此点的切线方程为 4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 设圆()()221211:r b y a x C =-+-，()()22 2222:R b y a x C =-+- 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当r R d +>时两圆外离，此时有公切线四条； 当r R d +=时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线 圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点 专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。 4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。 高中数学圆与方程知识点分析 1. 圆的方程：（1）标准方程：2 22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ） （2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ） 圆心（-2D ，-2 E ）半径 F E D 421 22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法 （1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d 高一数学 高中数学圆的方程专题（四个课时） 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程． （四十一） 圆的方程 [小题对点练——点点落实] 对点练(一) 圆的方程 1．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝8 C ．(x －1)2＋y 2＝2 D ．(x －1)2＋y 2＝8 解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)． 因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r ＝d ＝ |－1＋0＋3|12＋12 ＝2， 则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.故选A. 2．(2018·河北唐山模拟)圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E 的标准方程为( ) A.????x －322＋y 2＝254 B.????x ＋342＋y 2＝2516 C.????x －342＋y 2＝2516 D.????x －342＋y 2＝254 解析：选C 根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a >0)，半径为r ，即圆的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2， 则有????? (－a )2 ＋12 ＝r 2 ，(2－a )2＝r 2， (－a )2＋(－1)2＝r 2， 解得a ＝34，r 2＝25 16 ， 则圆E 的标准方程为????x －342＋y 2＝25 16 .故选C. 3．(2018·河北邯郸联考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5 C ．(x －1)2＋y 2＝5 D ．x 2＋(y －1)2＝5 高考数学必考之圆的方程 考点一 圆的方程 1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是 【答案】()()2 2 3125x y -+-= 【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ?外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为 64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+?=?? ??? ==-+??? .所以ABC ?外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是 【答案】－2解得223a -<<. 考点二 点与圆的位置关系 1．点()1,1在圆()2 211x y +-=的（ ） A ．圆上 B ．圆内 C ．圆外 D ．无法判定 【答案】A 【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2 211x y +-=的方程即()2 21111+-=，∴点()1,1在圆()2 211x y +-=上， 2．经过点(1,2)A 可做圆2 2 240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ） A ．(,(23,)-∞-+∞ B ．(5,(23,)--+∞ C ．(,)-∞-?+∞ D ．(5,(22,)--+∞ 【答案】B 【解析】圆2 2 240x y mx y ++-+=，即为222 ()(1)324 m m x y -+-= -， 2 304 m ∴->?m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-． 所以5m -<<-m >故选B 3．若坐标原点在圆2 2 2 22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．,22?- ?? C ．( D ．( 【答案】D 【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-?+?+-< 解得：m <本题正确选项：D 高二圆与方程高考题真题练习 1．圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝( ) A ．－4 3 B ．－34 C. 3 D ．2 2．(2016·北京)圆(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心到直线y ＝x ＋3的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2 D ．2 2 3．(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a>0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝1的位置关系是( ) A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离 4．(2015·北京)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2 ＋(y －1)2 ＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2 ＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 5．(2015·新课标全国Ⅱ文)已知三点A(1，0)，B(0，3)，C(2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.5 3 B. 213 C.253 D.4 3 6．(2015·湖北)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2 ＋y 2 ＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 7．(2015·山东)一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2 ＋(y －2)2 ＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( ) A ．－53或－35 B ．－32或－2 3 C ．－54或－45 D ．－43或－3 4 8．(2015·安徽)直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12 D ．2或12 9．(2015·新课标全国Ⅱ理)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6 D ．10 10．(2015·重庆理)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|＝( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210 11．(2012·广东)在平面直角坐标系xOy 中，直线3x ＋4y －5＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则弦AB 的长等于( ) A ．33 B ．2 3 C. 3 D ．1 12．(2012·安徽)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a)2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1] B ．[－1，3] C ．[－3，1] D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 13．(2016·课标全国Ⅰ)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB|＝23，则圆C 的面积为________． 14．(2016·新课标全国Ⅲ)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________． 类型七：圆中的最值问题 例18：圆010442 2 =---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离与最小距离的差是 例19 (1)已知圆1)4()3(221=-+-y x O ： ，),(y x P 为圆O 上的动点，求2 2y x d +=的最大、最小值． (2)已知圆1)2(2 22=++y x O ： ，),(y x P 为圆上任一点．求1 2 --x y 的最大、最小值，求y x 2-的最大、最小值． 分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决． 解：(1)(法1)由圆的标准方程1)4()3(2 2 =-+-y x ． 可设圆的参数方程为?? ?+=+=, sin 4, cos 3θθy x （θ是参数）． 则θθθθ2 2 2 2 sin sin 816cos cos 69+++++=+=y x d )cos(1026sin 8cos 626φθθθ-+=++=（其中3 4 tan = φ）． 所以361026max =+=d ，161026min =-=d ． (法2)圆上点到原点距离的最大值1d 等于圆心到原点的距离' 1d 加上半径1，圆上点到原点距离的最小值2d 等于圆心到原点的距离' 1d 减去半径1． 所以6143221=++=d ． 4143222=-+=d ． 所以36max =d ．16min =d ． (2) (法1)由1)2(2 2 =++y x 得圆的参数方程：???=+-=, sin , cos 2θθy x θ是参数． 则 3cos 2sin 12--=--θθx y ．令t =--3 cos 2 sin θθ， 得t t 32cos sin -=-θθ，t t 32)sin(12-=-+φθ 1)sin(1322 ≤-=+-? φθt t 4 3 3433+≤≤-? t ． 2021届高考数学（理）考点复习 圆的方程 圆的定义与方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 式 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0) 圆心为(a ，b ) 半径为r 一 般 式 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 充要条件：D 2＋E 2－4F >0 圆心坐标：????－D 2，－E 2 半径r ＝1 2 D 2＋ E 2－4F 概念方法微思考 1．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？ 提示 ???? ? A ＝C ≠0， B ＝0， D 2＋ E 2－4A F >0. 2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？ 提示 点和圆的位置关系有三种． 已知圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2 ， 半径为1的圆经过点(3,4)，可得该圆的圆心轨迹为(3,4)为圆心，1为半径的圆， 故当圆心到原点的距离的最小时， 连结OB ，A 在OB 上且1AB =，此时距离最小， 由5OB =，得4OA =， 即圆心到原点的距离的最小值是4， 故选A ． 2．（2018?天津）在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为__________． 【答案】22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-= 【解析】【方法一】根据题意画出图形如图所示， 结合图形知经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆， 其圆心为(1,0)，半径为1， 则该圆的方程为22(1)1x y -+=． 【方法二】设该圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则0 42020F D F D E F =?? ++=??+++=? ， 解得2D =-，0E F ==； ∴所求圆的方程为2220x y x +-=． 故答案为：22(1)1x y -+=（或2220)x y x +-=． 直线和圆的方程 ●考点阐释 解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究． 学习解析几何，要特别重视以下几方面： （1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用； （2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用． ●试题类编 一、选择题 1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ） A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A.95 B.91 C.88 D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=0 4.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠ 2 ＋k π， k ∈Z ）的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ） A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1 1 / 4 高一数学辅导资料 内容：圆与方程 本章考试要求 一、圆的方程 【知识要点】 1.圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：)0()()(222>=-+-r r b y a x 0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+. 2.圆的一般方程02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆心为点,2 2D E ?? -- ???，半径2 r = ， 其中0422 >-+F E D . 3.圆系方程：过圆1C ：221110x y D x E y F ++++=与圆2C ：222220x y D x E y F ++++= 交点的圆系方程是()22221112220x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=（不含圆2C ）, 当1λ=-时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】 考点一 求圆的方程 问题1． 求满足下列各条件圆的方程： ()1以两点(3,1)A --，(5,5)B 为直径端点的圆的方程是 ()2求经过)2,5(A ，)2,3(-B 两点，圆心在直线32=-y x 上的圆的方程； ()3过点()4,1A 的圆C 与直线10x y --=相切于点()2,1B ，则圆C 的方程是? 考点二 圆的标准方程与一般方程 问题2．方程2222210x y ax ay a a +++++-=表示圆，则a 的取值范围是 考点三 轨迹问题 问题3.点()4,2P -与圆224x y +=上任一点连线的中点轨迹方程是 问题4．设两点()3,0A -，()3,0B ，动点P 到点A 的距离与到点B 的距离的比为2，求P 点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 1.直线与圆的位置关系 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式 为△，圆的半径为r ，圆心C 到直线l 的距离为d 则直线与 圆的位置关系满足以下关系： 2.直线截圆所得弦长的计算方法： 利用垂径定理和勾股定理：AB =r 为圆的半径，d 直线到圆心的距离）. 0:111221=++++F y E x D y x C 0:222222=++++F y E x D y x C 则两圆的公共弦所在的直线方程是 4.相切问题的解法： ①利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解 ②利用圆心、切点连线的斜率与切线的斜率的乘积为1-（或一条直线存在斜率，另一条不存在） ③利用直线与圆的方程联立的方程组的解只有一个，即0=?来求解. 特殊地,已知切点),(00y x P ,圆222r y x =+的切线方程为 . 圆222)()(r b y a x =-+-的切线方程为 【互动探究】 考点一 直线与圆的位置关系 问题1:()1已知圆22:40C x y x +-=，l 过点(3,0)P 的直线，则 .A l 与C 相交 .B l 与C 相切 .C l 与C 相离 .D 以上三个选项均有可能 ()2直线l ：1mx y m -+-与圆C ：() 2 211x y +-=的位置关系是 .A 相离 .B 相切 .C 相交 .D 无法确定，与m 的取值有关. ()3过点()1,3P 引圆2244100x y x y +---=的弦，则所作的弦中最短的弦长为高中数学-必修二-圆与方程-经典例题
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