量子力学教程课后习题答案高等教育
量子力学习题及解答
第一章 量子理论基础
1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即
m λ T=b （常量）
； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式
dv e c
hv d kT
hv v v 1
1
833
-?
=πρ， （1）
以及 c v =λ， （2）
λρρd dv v v -=， （3）
有
,1
18)()
(5-?=?=??
? ??-=-=kT
hc v v e
hc c
d c d d dv λλλ
πλλρλλλρλρ
ρ
这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：
011511
86
'
=????
?
??
-?+--?=
-kT hc kT
hc
e kT hc e
hc
λλλλλ
πρ
? 0115=-?+
--kT
hc e
kT
hc
λλ
? kT
hc
e
kT
hc λλ=
--
)1(5 如果令x=
kT
hc
λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5
这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有
xk
hc T m =λ
把x 以及三个物理常量代入到上式便知
K m T m ??=-3109.2λ
这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv ，
λh P =
如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么
e
p E μ22
= 如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
p
h
=
λ
nm
m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296
6
2=?=????=
==--μμ
在这里，利用了
m eV hc ??=-61024.1
以及
eV c e 621051.0?=μ
最后，对
E
c hc e 2
2μλ=
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是kT E 2
3
=（k 为玻耳兹曼常数），求T=1K 时，氦原子的德
布罗意波长。
解 根据
eV K k 3101-=?，
知本题的氦原子的动能为
,105.12
3
233eV K k kT E -?=?==
显然远远小于2c 核μ这样，便有
E
c hc 22核μλ=
nm
m m 37.01037.0105.1107.321024.193
9
6
=?=?????=
---
这里，利用了
eV eV c 962107.3109314?=??=核μ
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T 的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT ，这样，其相庆的德布罗意波长就为
T
kc hc E
c hc 2
2
22μμλ=
=
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1．4 利用玻尔——索末菲的量子化条件，求：
（1）一维谐振子的能量；
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
已知外磁场H=10T ，玻尔磁子124109--??=T J M B ，试计算运能的量子化间隔△E ，并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。
解 玻尔——索末菲的量子化条件为
?=nh pdq
其中q 是微观粒子的一个广义坐标，p 是与之相对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈，n 是正整数。
（1）设一维谐振子的劲度常数为k ，谐振子质量为μ，于是有
2
22
12kx p E +=μ
这样，便有
)2
1(22kx E p -
±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动，一正一负正好表示一个来回，运动了一圈。此外，根据
221
kx E =
可解出 k
E
x 2±
=±
这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样，根据玻尔——索末菲的量子化条件，有
??
-+
+
-
=--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )21
(2)()21(222μμ
?
nh dx kx E dx kx E x x x x =-+-??
+-
-
+
)2
1
(2)21(222μμ
?
h
n dx kx E x x 2)21(22=-?
+
-
μ
为了积分上述方程的左边，作以下变量代换；
θsin 2k
E
x =
这样，便有
h n
k E d E 2
sin 2cos 222
2=???
? ???-
θθμπ
π
?
?-
=?
22
2
cos 2cos 2π
π
θθθμh n
d k E E
?
h n
d k
E 2
c o s 222
2=
?
?=
π
πθθμ
这时，令上式左边的积分为A ，此外再构造一个积分
?-?
=22
2sin 2π
πθθμ
d k
E B
这样，便有
??--?
=-?=?
=+22
22
2cos 2,
22π
ππ
πθ
θμ
μ
πθμ
d k
E B A k
E d k
E B A （1）
??--==22
22
,
cos )
2(2cos π
ππ
π???
θθμ
d k
E
d k
E
这里? =2θ，这样，就有
0sin ==-?-π
π
?μ
d k
E
B A （2）
根据式（1）和（2），便有
k
E A μ
π
=
这样，便有
h n
k
E 2
=
μ
π
? k
h n E μπ2=
,
k nh
μ
=
其中π
2h
h =
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的能量是等间隔分布的。
（2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
B q R
υυμ
=2
? q B R p ==μυ 这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
?
=π
θ20
)(nh R qBRd
? nh qBR =?π22 ? nh qBR =2
又因为动能耐μ
22
p E =，所以，有
μμ22)(2
222R B q qBR E =
= ,22B nBN q nB qBn =?==
μμ
其中，μ
2
q M B =
是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且
B BM E =?
具体到本题，有
J J E 232410910910--?=??=?
根据动能与温度的关系式
kT E 2
3=
以及
J eV K k 223106.1101--?==?
可知，当温度T=4K 时，
J J E 2222106.9106.145.1--?=???=
当温度T=100K 时，
J J E 2022104.2106.11005.1--?=???=
显然，两种情况下的热运动所对应的能量要大于前面的量子化的能量的间隔。
1．5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两光子的能量相等，问要实现实种转化，光子的波长最大是多少？
解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所对应的波长也就最长，而且，有
2c hv E e μ==
此外，还有
λ
hc
pc E =
=
于是，有
2
c hc
e μλ
=
?
2c hc e μλ=
nm
m m 3126
6104.2104.21051.01024.1---?=?=??= 尽管这是光子转化为电子的最大波长，但从数值上看，也是相当小的，我们知道，电子是自然界中最轻的有质量的粒子，如果是光子转化为像正反质子对之
类的更大质量的粒子，那么所对应的光子的最大波长将会更小，这从某种意义上告诉我们，当涉及到粒子的衰变，产生，转化等问题，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子间的转化等现象就越丰富，这样，也许就能发现新粒子，这便是世界上在造越来越高能的加速器的原因：期待发现新现象，新粒子，新物理。
第二章波 函数和薛定谔方程
2.1证明在定态中，几率流与时间无关。 证：对于定态，可令
)]
r ()r ()r ()r ([m
2i ]
e )r (e )r (e )r (e )r ([m
2i )
(m 2i J e
)r ( )
t (f )r ()t r (**Et i
Et i **Et i Et i **Et
i
ψψψψψψψψψψψψψψψ?-?=?-?=?-?===-----）（）（，
可见t J 与
无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：
i k r
i k r e r
e r -==1
)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21
在球坐标中 ?
θθ?θ??
+??+??=?s i n r 1e r 1e r r 0
r m r
k r m r k r r ik r r r ik r r m i r e r
r e r e r r e r m i m
i J ikr ikr ikr ikr
3
020
220
1*
1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )
(2 )1(==+----=??-??=?-?=--ψψψψ r J 1
与同向。表示向外传播的球面波。
r
mr
k r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r 1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )
(m
2i J )2(3020
220
ikr ikr ikr ikr *
2*222
-=-=---+-=??-??=?-?=--ψψψψ
可见，r J
与2反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
∞==?
?
∞∞
dx dx ψψ*
∴波函数不能按1)
(2
=?
∞
dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为 12
==ψ
ω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，
，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。其定态S —方程
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d m ψψψ=+-
在各区域的具体形式为
Ⅰ： )()()()(2 01112
22x E x x U x dx d m x ψψψ=+-< ① Ⅱ： )()(2 0 2222
2x E x dx d m a x ψψ=-
≤≤ ② Ⅲ： )()()()(2 3332
22x E x x U x dx
d m a x ψψψ=+-> ③ 由于(1)、(3)方程中，由于∞=)(x U ，要等式成立，必须
0)(1=x ψ 0)(2=x ψ 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为0)(2)(222
22=+x mE
dx x d ψψ
令222
mE
k =
，得 0)()(22
2
22=+x k dx
x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A ，B ，由连续性条件，得 )0()0(12ψψ=⑤
)()(32a a ψψ=⑥
⑤ 0=?B
⑥
0sin =?ka A ),3 ,2 ,1( 0
s i n 0
==?=∴≠n n ka ka A π ∴x a
n A x π
ψsin
)(2=
由归一化条件 1)(2
=?
∞
dx x ψ
得 1s i n
22
=?
a
x d x a
n A
π
由
mn a
b
a
xdx a n x a m δππ?
=*2
sin sin
x a
n a x a
A πψs i n 2)(22=∴=?
2
22 mE k =
),3,2,1( 222
2
2 ==
?n n ma
E n π可见E 是量子化的。
对应于n E 的归一化的定态波函数为
??
?
??><≤≤=-a x a x a x xe a
n a t x t
E i
n n , ,0 0 ,sin 2),( πψ
#
2.4. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是a
A 1=
'
证：
??
?
?
?≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （2.6-14）
由归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a
n A x A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a a
a
a
a a a a
a
n 222
2222
22
)
(sin 2)(cos
2
2)](cos 1[21)(sin 1'=+?'-'=+'-'=
+-'=+'==-----∞
?
?
??πππ
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1=
' #
2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。
解：2
22
1
22)(x
xe x ααπ
α
ψ-?=
222
223
222
112 24)()(x
x
e x e x x x αα
π
α
π
α
αψω--?=??
==
22]22[2 )(323
1x e x x dx x d ααπ
αω--=
令
0 )
(1=dx
x d ω，得 ±∞=±==x x x 1
0α
由)(1x ω的表达式可知，±∞==x x 0，时，0)(1=x ω。
显然不是最大几率的位置。 222
2)]251[(4)]22(2)62[(2 )( 44223
322223212x
x e x x e
x x x x dx x d ααααπ
α
αααπ
αω----=---=而 0142 )(32
12
12<-=±
=e dx x d x παω 可见μω
α
±
=±
=1
x 是所求几率最大的位置。 #
2.6 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。
证：在一维势场中运动的粒子的定态S-方程为
)()()()(222
2x E x x U x dx d ψψψμ=+- ①
将式中的)(x x -以代换，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=--+--ψψψμ ② 利用)()(x U x U =-，得
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d -=-+--ψψψμ ③ 比较①、③式可知，)()(x x ψψ和-都是描写在同一势场作用下的粒子状态的波函数。由于它们描写的是同一个状态，因此)()(x x ψψ和-之间只能相差一个常数c 。方程①、③可相互进行空间反演 )(x x -?而得其对方，由①经x x -→反演，可得③，
)()( x c x ψψ
=-? ④
由③再经x x →-反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
)()( x c x -=?ψψ
⑤
④乘 ⑤，得
)x ()x (c )x ()x ( 2-=-ψψψψ 可见，12=c 1±=c
当1+=c 时，)x ()x (
ψψ=-，)(x ψ?具有偶宇称， 当1-=c 时，)()(
x x ψψ-=-，)(x ψ?具有奇宇称， 当势场满足)()( x U x U =-时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。#
2.7 一粒子在一维势阱中
?????≤>>=a x a x
U x U ,0
,0)(0
运动，求束缚态(00U E <<)的能级所满足的方程。 解法一：粒子所满足的S-方程为
)()()()(22
2
2x E x x U x dx d ψψψμ=+- 按势能)(x U 的形式分区域的具体形式为
Ⅰ：)x (E )x (U )x (dx d 2110122
2ψψψμ=+- a x <<∞-
①
Ⅱ：)()(2222
2
2x E x dx d ψψμ=- a x a ≤≤- ②
Ⅲ：)x (E )x (U )x (dx d 233032
2
2ψψψμ=+- ∞< 整理后，得 Ⅰ： 0) (212 01=--''ψμψ E U ④ Ⅱ：. 0E 2222 =+''ψμψ ⑤ Ⅲ：0) (232 03 =--''ψμψ E U ⑥ 令 2 2 2 20212 )(2 E k E U k μμ=-= 则 Ⅰ： 01211 =-''ψψk ⑦ Ⅱ：. 02222=-''ψψk ⑧ Ⅲ：01213 =-''ψψk ⑨ 各方程的解为 x k x k 3222x k x k 11 1 1 1 Fe Ee x k cos D x k sin C Be Ae -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，有 )(0 )(31=?∞=?-∞E A 有限有限ψψ 因此 x k 3x k 111 Fe Be -==ψψ 由波函数的连续性，有 ) 13( Fe k a k sin D k a k cos C k ),a ()a () 12( Fe a k cos D a k sin C ),a ()a () 11( a k sin D k a k cos C k Be k ),a ()a () 10( a k cos D a k sin C Be ),a ()a (a k 1222232a k 22322222a k 12122a k 211 11 1 -----=-?'='=+?=+=?-'=-'+-=?-=-ψψψψψψψψ 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 F e k aD k sin k aC k cos k 00 F e aD k cos aC k sin 000D a k sin k aC k cos k B e k 00aD k cos aC k sin B e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=+-+=-++=+--=+-+---- 解此方程即可得出B 、C 、D 、F ，进而得出波函数的具体形式，要方程组 有非零解，必须 0Be k a k sin k a k cos k 0 e a k cos a k sin 00 a k sin k a k cos k e k 0a k cos a k sin e a k 12222a k 222222a k 122a k 1111=-------- ]a k 2c o s k k 2a k 2s i n )k k [(e ] a k 2sin k a k 2sin k a k 2cos k k 2[e ]a k sin e k a k cos a k sin e k a k cos e k a k cos a k sin e k [e k ]a k cos a k sin e k a k sin e k k a k cos a k sin e k a k cos e k k [e e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0 a k cos a k sin e k e k a k sin k a k cos k e a k cos a k sin 0 a k sin k a k cos k e 022122122a k 222 1222221a k 222a k 222a k 122a k 222a k 1a k 122a k 2222a k 2122a k 2222a k 21a k a k 12222a k 2222a k 1a k 12222a k 222222a k 111111111111111111--=-+-=-+++--++++-== ----- ----=------------------ ∵ 012≠-a k e ∴02cos 22sin )(22122122=--a k k k a k k k 即 022)(2122122=--k k a k tg k k 为所求束缚态能级所满足的方程。# 解法二：接（13）式 a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21 221222+= +- a k sin D k k a k cos C k k a k cos D a k sin C 21 2 21222+- =+ 2cos k 2 2sin )( 0 2cos 2 2sin ) 1( 0 cos sin cos sin cos sin 0)cos sin )(sin cos ( 0)cos sin )(sin cos ( )cos sin )(sin cos (0 )cos sin (sin cos cos sin sin cos 2212212 22122212 22222122212222122221 2221222122212221222122212 2212221 2 2212=--=-+-=--+=-+=-+--+-=--+-+a k k a k k k a k k k a k k k a k a k a k k k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k a k a k k k # 解法三： (11)-(13))(sin 21122F B e k a k D k a k +=?- (10)+(12))F B (e a k cos D 2a k 21+=?- )a ( k a tgk k ) 12()10() 13()11(122=?+- (11)+(13)a ik e B F k a k C k 1)(cos 2122---=? (12)-(10)a ik 21e )B F (a k sin C 2--=? 令 ，，a k a k 22==ηξ 则 ) d ( ctg )c ( tg ηξξηξξ-==或 )f ( a U 2)k k (2 2 022 21 2 2 μηξ=+=+ 合并)b ()a (、 ： k a ctgk k ) 10 ( ) 12 ( ) 13 ( ) 11 ( 1 2 2 - = ? - + 212221222k k k k a k tg -= 利用a k tg 1a tgk 2a k 2tg 22 22-= # 解法四：（最简方法-平移坐标轴法） Ⅰ：1101 2 2ψψψμE U =+''- （χ≤0） Ⅱ：22 2 2ψψμE =''- （0＜χ＜2a ） Ⅲ：3303 2 2ψψψμ E U =+''- （χ≥2a ） ??? ? ? ? ???=--''=+''=--''?0)(2020)(232 0322212 01 ψμψψμψψμψ E U E E U ?????=-''==+''-==-''(3) 0k E 2k (2) 0k )E U (2k (1) 0k 32 132 222222202 11211ψψμψψμψψ 束缚态0＜E ＜0U x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 1 1 1 1 32221cos sin -+-++=+=+=ψψψ )(0 )(31=?∞=?-∞E B 有限有限ψψ 因此 x k x k Fe Ae 1131 -==∴ψψ 由波函数的连续性，有 )7( Fe a k 2cos D a k 2sin C ),a 2()a 2() 6( Fe k a k 2sin D k a k 2cos C k ),a 2()a 2() 5( C k A k ),0()0() 4( D A ),0()0(a k 22232a k 21222232 2121211 1--=+?=-=-?'='=?'='=?=ψψψψψψψψ (7)代入(6) a k D k k a k C k k a k D a k C 21 2212222sin 2cos 2cos 2sin +-=+ 利用(4)、(5)，得 a k 2cos k k 2a k 2sin )k k ()k k (0a k 2cos 2a k 2sin )k k k k (0 A 0]a k 2cos 2a k 2sin )k k k k [( A a k 2sin D k k a k 2cos A a k 2cos A a k 2sin A k k 22122 12221221 221221 2 2121222221=---=+-∴≠=+-+-=+即得 两边乘上 # 2.8分子间的范德瓦耳斯力所产生的势能可以近似表示为 ???????< ≤≤ -<≤<∞=，，，， ,0 ,0 , 0 ,)(10 x b b x a U a x U x x U 求束缚态的能级所满足的方程。 解：势能曲线如图示，分成四个区域求解。 定态S-方程为 )()()()(22 2 2x E x x U x dx d ψψψμ=+- 对各区域的具体形式为 Ⅰ：)0( )(21112 <=+''-x E x U ψψψμ Ⅱ：)0( 222022 a x E U <≤=+''-ψψψμ Ⅲ：)( 233132 b x a E U ≤≤=-''-ψψψμ Ⅳ：)( 02442 x b E <=+''-ψψμ 对于区域Ⅰ，∞=)(x U ，粒子不可能到达此区域，故 0)(1=x ψ 而 . 0) ( 222 02 =--''ψμψ E U ① 0) ( 232 13=++''ψμψ E U ② 02424 =+''ψμψ E ③ 对于束缚态来说，有0<<-E U ∴ 02212 =-''ψψk 2 021) ( 2 E U k -=μ ④ 032 33=+''ψψk 2 123) ( 2 E U k += μ ⑤ 04244=+''ψψk 22 4/2 E k μ-= ⑥ 各方程的解分别为 x k x k x k x k Fe Ee x k D x k C Be Ae 3 3 1 1 42232cos sin -+-+=+=+=ψψψ 由波函数的有限性，得 0 )(4=?∞E 有限，ψ ∴ x k Fe 34-=ψ 由波函数及其一阶导数的连续，得 A B -=?= )0()0(21ψψ ∴ )(332x k x k e e A --=ψ a k D a k C e e A a a x k x k 2232c o s s i n )()()(33+=-?=-ψψ ⑦ a k Dk a k Ck e e Ak a a a k a k 2222133 sin cos )()()(33-=+?'='-ψψ ⑧ b k Fe b k D b k C b b 32243cos sin )()(-=+?=ψψ ⑨ b k e Fk b k Dk b k Ck b b 33222243 cos sin )()(--=-?'='ψψ ⑩ 练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1） ) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P 2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b(常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 λνc =, (2) ||λνρρλd d v =, (3) 有 (),1 18)(| )(|| 5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλλ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下: 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这就是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便就是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学习题答案 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论 （一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 E 0 x 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左 中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左右 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 第一章 绪论 1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 0 3109.2 ,??==-λ。 证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 1 1 83 3 -= ， 及λ νc = 、λλ νd c d 2 - =得 1 185 -= kT hc e hc λλλπρ， 令kT hc x λ= ，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 1 5-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得 97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03??==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010 A 7.09m 1009.72=?≈= =-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 2 3 = ，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。 解：010 A 63.12m 1063.1232=?≈== =-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-??=m ，1 23K J 1038.1--??=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。 （2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。 已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123 T J 10 923.0--??=B μ，求动能的量子化间隔E ?，并与K 4=T 及 K 100=T 的热运动能量相比较。 解：（1）方法1：谐振子的能量2222 1 2q p E μωμ+= 可以化为 ( ) 1222 222 2=??? ? ??+ μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为2 2,2μω μE b E a = =，相空间面积为 ,2,1,0,2=== = =?n nh E E ab pdq ν ω ππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν 方法2：一维谐振子的运动方程为02 =+''q q ω，其解为 ()?ω+=t A q sin 速度为 ( )?ωω+='t A q c o s ，动量为()?ωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符 ()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λh P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=hv ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2 c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 6 1051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 量子力学习题答案 1.2 在0k 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解：由德布罗意波粒二象性的关系知： E h =ν； p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子（26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ），故： 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ，求T=1K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：对于氦原子而言，当K 1=T 时，其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中，其中α为实常数，求： 1.归一化系数； 2.动能平均值。 （22 x e dx /∞-α-∞ = α?） 解：1.由归一化条件可知： 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零，则归一化系数1/21/4A /=απ 2. 2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? ＝（＝ ＝ 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二：对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题，用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为： 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量，则: 0dE 1d 2 = ω ； 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知： 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得： 1T 4 = ω 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2 ?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式 量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量） ； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ， （1） 以及 νc =， （2） ||λνρρλd d v =， （3） 有 (),1 18)(| )(| |5 2-?=?===kT hc v v e hc c d c d d dv λνλ λ πλλρλ λλρλ ρρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 01151186=??? ? ? ?? -?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc d d λλλλλ πλρ ? 0115=-?+ --kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??≈-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 2.1 如图所示 左右 0 x 设粒子的能量为，下面就和两种情况来讨论（一）的情形 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其中 其解分别为 （1）粒子从左向右运动 右边只有透射波无反射波，所以为零 由波函数的连续性 得 得 解得 由概率流密度公式 入射 反射系数 透射系数 （2）粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得两个方程 解 反射系数 透射系数 （二）的情形 令 ,不变 此时，粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为 其解分别为 由在右边波函数的有界性得为零 （1）粒子从左向右运动 得 得 解得 入射 反射系数 透射系数 (2)粒子从右向左运动 左边只有透射波无反射波，所以为零 同理可得方程 由于全部透射过去，所以 反射系数 透射系数 2.2 如图所示 在有隧穿效应，粒子穿过垒厚为的方势垒的透射系数为 总透射系数 2.3 以势阱底为零势能参考点，如图所示 （1） ∞ ∞ 左中右 0 a x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 ∴ ∴ 相应的 因为正负号不影响其幅度特性可直接写成 由波函数归一化条件得 所以波函数 （2） ∞∞ 左中右 0 x 显然 时只有中间有值 在中间区域所满足的定态薛定谔方程为 其解是 由波函数连续性条件得 当，为任意整数， 则 当，为任意整数， 则 综合得 ∴ 当时，， 波函数 归一化后 当时，， 波函数 归一化后 2.4 如图所示∞ 左 0 a 显然 在中间和右边粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为其中 其解为 由在右边波函数的有界性得为零 ∴ 再由连续性条件，即由 得 则 得 得 除以得 再由公式 ,注意到 令 , 第一章 量子力学的诞生 1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω= 中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。 提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===?? )(x V 解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω= ==。 a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a = ， （2） a x ±=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 得ω ωπm n m nh a 22== （3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4） 积分公式： c a u a u a u du u a ++-=-?arcsin 222222 2 1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x 方向，有 即 h n a p x x =?2 （a 2：一来一回为一个周期） a h n p x x 2/=∴, 同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=, 粒子能量 1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。 提示：利用,,2,1,20 ==?n nh d p π ?? ?p 是平面转子的角动量。转子的能量I p E 2/2?=。 解：平面转子的转角（角位移）记为?。 它的角动量. ??I p =（广义动量），?p 是运动惯量。按量子化条件 目次 第二章：波函数与波动方程………………1——25 第三章：一维定态问题……………………26——80 第四章：力学量用符表达…………………80——168 第五章：对称性与守衡定律………………168——199 第六章：中心力场…………………………200——272 第七章：粒子在电磁场中的运动…………273——289 第八章：自旋………………………………290——340 * * * * * 参考用书 1．曾谨言编著：量子力学上册 科学。1981 2．周世勋编：量子力学教程 人教。1979 3．L ．I ．席夫著，李淑娴，陈崇光译：量子力学 人教。1982 4．D ．特哈尔编，王正清，刘弘度译：量子力学习题集 人教。1981 5．列维奇著，李平译：量子力学教程习题集 高教。1958 6．原岛鲜著：初等量子力学（日文） 裳华房。1972 7．N.F.Mott.I.N.Sneddon:Wave Mechanics and its Applications 西联影印。1948 8．L.Pauling.E.B.Wilson:Introduction to Quantum- Mechanics (有中译本：陈洪生译。科学) 1951 9. A.S.Davydov: Quantum Mechanics Pergamon Press 1965 10. SIEGFRIED.Fluegge:Practical Quantum- Mechanics （英译本） Springer V erlag 1973 11. A.Messian:Quantum Mechanics V ol I.North.Holland Pubs 1961 https://www.wendangku.net/doc/4b2429336.html,ndau,E.Lifshitz:Quantum-Mechanics1958 量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ?? -- = 1 1 )0(>n (2) )cos sin (sin 2 2 bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+= ? (3) = ?axdx e ax cos )sin cos (2 2 bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2 -=? (5) = ?axdx x sin 2 ax a x a ax a x cos )2( sin 22 2 2 - + (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2 +=? (7ax a a x ax a x axdx x sin )2( cos 2cos 3 2 2 2 - += ?)喀兴林高等量子力学习题6、7、8
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