高一数学一元二次不等式解法经典例题
例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01
a
[ ]
A a x
B x a
．＜＜
．＜＜1
1
a a
C x a
．＞或＜x a
1
1
选A
x ≥3或x ． ??
?????a b =
=-121
2
，． 例4 解下列不等式 (1)(x －1)(3－x)＜5－2x (2)x(x ＋11)≥3(x ＋1)2
(3)(2x ＋1)(x －3)＞3(x 2＋2)
(4)3x 2-+--+-313
2
511
3
12
2x x x x x x ＞＞()()
分析 将不等式适当化简变为ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)．
答 (1){x|x ＜2或x ＞4}
(2){x|1x }≤≤3
2
(3)?
(4)R (5)R
说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式．
例不等式＋＞
的解集为5 1x 1
]
x ＝
0}
]
解法一原不等式的同解不等式组为≠． x -??
20
故排除A 、C 、D ，选B ．
解法二≥化为＝或－－＞即＜≤ x 3
20x 3(x 3)(2x)02x 3--x
两边同减去2得0＜x －2≤1．选B ． 说明：注意“零”．
例不等式
＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax
x -1
[ ]
A a
B a
C a
D a ．＜
．＞
．＝
．＝－
1212
1
21
2
分析可以先将不等式整理为
＜，转化为 0()a x x -+-11
1
[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}
可知－＜，即＜，且－
＝，∴＝．a 10a 12a 1112
a - 答 选C ．
≤0}
分析 先确定A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关
系，结合，利用数形结合，建立关于的不等式．B A a ?
解 易得A ＝{x|1≤x ≤4} 设y ＝x 2－2ax ＋a ＋2(*)
(1)B B A 0若＝，则显然，由Δ＜得??
4a 2－4(a ＋2)＜0，解得－1＜a ＜2．
(2)B (*)116若≠，则抛物线的图像必须具有图－特征：? 应有≤≤≤≤从而{x|x x x }{x|1x 4}12?
12a 12042a 4a 2014
12a 22－·＋＋≥－·＋＋≥≤≤解得≤≤a a
--?
????
??22187
x 2集为
3集为
45 a 12(x 2)(x )0°当＞时，由于＞，原不等式化为－－＞，其解
集是
a a
{x|x x 2}＜或＞．2
a
从而可以写出不等式的解集为： a ＝0时，{x|x ＜2｝；
a 0{x|2
a
x 2＜时，＜＜｝；
0a 1{x|x 2x }＜＜时，＜或＞；2
a
a ＝1时，{x|x ≠2}；
a 1{x|x x 2}＞时，＜或＞．2
a
说明：讨论时分类要合理，不添不漏．
例11 若不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β}(0＜α＜β)，求cx 2＋bx ＋a ＜0的解集．
分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系．考虑使用韦达定理：
解法一 由解集的特点可知a ＜0，根据韦达定理知：
b
?∴＋＋＞即＋＋＜的解集为＞α或＜β
．x x 0cx bx a 0{x|x x }2
2
b c a c 11
解法二 ∵cx 2＋bx ＋a ＝0是ax 2＋bx ＋a ＝0的倒数方程．
且ax 2＋bx ＋c ＞0解为α＜x ＜β，
∴＋＋＜的解集为＞
α或＜β
．cx bx a 0{x|x x } 211
说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维．
例解关于的不等式：＜－∈．12 x 1a(a R)x
x -1
分析 将一边化为零后，对参数进行讨论．
解原不等式变为
－－＜，即＜， (1a)00x x ax a x -+--111
进一步化为(ax ＋1－a)(x －1)＜0．
(1)当a ＞0时，不等式化为
(x )(x 1)01{x|a 1a x
1}－－＜，易见＜，所以不等式解集为＜＜；
a a a a ---11
(2)a ＝0时，不等式化为x －1＜0，即x ＜1，所以不等式解集为{x|x ＜1}；
)a a --11
-a a
1
5|＜a}(a ]
(
U ∪(U C ．(
U A)∪(
U B)＝R
D ．A ∪B ＝R
分析 由x 2－5x －6＞0得x ＜－1或x ＞6，即
A ＝{x|x ＜－1或x ＞6}由|x －5|＜a 得5－a ＜x ＜5＋a ，即
B ＝{x|5－a ＜x ＜5＋a}
∵11∈B ，∴|11－5|＜a 得a ＞6
∴5－a ＜－1，5＋a ＞11 ∴A ∪B ＝R ． 答 选D ．
说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查
一元二次不等式及其解法教学设计
一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范.
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<.
因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =，
完整版一元二次不等式及其解法教学设计
元二次不等式及其解法 设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高； 逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课 正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学 生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决 问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学 生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5 第三章《不等式》第二节一元 次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不 等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领 悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数 之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解 决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 教学重点】一元二次不等式的解法。 教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 教学策略】 探究式教学方法 创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价）课前准备】教具：“几何画板”及PPT 课件. 粉笔：用于板书示范. 第1 页共4 页
一元二次不等式及其解法练习题.doc
一元二次不等式及其解法练习 班级： 姓名： 座号： 1 比较大小： （1）2 6+ （2）2 21)-； （3 ； （4）当0a b >>时，12log a _______12 log b . 2. 用不等号“>”或“<”填空： （1）,____a b c d a c b d >><>? （4）2211 0___a b a b >>?. 3. 已知0x a <<，则一定成立的不等式是（ ）. A ．220x a << B ．22x ax a >> C ．20x ax << D ．22x a ax >> 4. 如果a b >，有下列不等式：①22a b >，②11 a b <，③33a b >，④lg lg a b >， 其中成立的是 . 5. 设0a <，10b -<<，则2,,a ab ab 三者的大小关系为 . 6.比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 7. 若2()31f x x x =-+，2()21g x x x =+-，则()f x 与()g x 的大小关系为（ ）. A ．()()f x g x > B ．()()f x g x = C ．()()f x g x < D ．随x 值变化而变化 8.（1）已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. （2）已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围. 9. 已知22 ππ αβ-≤<≤，则2αβ-的范围是（ ）. A ．(,0)2 π - B ．[,0]2π - C ．(,0]2π- D ．[,0)2 π - 10.求下列不等式的解集. （1）2230x x +->； （2）2230x x -+-> （3）2230x x -+-≤.
一元二次不等式及其解法例题分类
一对一个性化辅导教案
一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集.
二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==；
一元二次不等式的解法
- 2 - 一元二次不等式的解法 一、选择题 1．不等式x 2＜3x 的解集是 ( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．R D ．{x |0＜x ＜3} 2．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 ( )． A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．? 3．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则 ( )． A ．a ≥1 B ．a ＜－1 C ．a ＞－1 D ．a ∈R 4．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则?U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2} 5．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为? ??? ?? x ?? 13 ＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6 6.已知集合M ＝? ????? ??? ?x ??? x ＋3 x －1＜0，N ＝{} x | x ≤－3，则集合{x |x ≥1}等于 ( )． A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R (M ∩N ) D ．?R (M ∪N ) 7．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若 每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( )． A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 9．关于x 的不等式a －x x ＋b ＜0, a ＋b ＞0的解集是 ( )． A ．{x |x ＞a } B ．{x |x ＜－b ，或x ＞a } C ．{x |x ＜a ，或x ＞－b } D ．{x |－b ＜x ＜a } 10．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )?(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．－12＜a ＜32 D ．－32＜a ＜1 2 11、函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 12、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表： 13、设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________． 14、关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________． 15、不等式(3x －4)(2x ＋1) (x －1)2 <0的解集为________． 三、解答题 16、解不等式1）－2x 2＋103x －1 3＞0； 2)x －1x －2≥0； 3)2x －13－4x ＞1.
一元二次不等式及其解法(教学反思
专题一元二次不等式及其解法教学反思一元二次不等式及其解法的复习重点是1：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2：一元二次不等式及其解法。由于是复习课，根据我们学生的实际情况，我是这样安排复习的：一、我先给学生展示高考考纲及考情，再检测学生对一元二次不等式的概念及“三个二次”之间关系的理解，引导学生梳理相关知识点。这一环节反映出学生基础知识掌握的比较熟悉。（五六分钟）二、为了检测学生对本节知识的应用情况，我要求学生完成，有三位学生主动板演，让其他学生批改，在引导学生一元二次元二次不等式的方法步骤，以次调动学生的学习积极性，也体现了先学后讲的课堂模式。这一环节只有一位没有完整的写出解题过程，后来有地四个同学补充完成。总体来说学生完成的还可以（大约12多分钟）。三、为了让学生明确本节知识在高考中的考察形式及出题难度，我选了两个热点题，启发引导学生对问题的分析及其解答。从学生分析问题的思维过程反映出一部分学生能较熟练地运用知识，而剩下的学生对基础知识的理解不到位对知识逆用不熟悉，思考问题的角度单一，思维方法不灵活。另外运算能力还有待提高。还有由于时间关系，没能检查学生完成资料课时作业的对应联系。（大约15分钟） 通过本节课，有几个方面以后上课必须要注意： 1、教学内容安排要合理。每一节的教学内容要适合学生的实际情况，不能好多，也不太少了。 2、课堂突发情况的调控能力还要提高。 3、调动学生学习积极性还需要学习更多好的方法。 4、有效课堂必须是完整的课堂，无论是课前复习，新课导学，典型例题、当堂练习、学习小结还是当堂检测都应该完整完成。今后的课堂一定要向着这个目标努力。 5、在今后的复习中要进一步提高学生的数学运算能力。培养学生良好的思维能力，注重培养学生的发散思维。
一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题
一元二次不等式及其解法 1.一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式. 当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为. 2.一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式. (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________. (3)一元二次不等式的解：
(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为 f （x ） g （x ） 的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如： f （x ） g （x ）＞0 ? f (x )g (x )＞0； f （x ） g （x ） ＜0 ? f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ? ?????f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ） g （x ）≤0 ? ?????f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0. (2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2 －2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1] D.[1，2) 解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A . 设f (x )＝x 2 ＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1} D.{x |x ≤1} 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2 －2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B. 已知－12<1 x <2，则x 的取值范围是( )
知识讲解 一元二次不等式及其解法 基础
一元二次不等式及其编稿：张希勇 审稿：李霞 【学习目标】 1.掌握一元二次不等式的解法，体会数形结合的思想； 2.理解一元二次不等式、一元二次方程与二次函数之间的关系； 3.能利用一元二次不等式解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如：250xx ??.一元二次不等式的一般形式：20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?. 设一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，则不等式20axbxc ???的解集为??21xxxxx ??或，不等式20axbxc ???的解集为??21xxxx ?? 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ?成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)axbxca ????的两根为12xx 、且12xx ?，设ac b42???，它的解按照0??，0??，0??可分三种情况，相应地，二次函数2yaxbxc ???(0)a ?的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20axbxc ???(0)a ?或20axbxc ???(0)a ?的解集.
要点诠释： （1）一元二次方程20(0)axbxca????的两根12xx、是相应的不等式的解集的端点的 取值，是抛物线?y cbxax??2与x轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0??????三种情况，得到一元二次不等式20axbxc???与20axbxc ???的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20axbxc???(0)a?，计算判别式?： ①0??时，求出两根12xx、，且12xx?（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0??时，求根abxx221???； ③0??时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的过程
一元二次不等式解法习题及答案
创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 一元二次不等式解法练习 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜．＜＜11a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 1 1 例有意义，则的取值范围是 ．2 x x 2--x 6 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 例4 不等式3129x -≤的整数解的个数是 （ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 例不等式＋＞的解集为5 1x 1 1-x [ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0} 例与不等式 ≥同解的不等式是6 0x x --3 2 [ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ． ≥23 0--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 例不等式 ＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 [ ] A a B a C a D a ．＜ ．＞ ．＝ ．＝－ 1 21 21 2 1 2
例解不等式 ≥． 8 237 232x x x -+- 例 9 解关于x 的不等式 (x －2)(ax －2)＞0． 1、 分析比较与的大小后写出答案． a 1 a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜． 选． 0a 1a a x A 11 a a 2、分析 求算术根，被开方数必须是非负数． 解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2． 3、 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理． 解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-?? ?????b a a ()()1211122 ×得 a b ==-121 2，． 4、答案 A 5、 分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分． 解不等式化为＋－ ＞，通分得＞，即＞， 1x 0001 11122 ----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ． 说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解． 6、 解法一原不等式的同解不等式组为≥， ≠． ()()x x x ---???32020 故排除A 、C 、D ，选B ．
一元二次不等式及其解法教学讲义
一元二次不等式及其解法教学讲义 ZHI SHI SHU LI 知识梳理) 1．一元二次不等式的解法 (1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋ bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)． (2)计算相应的判别式. (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．三个二次之间的关系 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根 x1，x2 (x1
系数为0的情况进行分析，检验此时是否符合条件． 3．二次不等式解集的“边界值”是相应二次方程的根． 4．简单分式不等式的解法 (1)f (x )g (x ) >0(<0)?f (x )g (x )>0(<0)； (2)f (x ) g (x )≥0(≤0)?? ???? f (x )· g (x )≥0(≤0)g (x )≠0. 5．简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a >1，a f (x )>a g (x )?f (x )>g (x )； 若0a g (x )?f (x )
一元二次不等式的解法
知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：. 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或 . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式 与的解集。 知识点三：解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程规律方法指导 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 二次函数（）的图象
类型一：解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式 （1）；（2）；（3） 思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当 且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) ；(2) (3) ；(4) . 【变式2】解不等式： 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。
一元二次不等式及其解法教(学)案
一元二次不等式及其解法 第1课时 授课类型：新授课 【教学目标】 1．知识与技能：理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握图象法解一元二次不等式的方法；培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法； 3．情态与价值：激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。一元二次不等式是高中数学中最基本的不等式之一，是解决许多数学问题的重要工具,本节课的主要容就是一元二次不等式的解法 【教学难点】 一元二次不等式、一元二次函数与一元二次方程三者之间的关系。理解并掌握利用二次函数的图象确定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集与函数图象上对应点的横坐标的在联系。由于学生年龄及认知规律等因素，要真正掌握有一定的难度。 【学情分析】 我班中等程度偏下的学生占大多数，程度较高与程度较差的学生占少数。学生数学基础差异不大，但进一步钻研的精神相差较大。学生已经学习了一元一次不等式（组）的解法和二次函数的零点，会画一元二次函数的图象，也会通过图象去研究理解函数的性质，初步的数形结合知识可以使学生写出一元二次不等式的解集，因此从学生熟悉的二次函数的图象入手介绍一元二次不等式的解法，从认知规律上讲，应该是容易理解的。在教学中加强师生互动，尽多的给学生动手的机会，让学生观察、讨论，在实践中体验三者的联系，从而直观地归纳、总结、分析出三者的联系成为可能。 【教学容分析】 一元二次不等式的解法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化，对已学习过的集合、函数等知识的巩固和运用具有重要作用，也与后面的线形规划、直线与圆锥曲线以及导数等容密切相关，许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法.因此，一元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性和工具性的作用。 【教学过程】 一．设置情景，导入新课 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型： 教材P84互联网的收费问题 教师引导学生分析问题、解决问题，最后得到一元二次不等式模型：2 50x x -≤…………………………(1) 二．引导探究，获得新知 1）一元二次不等式的定义 【让学生分析探究不等式①的特点，并让学生回答。】 生：这个不等式的特点：含有一个未知数x ；未知数x 的最高次数是2；是整式不等式。 【教师肯定后，点明像这样的不等式，叫一元二次不等式，然后鼓励学生下定义。】 生：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式。 【学情预设】不等式①的特点学生容易找出，如果一个学生分析不全，可让其他学生补充。 【设计意图】引导学生抽象出一元二次不等式模型，让学生感受从特殊到一般的数学思维方法，发展学生抽象思维能力。 象2 50x x -≤这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式
一元二次不等式及其解法》说课稿
《一元二次不等式及其解法》说课稿 各位老师好！今天我说课的题目是一元二次不等式及其解法，所选用的是高中数学人教A 版必修5教材。《一元二次不等式及其解法》出自该教材第二章不等式。根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次不等式的解法是解不等式的基础和核心，在高中数学中有广泛的应用，蕴藏着重要的数形结合思想，现已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分，也是近年来高考综合题的热点，可见，本节课的学习在高中数学中具有举足轻重的地位。 2. 学情分析 学生在初中已经学习了一元二次方程和一元二次函数，对不等式的性质有了初步了解。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升，所以要更加注重其抽象思维的训练，因此对于这个阶段的学生来说，一元二次不等式的学习有一定的基础。 3. 教学重难点 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型；围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想。 难点确定为：理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 二、教学目标分析 新课标指出，教学目标应包括只是与技能目标，过程与方法目标，情感与态度目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为： 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程; 通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系; 会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. 2.采用探究法，按照思考、交流、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;发挥学生的主体作用，作好探究性实验; 理论联系实际，激发学生的学习兴趣. 3.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想; 通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观. 三、教学方法分析 本节课为了培养学生的探究型思维目标，实现学生在教师指导下的发现探索，让学生愉快的学习，在发现与探索中建构知识，发展能力，有效地渗透数学思想，同时以观察法为主的合作交流方 式，以一系列问题促进主体学生的学习活动，让学生自己发现问题、解决问题，得到一般性结论，教师则从旁适时点拨，帮助学生逐步攀升，从而达到知识与能力的目标。
第一轮一元二次不等式及其解法详细过程
第一节一元二次不等式及其解法 (见学生用书第1页) 3．简单的分式不等式
(1)f （x ）g （x ）＞0?f (x )·g (x )＞0； (2)f （x ）g （x ） ≤0?f (x )·g (x )≤0且g (x )≠0． ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)对一切x ∈R 恒成立的条件是什么？ 【提示】 a >0且b 2－4ac <0. 1．(人教A 版教材习题改编)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( ) A ．(－1 2 ，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－1 2 )∪(1，＋∞) 【解析】 ∵2x 2－x －1＝(x －1)(2x ＋1)＞0， ∴x ＞1或x ＜－1 2 . 故原不等式的解集为(－∞，－1 2 )∪(1，＋∞)． 【答案】 D 2．不等式x －1 2x ＋1≤0的解集为( ) A ．(－12，1] B ．{x |x ≥1或x ＜－1 2} C ．[－12，1] D ．{x |x ≥1或x ≤－12} 【解析】 原不等式等价于 (x －1)(2x ＋1)＜0或x －1＝0. ∴原不等式的解集为(－1 2 ，1]． 【答案】 A 3．(2012·福建高考)已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 【解析】 ∵x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立， ∴Δ＝a 2－4×2a <0，∴0 单元检测 不等关系与不等式及一元二次不等式的解法 一、选择题 1．设m ，n ∈R ，给出下列结论： ①m 1.由二次函数y ＝x 2 －x －6图像引入一元二次不等式的概念 2则方程x 2－x －6＝0的解集为 ； 不等式x 2－x －6>0的解集为 ； 不等式 x 2－x －6<0的解集为 ． 2.形如)0(02≥>++c bx ax 的不等式(其中0≠a )，叫一元二次不等式。 问题探究二 解一元二次不等式的步骤 例1解不等式：3x 2 +5x －2>0； 学后检测1 解不等式的：(x ＋3)(2－x)≤4； 例2解不等式：9x 2-6x+1>0； 学后检测2 解不等式：x 2 -4x+5>0； 例3解不等式：－2x 2+x ＋1＜0； 学后检测3 解不等式：－x 2 +4x ＋4＜0 例2解一元二次不等式:01032 ≥++-x x 方法小结:当一元二次不等式的二次项系数为负数时,先将二次项系数转化成 成正数,再解一元二次方程,由二次函数图像写出新一元二次不等 式的解集,也即原不等式的解集. 1.设集合}012|{},0|{22≤+-=>-=x x x M x x x P ， 求：M P ? ， M P U 2.（1）若关于x 的二次不等式021mx 8mx 2<++的解集是{x|－7 3.不等式()130x x ->的解集是（ ） A ．1,3??-∞ ??? B ．() 1,00,3??-∞ ??? C ．1,3?? +∞ ??? D ．10,3? ? ??? 4.不等式22269 319 1122x x x x -+++?? ??≤ ? ??? ?? 的解集是（ ） A ．[]1,10- B ．()[),110,-∞-+∞ C ．R D ．(][),110,-∞-+∞ 5.不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ） A ．()3,4a a - B ．()4,3a a - C ．()3,4- D ．()2,6a a 6.设一元二次不等式2 10ax bx ++>的解集为113x x ??-<的解集为R ，则m 的取值范围是（ ） A ．R B ．()2,2- C ．() (),22,-∞-+∞ D ．[]2,2- 8.8．不等式0)44)(32(22<++--x x x x 的解集是（ ） A ． }31|{>- 不等关系与不等式及一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法
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