北师大版九年级下专题训练 二次函数与几何的综合问题 含答案

北师大版九年级下专题训练二次函数与几何的综合

问题含答案

?类型一二次函数与三角形的结合

1．如图6－ZT－1，直线l过A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限

内相交于点P，若S△AOP＝9

2，求二次函数的表达式．

图6－ZT－1

2．如图6－ZT－2，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A(－1，

0)和点B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝1.

(1)求点C的坐标(用含a的代数式表示)；

(2)连接AC，BC，若△ABC的面积为6，求此抛物线的表达式．

图6－ZT－2

?类型二二次函数与平行四边形的结合

3．如图6－ZT－3，四边形ABCD是平行四边形，过点A，C，D作抛物线y＝ax2＋bx＋c，点A，B，D的坐标分别为(－2，0)，(3，0)，(0，4)．求抛物线的表达式．

图6－ZT－3

?类型三二次函数与特殊平行四边形的结合

4．如图6－ZT－4，直线y＝－3x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线y＝a(x－2)2＋k 经过点A，B，且与x轴交于另一点C，其顶点为P.

(1)求a，k的值；

(2)抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求点Q的坐标；

(3)在抛物线及其对称轴上分别取点M，N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．

图6－ZT－4

几何练习题精选

几何练习题精选 题型一、相似三角形的判定与性质 1、 如图1、在ABC ?中， 90=∠BAC ，BC 边的垂直平分线EM 与AB 及CA 的延长线分别交于D 、E ，连接AM ， 求证：EM DM AM ?=2 2、 如图2，已知梯形ABCD 为圆内接四边形，AD//BC ，过C 作该圆的切线，交AD 的延长线于E ，求证：ABC ?相似于EDC ? 3、 如图3，D B ∠=∠，AE ⊥BC ， 90=∠ACD ，且AB=6，AC=4，AD=12，求BE 的长。

4、 如图4，O Θ和O 'Θ相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C 、D 两点， 连接DB 并延长交O Θ于点E ，证明：（1）AB AD BD AC ?=?；（2）AC=AE 题型二、截割定理与射影定理的应用 1、 如图5，已知E 是正方形ABCD 的边AB 延长线上一点，DE 交CB 于M ，MN//AE 于 N ，求证：MN=MB 2、 如图6，在ABC Rt ?中， 90=∠BAC ，AD 是斜边BC 上的高，若AB ：AC=2：1， 求AD ：BC 的值。

3、 如图7，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上异于A 、B 的点，CD ⊥AB ，垂足为D ，已 知AD=2，CB=34，求CD 的长。 4、 如图8，在ABC ?中，DE//BC ，EF//CD ，若BC=3，DE=2，DF=1，求AB 的长。 题型三、圆内接四边形的判定与性质 1、 如图9、AB ，CD 都是圆的弦，且AB//CD ，F 为圆上一点，延长FD ，AB 相交于点E ， 求证：BD=AC ；（2）DE AF AC AE ?=?

二次函数与几何图形结合练习

3.2 与几何图形结合3.2.1 与等腰三角形结合1、如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交 x 轴于另 一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 2、如图，已知直线y=x 与交于A 、B 两点． （1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数 的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的 取值范围； （3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不 少于3个满足条件的点 P 的坐标． y =x 2 y =x 2

3、如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O 。P 为二次函数图象 上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 D （m ，0），并与直线OA 交于点C ． （1）求出二次函数的解析式； （2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值； （3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出 P 的坐 标；如果不存在，请说明理由． 3.2.2 与直角三角形结合1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点 M 在第二象限，且经 过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为 C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的 倍时，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说 明理由． 2 y ax bx c a b 5 4

二次函数与几何综合压轴题题型归纳 学生版

标准实用 二次函数综合压轴题型归类、要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系教学目标：1 2、掌握特殊图形面积的各种求法 1、利用图形的性质找 点重点、难点： 2、分解图形求面积 一、二次函数和特殊多边形形状二、二次函数和特殊多边形面积三、函数动点引起的最值问题四、常考点汇总????22x?AB??yy?x：1、两点间的距离公式BAAB x?xy?y??BABA，ABC??的坐标为：：线段的中点2 、中点坐标 22??y?kx?bk?0y?kx?bk?0）的位置关系：）与（（直线212112??k?bk?kb?k）两直线相交 且（1）两直线平行（2212112??kk?b?1bk?k? 3（）两直线重合（4）两直线垂直且2121213、 一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ?和参数的其他要求确定参数的取值范围；①用②解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、 二次根式） ③分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 ??22mxm5＜m02m?1＝x?mx－的值。为整数，求例：关于的一元二次方程有两个整数根，且 x轴的交点为整数点问题。（方法同上）、4二次函数与??2mx3x?y?mx?3m1?为正整数，试确定轴交于两个不同的整数点，且例：若抛物线与此抛物线的解析式。 5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 文案大全． 标准实用 2mxm0?2m?mx3?3(m?1)x?为何值，方程总为实数）（已知关于，求证：无论的方程有一个固定的根。1x0?m?时，解：当；??3?1?m?3??2x?2?x?1?x0?m0??3m??；、时，当，， 12m2m m为何值，方程总有一个固定的根是1。综上所述：无论 6、函数过固定点问题，举例如下： 2mm2?my?x??mx为何值，该抛物线总经过一个固已知抛物线（，求证：不论是常数）定的点，

九年级数学二次函数应用题 含答案

九年级数学专题二次函数的应用题 一、解答题 1.一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为 2.5米时，达到最大高度 3.5米，然后准确落入篮圈。已知篮圈中心到地面的距离为3.05米。 （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？ 2.某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是价格x（元/件）的一次函数．（1）试求y与x之间的关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？ 3.在体育测试时，初三的一名高个子男同学推铅球，已知铅球所经过的路线是某个二次函数图像的一部分，如图所示，如果这个男同学的出手处A点的坐标（0，2），铅球路线的最高处B点的坐标为（6，5）（1）求这个二次函数的解析式； 米，）2）该男同学把铅球推出去多远？（精确到0.01 （ 元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量（件）某商场以每件42，4.

件）可看成是一次函数关系：/（元与每件的销售价 之间的函数关系式（每天的销售与每件的销售价写出商场卖这种服装每天的销售利润1. 利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差）； 2.通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适；最大销售利润为多少？ 5.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路 线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件），在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面10米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为3米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由 6.某服装经销商甲，库存有进价每套400元的A品牌服装1200套，正常销售时 每套600元，每月可卖出100套，一年内刚好卖完，现在市场上流行B品牌服装，此品牌服装进价每套200元，售出价每套500元，每月可买出120套（两套服装的市场行情互不影响）。目前有一可进B品牌的机会，若这一机会错过，估计一年内进不到这种服装，可是，经销商手头无流动资金可用，只有低价转让A品牌服装，经与经销商乙协商，达成协议，转让价格（元/套）与转让数量（套）有 如下关系： 转让数量（套）120011001000900800700600500400300200100 价格（元/套）240250260270 280290 300310 320330 340 350 方案1：不转让A品牌服装，也不经销B品牌服装； 方案2：全部转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装； 方案3：部份转让A品牌服装，用转让来的资金购B品牌服装后，经销B品牌服装，同时经销A品牌服装。 问： ①经销商甲选择方案1与方案2一年内分别获得利润各多少元？

立体几何专题训练(附答案)

立体几何 G5 空间中的垂直关系 18．、[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. (1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D- AF- E的余弦值． 图1-4 19．、[2014·湖南卷] 如图1-6所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求二面角C1-OB1-D的余弦值． 19．解：(1)如图(a)，因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD. 因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD. 由题设知，O1O∥C1C.故O1O⊥底面ABCD. (2)方法一：如图(a)，过O1作O1H⊥OB1于H，连接HC1. 由(1)知，O1O⊥底面ABCD O1O⊥A1C1. 又因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，所以四边形A1B1C1D1是菱形， 因此A1C1⊥B1D1，从而A1C1⊥平面BDD1B1，所以A1C1⊥OB1，于是OB1⊥平面O1HC1. 进而OB1⊥C1H.故∠C1HO1是二面角C1-OB1-D的平面角．

不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，OB 1＝7. 在Rt △OO 1B 1中，易知O 1H ＝OO 1·O 1B 1OB 1＝237.而O 1C 1＝1，于是C 1H ＝O 1C 21＋O 1H 2 ＝ 1＋12 7 ＝ 197 . 故cos ∠C 1HO 1＝O 1H C 1H ＝ 23 7197 ＝25719. 即二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为257 19 . 方法二：因为四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 是菱形，因此AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，从而OB ，OC ，OO 1两两垂直． 如图(b)，以O 为坐标原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O -xyz ，不妨设AB ＝2.因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，于是相关各点的坐标为O (0，0，0)， B 1(3，0，2)， C 1(0，1，2)． 易知，n 1＝(0，1，0)是平面BDD 1B 1的一个法向量． 设n 2＝(x ，y ，z )是平面OB 1C 1的一个法向量，则?????n 2·OB →1＝0，n 2·OC →1＝0，即???3x ＋2z ＝0， y ＋2z ＝0. 取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，所以n 2＝(2，23，－3)． 设二面角C 1-OB 1-D 的大小为θ，易知θ是锐角，于是 cos θ＝|cos 〈，〉|＝??????n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝2319＝25719. 故二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为25719 . 19． 、、[2014·江西卷] 如图1-6，四棱锥P - ABCD 中，ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD . 图1-6 (1)求证：AB ⊥PD .

一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题

2012届一次函数的应用、二次函数与几何知识的综合应用练习题 1、某书报亭开设两种租书方式：一种是零星租书，每册收费1元；另一种是 会员卡租书，办卡费每月12元，租书费每册0.4元．小军经常来该店租书， 若每月租书数量为x 册. （1）写出零星租书方式应付金额y 1(元)与租书数量x （册）之间的函数关系 式； （2）写出会员卡租书方式应付金额y 2(元 )与租书数量x (册)之间的函数关 系式； （3）小军选取哪种租书方式更合算？ 2、某汽车运输公司根据实际需要计划购买大、中型两种客车共20辆，已知 大型客车每辆62万元，中型客车每辆40万元，设购买大型客车x （辆），购 车总费用为y （万元）． （1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）； （2）若购买中型客车的数量少于大型客车的数量，请你给出一种费用最 省的方案，并求出该方案所需费用． 3、如图，抛物线y = 2 1x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）． ⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论； ⑶点M (m ，0)是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值． 4、如图，直线33+=x y 交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物 线交x 轴于另一点C （3,0）. 第3题图

⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求 出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由. 5、已知双曲线x k y 与抛物线y=ax 2+bx+c 交于A(2,3)、B(m,2)、c(－3,n)三点. (1)求双曲线与抛物线的解析式; (2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C,并求出△ABC 的面积, 6、已知函数y=mx 2－6x ＋1（m 是常数）． ⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值． 7、如图所示，二次函数y =-x 2+2x +m 的图象与x 轴的一个交点为A （3，0），另一 个交点为B ，且与y 轴交于点C ． 第5题图

九年级二次函数讲义

二次函数 一．知识梳理 1、定义：只含有一个未知数，且未知数最高次数为2的方程叫做一元二次方。一元二次方程的标准式：ax2+bx+c=0 （a≠0） 其中：ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项 a是二次项系数，b是一次项系数 2、一元二次方程根的判别式（二次项系数不为0）： “△”读作德尔塔，在一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）中△=b2-4ac △=b2-4ac>0 <====> 方程有两个不相等的实数根，即：x1,x2 △=b2-4ac=0 <====> 方程有两个相等的实数根，即：x1=x2 △=b2-4ac<0 <====> 方程没有实数根。 注：“<====>”是双向推导，也就是说上面的规律反过来也成立，如：告诉我们方程没有实数根，我们便可以得出△<0 3、一元二次方程根与系数的关系（二次项系数不为0;△≥0），韦达定理。 ax2+bx+c=0 （a≠0）中，设两根为x1,x2,那么有： 因为：ax2+bx+c=0 （a≠0）化二次项系数为1可得，所以：韦达定理也描述为：两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项。 注意：（1）在一元二次方程应用题中，如果解出来得到的是两个根，那么我们要根据实际情况判断是否应舍去一个跟。 5、一元二次方程的求根公式： 注：任何一元二次方程都能用求根公式来求根，虽然使用起来较为复杂，但非常有效。

一、求二次函数的三种形式： 1. 一般式：y=ax 2 +bx+c ，（已知三个点） 顶点坐标（－2b a ，244ac b a -） 2.顶点式：y=a （x －h ）2 +k ，（已知顶点坐标对称轴） 顶点坐标（h ，k ） 3.交点式：y=a(x- x 1)(x- x 2)，（有交点的情况） 与x 轴的两个交点坐标x 1，x 2 对称轴为2 2 1x x h += 二、a b c 作用分析 │a │的大小决定了开口的宽窄，│a │越大，开口越小，│a │越小，开口越大， a ， b 的符号共同决定了对称轴的位置，当b=0时，对称轴x=0，即对称轴为y 轴，当a ，b 同号时，对称轴x=－ 2b <0，即对称轴在y 轴左侧，当a ，b?异号时，对称轴x=－2b a >0， 即对称轴在y 轴右侧，c?的符号决定了抛物线与y 轴交点的位置， c=0c<0时，与y?轴交于负半轴，以上a ，b ，c 的符号与图像的位置是共同作用的，也可以互相推出．

初二几何专题训练整理

初中几何综合测试题 一.填空题 1.一个三角形的两条边长分别为9和2，第三边长为奇数，则第三边长为_______. 2.△ABC三边长分别为3、4、5，与其相似的△A′B′C′的最大边长是 10，则△A′B′C′的面积是_________. 4.点O是平行四边形ABCD对角线的交点，若平行四边行ABCD的面 积为8cm，则△AOB的面积为________. 5.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm，则斜边上的中线长为 . 6.梯形上底长为2，中位线长为5，则梯形的下底长为________. 7.如图，分别延长四边形ABCD两组对边交于E、F，若DF=2DA， 8.在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，如果BC=a，∠B=30°， 那么AD等于_________. 二．选择题 1.一个角的余角和它的补角互为补角，则这个角是 [ ] A.30° B.45° C.60° D.75° 2.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是 [ ] A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 3.如图，DF∥EG∥BC,AD=DE=EB,△ABC被分成三部分的 面积之比为 [ ]

A.1∶2∶3 B.1∶1∶1 C.1∶4∶9 D.1∶3∶5 4.已知：AB∥CD，EF∥CD,且∠ABC=20°，∠CFE=30°, 则∠BCF的度数是 [ ] A.160° B.150° C.70° D.50° 5.如图OA=OB，点C在OA上，点D在OB上，OC=OD，AD和 BC相交于E，图中全等三角形共有 [ ] A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 6.既是轴对称，又是中心对称的图形是 [ ] A.等腰三角形 B.等腰梯形 C.平行四边形 D.线段 三.解答题

二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标; （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积; （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2 10x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =- ∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分 （2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O= 45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB = 45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形 令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2 11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3……………………………………………………………………………5分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11 2123422 ??+??=………………………………6分 (3)． 假设存在 ∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC ∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分 设M 点的横坐标为m ，则M 2 (,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有 AG PA =MG CA ∵A G=1m --，MG=2 1m -即2322 = 解得11m =-（舍去） 23m =（舍去）………9分 G M C B y P A o x

二次函数和几何综合压轴题题型归纳

学生： 科目： 数 学 教师： 刘美玲 一、二次函数和特殊多边形形状 二、二次函数和特殊多边形面积 三、函数动点引起的最值问题 四、常考点汇总 1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-= 2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：??? ??++22 B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系： （1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠ （3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k 3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下： ① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围； ② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） ③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。 例：关于x 的一元二次方程()0122 2 ＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上） 例：若抛物线()3132 +++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定 此抛物线的解析式。 课 题 函数的综合压轴题型归类 教学目标 1、 要学会利用特殊图形的性质去分析二次函数与特殊图形的关系 2、 掌握特殊图形面积的各种求法 重点、难点 1、 利用图形的性质找点 2、 分解图形求面积 教学内容

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求出该固定根。举例如下： 已知关于x 的方程2 3(1)230mx m x m --+-=（m 为实数），求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根。 解：当0=m 时，1=x ； 当0≠m 时，()032 ≥-=?m ，()m m x 213?±-= ，m x 3 21-=、12=x ； 综上所述：无论m 为何值，方程总有一个固定的根是1。 6、函数过固定点问题，举例如下： 已知抛物线22 -+-=m mx x y （m 是常数），求证：不论m 为何值，该抛物线总经过一个固定的点，并求出固定点的坐标。 解：把原解析式变形为关于m 的方程()x m x y -=+-122 ； ∴ ???=-=+-0 1 02 2x x y ，解得：???=-=1 1 x y ； ∴ 抛物线总经过一个固定的点（1，－1）。 （题目要求等价于：关于m 的方程()x m x y -=+-122 不论m 为何值，方程恒成立） 小结．． ：关于x 的方程b ax =有无数解????==0 b a 7、路径最值问题（待定的点所在的直线就是对称轴） （1）如图，直线1l 、2l ，点A 在2l 上，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得MN AM +之和最小。 （2）如图，直线1l 、2l 相交，两个固定点A 、B ，分别在1l 、2l 上确定两点M 、N ，使得 AN MN BM ++之和最小。

数学九年级上册 二次函数专题练习(解析版)

数学九年级上册 二次函数专题练习（解析版） 一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难） 1．在平面直角坐标系中，将函数2 263,(y x mx m x m m =--≥为常数)的图象记为G ． （1）当1m =-时，设图象G 上一点(),1P a ，求a 的值； （2）设图象G 的最低点为(),o o F x y ，求o y 的最大值； （3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设右边交点的横坐标为2,x 则2x 的取值范围是 ； （4）设1112,,2,16816A m B m ????+ ? ????? ，当图象G 与线段AB 没有公共点时，直接写出m 的取值范围． 【答案】（1）0a =或3a =-；（2） 118；（3）21136x -<<-；（4）1 8 m <-或1 16 m >- 【解析】 【分析】 （1）将m=-1代入解析式，然后将点P 坐标代入解析式，从而求得a 的值； （2）分m ＞0和m ≤0两种情况，结合二次函数性质求最值； （3）结合二次函数与x 轴交点及对称轴的性质确定取值范围； （4）结合一元二次方程根与系数的关系确定取值范围． 【详解】 解：（1）当1m =-时，()2 2613y x x x =++≥ 把(),1P a 代入，得 22611a a ++= 解得0a =或3a =- （2）当0m >时，,(3)F m m - 此时，0o y m =-< 当0m ≤时，2 22 3926=2()22 y x mx m x m m m =----- ∴239,22F m m m ?? -- ??? 此时，229911=()22918 m m m - --++ ∴0y 的最大值1 18 =

小学奥数几何专题训练附答案

学习奥数的重要性 1. 学习奥数是一种很好的思维训练。奥数包含了发散思维、收敛思维、换元思维、反向思维、逆向思维、逻辑思维、空间思维、立体思维等二十几种思维方式。通过学习奥数，可以帮助孩子开拓思路，提高思维能力，进而有效提高分析问题和解决问题的能力，与此同时，智商水平也会得以相应的提高。 2. 学习奥数能提高逻辑思维能力。奥数是不同于且高于普通数学的数学内容，求解奥数题，大多没有现成的公式可套，但有规律可循，讲究的是个“巧”字；不经过分析判断、逻辑推理乃至“抽丝剥茧”，是完成不了奥数题的。所以，学习奥数对提高孩子的逻辑推理和抽象思维能力大有帮助 3. 为中学学好数理化打下基础。等到孩子上了中学，课程难度加大，特别是数理化是三门很重要的课程。如果孩子在小学阶段通过学习奥数让他的思维能力得以提高，那么对他学好数理化帮助很大。小学奥数学得好的孩子对中学阶段那点数理化大都能轻松对付。 4. 学习奥数对孩子的意志品质是一种锻炼。大部分孩子刚学奥数时都是兴趣盎然、信心百倍，但随着课程的深入，难度也相应加大，这个时候是最能考验人的：少部分孩子凭着天分，凭着在困难面前的百折不挠和愈挫愈坚的毅力，坚持了下来、学了进去、收到了成效；一部分孩子在家长的“威逼利诱”之下，硬着头皮熬了下来；不少孩子更是或因天资不足、或惧怕困难、或受不了这份苦、再或是其它原因而在中途打了退堂鼓。我以为，只要能坚持学下来，不论最后取得什么样的结果，都会有所收获的，特别是对孩子的意志力是一次很好的锻炼，这对他今后的学习和生活都大有益处。 六年级几何专题复习 如图，已知AB ＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接 而成，那么阴影部分的面积是_____cm2。(π取3.14)(几何) 有7根直径都是5分米的圆柱形木头，现用绳子分别在两处把它们捆在一起，则至少需要绳子_____分米。(结头处绳长不计，π取3.14) 图中的阴影部分的面积是________平方厘米。(π取3)

二次函数与几何图形综合题(可编辑修改word版)

二次函数与几何图形综合题 类型 1 二次函数与相似三角形的存在性问题 1．(2015·昆明西山区一模)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段BC 上的一个动点，过P 作PE 垂直于x 轴与抛物线交于点E，设P 点横坐标为m，PE 长度为y，请写出y 与m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点D 使以A、B、D 为顶点的三角形与△COB 相似？若存在，试求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2．(2013·曲靖)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝x＋4 与坐标轴分别交于A，B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－x2＋bx＋c.点D 为线段AB 上一动点，过点D 作CD⊥x 轴于点C，交抛物线于点E. (1)求抛物线的解析式； (2)当DE＝4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接BE，是否存在点D，使得△DBE 和△DAC 相似？若存在，求出D 点坐标；若不存在，说明理由． 3．(2015·襄阳)边长为 2 的正方形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D 是边OA 的中点，连接CD，点E 在第一象限，且DE⊥DC，DE＝DC.以直线AB 为对称轴的抛物线过C，E 两点．

(1)求抛物线的解析式； (2)点P 从点C 出发，沿射线CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点P 作PF⊥CD 于点F.当t 为何值时，以点P，F，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点M 为直线AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M，N，使得以点M，N，D，E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 类型 2 二次函数与平行四边形的存在性问题 1．(2014·曲靖)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c 与坐标轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)，C(0，3)三点，D

二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合--面积问题 知识点睛 1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________． 2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________ ． 2___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ． 例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，且OA =OC ，连接AC ． （1）求抛物线的解析式． （2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值． （3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ， E ， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的 点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 第一问：研究背景图形 【思路分析】 读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式． 再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形． 【过程示范】 解：（1）由2 23y ax ax a =+-(3)(1) a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =， ∴(03)C -，， 将(03)C -，代入2 23y ax ax a =+-， 第二问：铅垂法求面积 【思路分析】 （1）整合信息，分析特征： 由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在1()2 APB B A S PM x x =??-△

人教版九年级上册数学 二次函数专题练习(word版

人教版九年级上册数学 二次函数专题练习（word版 一、初三数学二次函数易错题压轴题（难） 1．已知，抛物线y＝- 1 2 x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A． （1）直接填写抛物线的解析式________； （2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN. 求证：MN∥y轴； （3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG ?CH 为定值. 【答案】（1）2 1 2 2 y x x =-++；（2）见详解；（3）见详解． 【解析】 【分析】 （1）把点C、D代入y＝- 1 2 x2 +bx+c求解即可； （2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解； （3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证．【详解】 详解：（1）∵y＝- 1 2 x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2）， ∴ 2 1 222 2 2 b c c ? -?++ ? ? ?= ? ＝ ,

解得：1 2b c =??=? . ∴y=- 12 x 2 +x+2； （2） 设直线PM 的解析式为：y=mx ，直线PC 的解析式为：y=kx+2 由2 2122y kx y x x =+?? ?=-++?? 得 12 x 2 +（k-1）x=0, 解得：120,22x x k ==-， x p =22p x k =- 由2 1=22y mx y x x =???-++?? 得 12 x 2 +(m-1)x-2=0， ∴124b x x a ?=- =- 即x p?x m =-4， ∴x m =4p x -=21 k -. 由24y kx y x =+??=+? 得x N = 2 1 k -=x M , ∴MN ∥y 轴. （3）设G （0，m ）,H （0，n ）. 设直线QG 的解析式为y kx m =+， 将点()2,2Q 代入y kx m =+ 得22k m =+

中考数学几何专题训练

专题八圆

8．正多边形的有关计算: （1）中心角n ，半径R N ，边心距r n ，边长a n ，内角n ，边数n；公式举例： (1) n = n 360 ；

（2）有关计算在Rt ΔAOC 中进行. (2) n 1802n ? = α 二 定理： 1．不在一直线上的三个点确定一个圆. 2．任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆. 3．正n 边形的半径和边心距把正n 边形分为2n 个全等的直角三角 三 公式： 1.有关的计算： （1）圆的周长C=2πR ；（2）弧长L= 180 R n π；（3）圆的面积S=πR 2 . （4）扇形面积S 扇形 =LR 2 1 360R n 2=π； （5）弓形面积S 弓形 =扇形面积S AOB ±ΔAOB 的面积.（如图） 圆柱侧（2）圆锥的侧面积：S 圆锥侧 =LR 21 =πrR. （L=2πr ，R 是圆锥母线长；r 是底面半径） 四 常识： 1． 圆是轴对称和中心对称图形.2． 圆心角的度数等于它所对弧的度数. 3． 三角形的外心 两边中垂线的交点 三角形的外接圆的圆心； 三角形的内心 两内角平分线的交点 三角形的内切圆的圆心.

A B C 第5 A B C 第6 O E 4． 直线与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到直线的距离；其中r 表示圆的半径） 直线与圆相交 d ＜r ； 直线与圆相切 d=r ； 直线与圆相离 d ＞r. 5． 圆与圆的位置关系：（其中d 表示圆心到圆心的距离，其中R 、r 表示两个圆的半径且R ≥r ） 两圆外离 d ＞R+r ； 两圆外切 d=R+r ； 两圆相交 R-r ＜d ＜R+r ； 两圆内切 d=R-r ； 两圆内含 d ＜R-r. 6．证直线与圆相切，常利用：“已知交点连半径证垂直”和“不知交点作垂直证半径” 的方法加辅助线. 圆中考专题练习 一：选择题。 1. （2010红河自治州）如图2，已知BD 是⊙O 的直径，⊙O 的弦AC ⊥BD 于点E ，若∠AOD=60°，则∠DBC 的 度数为（ ） ° ° ° ° 2、（11哈尔滨）．如上图，AB 是⊙O 的弦，半径OA ＝2，∠AOB ＝120°，则弦AB 的长是（ ）． （A ）22 （B ）32 （C ）5 （D ）53 3、（2011陕西省）9.如图，点A 、B 、P 在⊙O 上，点P 为动点，要是△ABP 为等腰三角形，则所有符合条件的点P 有（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 4、（2011），安徽芜湖）如图所示，在圆O 内有折线OABC,其中OA=8,AB=12,∠A=∠B=60°,则BC 的长为（ ） A ．19 B ．16 C ．18 D ．20 5、（11·浙江湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ BAC ＝90°，AB ＝3， BC ＝5，若把Rt △ABC 绕直线AC 旋转一周，则所 得圆锥的侧面积等于 （ ）

(完整版)二次函数与几何图形综合题.doc

二次函数与几何图形综合题 类型 1二次函数与相似三角形的存在性问题 1． (2015 ·明西山区一模昆)如图，已知抛物线y＝ ax2＋bx＋ c(a≠0)经过 A(－ 1， 0)， B(4， 0)， C(0 ，2) 三点． (1)求这条抛物线的解析式； (2)P 为线段 BC 上的一个动点，过P 作 PE 垂直于 x 轴与抛物线交于点 E，设 P 点横坐标为 m， PE 长度为 y，请写出 y 与 m 的函数关系式，并求出PE 的最大值； (3)D 为抛物线上一动点，是否存在点 D 使以 A、B、D 为顶点的三角形与△ COB 相似？若存在，试求出点 D 的坐标；若不存在，请说明理由．

2． (2013 ·靖曲 )如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y＝ x＋ 4 与坐标轴分别交于A， B 两点，过A，B 两点的抛物线为y＝－ x2＋ bx＋ c.点 D 为线段 AB 上一动点，过点 D 作 CD⊥ x 轴于点 C，交抛物线于点 E. (1)求抛物线的解析式； (2)当 DE＝ 4 时，求四边形CAEB 的面积； (3)连接 BE，是否存在点 D ，使得△ DBE 和△ DAC 相似？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，说明理由．

3．(2015 襄·阳 )边长为 2 的正方形O ABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点D是边OA的中点，连接 CD ，点 E 在第一象限，且DE⊥ DC ， DE ＝DC.以直线 AB 为对称轴的抛物线过C， E 两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点 P 从点 C 出发，沿射线 CB 以每秒 1 个单位长度的速度运动，运动时间为t 秒．过点 P 作 PF ⊥ CD 于点 F .当 t 为何值时，以点P， F ，D 为顶点的三角形与△COD 相似？ (3)点 M 为直线 AB 上一动点，点N 为抛物线上一动点，是否存在点M， N，使得以点M，N， D， E 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的 代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以 想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武 汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学 生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的 时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二 是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐 心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求 （1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系 数法求函数解析式，属于送分题。 （2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练 掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题 目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。 （3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目 所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条 件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系， 再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用， 这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种 常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一 步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这 一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底， 根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全 等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

(完整)初三中考二次函数专题复习

第二十六章 二次函数 【知识梳理】 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 3.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0

新动力教育 数学杨老师 对称轴是直线a b x 2- =. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 6.抛物线c bx ax y ++=2 中，c b a ,,的作用 （1）a 决定开口方向及开口大小，这与2 ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是直线 a b x 2- =，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0c ,与y 轴交于正半轴；③0