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《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案

《误差理论与数据处理》(第七版)

习题及参考答案

第一章 绪论

1-5 测得某三角块的三个角度之和为180o

00’02”,试求测量的绝对误差和相对误差 解:

绝对误差等于: 相对误差等于:

1-8在测量某一长度时,读数值为2.31m ,其最大绝对误差为20m μ,试求其最大相对误差。

%

108.66 %

1002.31

1020 100%

max

max 4-6

-?=??=?=

测得值

绝对误差相对误差

1-10检定2.5级(即引用误差为2.5%)的全量程为100V 的电压表,发现50V 刻度点的示值误差2V 为最大误差,问该电压表是否合格?

%5.22%100%100

2

100%

<=?=

?=

测量范围上限

某量程最大示值误差

最大引用误差

该电压表合格

1-12用两种方法分别测量L1=50mm ,L2=80mm 。测得值各为50.004mm ,80.006mm 。试评定两种方法测量精度的高低。 相对误差

L 1:50mm 0.008%100%5050

004.501=?-=

I

L 2:80mm 0.0075%100%80

80

006.802=?-=

I 21I I > 所以L 2=80mm 方法测量精度高。

1-13 多级弹导火箭的射程为10000km 时,其射击偏离预定点不超过0.lkm ,优秀射手能在距离50m 远处准确地射中直径为2cm 的靶心,试评述哪一个射

21802000180''=-'''o o %000031.010*********.00648002066018021802≈='

''

'''??''=''=o

击精度高? 解:

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射手的相对误差为:

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多级火箭的射击精度高。

1-14若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm ,其测量误差分别为

m μ11±和m μ9±;而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm 。

其测量误差为m μ12±,试比较三种测量方法精度的高低。

相对误差

0.01%110111±=±

=mm m

I μ

0.0082%11092±=±=mm m

I μ

%008.0150123±=±=mm

m

I μ

123I I I <<第三种方法的测量精度最高

第二章 误差的基本性质与处理

2-6测量某电路电流共5次,测得数据(单位为mA )为168.41,168.54,168.59,168.40,168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差。

168.41168.54168.59168.40168.50

5

x ++++=

168.488()mA =

)(082.01

55

1

2

mA v i i

=-=

∑=σ

0.037()x mA σ=

=

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= 或然误差:0.67450.67450.0370.025()x R mA σ==?= 平均误差:0.79790.79790.0370.030()x T mA σ==?=

2-7在立式测长仪上测量某校对量具,重量测量5次,测得数据(单位为mm )为20.0015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若测量值服从正态分布,试以99%的置信概率确定测量结果。

20.001520.001620.001820.001520.0011

5

x ++++=

20.0015()mm =

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0.00025σ=

=

正态分布 p=99%时,t 2.58= lim x x t δσ=±

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2.58=± 0.0003()mm =±

测量结果:lim (20.00150.0003)x X x mm δ=+=±

2-9用某仪器测量工件尺寸,在排除系统误差的条件下,其标准差

mm 004.0=σ,若要求测量结果的置信限为mm 005.0±,当置信概率为

99%时,试求必要的测量次数。

正态分布 p=99%时,t 2.58=

lim x t

δ=±

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2.580.004

2.064

0.005

4.265

n n ?=

===取

2-9 用某仪器测量工件尺寸,已知该仪器的标准差σ=0.001mm ,若要求测量的允许极限误差为±0.0015mm ,而置信概率P 为0.95时,应测量多少次? 解:根据极限误差的意义,有

0015.0≤±=±n

t

t x σ

σ

根据题目给定得已知条件,有

5.1001

.00015

.0=≤

n

t

查教材附录表3有

若n =5,v =4,α=0.05,有t =2.78,

24.1236

.278

.25

78.2==

=

n

t 若n =4,v =3,α=0.05,有t =3.18,

59.12

18

.34

18.3==

=

n

t 即要达题意要求,必须至少测量5次。

2-12某时某地由气压表得到的读数(单位为Pa )为102523.85,102391.30,102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其权各为1,3,5,7,8,6,4,2,试求加权算术平均值及其标准差。

)(34.1020288

1

8

1Pa p

x

p x i i

i i

i ==

∑∑==

)(95.86)18(81

8

1

2

Pa p v p i i

i xi

i x ≈-=

∑∑==σ

2-13测量某角度共两次,测得值为6331241'''=οα,

''24'13242ο

=α,其标准差分别为8.13,1.321''=''=σσ,试求加权算术平均值及其标准差。

961:190441

:

1

:2

2

2

1

21==

σσp p

''35'1324961

19044'

'4961''1619044''20'1324οο

=+?+?+

=x

''0.3961

1904419044

''1.32

1

≈+?

==∑=i i

i

x

x p

p i

σσ

2-14 甲、乙两测量者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次,测得值如下:

;

5127,0227,5327,037,0227:'''''''''''''''οοοοο甲α

;5427,0527,0227,5227,5227:'''''''''''''''οοοοο乙α

试求其测量结果。 甲:20"60"35"20"15"

72'72'30"5

x ++++=+

=o

o 甲

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σ甲

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18.4"=

x 8.23"σσ=

=

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=甲 乙:25"25"20"50"45"

72'72'33"5

x ++++=+

=o

o 乙

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σ=

=

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乙13.5"=

x 6.04"σ==

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=乙 22

22

x x

1

1

11

::

:3648:67738.23 6.04

p p σσ=

=

=乙

乙甲甲 364830"677333"72'36486773

p x p x x p p +?+?=

=+++o

甲乙乙甲乙甲72'32"=o

78.46773

36483648

32.8''=+?

''=+=乙

甲甲甲

p p p x x σσ

''15''32'273±=±=οx x X σ

2-16重力加速度的20次测量具有平均值为2

/811.9s m 、标准差为

2/014.0s m 。另外30次测量具有平均值为2/802.9s m ,标准差为

2/022.0s m 。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均

值和标准差。 147:24230022.01:

20014.011

:

1

:2

2

22212

2

21

=??

? ????

? ??=

=

x

x p p σσ

)/(9.808147

2429.802

1479.8112242s m x ≈+?+?=

(2m/s 0.0025147242242

20

014.0≈+?=

x σ

2-19对某量进行10次测量,测得数据为14.7,15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差。

96.14=x

按贝塞尔公式 2633.01=σ

按别捷尔斯法0.2642)

110(10253.110

1

i 2≈-?

=∑=i

v

σ

u +=112σσ 得 0034.011

2=-=σσ

u 67.01

2

=-<

n u 所以测量列中无系差存在。

2-18对一线圈电感测量10次,前4次是和一个标准线圈比较得到的,后6次是和另一个标准线圈比较得到的,测得结果如下(单位为mH ): 50.82,50.83,50.87,50.89;

50.78,50.78,50.75,50.85,50.82,50.81。 试判断前4次与后6次测量中是否存在系统误差。 使用秩和检验法:

排序:

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T=5.5+7+9+10=31.5 查表 14=-T 30=+T +>T T 所以两组间存在系差

2-21 对某量进行两组测量,测得数据如下:

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解:

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x y i 203)2)1((

211=++=n n n a ;474)12

)

1((2121=++=n n n n σ求出:

1.0-=-=

σ

a

T t

现取概率295.0)(=t φ,即475.0)(=t φ,查教材附表1有96.1=αt 。由于αt t ≤,因此,可以认为两组数据间没有系统误差。

第三章 误差的合成与分配

3-1相对测量时需用54.255mm 的量块组做标准件,量块组由四块量块研合

而成,它们的基本尺寸为mm l 401=,mm l 122=,mm l 25.13=,

mm l 005.14=。经测量,它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为

m l μ7.01-=?,m l μ5.02+=?,m l μ3.03-=?,

,

20.0,25.0,35.0,1.03lim 2lim 1lim 4m l m l m l m l μδμδμδμ±=±=±=+=?m l μδ20.04lim ±=。试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量

带来的测量误差。

修正值=)(4321l l l l ?+?+?+?- =)1.03.05.07.0(+-+-- =0.4)(m μ 测量误差: l δ=4

3

2

1

lim 2lim 2lim 2lim 2l l l l δδδδ+++±

=2

222)20.0()20.0()25.0()35.0(+++± =)(51.0m μ±

3-2 为求长方体体积V ,直接测量其各边长为mm a 6.161=,

mm 44.5b =,mm c 2.11=,已知测量的系统误差为mm a 2.1=?,mm b 8.0-=?,mm c 5.0=?,测量的极限误差为mm a 8.0±=δ,

mm b 5.0±=δ,mm c 5.0±=δ, 试求立方体的体积及其体积的极限误差。

abc V = ),,(c b a f V =

2.115.446.1610??==abc V

)(44.805413

mm =

体积V 系统误差V ?为:

c ab b ac a bc V ?+?+?=?

)(74.2745)(744.274533mm mm ≈=

立方体体积实际大小为:)(70.777953

0mm V V V =?-=

2

22222lim )()()(

c b a V c

f b f a f δδδδ??+??+??±= 2

22

22

2)()()(c b a ab ac bc δδδ++±= )(11.37293mm ±=

测量体积最后结果表示为:

V V V V lim 0δ+?-=3)11.372970.77795(mm ±=

3-4 测量某电路的电流mA I 5.22=,电压V U 6.12=,测量的标准差分

别为mA I 5.0=σ,V U

1.0=σ,求所耗功率UI P =及其标准差P σ。

UI P =5.226.12?=)(5.283mw =

),(I U f P =I U 、Θ成线性关系 1=∴UI ρ

I u I U P I

f U f I f U f σσσσσ))((2)()(2

222????+??+??= I U I U U I I

f

U f σσσσ+=??+??=

5.06.121.05.22?+?=

)(55.8mw =

3—12 按公式V=πr2h 求圆柱体体积,若已知r 约为2cm ,h 约为20cm ,要使体积的相对误差等于1%,试问r 和h 测量时误差应为多少? 解:

若不考虑测量误差,圆柱体积为

3222.25120214.3cm h r V =??=??=π

根据题意,体积测量的相对误差为1%,即测定体积的相对误差为:

%1=V

σ

即51.2%12.251%1=?=?=V σ

现按等作用原则分配误差,可以求出 测定r 的误差应为:

cm hr r V r 007.021

41.151.2/12

==??=

πσ

σ

测定h 的误差应为:

cm r

h V h 142.01

41.151.2/122

=?=??=

πσ

σ

3-14对某一质量进行4次重复测量,测得数据(单位g)为428.6,429.2,426.5,430.8。已知测量的已定系统误差,6.2g -=?测量的各极限误差分量及其相应的传递系数如下表所示。若各误差均服从正态分布,试求该质量的最可信赖值及其极限误差。

《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案

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4

=

x

)(8.428)(775.428g g ≈=

最可信赖值 )(4.4316.28.428g x x =+=?-=

∑∑==??+??±=31222

2

5

1)(41)(

i i i i i i

x x f e x f δδ )(9.4g ±≈

测量结果表示为:x x x δ+?-=g )9.44.431(±=

第四章 测量不确定度

4—1 某圆球的半径为r ,若重复10次测量得r ±σr =(3.132±0.005)cm ,试求该圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度,置信概率P=99%。

解:①求圆球的最大截面的圆周的测量不确定度

已知圆球的最大截面的圆周为:r D ?=π2 其标准不确定度应为:

()222

222

005.014159.342??==

??

? ????=r r r D u σπσ

=0.0314cm

确定包含因子。查t 分布表t 0.01(9)=3.25,及K =3.25 故圆球的最大截面的圆周的测量不确定度为:

U =Ku =3.25×0.0314=0.102

②求圆球的体积的测量不确定度 圆球体积为:33

4

r V ??=

π 其标准不确定度应为:

()616

.0005.0132.314159.316424222

22

2

=???=??=

??

? ????=r

r r r V u σ

πσ

确定包含因子。查t 分布表t 0.01(9)=3.25,及K =3.25 最后确定的圆球的体积的测量不确定度为

U =Ku =3.25×0.616=2.002

4-4某校准证书说明,标称值10Ω的标准电阻器的电阻R 在20C ο

时为Ω±Ωμ129000742.10(P=99%),求该电阻器的标准不确定度,并说明属于哪一类评定的不确定度。

Q 由校准证书说明给定

∴属于B 类评定的不确定度

Q R 在[10.000742Ω-129μΩ,10.000742Ω+129μΩ]范围内概率为

99%,不为100%

∴不属于均匀分布,属于正态分布 129a =当p=99%时, 2.58p K = ∴12950()2.58

R p a U K μ=

==Ω

4-5在光学计上用52.5mm 的量块组作为标准件测量圆柱体直径,量块组由三块量块研合而成,其尺寸分别是:

140l mm

=,

210l mm

=,

3 2.5l mm

=,量块按“级”使用,经查手册得其研合误差分别不超过

0.45m μ±、0.30m μ±、0.25m μ±(取置信概率P=99.73%的正态分布),

求该量块组引起的测量不确定度。 52.5L mm = 140l mm =

210l mm = 3 2.5l mm =

123L l l l ∴=++ 99.73%p =Q 3p K ∴= 10.450.15()3l p a U m k μ=

== 20.30

0.10()3l p a U m k μ=== 30.250.08()3

l p a U m k μ=

== 321l l l L U U U U ++=

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= 0.20()m μ=

第五章 线性参数的最小二乘法处理

5-1测量方程为3 2.920.923 1.9x y x y x y +=??

-=??-=?

试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

误差方程为123

2.9(3)0.9(2)1.9(23)v x y v x y v x y =-+??

=--??=--?

列正规方程11121111

212221

11n

n n

i i i i i i i i i n n n

i i i i i i i i i a a x a a y a l a a x a a y a l ======?+=????+=??∑∑∑∑∑∑代入数据得

14513.4

514 4.6x y x y -=??-+=-?解得 ??

?==015

.0962.0y x 将x 、y 代入误差方程式123

2.9(30.9620.015)0.001

0.9(0.96220.015)0.0321.9(20.96230.015)0.021v v v =-?+=-??

=--?=-??=-?-?=?

《误差理论与数据处理(第7版)》费业泰 习题答案

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测量数据的标准差为0.038σ=

=

=

求解不定乘数 111221

22d d d d ???

???111211122122212214515140

1450

5141

d d d d d d d d -=??

-+=?-=??

-+=? 解得 082.02211==d d

x 、y 的精度分别为01.011==d x σσ 01.022==d y σσ

5-7不等精度测量的方程组如下:1233 5.6,148.1,220.5,3

x y p x y p x y p -=-=??

+==??-==?

试求x 、y 的最小二乘法处理及其相应精度。

列误差方程11223

35.6(3),1

8.1(4),20.5(2),3

v x y p v x y p v x y p =---=??

=-+=??=--=?

正规方程为3

33

11121111

333

212221

11i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i p a a x p a a y p a l p a a x p a a y p a l ======?+=????+=??∑∑∑∑∑∑

代入数据得

4562.2

1431.5x y x y -=??-+=?解得 ??

?==352

.2434.1y x 将x 、y 代入误差方程可得???

??-===016.0012.0022

.03

21v v v

则测量数据单位权标准差为039.02

33

1

2

=-=

∑=i i

i v p σ

求解不定乘数 111221

22d d d d ???

???1112111221222122451140

450

141

d d d d d d d d -=??

-+=?-=??

-+=? 解得 ???==072.0022.022

11d d

x 、y 的精度分别为006.011==d x σσ 010.022==d y σσ

第六章 回归分析

6-1材料的抗剪强度与材料承受的正应力有关。对某种材料试验的数据如下:

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假设正应力的数值是正确的,求

(1)抗剪强度与正应力之间的线性回归方程。

(2)当正应力为24.5Pa 时,抗剪强度的估计值是多少? (1)设一元线形回归方程 bx b y +=∧

0 12=N

????

?

-==

x b y b l l b xx xy 0

Θ047.43=∴xx l 533.29-=xy l 69

.0047

.43533

.29-=-==

xx

xy l l b ()x y

b y x 69.069.42?69.4297.2569.077.2477.242.29712197.256.31112

1

0-==?--=∴=?==?=

Θ (2)当X=24.5Pa

)(79.255.2469.069.42?Pa y

=?-=

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