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凸函数上图像的凸集证明

b y m i n e r a l t e r m a n 设集合S ?R n 是非空凸集，函数f:S ?R 1.则f 是S 上的凸函数，当且仅当f 在S 上的上图像：

epi (f )={(x y )|x ∈S,y ≥f(x)}

是凸集。

证明：(辅助图如下

)

"?"：假设(x 1y 1)，(x 2y

2)是epi (f )上的2点。记x λ=λx 1+(1?λ)x 2,y λ=λy 1+(1?λ)y 2. ∵x 1，x 2∈S ?R n 且S 为闭集：

∴? λ∈(0,1),λx 1+(1?λ)x 2∈S .

按照epi (f )的定义：y 1≥f (x 1),y 2≥f (x 2),以及f 的凸函数定义：λf (x 1)+(1?λ)f (x 2)≥f (λx 1+(1?λ)x 2)可得到如下关系：

λy 1+(1?λ)y 2≥λf (x 1)+(1?λ)f (x 2)≥f (λx 1+(1?λ)x 2)=f(x λ) 即y λ=λy 1+(1?λ)y 2≥f(x λ). "?"：∵epi (f )是凸集，∴? λ∈(0,1),(x λy

λ)=λ(x 1y 1)+(1?λ)(x 2y 2)∈epi (f ). 即{x λ=λx 1+(1?λ)x 2

y λ=λy 1+(1?λ)y 2

. 按照epi (f )的定义，x λ∈S ，min (y λ)≥f(x λ).而y λ=λy 1+(1?λ)y 2≥λf (x 1)+(1?λ)f (x 2).所以有：

min(λf (x 1)+(1?λ)f (x 2))≥f(x λ)=f (λx 1+(1?λ)x 2).

则有λf (x 1)+(1?λ)f (x 2)≥f (λx 1+(1?λ)x 2)，即f 是S 上的凸函数。

说人话：证明“?”时，上图像epi (f )中两点的凸组合仍在epi (f )的原因是y λ比f(x λ)大，而这又需要用到凸函数的定义λf (x 1)+(1?λ)f (x 2)≥f (λx 1+(1?λ)x 2)。

证明“?”时，既然曲线上方的任意2点的所有凸组合都属于集合epi (f )内，那么这个凸组合

点(x λy

λ)必然还比函数值(x λf(x λ))大两次，第一次是让两点下降到曲线最底部(x λλf (x 1)+(1?λ)f (x 2)

)，第二次是下降到(x λf(x λ))。

函数的一致连续性

哈尔滨师范大学学年论文题目关于函数一致连续的探究学生万鑫指导教师曾伟梁副教授年级 2008级专业信息与计算科学系别信息系学院数学学院哈尔滨师范大学 2011年 6 月

关于一致连续函数的判据万鑫摘要：连续与一致连续是数学分析中非常重要也非常基础的概念。这两个概念来自于实际问题，现实问题。我们经常观察的自然现象，如生物的连续生长，反映的是事物连续不断的变化的过程，如果用函数来刻画即是函数的连续性。数学分析研究种种不同性质的函数，其中有一类重要的函数就是一致连续函数。我们通过给出一致连续函数与非一致连续函数的定义，从而对函数的一致连续性进行探讨。关键词：一致连续非一致连续判别依据比较判别法比值判别法。一函数)(x f 一致连续的概念定义1：设函数()x f 在()a u 上有定义，若函数()x f 在点a 上存在极限，且极限是()a f ，即()()a f x f a x =→lim ，则称函数()x f 在点a 上连续，也称a 是函数()x f 的连续点. 用“δε—”语言叙述：函数()x f 在a 上连续?0>?ε,0>?δ， x ?：,δ<-a x 时，有()()ε?ε,0>?δ，I x x ∈?21,, δ<-X X 2 1 时，有()()ε?ε,0>?δ ,I x x ∈?21, , δ<-X X 2 1 时有()()ε≥-x x f f 21，则称函数()x f 在I 上非一致连续。对于函数()x f 在区间I 上非一致连续，也就是说存在某个正数ε ，不论任何的正数δ，在区间I 内至少存在两点与 x 1 x 2 ,虽然 δ<-X X 2 1 ，但 ()()ε≥-x x f f 21。