编号17 山西大学附中高二年级排序不等式
山西大学附中高二年级（下）数学导学设计 编号17
排序不等式
【学习目标】了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题; 【学习重点】排序不等式的应用 【学习难点】排序不等式的证明 【学习过程】 一、导学：
1. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i i
a b R ∈(=i 1,2,…,n )，
则： .当且仅当 时, 等号成立. (若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ). 变式10.
设,0(1,2,
,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i n
i i
i
b a b a 212
)( .
当且仅当 时, 等号成立. 变式20
. 设0(1,2,
,),i i a b i n ?>= 则：∑∑∑≥=i
i i n
i i
i b
a a
b a 2
1
)(.
当且仅当n b b b === 21时,等号成立.
2. 探究 如图， 设AOB α∠=，自点O 沿OA 边依次取n 个点
12,,,n A A A ，OB 边依次取取n 个点12,,,n B B B ，在OA 边取某个点i A 与OB 边某个点j B 连接，得到i j AOB ?，这样一一搭配，一共可得到n 个三角形。显然，不同的搭配方法，得到的i j AOB ?不同，问：OA 边上的点与OB 边上的点 如何搭配，才能使n 个三角形的面积和最大（或最小）？？？ 设,(,1,2,,)i i j j OA a OB b i j n ===，由已知条件，得 123123,n n a a a a b b b b <<<<<<<<
因为i j AOB ?的面积是 ，而 是常数，于是，上面的几何问题就可以归结为
代数问题：1212,,
,,,,,n n c c c b b b 设是数组的任何一个排列 则1122n n S a c a c a c =+++何时
取最大（或最小）值？ 我们把1122n n S a c a c a c =+++叫做数组12(,,,)n a a a 与12(,,,)n b b b 的乱序和.
其中, 1121321n n n n S a b a b a b a b --=++++称为 序和.
2112233n n S a b a b a b a b =+++
+称为 序和.
这样的三个和大小关系如何? ◆探究新知 1.检验操作: 填表: 2.一般性证明:
12,n a a a ≤≤≤设12n b b b ≤≤≤1212c ,,,,,,n n c c b b b 是的任意一个排列(有
个不同的排列). 所以, 1122n n S a c a c a c =+++的不同值也只有有限个(≤
个).
其中必有最大值和最小值.
考察1122n n S a c a c a c =+++,
10
.若11c b ≠,则应有某1(1)
k c b k =>,且
1
k c c ,对换1,k
c c 得
11k k n n S a c a c a c '=++++
0S S '-=+--
=≥. S S '
? .
说明将1122n n S a c a c a c =++
+中第一项换为11a b 后, 和式 .
20
.若11c b ≠,则转而考察2c ,并进行类似讨论.可证将式中第二项换为22a b 后,和式 . 如此继续下去, 经有限步调整, 可知一切和数中, 最大和数只能是 .且不难
知道, 最小和数只能是 . 因此 12 S S S 反序和乱序和顺序和即. 30
.容易发现, 当12,n a a a ==
=或12n b b b ==
=时, 1
2 S S
S ;
如果12,,,,n a a a 不全相等, 12,,,n b b b 也不全相等. 则,(1,)i j i j n ?≤≤和,(1,)l k l k n ≤≤ 使,i j l k a a b b <<,考察和数
2()()i i j j l l k k i k j l l i k j S S a b a b a b a b a b a b a b a b *=-+++++++ 2()()i i j j l l k k i l j k l i k j S S a b a b a b a b a b a b a b a b **
=-+++++++
∵ ()()
0i j k l S
S a a b b S S **
****-=--?
∴ 12S S S S ***≤<≤.
定理(排序不等式, 又称排序原理):12,n a a a ≤≤
≤设12n b b b ≤≤
≤为两组数,
1212c ,,
,,,
,n n c c b b b 是的任意一个排列, 则
121321n n n n a b a b a b a b --++++1122n n a c a c a c ≤++
+112233n n a b a b a b a b ≤++++.
当且仅当12,n a a a ==
=或12n b b b ==
=时, 等号成立.
二、导练：
1. 5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要的时间分别是4分钟,8分钟,6分钟,10分钟,5分钟. 那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？ .
2．若n a a a ,......,,21为两两不等的正整数，
求证:321222111
12323n a a a a n n ++++≤++++
编号4 山西大学附中高三年级简易逻辑
山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号4 简易逻辑 【学习目标】 1.明确特称命题和全称命题的概念,并会判断命题真假性 2.会写特称命题和全称命题的否定 【学习重点】 判断命题真假性 【学习难点】判断命题真假性 【学习过程】 （一）.基础梳理： 1.命题的真假判断： 2.全称量词和存在量词 （1）全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“?”表示； 特称量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“?”表示 （2）含有全称量词的命题，叫做全称命题；即“对M 中任意一个x ，有()p x 成立”； 可用符号简记为：,()x M p x ?∈；读作：“对任意x 属于M ，有()p x 成立”. （3）含有存在量词的命题，叫做特称命题；即“存在M 中的元素0x ，使0()p x 成立”；可用符号简记为： 00,()x M p x ?∈；读作：“存在M 中的元素0x ，使0()p x 成立”. 1．“220a b +≠”的含义为 A ．,a b 不全为0 B ． ,a b 全不为0 C ．,a b 至少有一个为0 D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为0 2．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么 A ．命题p 与命题q 的真值相同 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 不一定是真命题 D ．命题p 不一定是真命题 3.命题“正方形的两条对角线互相垂直平分”是 A ．简单命题 B ．非p 形式的命题 C ．p 或q 形式的命题 D ．p 且q 的命题 5.已知命题p :02≥a ()R a ∈ ,命题q :函数x x x f -=2 )(在区间[),0∞+上单调递增，则下列是真命题的是 A ．p q ∨ B ．p q ∧ C ．p q ?∧? D ．p q ?∨
高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式自主训练新人教A版选修4_5
3.3 排序不等式 自主广场 我夯基我达标 1.已知a,b,c∈R+，则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是( ) A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2a B.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2a C.a3+b3+c3
柯西不等式与排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析 类型一：利用柯西不等式求最值 1．求函数的最大值． 思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析： 法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为 法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得 ∴时函数取最大值，最大值为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011辽宁，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】
(Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】 法一： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值．【答案】 根据柯西不等式 ，
故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时， 评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式 利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数： 2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序： 3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积，，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1
编号81山西大学附中高三年级直线的方程
山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号81 直线的方程 【学习目标】 1.知道描述直线倾斜程度的两个数学量：倾斜角与斜率 2.能写出直线方程的五种形式 【学习重点】 倾斜角与斜率的关系 【学习难点】在不同的情境中选择合适的直线方程去解题 【学习过程】 （一）知识梳理 1.直线的倾斜角与斜率 (1)倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取 作为基准， 与 所成的角α叫做直线l 的倾斜角；当直线l 与x 轴平行或重合时， . 直线的倾斜角α的取值范围是 . （2）一条直线的倾斜角)90( ≠αα的 叫做这条直线的斜率，常用小写字母k 表示. 斜率k 的取值范围是 . 2.直线方程 （1）点斜式方程 （2）斜截式方程 （3）两点式方程 （4）截距式方程 （5）一般式方程 （二）巩固练习 1.下列命题中正确的个数为 ①若直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtan ； ②若直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为α； ③直线的倾斜角越大其斜率就越大 ； ④直线的斜率越大其倾斜角就越大； A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知点)1,1(),321,1(-+B A ,直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，则l 的斜率为 A.1 B.3 3 C.3 D ．不存在 3.已知三点()3,1A 、()2,B k -、()8,11C 共线，则k 的取值是 A.6- B.7- C.8- D ．9- 4.如右图，直线123,,l l l 的斜率分别为123,,k k k ，则 A.123k k k << B.312k k k << C.321k k k << D.132k k k << 5. 设直线0543=-+y x 的倾斜角为θ,则它关于直线3=x A. θ B.θπ-2 C.θπ +2 D ．θπ- 6．若直线3-=kx y l ：与直线0632=-+y x 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是
高中数学柯西不等式与排序不等式
3.13.2柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +≥ >>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. ||ac bd + ||||ac bd ≥+ ac bd ≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈L L ，则 （当且仅当12 1 2 n n a a a b b b === L 时取等号，假设0i b ≠） 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++≥++???+L . 定理：设,αβu r u r 是两个向量，则||||||αβαβ≤u r u r u r u r g . 等号成立？（βu r 是零向量，或者,αβu r u r 共线） 练习：已知a 、b 、c 、d . 证法：（分析法）平方→应用柯西不等式→讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1 ：求函数y = 分析：如何变形？→构造柯西不等式的形式 变式：y = ,,,,,)y a b c d e f R +=∈ 例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y +≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造） 要点： 2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥… 讨论：其它证法（利用基本不等式）
山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块文科数学答案
山西大学附中2020—2021学年第一学期高三年级第四次模块诊断数学(文)试题评分细则 一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分） 二. 填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20 分） 13．20.5 14. > 15. ① ②③ 三．解答题 17．（满分12分） 解：（1）可得：cos sin sin )cos 0B C B C --=………1分 即：sin cos 0A C =．………2分 由正弦定理可知： sin sin a c A C =，∴sin 3cos 0a C C c -=，………4分 sin cos 0a C C ∴=，1c =，可得tan C =，………5分 C 是三角形内角，3 C π ∴= ．………6分 （2）3 C π = ，3a b =，∴由正弦定理可得 32sin sin sin() 3 b a b B A B π== -，………7分 可得2sin( )3sin 3 B B π -=1sin 3sin 2B B B +=，可得tan B ，………8分 222222 111cos2114 cos B sin B tan B B cos B sin B tan B --∴===++，2222sin cos 2tan sin 21B B B B sin B cos B tan B ==++，………10分 11113 cos(2)cos(2)cos2cos sin 2 sin 33321414 B C B B B πππ∴-=-=+=?= ．………12分 18．（满分12分） 解：（1）因为100人中确诊的有10名，其中50岁以下的人占 2 5 ， 所以50岁以下的确诊人数为4，50岁及以上的确诊人数为6． 因为50岁及以上的共有40人， 即50岁及以上的返乡人员感染新型冠状病毒引起的肺炎的概率为640 ； 列联表补充如下，
柯西不等式与排序不等式练习题
柯西不等式练习题 1. 设a 、b 、c 为正数，求()4936++a b c a b c ?? ++ ?? ?的最小值。 2.设,,x y z R ∈且2225x y z ++=，则23x y z ++的最大值为，此时x=y=z= 3. 设,,x y z R ∈且2 2 2 4x y z ++=，则22x y z -+的最大值为，最小值 4.设,,x y z R ∈且226x y z --=，则222x y z ++的最小值为，此时x=y=z= 5.设,,x y z R ∈且233x y z -+=，则()2 221x y z +-+的最小值为，此时y= 6.设,,x y z R ∈且2280x y z +++=，则()()()2 2 2 123x y z -+++-的最小值？此时x 、y 、z 的取值？ 7.已知,x y R ∈，2 2 36x y +≤，求2x y +的最值 8设23529x y z ++=，求函数y 9.若,,,a b c d R + ∈且满足，则最大值为 证明题： 1. 设a 、b 、c 为正数且各不相等，求证：2229a b b c c a a b c ++>+++++ 2. a 、b 为非负数，a+b=1，12,x x R +∈，求证：()()121212ax bx bx ax x x ++≥ 3. 若a b c >>，求证：114a b b c a c +>--- 4. 若,,a b c R + ∈，求证：32 a b c b c c a a b ++≥+++ 5. 若,,a b c R + ∈，求证：222 a b c a b c b c a ++≥++
编号77山西大学附中高三年级空间向量及其运算
山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号77 空间向量及其运算 【学习目标】复习空间向量的概念，熟练空间向量的坐标运算，会用空间向量解决立体 几何问题. 【学习重点】空间向量的坐标运算及其应用. 【学习难点】向量法的应用. 【学习过程】 （一）基础梳理 1．空间直角坐标系及有关概念 2、空间向量的概念及运算 空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。加减运算遵循_________________法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算__________；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。 3、空间向量的有关定理 （1）共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b _______，a ∥b 的充要条件是_________________________ （2）共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是_______________________________________________________ 注：若a 与b 确定平面为α，则表示c 的有向线段与α的关系是可能与α平行，也可能在α内。 （3）空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c _________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{},,x y z ，使得_______________。其中， _____________叫做空间的一 个基底。 4．空间向量的坐标表示 (1)空间向量运算的坐标表示 设a ＝321,,(a a a )，b ＝),,(321b b b ， 则a ＋b ＝_______________， a －b ＝____________________， λa ＝_________________， a ?b ＝______________________. (2)重要结论 a ∥ b ?___________?_________________________________；
柯西不等式及排序不等式及其应用经典例题透析
经典例题透析类型一：利用柯西不等式求最值1．求函数 的最大值．思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不 等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件．这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值．也可以利用导数求解。 解析：法一：∵且， ∴函数的定义域为，且， 当且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：∵且， ∴函数的定义域为 由， 得 即，解得∴时函数取最大值，最大值 为. 总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解．不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键． 举一反三： 【变式1】（2011，24）已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|。 （I）证明：-3≤f（x）≤3； （II）求不等式f（x）≥x2-8x+15的解集。 【答案】 (Ⅰ) 当时，． 所以．…………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知， 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 当时，的解集为． 综上，不等式的解集为．……10分 【变式2】已知，，求的最值. 【答案】法一： 由柯西不等式 于 是的最大值为，最小值为. 法二： 由柯西不等式 于是的最大值为，最小值为. 【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值． 【答案】 根据柯西不等式 ， 故。 当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立， 此时，评注：根据所求最值的目标函数的形式对已知条件进行配凑． 类型二：利用柯西不等式证明不等式
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。 （1）巧拆常数：2．设、、为正数且各不相等，求证： 思路点拨：∵、、均为正，∴为证结论正确只需证： 而，又，故可利用柯西不等式证明之。 证明： 又、、各不相等，故等号不能成立 ∴。 （2）重新安排某些项的次序：3．、为非负数，+=1，，求证： 思路点拨：不等号左边为两个二项式积， ，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。 证明：∵+=1 ∴ 即（3）改变结构：4、若>>，求证： 思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。 ，，∴，∴所证结论改为证
山西大学附中2019届高三下学期3月模块诊断英语试卷(附答案)
山西大学附中2018-2019学年高三第二学期3月模块诊断 英语试题 第I卷（选择题,共100分） 第一部分：阅读理解（共两节，满分60分） 第一节：（共15小题：每小题3分，满分45分） 阅读下列短文,从每题所给的A、B、C、D四个选项中,选出最佳选项,并在答题卡上将该项涂黑。 A Amsterdam’s Best Flea Markets Ijhallen Flea Market First or second weekend of every month Perhaps the most impressive of them all is Ijhallen, located in the north of Amsterdam. With more than 1,500 stands and 3,000 free parking spaces, the monthly market attracts visitors from not only the Netherlands, but Europe-wide. There is a five euro admission fee, but you can be pretty sure that you can browse second-hand treasures for most of the day. Anything and everything can be found here; old guitars and antique chairs, art prints and military gear. Noordermarkt Flea Market Saturday, 9am-4pm Monday, 9am-2pm In the centre of the Jordaan, the Noordermarkt Flea Market on Saturdays includes vintage(老式的) goods and organic food produce from local farmers. On Mondays, the market transforms into an antique-hunter’s goldmine. There are piles of vintage clothes, antique books, coins and furniture. Waterloopein Market Monday-Saturday, 9am-6pm The most centrally located of all flea markets in Amsterdam, Waterlooplein Market offers visitors a range of snacks, second-hand clothes and vintage treasures. There’s a maze of second-hand goods, from old globes and hanging lamps, to African drums, antique rugs and used bikes. Spui Book Market Friday 10am-6pm Ideally situated among bookstores, you’ll find a collection of tents sheltering second-hand and antique books at the book market on Spui. You can find a variety of literature from biographies and poetry to fantasy-fiction, history, psychology and geography. While most books are from the Netherlands, some English and international titles are for sale. As well as antique maps, prints and record.
第三讲排序不等式
全国高中数学联赛 金牌教练员讲座 兰州一中数学组 第六讲不等式的应用、参数取值范围问题 知识、方法、技能 I ．排序不等式（又称排序原理） 设有两个有序数组n a a a ≤≤≤Λ21及.21n b b b ≤≤≤Λ 则n n b a b a b a +++Λ2211（同序和） jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211（乱序和） 1121b a b a b a n n n +++≥-Λ（逆序和） 其中n j j j ,,,21Λ是1，2，…，n 的任一排列.当且仅当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时等号（对任一排列n j j j ,,,21Λ）成立. 证明：不妨设在乱序和S 中n j n ≠时（若n j n =，则考虑1-n j ），且在和S 中含有项 ),(n k b a n k ≠则.n n jn n j n n k b a b a b a b a n +≤+① 事实上，左－右=,0))((≥--n j n k n b b a a 由此可知，当n j n ≠时，调换n k j n j k j b a b a b a S ++++=ΛΛ11（n j n ≠）中n b 与n j 位置（其余不动），所得新和.1S S ≥调整好n a 及n b 后，接着再仿上调整1-n a 与1-n b ，又得.12S S ≥如此至多经1-n 次调整得顺序和 n n b a b a b a +++Λ2211jn n j j b a b a b a +++≥Λ2211② 这就证得“顺序和不小于乱序和”.显然，当n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21时②
最新人教版高中数学选修4-5《柯西不等式与排序不等式及其应用》本章概览
第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 本章概览 内容提要 1.柯西不等式 (1)代数形式:(a 12+a 22)(b 12+b 22)≥(a 1b 1+a 2b 2)2,等号成立?a 1b 2=a 2b 1. (2)向量形式:|α||β|≥|α·β|,等号成立?α与β共线. (3)平面三角不等式:222211)()(b a b a -+-+222211)()(c b c b -+-2≥ 222211)()(c a c a -+-,等号成立?存在非负实数λ,u 使u (a 1-b 1)=λ(b 1-c 1),u (a 2-b 2) =λ(b 2-c 2). (4)一般形式:(a 12+a 22+…+a n 2)21(b 12+b 22+…+b n 2)21≥|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |,等号成立?2211b a b a ==…=n n b a . 2.排序不等式 设a 1≤a 2≤…≤a n ,b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数,c 1,c 2,…,c n 为b 1,b 2,…,b n 的任一排列,有a 1b n +a 2b n-1 +…+a n b 1≤a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n ≤a 1b 1+…+a n b n ,等号成立?a 1=a 2…=a n 或b 1=b 2=…=b n . 3.平均值不等式:a 1,a 2,…,a n ∈R +,n n n a a a n a a a ???≥+++......2121,等号成立? a 1=a 2=…=a n . 4.最值问题:把握好函数基本形式,再借用不等式,函数的性质求最值. 学法指导 根据本章的特点,学习时应加强数学思想方法的学习,加强对各类不等式性质的理解.理解柯西不等式,排序不等式,平均值不等式在具体问题中的作用.
编号24山西大学附中高三年级导数的应用1
山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号24 导数的应用（一） 【学习目标】1.会利用导数判断函数的单调区间求函数的最值 【学习难点】求函数的单调区间及最值 【学习重点】求函数的单调区间及最值 【学习过程】 （一）知识梳理： 1.利用导数求函数的单调性： 2.利用导数求函数的极（最）值： （二）巩固练习： 1. 定义在R 上的函数)(x f 满足(4)1f =．)(x f '为)(x f 的导函数，已知函数)(x f y '= 的图象如右图所示.若两正数b a ,满足1)2(<+b a f ，则 22 b a ++的取值范围是（ ） A ．11(,)32 B.()1(,)3,2 -∞+∞ C.1(,3)2 D.(,3)-∞- 2.函数)(x f 在定义域R 内可导，若)2()(x f x f -=，且当 )1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),2 1(),0(f c f b f a ===则（ ） A ．c b a << B ．b a c << C ．a b c << D ．a c b << 3.设函数)(x f 的定义域为R ，()000≠x x 是)(x f 的极大值点， 以下结论一定正确的是（ ） A. )()(,0x f x f R x ≤∈? B.0x -是)-(x f 的极小值点 C. 0x -是)(-x f 的极小值点 D.0x -是)-(-x f 的极小值点 4.若函数x ax x x f 1)(2 ++=在?? ? ??+∞,21上是增函数，则a 的取值范围是 ( ) A.[]-1，0 B.[]-∞1， C.[]0，3 D.[]3∞，+ 5.若20π<
高中数学柯西不等式与排序不等式
柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案： (0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 222||c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 222c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 （当且仅当12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 变式：222212121 ()n n a a a a a a n ++ ≥++???+. 定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤.
等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） 练习：已知a 、b 、c 、d ≥ 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y = → 推广： ,,,,,)y a b c d e f R +=+∈ 例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：1 1 2x y + ≥. 分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）
(新)高中数学柯西不等式与排序不等式
1 3.1 3.2 柯西不等式 1.二元均值不等式有哪几种形式？ 答案：(0,0)2 a b a b +≥>>及几种变式. 2.已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0ad bc -≥ 定理：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. 2 22|| c d ac bd +≥+ 或222||||c d ac bd +≥+ 22c d ac bd +≥+. 定理：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈，则 222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ （当且仅当12 12 n n a a a b b b === 时取等号，假设0i b ≠） 变式： 2222 12121 ( )n n a a a a a a n ++ ≥++???+. 定理：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线） 练习：已知a 、b 、c 、d 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 三角不等式： ① 定理：设1122,,,x y x y R ∈ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 例1：求函数y = 分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 变式：y =→ 推广：,,,,,)y a b c d e f R +=∈
编号8山西大学附中高三年级 函数的值域
山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号8 函数值域 【学习目标】1.熟悉求解函数的值域方法；2、求解函数的值域 【学习重点】 求解函数的值域 【学习难点】 求解函数的值域 【学习过程】 （一）方法梳理 通过下面题目总结求值域的方法： 求下列函数的值域 (1)232y x x =-+ (2)y = (3)))5,2[)1,((1 2 -∞∈-= x x y (4)312x y x +=- (5)x x y 3131+-= (6) x x x f -+-=2)1(log )(2 1 (7) 13432-+ -=x x y (8)x x y 41332-+-= (9)21x x y -+= (10)1 2222+++-=x x x x y (11))21(12122>-+-=x x x x y (12)|4||1|++-=x x y (13)102422++++= x x x y (14)x x y cos 2sin 1--=
(二)巩固练习 1.若函数)(x f y =的值域是]3,1[，则函数)3(21)(+-=x f x F 的值域是 A.]1,5[-- B.]0,2[- C. ]2,6[-- D. ]3,1[ 2.设0a >，对于函数)0(sin sin )(π<<+=x x a x x f ，下列结论正确的是 A.有最大值而无最小值 B 有最小值而无最大值 C.有最大值且有最小值 D.既无最大值又无最小值 3.设函数)(2)(2 R x x x g ∈-=，? ??≥-<++=)(,)()(,4)()(x g x x x g x g x x x g x f ，则()f x 的值域是 A.),1(]0,49[+∞- B.),0[+∞ C.),49[+∞- D. ),2(]0,4 9[+∞- 4.|log |2x y =的定义域为] ,[b a ,值域为]2,0[ ，则区间] ,[b a 的长度a b -的最小值 A. 3 B. 43 C. 2 D. 2 3 5.设???<≥=1||,1||,)(2x x x x x f ，()x g 是二次函数，若)]([x g f 的值域是[)+∞,0，则()x g 的值 域是 A.(][)+∞-∞-,11, B.(][)+∞-∞-,01, C.[)+∞,0 D.),1[+∞ 6.设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义.对于给定的正数K ，定义函数 ???>≤=K x f K K x f x f x f K )(,)(),()(取函数x e x x f ---=2)(.若对任意的),(+∞-∞∈x ,恒有)()(x f x f K =，则 A.K 的最大值为2 B.K 的最小值为2 C.K 的最大值为1 D.K 的最小值为1 7.若函数x x f a log )(=在]4,2[上的最大值与最小值之差为2，则a = 8.若曲12||+=x y 与直线b y =没有公共点，则b 的取值范围为 9.设21,x x 为方程02442=++-m mx x 的两个实根，当m =_________时，2 221x x +有 最小值_________ 10.若函数]3,1[,log 2)(3∈+=x x x f ，则函数)()]([22x f x f y +=的值域为 11.若函数()y f x ＝的值域是1[,3]2，则函数)(1)()(x f x f x F +=的值域是________ 12.已知()f x 的值域是34 [,]89，试求函数)(21)(x f x f y -+=的值域.
编号6 山西大学附中高三年级 函数及其表示
山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号6 函数及其表示 【学习目标】 1.会函数的表示；2、熟练求解函数的定义域 【学习重点】 求解函数的定义域 【学习难点】 求解函数的定义域 【学习过程】 （一）.基础梳理 1.映射的概念：设A B 、是两个 的集合，如果按照某种对应关系f ，使得对于集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有____________的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个映射． 2.函数的概念：设A B 、是两个非空的______，如果按照某种确定的对应关系f ，对于集合A 中的______一个数x ，在集合B 中都有_______的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：(),y f x x A =∈． 注1：函数的定义域、值域：在函数(),y f x x A =∈中，x 叫做________，x 的取值范围A 叫做函数的________；与x 的值对应的y 的值叫做________，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的_____． 注2：函数的三要素：_______、_______和_______． 注3：相等函数：若两个函数的_______和_______完全一致，则称这两个函数________． 注4：函数的表示法：_________、_________和_________． 注5: 分段函数:若函数在其定义域的不同子集上，因________不同而分别用几个不同的式 子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的____，其值域等于各段函数的值域____，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． （二）.巩固练习 一.选择题 1.下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A.255x y x y = =与 B.x x e y e y ln ln ==与 C.31)3)(1(+=-+-=x y x x x y 与 D.001x y x y ==与 2.设集合}20|{≤≤=x x M ，}20|{≤≤=y y N ，那么下面的4个图形中，能表示集合M ( A ．○ 1○2○ 3○4 B ．○1○2○3 C ．○2○3 D ．○2 3.若) 12(log 1)(2 1+=x x f ，则)(x f 的定义域为( )
第四讲排序不等式与琴生不等式
第四讲 排序不等式与琴生不等式 本节主要内容有排序不等式、琴生不等式、幂平均不等式、切比雪夫不等式及应用． 排序不等式（又称排序定理）：给定两组实数a 1，a 2，……，a n ；b 1，b 2，……，b n ．如果a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．那么a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1（反序和）≤a 11i b ＋a 22 i b ＋……＋a n n i b （乱序和）≤a 1b 1＋a 2b 2＋……＋a n b n （同序和）， 其中i 1，i 2，……，i n 是1，2，……，n 的一个排列． 该不等式所表达的意义是和式 ∑=n j i j j b a 1 在同序和反序时分别取得最大值和最小值． 切比雪夫不等式：设有两个有序数组a 1≤a 2≤……≤a n ；b 1≤b 2≤……≤b n ．则1 n (a 1b n ＋a 2b n －1＋……＋a n b 1)≤ a 1＋a 2＋……＋a n n · b 1＋b 2＋……＋b n n ≤1 n (a 1b 1＋a 2b 2＋……＋ a n b n )， 其中等号仅当a 1＝a 2＝……＝a n 或b 1＝b 2＝……＝b n 时取得． 琴生不等式又称凸函数不等式，它建立在凸函数的基础上． 定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≤1 2 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(１) 定理一．若f (x )是下凸函数，则对其定义域中的任意几个点x 1，x 2，……，x n ，恒有f (x 1＋x 2＋……＋x n n )≤1n [f (x 1)＋f (x 2)＋……＋f (x n )]． 定义 设连续函数f (x )的定义域是[a ，b ](开区间(a ，b )或(－∞，＋∞)上均可)，如果对于区间[a ，b ]内的任意两点x 1，x 2有f (x 1＋x 22 )≥1 2 [f (x 1)＋f (x 2)]，则称f (x )为[a ，b ]上的下凸函数．如图(2) 定理二：若)(x f 是上凸函数，则对其定义域中的任意n 个点n x x x ,...,,21恒有x 1 x 2 M (1) P Q x 1 x 2 M (2) P Q
山西大学附中高三年级3答案
山西大学附中高三年级（下）导学设计 编号 概率与统计（三） 1.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位：克)，重量的分组区间为(]490,495，(]495,500，…，(]510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示． （1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量； （2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列； （3）从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率．
2．为了让学生了解更多“奥运会”知识，某中学举行了一次“奥运知识竞赛”，共有800名学生参加了这次竞赛，为了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计．请你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题： 分组 频数 频率 60.5～70.5 0.16 70.5～80.5 10 80.5～90.5 18 0.36 90.5～100.5 合计 50[来源学科网] (1)若用系统抽样的方法抽取50个样本，现将所有学生随机地编号为000，001，002，…，799，试写出第二组第一位学生的编号； (2)填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格内)，并作出频率分布直方图； (3)若成绩在85.5～95.5分的学生可获二等奖，问参赛学生中获得二等奖的学生约为多少人？ (3)在被抽到的学生中获二等奖的人数约是9＋7＝16(人)，占样本的比例是16 50＝0.32.即 获二等奖的概率约为32%，所以获二等奖的人数估计为800×32%＝256(人)．
编号2 山西大学附中高三年级集合的运算
山西大学附中高中数学(高三)导学设计 编号2 集合的运算 【学习目标】熟练掌握集合间的运算 【学习重点】 集合间的运算 【学习难点】 集合间的运算 【学习过程】 （一）.基础梳理： （1）交集：_____________________=B A （2）并集：_________________________=B A （3）补集：____________________=A C U （4）集合的运算性质： ①A B A =? ；A B A =? ； ②A A = ;A ?= ; A A = ;A ?= ; ③U A C A = ; U A C A = ;()U U C C A = ; ④U U U A B A B A A B B C A C B A C B ??=?=???=? （5）常用数集的记法：自然数集_______ 正整数集___________整数集_________ 有理数集____________ 实数集________ （二）.巩固练习： 一.选择题： 1．集合(){}(){},0,2A x y x y B x y x y =+==-=，，则A B 是 A ．()1,1- B ．11x y =??=-? C ．(){}1,1- D ．(){},1,1x y x y ==-或 2．已知集合,,A B C 为非空集合，M A C =,N B C =,P M N =，则 A ．一定有C P C = B ．一定有 C P P = C ．一定有C P C P = D ．一定有C P =? 3．集合2{,1,1}A a a =+-，2{21,|2|,34}B a a a =--+，{1}A B =-，则a 的值 A ．1- B ．0或1 C ．2 D ．0 4．2{|60}A x x x =+-=，{|10}B x mx =+=且A B A =，则m 的取值范围 A ．? ?????-21,31 B ．110,32??--????， C ．110,32??-????， D ．11,32?????? 5.设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A B 等于 A ．R B ．{},0x x R x ∈≠ C ．{}0 D ．? 6.设集合},),{(R y R x y x U ∈∈=，}02),{(>+-=m y x y x A ，}0),{(≤-+=n y x y x B ， 那么满足点(2,3)()U P A C B ∈条件是 A. 1,5m n >-< B. 1,5m n <-< C. 1,5m n >-> D. 1,5m n <-< 7.如图，I 为全集，M 、P 、S 是I 的三个子集，则阴影部分所表示的集合是
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